Układy Liego: teoria i zastosowania

Uklady Liego: teoria i zastosowania
Javier de Lucas Araujo
Katedra Metod Matematycznych w
Fizyce
13 Marca 2014
Przyklady zasad superpozycji I
Dla dowolnego ukladu równań różniczkowych jednorodnych liniowych,
np.
n
X
dx i
=
aji (t)x j ,
i = 1, . . . , n,
dt
j=1
rozwia̧zanie ogólne, x(t), można zapisać w formie
x(t) =
n
X
kj x(j) (t),
j=1
gdzie x(1) (t), . . . , x(n) (t) to fundamentalny uklad rozwia̧zań i
k1 , . . . , kn to zbiór stalych.
2 of 48
Przyklady zasad superpozycji II
Podobnie, rozwia̧zanie ogólne, x(t), dla każdego ukladu równań
różniczkowych liniowych, np.
n
X
dx i
=
aji (t)x j + b i (t),
dt
i = 1, . . . , n,
j=1
można zapisać w postaci
x(t) = x(0) (t) +
n
X
kj (x(j) (t) − x(0) (t)),
j=1
gdzie x(0) (t), . . . , x(n) (t) to pewna rodzina rozwia̧zań ukladu i
k1 , . . . , kn to zbiór stalych.
3 of 48
Przyklady zasad superpozycji III
Rozwia̧zanie ogólne dla dowolnego równania rózniczkowego
Riccatiego, tj.
dx
= a(t) + b(t)x + c(t)x 2 ,
dt
można zapisać w postaci
x(t) =
x(1) (t)(x(3) (t) − x(2) (t)) + kx(2) (t)(x(3) (t) − x(1) (t))
,
(x(3) (t) − x(2) (t)) + k(x(3) (t) − x(1) (t))
gdzie x(1) (t), x(2) (t), x(3) (t) sa̧ trzema rozwia̧zaniami ukladu i k to
liczba rzeczywista.
4 of 48
Charakterystyka ukladów posiadaja̧cych zasady
superpozycji
Definicja
Mówimy, że uklad równań różniczkowych posiada zasadȩ superpozycji
kiedy jego ogólne rozwia̧zanie można zapisać w nastȩpuja̧cy sposób
x(t) = F (x(1) (t), . . . , x(m) (t); k).
gdzie F : N m × N → N to funkcja niezależna od czasu, tzw. zmienna
t, x(1) (t), . . . , x(m) (t) to rodzina rozwia̧zań tego ukladu i k to element
rozmaitości N.
5 of 48
Kilka wyników dotycza̧cych teorii ukladów Liego
• L. Königsberger, Über die einer beliebigen differentialgleichung
•
•
•
•
erster Ordnung angehörigen selbst ändigen Transcendenten, Acta
Math. 3, 1–48 (1883). (po niemiecku)
M.E. Vessiot, Sur une classe d’équations différentielles, Ann. Sci.
École Norm. Sup. 10, 53–64 (1893) i C.R. Math. Acad. Sci. Paris
116, 959–961 (1893), (po francusku)
M.S. Lie, Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen,
die eine continuirliche endliche Gruppe gestatten, Math. Ann. 25,
71–151 (1885). (po niemiecku). M.S. Lie i G. Scheffers,
Vorlesungen über continuierliche Gruppen mit geometrischen und
anderen Anwendungen, Teubner, Leipzig, 1893.
J.F. Cariñena, J. Grabowski i G. Marmo, Superposition rules, Lie
theorem and partial differential equations, Rep. Math. Phys. 60,
237–258 (2007).
D. Blázquez-Sanz and J.J. Morales-Ruiz, Local and Global Aspects
