2.12. Dziewczynka ciągnie sanki

2.12.Dziewczynkaci¦gniesanki
Dziewczynka ciągnie sanki o masie 20 kg po páaskim zaĞnieĪonym chodniku. PrĊdkoĞü sanek
jest staáa. Wspóáczynnik tarcia dynamicznego miĊdzy páozami a chodnikiem wynosi 0,1;
kąt pomiĊdzy sznurkiem a chodnikiem wynosi 30°. Wyznacz:
1) przyspieszenie sanek,
2) wartoĞü siáy, którą dziewczynka dziaáa na sanki,
3) wartoĞü siáy nacisku, którą sanki dziaáają na chodnik,
4) wartoĞü siáy tarcia dziaáającej na sanki.
Zapis danych
m = 20 kg
masa sanek,
݂ௗ = 0,1
wspóáczynnik tarcia dynamicznego miĊdzy páozami a chodnikiem,
ij = 30°
kąt pomiĊdzy sznurkiem a chodnikiem,
a = ? (m s-2) przyspieszenie sanek,
T = ? (N)
wartoĞü siáy, którą dziewczynka dziaáa na sanki,
N = ? (N)
wartoĞü siáy nacisku sanek na chodnik,
FT = ? (N) wartoĞü siáy tarcia dziaáającej na sanki.
PodpowiedĨ 1
Zastanów siĊ, co oznacza warunek staáej prĊdkoĞci jakie to ma konsekwencje, jeĞli chodzi
o przyspieszenie (a wiĊc i siáĊ wypadkową). Naszkicuj ilustracjĊ, zaznaczając na niej
wszystkie siáy dziaáające na sanki. Wykorzystaj 2. zasadĊ dynamiki Newtona (Ȉ‫ܨ‬Ԧ = mܽԦ )
i napisz równanie ruchu dla sanek.
ROZWIĄZANIE
Przyspieszenie sanek:
PoniewaĪ prĊdkoĞü sanek jest staáa, ich przyspieszenie wynosi zero (ܽԦ = 0).
44
Siáy dziaáające na sanki:
ሬሬሬሬԦ
‫ ீܨ‬siáa ciĊĪkoĞci,
ሬԦ siáa reakcji, którą chodnik dziaáa na sanki,
ܰ
ሬԦ poszukiwana siáa ciągu, z jaką dziewczynka ciągnie sanki,
ܶ
ሬሬሬሬԦ் siáa tarcia pomiĊdzy sankami a chodnikiem.
‫ܨ‬
Równanie ruchu dla sanek:
ሬԦ ൅ ܶ
ሬԦ ൅ ‫ܨ‬
ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ் ൌ ݉ܽԦ ൌ ͲǤ
‫ ீܨ‬൅ ܰ
PodpowiedĨ 2
(1)
Równanie ruchu powinniĞmy zapisaü skalarnie. WprowadĨmy ukáad wspóárzĊdnych, znajdĨmy
skáadowe siá w kierunkach osi ukáadu i zapiszmy dla tych skáadowych równania ruchu.
ROZWIĄZANIE
OĞ x przyjmiemy zgodnie z kierunkiem ruchu, a oĞ y prostopadle do podáoĪa.
Dla skáadowych wzdáuĪ osi x:
ܶ …‘• ߮ െ ‫ ்ܨ‬ൌ ͲǤ
(2)
Dla skáadowych wzdáuĪ osi y:
ܰ ൅ ܶ •‹ ߮ െ‫ ீܨ‬ൌ ͲǤ
(3)
Uwaga: Wybór osi i ich zwrotów jest w duĪej mierze dowolny.
PodpowiedĨ 3
Zastanów siĊ, od czego zaleĪy wartoĞü siáy ciągu i jak moĪemy ją wyznaczyü. JeĪeli ruch jest
jednostajny, siáa ta musi równowaĪyü siáĊ tarcia (pamiĊtaj tylko, Īe siáa ciągu dziaáa
pod pewnym kątem do poziomu!).
45
ROZWIĄZANIE
SiáĊ tarcia wyznaczymy na podstawie siáy nacisku sanek na chodnik, która zgodnie z 3.
zasadą dynamiki Newtona jest równa sile reakcji chodnika na sanki.
SiáĊ tarcia Ft moĪemy wiĊc zapisaü jako:
‫ ்ܨ‬ൌ ݂ܰௗ Ǥ
(4)
SiáĊ N reakcji chodnika na sanki, otrzymamy z równania (3):
ܰ ൌ ݉݃ െ ܶ •‹ ߮Ǥ
Z równaĔ (4) i (5) uzyskamy:
(5)
‫ ்ܨ‬ൌ ݂ௗ ሺ݉݃ െ ܶ •‹ ߮ሻǤ
(6)
WielkoĞü (6) podstawiamy do równania (2):
ܶ …‘• ߮ െ ݂ௗ ሺ݉݃ െ ܶ •‹ ߮ሻ ൌ Ͳǡ
ܶ …‘• ߮ െ ݂ௗ ݉݃ ൅ ݂ௗ ܶ •‹ ߮ ൌ Ͳǡ
ܶሺ…‘• ߮ ൅ ݂ௗ •‹ ߮ሻ െ ݂ௗ ݉݃ ൌ ͲǤ
(7)
Z równania (7) pozostaje juĪ tylko wyraziü siáĊ ciągu:
ܶൌ
௠௚௙೏
ୡ୭ୱ ఝା௙೏ ୱ୧୬ ఝ
.
