Pobierz

Solidification of Metais and Alloys, No.30, 1997
Krzepnięcie Metali i Stopów, Nr 30, 1997
PAN- Oddział Katowice; PL ISSN 0208-9386
Ewa MAJCHRZAK'. Ewa LADYGA " . Jerzy MENDAKIEWICZ ...
MODELOWANIE KRZEPNIĘCIA ODLEWÓW O GEOMETRII
KULISTEJ Z WYKORZYSTANIEMKOMBINOWANEJ METODY
ELEMENTÓW BRZEGOWYCH
W pracy pokazano możliwości przek szt ałcenia kombinowanego wariantu metod y elementów
brzegowyc h dla nieustalonej dyfuzji i obszarów zorientowanych we współrzędnych pro s tokątn ych
w ten s posób. aby można było w y korzystać ten algorytm do obliczeń przepływu ciepła w obszarach
o geome trii kulistej . Rozważano przy tym zagadnienie jednowymiarowe. tzn. kulę o jednorodnyc h
warunkach brzegowych na jej powierzchni, co jest najczęściej spotykanym w praktyce
przypadkiem . Do mod e low a nia krzep nięcia wykorzystano uogólnioną metodę korygowania pola
temperatury. W ko11cowt:j częśc i pracy przt:dstawiono wyniki sy mulacji numeryczn ych krzepnięcia
s ta liwnego od lewu kuli s tego w piasko wej masie formierskiej.
L WPROWADZENIE
Metoda e lementów brzegowych jest jedną z najbardziej efektywnych i dokmetod stosowanych w numerycznym modelowaniu dyfuzji ciepła i masy.
Może być o na wykorzystana zarówno do obliczeń ustalonych pól temperatury w
obszarach o złożonej geometrii, jak również do rozwiązywania zadań nieustalonych . Z matematycznego punktu widzenia problem nieustalonej dyfuzji (a
taka ma miejsce w przypadku analizy procesów cieplnych w układzie odlewforma-otoczenie) opisany jest równaniem lub równaniami energii i odpowiednimi
warunkami brzegowo-początkowymi. W metodzie elementów brzegowych
wyjściowy model matematyczny przekształca się do równania całkowego (a w
przypadku obszarów niejednorodnych do układu równar1 całkowych).
Wykorzystuje s ię w tym celu tzw. kryterium metody odchyłek ważonych [l , 2,
4, 71. G raniczna postać równania całkowego nazywa się brzegowym równaniem
całk owy m . Na podstawie równania brzegowego można wyznaczyć " brakujące "
wartości brzegowe (temperatury tam , gdzie zadany był strumień ciepła i
strumienie ciepła tam, gdzie zadane były temperatury). W kor'lcowym etapie
realizacji algorytmu, gdy znane są graniczne temperatury i strumienie ciepła
ładn yc h
rror dr hah. in ż. - rolitechnika Ś ląska
mgr - Politechnika Częstoc how s ka
dr in i-. - l'o litcchnika Śląska
156
Ewa Majchrzak, Ewa
Ładyga,
Jerzy Mendakiewicz
wyznacza się rozkład temperatury we wnętrzu obszaru (podobszarów).
W przypadku zadat1 nieustalonej dyfuzji istnieje kilka wariantów metody
elementów brzegowych , a w szczególności
pierwszy schemat MEB [l, 4 ],
drugi schemat MEB (1 , 4],
wariant kombinowany metody elementów brzegowych (BEM usmg
discretization in time) [l, 2, 9],
metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady
wzajemności [8] .
Wymieni o ne wyżej algorytmy dostosowane są do obliczeń w obszarach
zorientowanych w układzie kartezjańskim. Transformacja pierwszego lub
drugiego schematu MEB do geometrii kulistej jest w zasadzie możliwa
(wykorzystuje się tutaj tzw. rozwiązanie fundamentalne dla zadań 30 [L 5]), al e
p o dej ś cie takie jest bardzo złożone zarówno od strony matematycznej jak i
numerycznej i nie może być zastosowane w przypadku metody kombinowanej .
