Modele komórkowe ruchu drogowego

Modele komórkowe ruchu drogowego
Mateusz Miracki, Andrzej Dworak
Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej,
AGH, al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/∼mat/ksn/
http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/∼gand/ksn/
Streszczenie
W dzisiejszym spoªecze«stwie posiadanie samochodu staje si¦ wr¦cz
konieczno±ci¡, a nie przywilejem. Wi¡»e si¦ to jednak z wzmo»onym
ruchem drogowym, prowadz¡cym do korków, skutecznie utrudniaj¡cych
b¡d¹ wr¦cz uniemo»liwiaj¡ych jazd¦. Dlatego wa»nym wydaje si¦ nie
tylko informowanie o obecnym stanie na drogach, lecz tak»e o stanie
mog¡cym mie¢ miejsce za póª godziny czy godzin¦. Tym, którym takie
przewidywanie wydaje si¦ to by¢ maªo realne, dedykujemy wªa±nie nasz
artykuª.
1 Czym s¡ automaty komórkowe?
1.1 Czy to w ogóle ma sens?
Aby opisa¢ zachowanie si¦ samochodów na drodze, potrzebujemy odpowiedniego aparatu matematycznego, co oczywi±cie ka»demu obeznanemu z wspóªczesn¡ nauk¡ kojarzy si¦ (caªkiem zreszt¡ sªusznie) ze skomplikowanymi ukªadami
równa« ró»niczkowych, rozwi¡zywanymi dzi¦ki drogim i pot¦»nym maszynom
w centrach obliczeniowych. Niestety, równania ró»niczkowe nie rozwi¡zuj¡ naszych wszystkich problemów, matematycy i zycy byliby wtedy najszcz¦±liwszymi lud¹mi na Ziemi. Istnieje wiele problemów, o których rozwi¡zaniu decyduje statystyka lokalnych, przestrzenno-czasowych konguracji zmiennych dyskretnych opisuj¡cych ukªad. Wtedy opis poprzez zmienne rzeczywiste oraz konstrukcja równa« ró»niczkowych daje niewªa±ciwe wyniki, gdy» zaniedbujemy lokalne korelacje. Za przykªad mo»e posªu»y¢ równanie kinematyczne Bolzmana
i zaªo»enie chaosu molekularnego, zaniedbuj¡ce korelacje mi¦dzy pr¦dko±ciami
zderzaj¡cych si¦ cz¡stek i prowadz¡ce tym samym do faªszywych wyników. Aby
omija¢ wªa±nie takie problemy, powstaªy automaty komórkowe...
1.2 Kilka sªów wst¦pu.
H.G. Schuster napisaª kiedy±, i» automaty komórkowe zdaj¡ si¦ stawa¢ wa»nym narz¦dziem w poszukiwaniu odpowiedzi na wiele spo±ród postawionych pyta«, maj¡c na my±li oczywi±cie w¡tpliwo±ci natury zycznej. Mo»na powiedzie¢,
»e automat komórkowy to system skªadaj¡cy si¦ z pojedynczych komórek, znajduj¡cych si¦ obok siebie. Ich ukªad przypomina szachownic¦ lub plansz¦ do gry.
Ka»da z komórek mo»e przyj¡¢ jeden ze stanów, przy czym liczba stanów jest
sko«czona, ale dowolnie du»a. Stan komórki zmieniany jest synchronicznie, zgodnie z reguªami mówi¡cymi, w jaki sposób nowy stan komórki zale»y od jej obecnego stanu i od stanu jej s¡siadów. Okazuje si¦, »e wygl¡daj¡cy tak maªo powa»nie model matematyczny jest naprawd¦ przydatny w wielu dziedzinach nauki,
przede wszystkim zyki, lecz wykorzystuje si¦ go tak»e w genetyce, socjologii,
ekonomii. Automaty komórkowe przestaªy by¢ ju» tylko sposobem na produkowanie interesuj¡cych obrazków (zreszt¡ jedna ze struktur w najpopularniejszym
chyba automacie komórkowym, czyli w Grze w »ycie, staªa si¦ symbolem spoªeczno±ci geeków/hackerów).
Rysunek 1: Logo spoªeczno±ci geeków/hackerów.
