V - nPlot

Zasady zachowania, równanie
Naviera-Stokesa
Mariusz Adamski
1.
Zasady zachowania.
Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się
na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania. Chodzi tu
o stwierdzenia tak ważne, jak na przykład: masa nie może powstawać
z niczego ani też znikać; pęd jest zawsze zachowany; całkowity ładunek
elektryczny jest niezmiennikiem.
Równania różniczkowe cząstkowe, jakie powstają w wyniku zastosowania
takich koncepcji, same z kolei nazywane są zachowawczymi. Omówimy kilka
konkretnych przykładów naświetlających podejście.
1.1.
Zachowanie masy.
Aby masa w objętości V była zachowana, koniecznym jest, aby szybkość
jej zmian w tej objętości była równa strumieniowi masy, przecinającemu
powierzchnię S ograniczającą objętość V . Innymi słowy:
{
∂ y
%dV = −
%u · dS,
∂t
V
S
gdzie %(r, t) jest gęstością masy, a u = hvi.
Korzystając teraz z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego dla drugiej całki
dostajemy:
y ∂%
y
%dV = −
∇ · (%u)dV,
∂t
V
V
zatem
∂%
+ ∇ · (%u) = 0.
∂t
1.2.
Zachowanie pędu.
Rozważmy zachowanie pędu w kierunku i. Całkowity pęd w kierunku
i w objętości V wynosi
y
%ui dV.
V
Składowa i pędu w objętości V rośnie w czasie dzięki działaniu siły
zewnętrznej F w kierunku i oraz konwekcji pędu:
{
y F
i
% dV − h%vi vi · dS,
m
S
V
co prowadzi do równania:
y F
{
∂ y
i
%ui dV =
% dV − h%vi vi · dS.
∂t
m
V
V
S
Ponownie korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego dla ostatniej
całki otrzymujemy relację:
∂(%ui )
Fi
= % − ∇ · h%vi vi.
∂t
m
Zauważmy, że:
hvi vj i = h(vi − ui )(vj − uj )i + hvi iuj + ui hvj i − ui uj = h(vi − ui )(vj − uj )i + ui uj
Definiując tensor ciśnienia Pij = %h(vi − ui )(vj − uj )i i przepisując równanie
na postać wektorową otrzymujemy:
%
∂(%u)
= F − ∇ · (P̂ + %uu)
∂t
m
1.3.
Twierdzenie o zachowaniu.
Twierdzenie o zachowaniu orzeka, że jeżeli χ jest dowolną wielkością
zachowaną, to zachodzi
∂
∂χ
n
∂χ
n ∂Fi
∂
hnχi +
hnvi χi − n vi
−
Fi
−
χ = 0,
∂t
∂xi
∂xi
m
∂vi
m ∂vi
R
gdzie n(r, t) = f (r, v, t)d3 v, f – funkcja rozkładu. Jeśli założymy, że siły
zewnętrzne nie zależą od prędkości, to ostatni wyraz możemy pominąć. Przy
takich oznaczeniach oczywiście %(r, t) = mn(r, t).
Twierdzenie o zachowaniu wynika wprost z równania kinetycznego
Boltzmanna. Jeśli pomnożymy obie strony tego równania przez χ i scałkujemy
po v otrzymamy
Z
Z
∂
1
∂
∂f
∂
d3 vχ(r, v)
+ vi
+ Fi
f (r, v) = d3 vχ
.
∂t
∂xi
m ∂vi
∂t zderz
Jednakże z definicji całki zderzeń
Z
Z
Z
Z
∂f
= d3 v1 d3 v2 dΩσ(Ω)|v2 − v1 |χ1 (f10 f20 − f2 f1 ).
d3 vχ
∂t zderz
Całka ta nie ulegnie zmianie, jeśli w funkcji podcałkowej przestawimy v1 i v2
ponieważ przekrój czynny σ(Ω) jest niezmienniczy względem tego
przestawienia. Nie ulegnie zmianie również przy przestawieniu v1 ↔ v10 ,
v2 ↔ v20 .
Dodając tak otrzymane całki i dzieląc wynik przez 4 dostajemy:
Z
∂f
3
=
d vχ
∂t zderz
Z
Z
Z
1
d3 v1 d3 v2 dΩσ(Ω)|v1 − v2 |(f10 f20 − f2 f1 )(χ1 + χ2 − χ01 − χ02 ) ≡ 0.
=
4
Zatem
Z
Z
Z
Z
∂
∂
∂χ
1
∂
3
3
3
3
d vχf +
d vχvi f − d v
vi f +
d v
(χFi f )+
∂t
∂xi
∂xi
m
∂vi
Z
Z
1
∂χ
1
∂Fi
3
3
−
d v
Fi f −
d vχ
f =0
m
∂vi
m
∂vi
Czwarty wyraz znika, jeśli założymy znikanie f (r, v, t) przy |v| → ∞.
Definiując wartość średnią
R 3
Z
d vAf
1
hAi = R 3
=
d3 vAf
n
d vf
otrzymujemy poszukiwane twierdzenie o zachowaniu.