Podstawy teoretyczne metody elementów brzegowych z dyskretyzacją czasu
s formułowali Curran, Cross i Lewis w pracy (2] cytowanej następnie w znanej
monografii Brebii, Tellesa i Wrabia [1]. Metoda była również omawiana w
monografii Sicberta [9], natomiast w kraju prowadzono w ramach projektu
badawczego 3 P404 03 8 07 intensywne badania w zakresie różnorodnych
za s tosowań metody kombinowanej, między innymi z udziałem autorów
niniejszego artykułu . Uzyskane w ramach tych prac doświadczenia pokazują, że
metoda kombinowana jest bardzo efektywna i dokładna, a przy tym istotnie
prostsza od innych odmian MEB .
W prezentowanej pracy zostaną pokazane możliwości wykorzystania metody
kombinowanej w termodynamice procesów odlewniczych, a w szczególności do
symulacji numerycznej krzepnięcia odlewów o geometrii kulistej.
2. MEB Z
OVSKRETVZACJĄ
CZASU
Rozważać
będziemy
problem brzegowo-początkowy
wymiarowym równaniem energii dla pól źródłowych
X ED:
aT(x, t)
at
optsany
jedno-
(l )
gdzie a=A.Ic p jest współczynnikiem dyfuzji (Ą- przewodność cieplna, c - ciepło
właściwe, p - gęstość masy), qv jest wydajnością wewnętrznych źródeł ciepła, T,
x, 1 oznaczają temperaturę, współrzędną geometryczną i czas.
Na zewnętrznej powierzchni obszaru zadany jest warunek brzegowy, który
można zapisać w postaci
Modelowanie krzep. odlewów o geom. kulistej z
~ryk
a r~:
t)]
ct> [T(x,
t) ;
lwmb. m etody elem.
skończ.
157
(2)
0
natomiast dla t =O
(3)
T (x, 0) = T0 (x)
Do
rozw ażar'1
wprowadzam y
0 =t
O
< t
1
siatkę
czasu
< . .. < t f < t f + l < ... < t F <
(4 )
oo
przy czym ó.t=t t+ 1 - t 1 j est krokiem czasu .
W najprostszej wersji metody kombinowanej równanie różniczkowe (l) dla
przej śc i a t 1 ~ t f + l zapi suje s ię w postaci
T(x , t f +l) - T(x, tf)
/).t
=a
o2 T(x, tf+l)
ax 2
+
qv
(S)
cp
lub
.a2 T(x, t f +l )
ox 2
Kryterium metody
równ ani a
l
l
qv
- - T(x, tf+I) + - - T(x, tf) +
a!:lt
a!:lt
o d c hyłek ważonych
[l , 2, 4, 7] prowadzi do
0
(6)
A
następującego
(7 )
gdzi e L j est grubo ś cią płyty , natomiast T ' (Ę, , x) jest rozwiązaniem
fundamentalnym i dl a rozpatrywanego problemu jest to funkcja postaci
- -Jat::.t
- exp ( T * (l:., , x ) _
2
przy czym
Ę, E
(8)
Ja!H
(0, L) jest pewnym punktem z obszaru D.
fundamentalne spełnia następujące równania
M o żna pokazać, że rozwiązanie
ró żniczkowe
lx - ~ 1)
158
Ładyga,
Ewa Majchrzak, Ewa
1
- -
a A. t
gdzie 8 (x-Ę,) jest
funkcją
Jerzy Mendakiewicz
T*(Ę,
x)
(9)
-&(x - O
delta Oiraca.
z rozwiązania fundamentalnego wynosi
Strumień ciepła wynikający
q
·c~,
x)
= -A.
ar·c~,
x) = A.sgn(x - 0
ax
exp(-
lx - Ę
l)
(10)
JaA.t
2
Całkując
dwukrotnie przez części pierwszy składnik równania (7) i wykorzystując
rozwiązania fundamentalnego otrzymuje się następującą postać
kryterium metody odchyłek ważonych
własności
(l l)
gd z ie
L
1
-- jT*(Ę,
p(O
a/::;" t
( 12)
x)T(x, tf)dx
0
oraz
L
z( O
Dla
Jqv T* (C x)dx
A. o
(13)
= _!_
Ę, ~
zapisać
O' oraz Ę, ~ L otrzymujemy układ równań brzegowych, który można
w postaci macierzowej
l
g 11 g 12] q (O' t f . l) = h" h 12
g 21 g 22
q(L, tf'
1)
h 21 h 22
T (O' t f . l)
T(L, tf+l)
przy czym
-
-
g 11 - - g22 - -
[[:i
r=l:
2yA.c
g12 =
- g21 =
+l p (O) l +l z (O) l (14)
p(L)
z(L)
_L_)
[[:i exp( 2/):C
Ja!:!.t
(15)
Modelowanie knep. odlewów o geom. kulistej z wyk kom b. metody elem . skończ.