1.3 Denicja formalna.
Pora przej±¢ do denicji formalnej. Otó» deterministyczny automat komórkowy jest poj¦ciem matematycznym deniowanym poprzez:
• sie¢ komórek {i} D-wymiarowej przestrzeni,
• zbiór {si } stanów pojedynczej komórki - zwykle ten sam dla wszystkich
komórek, zawieraj¡cy k elementów,
• reguª¦ F okre±laj¡c¡ stan komórki w chwili t+1 w zale»no±ci od stanu w
chwili t tej komórki i komórek j¡ otaczaj¡cych:
si (t + 1) = F ({sj (t)})
gdzie j nale»y do O(i) i O(i) jest otoczeniem i-tej komórki.
Je±li ponadto funkcja F zale»y od zmiennej losowej, to taki automat nazywamy
probabilistycznym.
1.4 Historia powstania.
Twórc¡ automatów komórkowych jest jeden z najwi¦kszych my±licieli ery
komputerowej, który wprowadziª koncepcj¦ samo-reprodukcji - John von Neumann. Docelowo chciaª stworzy¢ model maszyny samosteruj¡cej, tzn. takiej, i»
powielaªaby ona swoj¡ budow¦ i przekazywaªa swoje cechy. Na przeªomie lat
czterdziestych i pi¦¢dziesi¡tych Neumann opracowaª swoj¡ teori¦ opieraj¡c si¦
na maszynie Turinga. Opracowaª on pi¦¢ modeli samo-replikuj¡cych si¦ automatów, realizacja jednak okazaªa si¦ zbyt trudna jak na owe czasy. Traªy one na
póªk¦. Pracami Neumanna zainteresowaª si¦ dopiero Edgar Frank Codd, który
uczyniª automaty mo»liwymi do wykorzystania. Pomimo jednak tego, »e projekt
Codda zawieraª o wiele prostsz¡ koncepcj¦ od pomysªu von Neumanna, równie» nie zostaª zrealizowany. Posªu»yª natomiast do skonstruowania powszechnie stosowanej Gry w »ycie. Mimo »e w obu przypadkach brakowaªo realizacji
projektów, prace obu teoretyków uwa»a si¦ za fundamenty powstania automatów komórkowych, pomimo ironicznych nieraz komentarzy wspóªpracowników.
Stanisªaw Ulam, lwowski matematyk, okre±liª automaty komórkowe jako zyk¦
urojon¡, parafrazuj¡c pogardliwe niegdy± okre±lenie liczby i. Nast¦pnym przeªomowym wydarzeniem w historii automatów komórkowych byªa ich klasykacja,
co zwi¡zne jest z postaci¡ Stephena Wolframa.
2 Konstrukcja, podziaª, wªa±ciwo±ci.
2.1 Konstrukcja.
Denicja okre±la, co jest automatem komórkowym, a czego nie mo»na okre±li¢ tym mianem. Jest równie» wskazówk¡ odno±nie konstrukcji automatów. Jego
budowa musi si¦ opiera¢ na konkretnych danych. Nie mog¡ istnie¢ w jednym
automacie dwie komórki, które nie maj¡ wszystkich elementów takich samych
(ró»ni¡ si¦ cho¢by ilo±ci¡ s¡siadów). Budowa wszystkich komórek musi by¢ identyczna (musz¡ mie¢ tyle samo s¡siadów, takie same zbiory stanów, itp.).
2.2 Siatka.
Ka»dy automat musi posiada¢ przestrze«, w którym okre±lona jest jego ewolucja. Z denicji automatu tak¡ przestrze« tworz¡ jednakowe komórki. Ka»da
komórka przechowuje swój stan zale»ny od przestrzeni stanów. Komórki ró»ni¡ si¦, s¡ niezale»ne oraz ka»d¡ komórk¦ mo»na jednoznacznie zidentykowa¢
poprzez jej poªo»enie na siatce. Istniej¡ trzy konstrukcyjne czynniki automatu
komórkowego, które w zasadniczy sposób wpªywaj¡ na struktur¦ siatki, s¡ to wymiar przestrzeni (zale»ny od wielko±ci badanego problemu - siatka 1D, 2D, 3D),
warunek regularno±ci (mówi¡cy o caªkowitym zapeªnieniu siatki przez jednakowe
komórki - komórki trójk¡tne, kwadratowe, heksagonalne) oraz liczba s¡siadów
(zale»na od obu powy»szych).