1.4.
Zachowanie energii.
Dla odmiany równanie opisujące zasadę zachowania energii wyprowadzimy
z twierdzenia o zachowaniu. W tym celu weźmy χ = 12 m|v − u|2 , co
odpowiada energii kinetycznej ruchu cieplnego. Wtedy
1 ∂
1 ∂
1
∂
2
2
h%|v − u| i +
h%vi |v − u| i − % vi
|v − u|2 = 0.
2 ∂t
2 ∂xi
2
∂xi
Zdefiniujemy temperaturę kT ≡ θ = 31 mh|v − u|2 i i gęstość strumienia
cieplnego jako q = 21 m%h(v − u)|v − u|2 i. Mamy wtedy
1
1
1
3
m%hvi |v − v|2 i = m%h(vi − ui )|v − u|2 i + m%ui h|v − u|2 i = qi + %θui
2
2
2
2
i
%hvi (vj − uj )i = %h(vi − ui )(vj − uj )i + %ui hvj − uj i = Pij .
Zatem równanie na zachowanie energii możemy zapisać jako
3 ∂
∂qi
3 ∂
∂uj
(%θ) +
+
(%θui ) + mPij
= 0.
2 ∂t
∂xi
2 ∂xi
∂xi
Ponieważ Pij = Pji
mPij
Zauważając, że
∂(%θ)
∂t
∂uj
m
= Pij
∂xi
2
+ u · ∇(%θ) =
∂uj
∂ui
+
∂xi
∂xj
d(%θ)
dt
≡ Pji Λij .
możemy ostatecznie zapisać
d(%θ)
2
2
= − ∇ · q − P̂ : Λ̂ − %θ∇ · u
dt
3
3
2.
Równanie Naviera-Stokesa
Zakładając, że rozważany ośrodek (płyn) jest izotropowy, tak że nie ma
różnicy między osiami x1 , x2 , x3 , powinno być P11 = P22 = P33 ≡ p, gdzie
p jest z definicji ciśnieniem hydrostatycznym. Stąd ogólnie P̂ można zapisać
jako:
P̂ = pIˆ + P̂ 0 ,
gdzie P̂ 0 jest tensorem bezśladowym.
Wprowadzimy teraz do P̂ 0 empiryczny związek między siłą ścinającą
działającą na element płynu i szybkością odkształcania tego elementu. Siła
ścinająca F 0 na jednostkę powierzchni, działająca równolegle do ściany
sześcianu płynu, dąży do rozciągnięcia sześcianu w równoległościan
z szybkością odpowiadającą F 0 = µ dϕ
dt , gdzie µ jest współczynnikiem lepkości.
0
na określony element cieczy:
Rozważmy teraz wpływ P12
dϕ
dϕ
∂u
∂u
1
2
2
1
0
P12
= −µ
+
= −µ
+
.
dt
dt
∂x1
∂x2
W ogólnym wypadku mamy
Pij0 = −µ
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
, i 6= j.
Aby tensor P̂ 0 był bezśladowy, musimy przyjąć, że
∂ui
∂uj
2
Pij0 = −µ
+
− δij ∇ · u ≡ −µÛ ,
∂xj
∂xi
3
gdzie Û to tensor Naviera-Stokesa. Możemy teraz zapisać ogólnie równanie
ruchu dla cieczy ściśliwej:
∂(%u)
%
= F − ∇ · (%uu + pIˆ − µÛ )
∂t
m
d%
dt
Aby otrzymać równanie cieczy nieściśliwej, musimy położyć
= ∂%
∂t + u∇% = 0. Wtedy równanie ciągłości
∂%
∂%
+ ∇ · (%u) =
+ u∇% +%∇ · u = 0,
∂t
|∂t {z }
=0
co implikuje ∇ · u = 0.
Przy założeniu nieściśliwości, dywergencja tensora Naviera-Stokesa
2
2
∂
∂ui
∂uj
∂ ui
∂ uj
∇ · Û =
+
=
+
= ∇2 u,
2
∂xi ∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
∂xi
a dywergencja diady %uu
∇ · (%uu) =
∂
∂ui
∂(%uj )
+ui
(%ui uj ) = %uj
= (u · ∇)(%u),
∂xi
∂x
∂xi
| {z i}
=0
oraz oczywiście
∂p
∂
ˆ
∇ · (pI) =
(pδij ) = δij
= ∇p.
∂xi
∂xi
Uwzględniając powyższe relacje można zapisać
%
∂(%u)
+ (u · ∇)(%u) = F − ∇p + µ∇2 u
∂t
m
i równanie Naviera-Stokesa dla płynu nieściśliwego przybiera postać
du
F
1
µ
=
− ∇p + ∇2 u.
dt
m %
%
Bibliografia
[1] Mechanika statystyczna – K. Huang
[2] Metody obliczeniowe fizyki – D. Potter
[3] Podstawy mechaniki płynów – R. Gryboś