of Lie’s Superposition Theorem, J. Lie Theory 20, 483–517 (2010).
Algebra Liego
Algebra Liego to przestrzeń wektorowa V wyposażona w nawias
[·, ·] : V × V → V , tzw Nawias Liego, spelniaja̧cy nastȩpuja̧ce
wlaśnosci:
• Nawias jest dwu-liniowe, czyli
[λ1 v1 + λ2 v2 , v3 ] = λ1 [v1 , v3 ] + λ2 [v2 , v3 ],
[v3 , λ1 v1 + λ2 v2 ] = λ1 [v3 , v1 ] + λ2 [v3 , v2 ],
dla dowolnych λ1 , λ2 ∈ R i v1 , v2 , v3 ∈ V .
• Nawias jest antisymetryczny
[v1 , v2 ] = −[v2 , v1 ].
• Nawias spelnia tożsamość Jacobiego, czyli
[v1 , [v2 , v3 ]] = [[v1 , v2 ], v3 ] + [v2 , [v1 , v3 ]].
7 of 48
Przyklady:
• Zbiór Mn (R) macierz kwadratowych n × n o wspólczynnikach
rzeczywistych:
[A, B] = A · B − B · A,
A, B ∈ Mn (R).
• Zbiór sl(n, R) macierz kwadratowych n × n bezśladowych o
wspólczynnikach rzeczywistych z nawiasem Liego
[A, B] = A · B − B · A,
A, B ∈ Mn (R).
• Zbiór X(N) pól wektorowych na rozmaitości N:
[D1 , D2 ] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 ,
D1 , D2 ∈ X(N).
Lie 1880
Każda algebra Liego skończonego wymiaru na R jest podalgebra̧
Liego algebry
∂
∂ 2 ∂
,x ,x
' sl(2, R).
∂x ∂x
∂x
8 of 48
GKO classification: Primitive Lie algebras
#
Primitive
Basis of vector fields Xi
2
Domain
Aα ' R n R
{∂x , ∂y }, α(x∂x + y ∂y ) + y ∂x − x∂y ,
sl(2)
{∂x , x∂x + y ∂y }, (x 2 − y 2 )∂x + 2xy ∂y
R2y 6=0
P3
so(3)
{y ∂x − x∂y , (1 + x 2 − y 2 )∂x + 2xy ∂y }, 2xy ∂x + (1 + y 2 − x 2 )∂y
R2
R2
2
2
α≥0
R2
P1
P2
P4
R nR
{∂x , ∂y }, x∂x + y ∂y , y ∂x − x∂y
P5
sl(2) n R2
{∂x , ∂y }, x∂x − y ∂y , y ∂x , x∂y
R2
P6
gl(2) n R2
{∂x , ∂y }, x∂x , y ∂x , x∂y , y ∂y
R2
P7
so(3, 1)
{∂x , ∂y }, x∂x +y ∂y , y ∂x −x∂y , (x 2 −y 2 )∂x +2xy ∂y , 2xy ∂x +(y 2 −x 2 )∂y
R2
P8
sl(3)
{∂x , ∂y }, x∂x , y ∂x , x∂y , y ∂y , x 2 ∂x + xy ∂y , xy ∂x + y 2 ∂y
R2
9 of 48
GKO classification: Imprimitive Lie algebras
#
Imprimitive
Basis of vector fields Xi
Domain
I1
R
{∂x }
R2
I2
h2
{∂x }, x∂x
R2
2
I3
sl(2) (type I)
{∂x }, x∂x , x ∂x
R2
I4
sl(2) (type II)
{∂x + ∂y , x∂x + y ∂y }, x 2 ∂x + y 2 ∂y
R2x6=y
I5
sl(2) (type III)
{∂x , 2x∂x + y ∂y }, x 2 ∂x + xy ∂y
R2y 6=0
2
R2
I6
gl(2) (type I)
{∂x , ∂y }, x∂x , x ∂x
I7
gl(2) (type II)
{∂x , y ∂y }, x∂x , x 2 ∂x + xy ∂y
R2y 6=0
I8
Bα ' R n R2
{∂x , ∂y }, x∂x + αy ∂y ,
R2
I9
h2 ⊕ h2
{∂x , ∂y }, x∂x , y ∂y
R2
I10
sl(2) ⊕ h2
{∂x , ∂y }, x∂x , y ∂y , x 2 ∂x
R2
10 of 48
0 < |α| ≤ 1
GKO classification: Imprimitive Lie algebras II
#
Imprimitive
Basis of vector fields Xi
I11
sl(2) ⊕ sl(2)
{∂x , ∂y }, x∂x , y ∂y , x 2 ∂x , y 2 ∂y
I12
Rr +1
{∂y }, ξ1 (x)∂y , . . . , ξr (x)∂y ,
I13
R n Rr +1
{∂y }, y ∂y , ξ1 (x)∂y , . . . , ξr (x)∂y ,
I14
R n Rr