2.3 S¡siedztwa.
Warto zwróci¢ uwag¦ na s¡siedztwo danej komórki. Rozwa»my siatk¦ 2D, na
pocz¡tku oznaczamy kierunki na zasadzie ró»y wiatrów: N, S, E, W oraz kierunki po±rednie NW, NE, SE, SW. S¡siedztwem von Neumanna b¦dzie zbiór
czterech komórek: N, S, E, W, a s¡siedztwem Moore'a okre±limy zbiór wszystkich o±miu komórek dookoªa komórki centralnej. Oczywi±cie to tylko najbardziej znane przykªady, mo»na zdeniowa¢ poª¡czenie obu tych s¡siedztw - tzw.
s¡siedztwo Moore'a - von Neumanna.
Rysunek 2: S¡siedztwo von Neumanna.
Rysunek 3: S¡siedztwo Moore'a.
2.4 Warunki brzegowe.
Oczywi±cie nie mamy do dyspozycji niesko«czonej siatki, gdy» wtedy automaty komórkowe pasjonowaªyby tylko teoretyków. Nawet okre±laj¡c bardzo du»e
rozmiary siatki, nast¦puje problem - co si¦ dzieje na brzegach? Problem warunków brzegowych wymaga doprecyzowania dla ka»dego automatu komórkowego.
Warunki brzegowe mo»na okre±li¢ jako periodyczne (przenikaj¡ce); deniuj¡ one
zamkni¦t¡ siatk¦ w taki sposób, »e np. symuluj¡c poruszaj¡c¡ si¦ cz¡stk¦ po
doj±ciu do kraw¦dzi pojawi si¦ ona z drugiej strony. Komórka znajduj¡ca si¦ na
brzegu siatki ma za s¡siada komórk¦ le»¡c¡ po drugiej stronie siatki. Ten typ
przej±¢ bardzo dobrze opisuje nasze otoczenie ±rodowisko, w którym wszystko
równie» odbywa si¦ na periodycznej przestrzeni, jak¡ jest kula ziemska. Warunki
brzegowe zamkni¦te pochªaniaj¡ce (o staªej warto±ci) deniuj¡ siatk¦ w taki
sposób, i» brzegi siatki wypeªnione s¡ z góry ustalon¡ warto±ci¡, która po przez
funkcj¦ przej±cia ustala wpªyw na zachowanie automatu. W praktyce, symuluj¡c
np. cz¡stk¦ gazu, po przekroczeniu kraw¦dzi siatki przestaje ona istnie¢. Najcz¦±ciej stosuje si¦ je w automatach, w których generuje si¦ automatycznie komórki
i niezb¦dna jest ich redukcja, aby nie zag¦±ci¢ liczby komórek w automacie.
Warunki brzegowe zamkni¦te odbijaj¡ce (o staªej warto±ci) tworz¡ barier¦, od
której symulowane cz¡stki si¦ odbijaj¡. Stosowane s¡ do symulacji zamkni¦tych
przestrzeni do±wiadczalnych.
2.5 Podziaª wedªug Wolframa.
Stephen Wolfram to osoba, której nazwisko w ka»dym porz¡dnym artykule na
temat automatów komórkowych musi si¦ pojawi¢. Dokonaª m.in. wspomnianej
wcze±niej klasykacji automatów komórkowych. Wedªug niego mo»na je podzieli¢
na cztery klasy. Pierwsz¡ stanow¡ tzw. automaty niezmienne, które ewoluuj¡ do
czasu, kiedy wszystkie komórki osi¡gn¡ identyczny stan niezale»nie od stanu
pocz¡tkowego. Okre±lane s¡ one mianem zbie»nych. Drug¡ klas¡ wg Wolframa
s¡ automaty okresowe, ewoluuj¡ce do stanu stabilnego lub okresowych wzorców.
Trzeci typ to automaty wykazuj¡ce nieporz¡dek zarówno lokalnie, jak i globalnie,
nie wykazuj¡ce »adnego wzorca, okre±lane chaotycznymi. Czwart¡ klas¦ stanow¡
automaty »ywe - wykazuj¡ce bardziej zªo»one, dªugotrwaªe zachowanie.
3 Popularne modele ruchu.
Po wst¦pie wyja±niaj¡cym pokrótce idee zwi¡zane z automatami komórkowymi, czas skupi¢ si¦ na konkretnym zastosowaniu. Modelowanie ruchu drogowego jest jednym z najcz¦stszych chyba zagadnie«, które mo»emy analizowa¢
wykorzystuj¡c metod¦ automatów komórkowych. Korki, skrzy»owania, symulacje przepªywu - to wszystko zostaªo ju» opisane j¦zykiem automatów w kilku
prostych modelach, których rozszerzenie pozwala nam uzyska¢ rzeczywisty obraz ruchu drogowego.