159
natomiast
h 12 =h2 l
=_2!_ exp(--Ll
va
r:::-A:
( 16)
11 t
Układ ró w nań
( 14) pozwa la wyznaczyć " brakujące" wartości brzegowe dl a x=O
i x=L. W drugim etapie realizacji algorytmu na podstawie rów nania (II )
wyznacza s i ę pole temperatury w zb iorze punktów we w nętrzn ych ~E(O, L) dla
chwil i 1 1+ 1 • N a leży podkreś l ić, że całk i (12) i ( 13 ) wyznacza się metodarn i
numerycznymi dzieląc przedział [0, L] na n elementów wewnętrznych -jak na
rys . ·J.
3. METODA KOMBINOWANA DLA OBSZARÓW SFERYCZNYCH
Al go rytm opisan y w rozdziale poprzednim zostanie wykorzystany do obliczer1
num erycznych nieustalonego pola temperatury w obszarach sferycznych .
Równanie dyfuzji ciepła dla takiej geometrii jest następujące
x ED:
2a aT(x, t)
aT(x, t)
ar
X
( 17)
ax
Ostatni s kładnik tego równania potraktujemy formalnie jako wydajność źró deł
w ewnętrz n ych w równ aniu (l), czyli
qv
Wynika
s tąd, że wartość z(~ )
=
L
f
(l 8)
ax
X
(por. równanie (13))
z( O =
określona
~ aT(x, t) T*(C x)dx
O• , X
i dla
2 A. aT(x, t)
jest wzorem
( 19)
ax
przejścia 1 1 ~ t f+l można założyć, że
z(O =
f
L
0 +,
f t
~ aT(x, t • ) T*(C x)dx
X
ax
(20)
W tym mieJscu należy wyjaśnić dwa problemy. Funkcje podcałkowe we
wzorach ( 19) i (20) s ą osobliwe dla x=O. Tak więc, w realizacji numerycznej
będziemy rozpatrywać ściankę kulistą, której promień wewnętrzny jest bardzo
mały w porównaniu z promieniem zewnętrznym. Na sztucznie wprowadzonej
160
Ewa Majchrzak, Ewa Ladyga, Jerzy Mendaldewicz
powierzchni wewnętrznej założymy warunek adiabatyczny (zerowanie s1ę
pochodnej oT/ox).
/ T ( x i ,t)
T(x,_,,
t)/ i
L
O+E
••--·--···········•
+
+
......... ..--·--·
Rys . l . Podzial na elementy wewnętrzne
Fig. l . Division into interna! cells
Lokalne wartości oT(x, t)lox (całkę (20) zastępujemy sumą całek po kolejnych
elementach wewnętrznych) przybliżamy wartościami odpowiadającymi l 1' 1
poziomowi czasu i dla liniowych elementów wewnętrznych (co oznacza liniową
aproksymację temperatury na elemencie - por. rys. l) mamy
n
z(
O
tf•I) - T(x
j - l'
x .- x.
J
Obliczenie z
(Ę,)
J- 1
f
tf+l)xi
2:_ T • (C x) dx
(21)
X
XI - l
wymaga zastosowania pewnej procedury iteracyjnej dla
W pierwszym jej kroku wyznacza się pole temperatury w
chwili , ,. , przy założeniu, że pochodna oT(x, t)lox odpowiada chwili t=t 1 . Po
wyznaczeniu rozkładu dla t=t 1• 1 powtarza się obliczenia z nową wartością z(Ę,).