{∂x , η1 (x)∂y }, η2 (x)∂y , . . . , ηr (x)∂y ,
I15
R2 n Rr
{∂x , y ∂y }, η1 (x)∂y , . . . , ηr (x)∂y ,
I16
r
Cα
I17
R n (R n Rr )
{∂x , ∂y }, x∂x + (ry + x r )∂y , x∂y , . . . , x r −1 ∂y ,
I18
(h2 ⊕ R) n Rr +1
{∂x , ∂y }, x∂x , x∂y , y ∂y , x 2 ∂y , . . . , x r ∂y ,
I19
sl(2) n Rr +1
{∂x , ∂y }, x∂y , 2x∂x + ry ∂y , x 2 ∂x + rxy ∂y , x 2 ∂y , . . . , x r ∂y ,
I20
gl(2) n Rr +1
{∂x , ∂y }, x∂x , x∂y , y ∂y , x 2 ∂x + rxy ∂y , x 2 ∂y , . . . , x r ∂y ,
r +1
' h2 n R
11 of 48
Domain
R2
R2
r ≥1
R2
r ≥1
R2
r ≥1
R2
r ≥1
r
{∂x , ∂y }, x∂x + αy ∂y , x∂y , . . . , x ∂y ,
r ≥ 1,
R2
α∈R
R2
r ≥1
R2
r ≥1
r ≥1
r ≥1
R2
R2
Pola wektorowe zależne od czasu
Niech π2 i π bȩda̧ rzutowaniami π2 : (t, x) ∈ R × N 7→ x ∈ N i
π : (x, v ) ∈ TN 7→ x ∈ N. Pole wektorowe zależne od czasu na
rozmaitości N to odwzorowanie X : R × N → TN, takie jak na
poniższym diagramie, jest przemienne
π ◦ X = π2
6 TN
⇓
X
π
π(X (t, x)) = π2 (t, x) = x
π2
⇓
/N
R×N
X (t, x) ∈ π −1 (x) = Tx N
Wówczas odwzorowania Xt : x ∈ N → X (t, x) ∈ TN sa̧ polami
wektorowymi.
Pole wektorowe zależne od t X (t, x) ⇐⇒ pola wektorowe {Xt }t∈R
12 of 48
Pola wektorowe zależne od czasu
Krzywa̧ calkowa̧ pola wektorowego X nad N nazywamy funkcjȩ
γ : R → R × N, taka̧, że
X (t, γ(t)) =
dπ ◦ γ
.
dt
Każdy uklad w powyższym wzorze definiuje tylko jedno pole
wektorowe i na odwrót.
X (t, x) ⇐⇒
13 of 48
dx i
= X i (t, x),
dt
i = 1, . . . , n.
Twierdzenie Liego–Scheffera
Uklad równań różniczkowych pierwszego rzȩdu
dx i
= X i (t, x),
dt
i = 1, . . . , n,
posiada zasadȩ superpozycji, wtedy i tylko wtedy, gdy powia̧zane pole
wektorowe zależne od czasu X (t, x) można zapisać w nastȩpuja̧cy
sposób
r
X
X (t, x) =
bα (t)Xα (x),
α=1
gdzie X1 , . . . , Xr to rodzina pól wektorowych generuja̧ca algebrȩ Liego
skończonego wymiaru, tzw. algebrȩ Vessiota–Guldberga.
14 of 48
Twierdzenie Liego–Scheffera i równania Riccatiego
Z każdym równaniem Riccatiego możemy powia̧zać pole wektorowe
zależne od czasu
dx
= b1 (t) + b2 (t)x + b3 (t)x 2 ,
dt
które można zapisać w nastȩpuja̧cy sposób
X (t, x) = b1 (t)X1 (x) + b2 (t)X2 (x) + b3 (t)X3 (x),
gdzie
∂
∂
, X2 = x ,
∂x
∂x
spelniaja̧ relacje komutacyjne
X1 =
[X1 , X2 ] = X1 ,
X3 = x 2
[X1 , X3 ] = 2X2 ,
∂
,
∂x
[X2 , X3 ] = X3 .
Innymi slowami, pola wektorowe X1 , X2 , X3 generuja̧ algebrȩ Liego
skończonego wymiaru (wlaśnie sl(2, R)).
15 of 48
Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu
Równaniami Kummera–Schwarza nazywamy równania różniczkowe
takie jak
d 2x
3 dx 2
− 2b0 x 3 + a0 (t)x,
=
dt 2
2x dt
gdzie b0 to liczba rzeczywista i a0 (t) to dowolna funkcja zależna od
czasu.
 dx