3.1 Model podstawowy.
Najprostszy automat komórkowy, który symuluje przepªyw typu ruch pojazdów na jednokierunkowej i jednopasmowej drodze, nale»y do klasy elementarnych automatów zdeniowanych przez Wolframa i odpowiada regule numer 184.
Droga, po której poruszaj¡ si¦ samochody, reprezentowana jest przez ªa«cuch
komórek. Ka»da z nich mo»e przyjmowa¢ dwa stany - jest ona wolna lub zaj¦ta.
Wszystkie auta poruszaj¡ si¦ w jedn¡ stron¦, na przykªad w prawo. W ka»dym
kroku samochód mo»e zosta¢ przesuni¦ty o jedn¡ pozycj¦ lub pozosta¢ w miejscu. Przesuni¦cie nast¦puje wtedy, gdy komórka docelowa jest pusta, a wszystkie
pola uaktualniane s¡ jednocze±nie. Ruch taki mo»na opisa¢ wzorem
ni (t + 1) = ni−1 (t)[1 − ni (t)] + ni (t)ni+1 (t)
Nietrudno si¦ zorientowa¢, i» model zachowuje si¦ nierealistycznie, gdy» nie
uwzgl¦dnia wielu czynników wyst¦puj¡ych na drodze. Jest on jednak dobrym
wprowadzeniem do modeli bardziej zªo»onych. Ciekawostk¡ mo»e by¢ to, »e gdy
warunki brzegowe takiego automatu okre±limy jako periodyczne (de facto mamy
wtedy do czynienia z rondem, na które nie wje»d»aj¡ i z którego nie wyje»d»aj¡ »adne samochody), to automat po pewnym czasie stanie si¦ automatem
okresowym. Co wi¦cej, gdy liczba samochodów nie jest wi¦ksza ni» poªowa ilo±ci
komórek drogi, to po pewnym czasie ruch stanie si¦ pªynny, tzn. »aden samochód
nie zredukuje swojej pr¦dko±ci do zera.
3.2 Model Nagela-Schreckenberga.
W latach 90-tych niemieccy uczeni, Kai Nagel oraz Michael Schreckenberg,
opisali model poruszania si¦ samochodów po prostej drodze. Skªada si¦ on z
czterech etapów, z czego ka»dy etap jest niezb¦dny, aby model funkcjonowaª
poprawnie. Drog¦ podzielono na komórki, zazwyczaj przyjmuje si¦, »e komórka
taka ma rozmiar 7,5 metra, co odpowiada typowej dªugo±ci samochodu (wraz
z przestrzeni¡ mi¦dzy nast¦pnym/poprzednim samochodem) na drodze podczas
ruchu ulicznego. Komórka taka mo»e by¢ pusta lub zaj¦ta przez jeden i tylko
jeden samochód. Pojazd charakteryzuje si¦ maksymaln¡ pr¦dko±ci¡, która zazwyczaj odpowiada ograniczeniu pr¦dko±ci na danej drodze i w najprostszym
przypadku jest równa dla wszystkich samochodów (które notabene w tym modelu te» si¦ niczym nie ró»n¡, nie ma np. podziaªu na ci¦»arowe/osobowe). Pr¦dko±¢ mo»e zatem wynosi¢ V=0, 1, 2... Vmax . Nast¦pnie trzeba zdeniowa¢ reguªy,
wedªug których nast¦puje ruch w czasie t+1. Jak ju» wspomniano, trzeba wyró»ni¢ cztery takie etapy:
• Przyspieszenie - samochody, których pr¦dko±¢ w czasie t jest mniejsza od
Vmax , zwi¦kszaj¡ swoj¡ pr¦dko±¢ o jedn¡ jednostk¦, jest to jak najbardziej racjonalne zachowanie, gdy» staramy si¦ dotrze¢ w dane miejsce jak
najszybciej, (zazwyczaj) nie ªami¡c przepisów.
• Bezpiecze«stwo - samochody w modelu NaSch musz¡ zachowywa¢ bezpieczn¡ odlegªo±¢. Realizowane jest to w ten sposób, i» je±li samochód ma
k pustych komórek przed sob¡, a jego pr¦dko±¢ v jest wi¦ksza ni» k, to pr¦dko±¢ zostaje zredukowana do warto±ci k (jedna komórka odpowiada tutaj
jednej jednostce pr¦dko±ci). W szczególnym przypadku pr¦dko±¢ mo»e wynie±¢ zero, je±li przed samochodem nie ma ani jednej wolnej komórki.