Proces ten kontynuuje się do uzyskania żądanej dokładności. Jak pokazują
obliczenia testujące, iteracje są szybko zbieżne, a nawet (co było pewną
niespodzianką dla autorów pracy) bardzo dobre wyniki uzyskuje się biorąc
wartości pochodnej 87' (x, t)lox z chwili t=t 1, czyli rezygnując z procesu
iteracyjnego.
W celu sprawdzenia poprawnosc1 zaproponowanej metody obliczeniowej
rozwiązano między innymi następujące zadanie. Kula o promieniu 0 . 1[mJ
wykonana z materiału, którego współczynnik dyfuzji wynosi a=7.179·1 o-6 [m 2/s],
a temperatura początkowa T0 (x)=O o C, nagrzewa się na skutek przyłożenia na jej
powierzchni temperatury brzegowej T (0.1, t)= l 00° C. Zadanie takie ma
rozwiązanie dokładne cytowane między innymi w [3]. Obszar kuli podzielono na
20 elementów wewnętrznych. Obliczenia prowadzono z krokiem czasu f11-=2 .5[s].
Środek kuli zaizolowano powłoką o promieniu \0- 8 [m]. Na rys. 2 linią.ciągłą
zaznaczono krzywe nagrzewania wynikające z rozwiązania dokładnego, a
symbolami rozwiązanie przybliżone dla punktu leżącego w pobliżu środka kuli
przejścia 11 ~ 1 1+
1
•
Modelowanie krzep. odlewów o geom. kulistej z »yk komb. metody elem. sko1icz.
161
i w pobliżu jej powierzchni zewnętrznej . Uzyskano bardzo dobrą zgodność ob u
rozwiązań.
0~~~--~------~--------+-------~------~
o
2
6
s
to t [min]
Rys. 2. Krzywe nagrze wania
Fig. 2. Thc heating curves
4. METODA KOREKTY POLA TEMPERATVRY
Rozważać będziemy materiał, którego pojemność cieplna odniesiona do
jednostki objętości C(T)= c(T)p(T) została przybliżona przez pewną funkcję typu
schodkowego, czyli C(T)=C", dla Bm< T<Bm+l· Tak więc, interwał temperatury
[temperatura otoczenia, temperatura zalewania] został podzielony na przedziały
odpowiadające kolejnym wartościom C", (por. rys. 3).
Rozważać będziemy wyróżniony punkt x 0 z obszaru elementu wewnętrznego
(objętości kontrolnej) V0 . Założymy, że rozważany jest proces stygnięcia i w
punkcie x 0 temperatura obniżyła się od T/ do Tt 1 - rys. 4, przy czym obliczenia
były prowadzone przy założeniu, że pojemność cieplna materiału jest stała i
odpowiada wartości C (T)=C 0 (ciepło właściwe fazy ciekłej).
162
Ewa Majchrzak, Ewa
Ładyga,
Jerzy Mendakiewicz
- - -0 - - - - B o
-
------Bm
faza bazowa
------B,
- - - - -- - 82
~ fazam
Bm+1
-------Bm
m
faza aktualna
- - - - - - - B m+ l
m+1
Llm+2
<::= faza m+1
Bm+2
- - - - - - - Bm+2
~
fazam+2
Bm+3
M
Rys . 4. Przejście f~ f+ l
Fig. 4. The transition f~ f+ l
Rys. 3. Pod zial
Fig . 3. Division
Algorytm korygowania pola temperatury [4, 6] jest
ó. m = C m (T.f
O
następujący.
Oznaczymy
- Bm.._l )
ó. m + l = ó. m +Cm+l (Bm -• 1 - B m +2 )
(22)
ó. m +2 = ó. m +l +Cm +2 (Bm •2 -Bm +3 )
gdzie B",, B",, 1 , B",. 2 ,
•••
są temperaturami ograniczającymi kolejne ' fazy' .
Jeżcli
(23)
to wyznaczoną wartość temperatury
tf•l
o
T/
1
korygujemy zgodnie z równaniem
c
c
= T/ _ ___Q_(T.f - r.!• I)
o
o
o
(24)
m
W przypadku
(25)
skorygowana wartość temperatury wynika z zależności
Modelowanie krzep. odlewów o geom. kulistej z wyk komb. metody elem. skolzcz.