(8)
PodpowiedĨ 4
Siáa, którą sanki naciskają na chodnik, jest zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona równa sile,
którą chodnik dziaáa na sanki. WartoĞü siáy N, którą chodnik dziaáa na sanki, zostaáa juĪ
okreĞlona w równaniu (5):
ܰ ൌ ݉݃ െ ܶ •‹ ߮Ǥ
Trzeba jeszcze podstawiü wyraĪenie na siáĊ ciągu.
ROZWIĄZANIE
Siáa N, którą chodnik dziaáa na sanki, jest okreĞlona równaniem (5):
ܰ ൌ ݉݃ െ ܶ •‹ ߮Ǥ
Podstawimy za T wyraĪenie (8), otrzymując:
ܰ ൌ ݉݃ െ
݉݃ ቀ
ଵ
ଵା௙೏ ୲ୟ୬ ఝ
௠௚௙೏
ୡ୭ୱ ఝା௙೏ ୱ୧୬ ఝ
ቁǤ
•‹ ߮ ൌ ݉݃ ቀͳ െ
௙೏ ୱ୧୬ ఝ
ୡ୭ୱ ఝା௙೏ ୱ୧୬ ఝ
ቁ ൌ ݉݃ ቀ
ୡ୭ୱ ఝ
ୡ୭ୱ ఝା௙೏ ୱ୧୬ ఝ
ቁൌ
(9)
PodpowiedĨ 5: WartoĞü siáy tarcia FT zostaáa juĪ okreĞlona wzorem (4):
‫ ்ܨ‬ൌ ݂ܰௗ Ǥ
Wystarczy podstawiü wyraĪenie na siáĊ nacisku.
ROZWIĄZANIE
SiáĊ tarcia Ft okreĞlamy wzorem (4):‫ ்ܨ‬ൌ ݂ܰௗ Ǥ
Podstawmy do równania (4) za N wyraĪenie z równania (9), otrzymamy:
‫ ்ܨ‬ൌ ݉݃ ቀ
ଵ
ଵା௙೏ ୲ୟ୬ ఝ
ቁ ݂ௗ Ǥ
(10)
Uwaga: Siáa tarcia FT nie jest okreĞlona jako mgfd, gdyĪ ciągniĊcie za sznurek (pod kątem
30°) zmniejsza siáĊ nacisku na chodnik, N jest wiĊc mniejsze niĪ mg.
46
ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĉĝCI 1 przyspieszenie sanek.
PoniewaĪ prĊdkoĞü sanek jest staáa, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki przyspieszenie sanek
jest równe zeru ሺܽ ൌ Ͳሻ.
OdpowiedĨ: Przyspieszenie sanek a wynosi zero.
ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĉĝCI 2 wartoĞü siáy, z którą dziewczynka ciągnie sanki.
Do równania (8) podstawiamy dane:
ܶൌ
ଶ଴ȉଽǡ଼ଵȉ଴ǡଵ
௖௢௦ଷ଴೚ ା଴ǡଵȉ௦௜௡ଷ଴೚
ൌ ξయ
T = 21,4N.
ଵଽǡ଺ଶ
N,
ା଴ǡଵȉ଴ǡହ
మ
OdpowiedĨ
WartoĞü siáy T, z jaką dziewczynka ciągnie sanki, wynosi 21,4 N.
ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĉĝCI 3 wartoĞü siáy reakcji.
Podstawmy dane do równania (9):
OdpowiedĨ
ܰ ൌ ʹͲ ȉ ͻǡͺͳ ൬
ͳ
ͳ
ൌ
ͳͻ͸ǡʹ
൰
ቌ
ቍ ൌ ͳͺͷǡͷǤ
ξଷ
ͳ ൅ Ͳǡͳ –ƒ ͵Ͳ௢
ͳ ൅ Ͳǡͳ
ଷ
WartoĞü siáy reakcji N, którą chodnik dziaáa na sanki, wynosi 185,5 N.
ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĉĝCI 4 wartoĞü siáy tarcia.
Do równania (10) podstawmy dane:
OdpowiedĨ
‫ ்ܨ‬ൌ ʹͲ ȉ ͻǡͺͳ ൬
ͳ
ͳ
൰ Ͳǡͳ ൌ ͳͻǡ͸ʹ ቌ
ቍ ൌ ͳͺǡ͸Ǥ
௢
ξଷ
ͳ ൅ Ͳǡͳ –ƒ ͵Ͳ
ͳ ൅ Ͳǡͳ
ଷ
WartoĞü siáy tarcia FT dziaáającej na sanki wynosi 18,6 N.
PEàNA ODPOWIEDħ
1) Przyspieszenie sanek a wynosi zero.
2) WartoĞü siáy, z którą dziewczynka ciągnie sznurek, wynosi
ܶൌ
݂݉݃ௗ
ൌ ʹͳǡͶǤ
ܿ‫ ߮ݏ݋‬൅ ݂ௗ ‫߮݊݅ݏ‬
3) WartoĞü siáy nacisku sanek na chodnik wynosi
ܰ ൌ ݉݃ ൬
ͳ
൰ ൌ ͳͺͷǡͷǤ
ͳ ൅ ݂ௗ –ƒ ߮
4) WartoĞü siáy tarcia dziaáającej na sanki wynosi
‫ ்ܨ‬ൌ ݉݃ ൬
ͳ
൰ ݂ ൌ ͳͺǡ͸Ǥ
ͳ ൅ ݂ௗ –ƒ ߮ ௗ
47