• Zjawiska losowe - z zadanym prawdopodobie«stwem (najcz¦±ciej 1/2 lub
1/3) samochód zmniejsza swoj¡ pr¦dko±¢ o jedn¡ jednostk¦. Jest to odpowiednik zjawisk losowych zachodz¡cych na drodze (np. wbiegni¦cie psa na
jezdni¦, zapatrzenie si¦ w reklam¦).
• Ruch - po poprzednich trzech krokach nast¦puje przesuni¦cie tyle komórek do przodu, ile wyniosªa ustalona pr¦dko±¢ samochodu, nast¦puje tym
samym przej±cie z czasu t do t+1. Caªy ruch odbywa si¦ w tym samym
momencie, czyli je±li nawet w chwili t samochód przesun¡ª si¦ naprzód, to
samochód w tej samej chwili nie mo»e zaj¡¢ jego miejsca. Wynika to bezpo±rednio z denicji i wªa±ciwo±ci automatów komórkowych, lecz mo»na
si¦ tu doszuka¢ odniesie« do na przykªad opó¹nienia reakcji czªowieka na
bod¹ce.
Model Nagela-Schreckenberga mo»na rozwa»a¢ zarówno z periodycznymi warunkami brzegowymi, jak i z okre±lonymi w inny sposób (w rzeczywisto±ci mamy
do czynienia po prostu z danymi sczytanymi z czujników badaj¡cych ruch samochodów). Pierwszy przypadek mo»na ªatwo wyobrazi¢ sobie na przykªadzie
wspomnianego ju» ronda, z którego samochody nie wyje»d»aj¡ i na które nie
mo»e nikt nowy wjecha¢. Ruch odbywa si¦ oczywi±cie na jednokierunkowej drodze. W tym modelu mo»emy okre±li¢ wspóªczynnik P, równy ilorazowi ilo±ci aut
i ilo±ci komórek, na jakie nasze rondo zostaªo podzielone. Gdy P jest niewielkie
(np. równe 0.15 samochodu/komórk¦), wykres tekstowy przedstawiaj¡cy ruch
samochodów przybiera posta¢ tak¡, jak na rysunku o numerze 9.
Podobne rezultaty w 1992 uzyskali Nagel ze Schreckenbergiem, a ów wykres
(tylko »e zaªo»yli Vmax =5) rysowaª im prosty program napisany w Fortranie.
Kropka oznacza woln¡ komórk¦, liczby natomiast - miejsce, gdzie znajduje si¦
samochód. Warto±¢ liczby równa jest pr¦dko±ci samochodu. Dla P równego 0.35
samochodu/komórk¦ na wykresie mo»na zauwa»y¢ korek (pojawiªo si¦ kilka kolejnych zer); gdy P wynosi 0.7 samochodu/komórk¦, wykres w wi¦kszo±ci skªada
si¦ z zer, a sytuacja kojarzy si¦ z jazd¡ Zakopiank¡ w weekend.
Analizuj¡c wiele sekwencji danych, niemieccy naukowcy zaprezentowali swoje
wyniki na tzw. diagramie fundamentalnym (rys. 12). Wygl¡daª on niemal identycznie jak poni»szy wykres, opieraj¡cy si¦ o dane zebrane za pomoc¡ czujników
na jednej z autostrad w Kanadzie. Ka»dy punkt na wykresie odpowiada ±redniej warto±ci w przedziale 5minutowym. Linia ªamana to wynik teoretyczny z
modelu NagelaSchreckenberga.
Dla maªych g¦sto±ci przepªyw jest proporcjonalny do g¦sto±ci, poniewa» prawie zanika interakcja mi¦dzy samochodami. Wtedy samochody je»d»¡ z po»¡dan¡ pr¦dko±ci¡ Vmax (bior¡c pod uwag¦ uktuacje). Przy wysokiej g¦sto±ci
interakcja staje si¦ wa»na i odchylenie od liniowego zachowania staje si¦ zauwa»alne. Ostatecznie interakcja przewa»a i przepªyw spada w miar¦ zwi¦kszania si¦
g¦sto±ci.
Rysunek 4: Stan mog¡cy mie¢ miejsce na drodze, Vmax = 2.
Rysunek 5: Krok I w modelu NaSch, zwi¦kszenie pr¦dko±ci o jedn¡ jednostk¦.
Rysunek 6: Krok II w modelu NaSch, zachowanie bezpiecznej odlegªo±ci.