Co(T/
() - r,f•t)
o
163
(26)
s kąd
B
m• l
+~
C
m+ l
_
(27)
__!i_(To!- Tot•t)
C
m+l
Jeżcli
11
m• l
<
c (r,f O
O
r,f
O
+l)
< 11
(28)
m•2
to
Co(T/. o T.!·
o l)
!J. m + C m+! (B m + l -Bm+2 ) + C m•2 (B m+2
- t!:O
1
)
(29)
czyli
Tof • I
B
m •2
+~
C
m +2
+ Cm·!(B
C
m +2
m+l
-B
m +2
) - __!i_(Tf - r,f•I) (30)
C
O
O
m +2
Analogiczne formuły można wyprowadzić również dla dalszych przejść, ale
tak dużych zman temperatury należy unikać ze względu na dokładność rozwią­
zania numerycznego. Poprawność metody korygowania pola temperatury zgodnie
z wyżej przedstawionym algorytmem została wykazana m. in. w pracy [4].
W termodynamice procesów odlewniczych jeśli rozważa się makroskopowy
model krzepnięcia stopów, w których występuje strefa dwufazowa, to z reguły
sto suje s i ę opis matematyczny, w którym występuje zastępcza pojemność cieplna
materiału (fixed domain method) [l 0]. W takim przypadku faza najcieplejsza
odpowiada fazie ciekłej, faza najzimniejsza- fazie stałej, natomiast w obszarze
strefy przejściowej możemy wyróżnić umownie jedną lub więcej faz o stałych
wart o ściach zastępczych pojemności cieplnych.
5. PRZYKŁAD OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Przykładem
praktycznych zastosowań metody może być symulacja krzepnięcia
odlewu staliwnego w kształcie kuli o promieniu Scm. Odlew wytwarzany jest w
1
masie formierskiej o następujących parametrach A.= l .2[W/mK] , p= l 750[kg/ m ] ,
c= IOOO[J / kgK]. Grubość formy wynosi 5 cm, jej temperatura początkowa jest
równa temperaturze otoczenia i wynosi 20"C. Parametry termofizyczne materiału
odlewu odpowiadają własno ś ciom staliwa węglowego o zawartości 0.44%C, tem-
164
Ewa Majcluzak, Ewa
Ładyga,
Jerzy Merulakiewicz
peratura zalewania T:at = 1550 o C, temperatury graniczne wynoszą T1 = 14 70 °C,
7~.= 1505 "C - na rys . 5 pokazano krzywe stygnięcia. Oznaczenia l, 2, 3, 4, 5
odpowiadają współrzędnym promieniowym l o-s, 1.25, 2.5, 3.75 i 5cm.
Rys. 5. Krzywo.: stygnic;cia
Fig. 5. Cooling c urvcs
Układ rozwiązujący
dla niejednorodnego obszaru odlewu i formy zbudowano
poprzez połączenie układów dla poszczególnych obszarów, przy czym elementem
sprzęgającym te układy jest warunek ciągłości strumienia ciepła i temperatury na
styk u podobszarów. Podejście takie zostało szczegółowo opisane w pracy [4].
Obszar odlewu podzielono na 20 liniowych elementów wewnętrznych o stałej
długości, natomiast obszar formy na 60 elementów. Proporcje te wynikają z
potrzeby doboru właściwego dla obu podobszarów kroku czasu tzn. kroku
zapewniającego odpowiednią dokładność rozwiązania numerycznego. Badania
pokazały, że podobnie jak w klasycznych algorytmach MEB, powinna być
zachowana równ ość
(3 l)
Modelowanie krzep. odlewów o geom. kulistej z wyk komb. metody elem. sko1icz.
165
gdzie f.1 a1 są współczynnikami dyfuzji dla odlewu (a ściślej: dla fazy ciekłej)
i masy formierskiej, natomiast h" i h, - długościami elementów wewnętrznych w
obu podobszarach. Przybliżone spełnienie relacji (31) zapewnia, że krok czasu
optymalny dla obszaru odlewu będzie również korzystny dla obszaru formy .
Na rys . 6 pokazano sumaryczny udział fazy stałej w krzepnącym odlewie.