Rysunek 7: Krok III w modelu NaSch, uwzgl¦dnienie zjawisk losowych, p = 1/3.
Rysunek 8: Krok IV w modelu NaSch, ruch samochodów, t := t+1.
Rysunek 9: Wykres poªo»enia aut w czasie dla P = 0.15 samochodu/komórk¦.
Rysunek 10: Wykres poªo»enia aut w czasie dla P = 0.35 samochodu/komórk¦
Rysunek 11: Wykres poªo»enia aut w czasie dla P = 0.7 samochodu/komórk¦.
Diagram fundamentalny zale»y oczywi±cie od maksymalnej pr¦dko±ci, któr¡
mog¡ przyjmowa¢ samochody w modelu, oraz od prawdopodobie«stwa wyst¡pienia zjawisk losowych. Im wi¦ksza jest maksymalna pr¦dko±¢, tym wy»szy staje
si¦ nasz trójk¡t z wykresu, jednocze±nie bardziej strome staj¡ si¦ jego zbocza.
Im wi¦ksze za± prawdopodobie«stwo zjawisk losowych, tym bardziej nieliniowy
przy górnym wierzchoªku staje si¦ nasz wykres.
Warto jeszcze na chwil¦ skupi¢ si¦ na odniesieniu modelu NaSch do rzeczywisto±ci. Wspomniano ju», »e za rozmiar komórki przyjmuje si¦ najcz¦±ciej 7,5
metra. ‘rednia pr¦dko±¢ nieskr¦powanego ruchu samochodów w jednym kroku
czasowym powinna by¢ równowa»na pr¦dko±ci równej ok. 120km/h, takie warunki s¡ odpowiednie dla dróg niemieckich (polskie pomi«my milczeniem). Z pomiarów wynika, i» najwi¦ksz¡ warto±¢ diagram fundamentalny osi¡ga dla 0.255
samochodu na jedn¡ standardow¡ komórk¦.
Oczywi±cie model Nagela-Schreckenberga posªu»yª jako obiekt dalszych bada«, gdzie skupiono si¦ najbardziej nad etapem losowo±ci. Powstaª wariant VDR
(Velocity Dependent Randomization), w którym randomizacja, zale»y od pr¦dko±ci poruszania si¦ samochodów, a tym samym po±rednio od nat¦»enia ruchu.
Od dodatkowych parametrów model NaSch uzale»niª Stefan Krauss, zyskuj¡c
jeszcze bardziej realistyczne przybli»enie rzeczywistego ruchu drogowego. Warto
równie» wspomnie¢, i» elementarny automat komórkowy wg Wolframa o regule
184 zawiera si¦ w modelu Nagela-Schreckenberga dla zerowego prawdopodobie«stwa zjawisk losowych oraz dla pr¦dko±ci maksymalnej równej 1.
Rysunek 12: Diagram fundamentalny.
3.3 Model Chowdhuryego-Schadschneidera.
Ten model zajmuje si¦ problemem skrzy»owa«. Sie¢ ulic przedstawiona jest
jako siatka NxN, a warunki brzegowe okre±lone s¡ jako periodyczne. Ulice s¡
równolegªe do osi X i Y oraz pozwalaj¡ na ruch jedynie w kierunku póªnocnym
i wschodnim. Na ka»dym skrzy»owaniu (w¦¹le sieci) umieszczamy sygnalizacj¦
±wietln¡. Ka»dy odcinek mi¦dzy w¦zªami podzielony jest na D komórek, gdzie D
wprowadza now¡ skal¦ dªugo±ci. Komórka, jak w modelu NaSch, interpretowana
jest jako dªugo±¢ pojazdu. Sygnalizacja dziaªa w ten sposób, i» ruch tylko w
jednym kierunku jest mo»liwy, a ±wiatªa zmieniaj¡ si¦ co T jednostek czasu,
gdzie T jest skal¡ tego czasu. W czasie zmiany z t do t+1 mo»emy rozró»ni¢,
podobnie jak w modelu NaSch, cztery etapy:
• Przyspieszenie - samochody, których pr¦dko±¢ w czasie t jest mniejsza od
Vmax , zwi¦kszaj¡ swoj¡ pr¦dko±¢ o jedn¡ jednostk¦, analogicznie do modelu
Nagela-Schreckenberga.
• Bezpiecze«stwo - oznaczmy jako ds odlegªo±¢ od nast¦pnego pojazdu, sn
niech oznacza odlegªo±¢ od skrzy»owania. W wypadku natraenia na ±wiatªo czerwone, je±li pr¦dko±¢ jest wi¦ksza b¡d¹ równa mniejszej z odlegªo±ci
od nast¦pnego pojazdu lub skrzy»owania, to pr¦dko±¢ redukujemy do odle-
gªo±ci od zapory zmniejszonej o jeden. Aby to wyja±ni¢, ªatwiej posªu»y¢ si¦
wzorem min(dn , sn ) ≤ vn => vn = min(dn , sn ) − 1. Gdy za± rozwa»amy
sytuacj¦ przy ±wietle zielonym, znowu trzeba rozwa»y¢ dwa przypadki;
kiedy dn < sn : vn = dn − 1, o ile dn ≤ vn ; drugi wariant zachodzi dla
dn ≥ sn : vn = min(vn , dn−1 ), o ile min(vn , dn−1 ) ∗ π > sn , gdzie π jest
liczb¡ kroków, jakie pozostaªy do zmiany ±wiateª na czerwone.
• Zjawiska losowe - z zadanym prawdopodobie«stwem (najcz¦±ciej 1/2 lub
1/3) samochód zmniejsza swoj¡ pr¦dko±¢ o jedn¡ jednostk¦, jak w modelu
NaSch.
• Ruch - ka»dy pojazd porusza si¦ o vn komórek w kierunku swojego ruchu,
tzn. xn := xn + vn dla poruszaj¡cych si¦ na wschód oraz yn := yn + vn dla
zmierzaj¡cych na póªnoc.
Rysunek 13: Model Chowdhuryego-Schadschneidera.
4 Podsumowanie.
4.1 Gdzie to dziaªa?
Badania nad ruchem drogowym prowadz¡ gªownie niemieccy naukowcy, nic
zatem dziwnego, »e pierwsza centrala monitoruj¡ca sytuacj¦ na drodze powstaªa
wªa±nie w Niemczech, a dokªadniej w Zagª¦biu Ruhry. Ju» dzi± dostarcza bie»¡cych informacji o sytuacji na drogach oraz prognoz, gdzie mog¡ powsta¢ korki.
Na stronie http://www.autobahn.nrw.de mo»na obejrze¢ prognozy dla Kolonii,
Bonn czy Aachen. Model odwzorowuje caª¡ sie¢ tutejszych autostrad. Inicjatorem powstania takiego systemu jest osoba, której nazwisko chyba najcz¦±ciej
pojawia si¦ w tym artykule - Michael Schreckenberg z uniwersytetu w Duisburgu. System oblicza tak»e prawdopodobie«stwo sprawdzenia si¦ prognozy, zazwyczaj nie schodzi ono poni»ej 90%. Dane nieprzerwanie napªywaj¡ z tysi¦cy
detektorów rejestruj¡cych wszystkie pojazdy. Pomiary detektorów dochodz¡ do
programu symulacyjnego w takcie minutowym. Na zielono zaznaczone s¡ odcinki dróg, na których nie ma lub nie mo»na si¦ spodziewa¢ utrudnie« w ruchu.
Zagª¦bie Ruhry, od dawna n¦kane korkami (symbolizowane prze kolory »óªty i
czerwony), szczególnie du»e nadzieje wi¡»e z prognozowaniem zatorów. Program
symulacyjny jest wªa±nie wª¡czany w szeroko zakrojony system informacji dla
kierowców. Nosi on nazw¦ Pilot Ruhry (Ruhrpilot) i ma zoptymalizowa¢ ruch w
przeci¡»onej sieci komunikacyjnej. Pilot Ruhry ma by¢ gotowy w poªowie roku
2006, w sam¡ por¦ na Mistrzostwa ‘wiata w Piªce No»nej. Pocz¡tkowo ograniczy
si¦ do kluczowych obszarów wokóª gªównych miast. W ko«cu 2007 r. planowane
jest przyª¡czenie pozostaªych regionów.
Rysunek 14: Mapa drogowa Duisburga, suma dªugo±ci dróg wynosi 165km, co
odpowiada 22059 komórkom.