11
,
10
0. 8
0 .6
O. <
0 .2
0.0
l
l
/
V
V
/
V
1--
l
o
60
120
180
2<0
Joot[s)
Rys. 6. Ud z iał fazy stalej
Fig. 6. Solid fraction
Uzys kano dwa potwi erdzenia poprawności prezentowanego rozwiązania. Czas
odlewu staliwnego o module M wytwarzanego w piaskowej masie
formierskiej obliczony wg ogólnie znanego wzoru t.,=M 2!e, przy czym k=0.686
wynosi ok . 6 minut i jest bliski otrzymanemu czasowi krzepnięcia, a dodatkowo
rozwiązanie uzyskane metodą różnic skOJ1czonych dla obszarów kulistych jest
podobne do prezentowanego .
krzepnięcia
Pracę
wykonano w ramach Projektów Badawczych Nr 7 T08D 035 09 oraz
8 T l l F 004 l l .
166
Ewa Majchrzak, Ewa
Ładyga,
Jerzy Mendakiewicz
LITERATURA
[l]
[2]
131
141
151
161
[7]
llll
191
1101
!3rebbia C.A., Telles .I.C.F, Wrobel L.C.. Boundary f::lements Teehniqucs. SpringcrVerlag. Berlin. Ne>\ York. Tok yo . 1984
C urran D .A.S .. C ross M .. Lewis B.A .. Solution of Parabolie Dilferential Equations by
the BEM Using Disereti zation in Time, Appl. Math . Modelling, 4, s. 3<.JX-400
Kącki E .. Równania różniczkowe c zą s tkowe w zagadnieniach lizyki i techniki . WNT,
Warszawa, 1995
Maj e luza k E .. Zas tosowanie metody elementów brzegowych w termodynamic<.: procesów
odlewniczych. Wyd. Pol. Śl.. Mechanika. l 02, Gliwice, 1991
Majchrzak E .. Mochnacki 13 .. Raport końcowy z realizacji Projeklll Badawcz<.:go Nr 1
3623 91 02. Modelowanie dyfuzji ciepla i masy w objt;tości wlewków wytwarzany ch
m<.:to lh\ ciąglą i we wlewnicach, 1993 (nic publikowany)
Majchrza k E. , Mochnacki B .. Thc BEM Application for Numcrical Solution of Non Steady and Non lincar Thennal Diffusion Problcms. Co mputcr As s istcd Mcchani cs and
Lng in cc rin g Scie nc<.: s, 3. 1996, s. 327-346
Mochnacki IL S uch y .I.S ., Numerical Mcthods in Computations of foumlry l'rocesscs.
I'FTA , C racow . 1995
Nowak /\..1 .. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady
wzaj e mno ści. Wyd. l'ol. Śl.. Energetyka. 116, Gliwice. 1993
Sic h..:rl W .. Bcr<.:chnung von lnstationarcn thermischen Prohl c mcn mittcls d..:r
Randclcmentmcthnd c. T ec hni sc h..:n f'akultat der Universital Erl a ngen . Erlangcn. I'JX'J
Vollcr V.R .. Rcccnt Dcvc lopmcnts in !he Modeliing of Solidiłication l'roccsscs.
Co mputational Modeliing of Frcc and Moving Bounda1y Problcm s. Computational
Mcchanic s Publications. l')') l . s. 3-21
Fwa Maj eluzak
hva Lady ga
J..:rzy Mcndakicwicz
MODELLING OF SPHERICAL CASTING SOLIDIFICATION
USING THE COMBINED VARIANT OF THE BEM
Summary
In the pap<.:r th<.: poss ihilitics o f thc combined va riant o f the BEM transition for non-s tcauy h..:at
uiffusion prohlcms conccrn in g thc sp hcri ca l geometry are consiucrcd. Thc l D spheri ca l gcommctry
is tak en in to account bccausc thc big number o f problem s appearing in praclice is f(Jrmulated lór
thc homogcn.::ous bou nd ary condition . Thc so lidification mod e l is co nstructcd o n thc basisof thc
algorithm callcd thc tempnaturc łi<.:ld corrcction method. As an examplc of ap plications, in thc
fina l part o f th .:: paper th e so lidifica ti o n o f cast sie c i spcrical casting is anal y;.ed .