4.2 Przewidywanie przewidywa«?
Symulacja sprawdza si¦ dobrze dla autostrad, troszk¦ gorzej, ale satysfakcjonuj¡co, dla ±ródmie±cia z sieci¡ niewielkich, kr¦tych ulic. Jednak»e powstaje
pewien problem - prognoza korków, w któr¡ wszyscy uwierz¡, przestanie si¦ przecie» sprawdza¢, gdy» ka»dy owe korki b¦dzie chciaª omin¡¢. Wtedy do zatoru
wcale tam nie dojdzie albo co gorsze wyst¡pi on na drodze objazdowej. S¡
ju» pierwsze wyniki zwi¡zane z badaniem zachowa« kierowcy i jego reakcji na
przewidywania. Wraz z prof. Reinhardem Seltenem, laureatem nagrody Nobla
za wykorzystanie teorii gier w ekonomii, Schreckenberg przez trzy lata badaª, jak
kierowcy reaguj¡ na komunikaty o nat¦»eniu ruchu. Na tej podstawie badacze
wyodr¦bnili trzy typy zachowa«. Pierwszy to typ wra»liwca (44 procent zmotoryzowanej populacji): przy najmniejszym niebezpiecze«stwie powstania zatoru
natychmiast zmienia kurs i ucieka na objazdy. Z kolei hazardzi±ci (14 procent)
spekuluj¡, »e wra»liwi zwolni¡ im drog¦, i cz¦sto z zimn¡ krwi¡ wje»d»aj¡ w
newralgiczny obszar. I w ko«cu konserwaty±ci (42 procent) maªo troszcz¡ si¦
o informacje dla kierowców, niech¦tnie zje»d»aj¡ ze swojej trasy. Mo»na zatem
wywnioskowa¢, »e okoªo poªowa kierowców dostosuje si¦ do komunikatów o przewidywanym korku i zmieni obran¡ tras¦. Taki rozkªad powinien rozlu¹ni¢ ruch
na drodze zakorkowanej i nie powinien zablokowa¢ dróg objazdowych.
4.3 Na zako«czenie.
Modele symulacji ruchu drogowego s¡ nieustannie ulepszane. Ju» nikt z pogard¡ nie powie o automatach komórkowych, i» dla zyków jest to zaj¦cie zbyt
trywialne. Pozostaje mie¢ nadziej¦, »e i w Polsce powstanie podobny system.
Aby ten mógª jednak powsta¢, potrzebne s¡ wpierw autostrady, które takim
programem mo»na by obj¡¢. Nierzadko równie» kierowcy nie maj¡ po prostu
mo»liwo±ci skorzystania z objazdów, gdy» takowe nie istniej¡. Uwa»amy jednak,
»e automaty komórkowe nie powiedziaªy jeszcze ostatniego sªowa. Niektórzy mówi¡, »e automaty nie speªniªy wszystkich oczekiwa«, nie mo»na ich na przykªad
przetªumaczy¢ na j¦zyk równa« ró»niczkowych. Licz¡ si¦ jednak chyba przede
wszystkim rezultaty, jakie ju» otrzymali±my i jakie dzi¦ki automatom uzyska¢
jeszcze mo»emy. A te s¡ i na pewno pozostan¡ ciekawe oraz interesuj¡ce.
Bibliograa
1. K. Kuªakowski Automaty Komórkowe. OEN AGH 2000r.
2. Der Spiegel/Onet.pl - Prognozowanie korków.. 05.01.2004r.
http://moto.onet.pl/1302368,2217,artykul.html
3. K. Sznajd-Weron. Wiedza i ›ycie - Opowie±ci o zyce egzotycznej.. 10/2004r.
4. D. Chowdhury, A. Schadschneider Self-organization of trac jams in cities: eects
of stochastic dynamics and signal periods. cond-mat 16.02.1999r.
5. K.Nagel, M. Schreckenberg A cellular automaton model for freeway trac. J.Phys
p. 2221, 12.1992r.
6. S.Wolfram Theory and Applications of Cellular Automata. World Scientic 1986
7. R.Barlovic, L.Santen, A.Schadschneider, M.Schreckenberg Metastable states in
cellular automata for trac ow Eur.Phys. 1998
8. R. D'Souza Coexisting phases and lattice dependence of a cellular automata model
for trac ow. Microsoft Research, Redmond WA 98052, 28.03.2005r.
Pod podanym na pocz¡tku artykuªu adresem WWW znale¹¢ mo»na równie»
program w MatLAB-ie (wersja 6.5), który posªu»yª do wygenerowania wykresów
tekstowych nat¦»enia ruchu w modelu NaSch, u»ytych w artykule.
Rysunki s¡ wªasno±ci¡ autorów i powstaªy w programie GIMP. Mo»na jednak
z nich korzysta¢ (jak i z caªej pracy) bez »adnych przeszkód, prosimy jednak»e
o uprzedzenie nas o tym fakcie pod adresami e-mail: [email protected] oraz
[email protected].