= v,

dt
2

 dv = 3 v − 2b x 3 + a (t)x,
0
0
dt
2 x
16 of 48
Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu
Powyższy uklad jest powia̧zany z polem wektorowym
2
3v
∂
∂
1
3
Xt =
− 2b0 x + a0 (t)x
+v
= √ (X2 + a0 (t)X1 ),
2 x
∂v
∂x
2
gdzie
X1 =
√
∂
∂ X2
∂
∂
+ 2v , √ = v
+
2x , X3 = x
∂v
∂x
∂v
∂x
2
3 v2
− 2b0 x 3
2 x
spelniaja̧ relacje
[X1 , X2 ] = 2X3 ,
[X2 , X3 ] = −X2 ,
Zatem X (t, x) to uklad Liego.
17 of 48
[X1 , X3 ] = X1 .
∂
,
∂v
Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu
Równania Kummera–Schwarza trzeciego rzȩdu maja̧ postacie
d 3x
3
=
dt 3
2
dx
dt
−1 d 2x
dt 2
2
− 2b0
dx
dt
3
+ 2a0 (t)
dx
,
dt
gdzie b0 to liczba rzeczywista i a0 (t) to dowolna funkcja zależna od
czasu. Teraz, mamy

dx

= y (1) ,



dt


 dy (1)
= y (2) ,

dt




dy (2)
3 y (2)2


=
− 2b0 y (1)3 + 2a0 (t)y (1) .
dt
2 y (1)
18 of 48
Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu
To równanie jest powia̧zane z polem wektorowym
y (1)
∂
∂
+ y (2) (1) +
∂x
∂y
++
3 y (2)2
− 2b0 y (1)3
2 y (1)
!
∂
∂
+ 2a0 (t)y (1) (2) . (1)
∂y (2)
∂y
Niech X1 , X2 , X3 bȩda̧ polami wektorowymi w formie
∂
X1 = y (1) (2) ,
∂y
X2 = y
(1)
X3 = y (1)
19 of 48
∂
∂
+ y (2) (1) +
∂x
∂y
∂
∂
+ 2y (2) (2) ,
∂y (1)
∂y
3 y (2)2
− 2b0 y (1)3
2 y (1)
!
∂
,
∂y (2)
spelniaja̧cymi relacje komutacyjne:
[X1 , X2 ] = X3 ,
[X2 , X3 ] = −X2 ,
[X1 , X3 ] = X1 .
Wówczas te pola wektorowe generuja̧ algebrȩ Liego, która jest
izomorficzna z sl(2, R). Ponadto, można zapisać
Xt = X2 + 2a0 (t)X1 .
Innymi slowy, X to uklad Liego.
20 of 48
Zastosowanie w mechanice klasycznej

dx


= v,
dt

 dv = −ω 2 (t)x,
dt

dx


= v,
dt

 dv = −ω 2 (t)x + k ,
dt
x3
dg
= Rg ∗e (a(t))
dt

dx


= v,
dt
2

 dv = 3 v − 2b x 3 − ω 2 (t)x,
0
dt
2 x
21 of 48
dx
= −1 + ω 2 (t).
dt
Niech (A, [, ]) bȩdzie algebra̧ Liego, gdzie [, ] : A × A → A to nawias
Liego i B podzbioru A, nazywamy przdlużeniem podzbioru B
(wzglȩdem zbioru A), czyli Lie(B, A, [, ]), najmniejszej algebry Liego
zawieraja̧cej B.
Lemat
Dla każdego podzbioru B ⊂ A, jego przedlużenie jest generowane
przez elementy zbioru
B, [B, B], [B, [B, B]], [B, [B, [B, B]]], . . .
gdzie [C, D] oznacza nawias Liego miȩdzy elementami podzbiorów
C, D ⊂ A.
22 of 48
Jeśli X (t, x) jest ukladem Liego, to istnieje algebra
Vessiota–Guldberga V taka, że {Xt }t∈R ⊂ V . Wówczas
Lie({Xt }t∈R ) ⊂ V . Innymi slowami, Lie({Xt }t∈R ) jest algebra̧ Liego
skończonego wymiaru. Odwrotnie, jeśli Lie({Xt }t∈R ) jest algebra̧
Liego skończonego wymiaru, to X (t, x) jest algebra̧ Liego.
Krótkie twierdzenie Liego–Scheffersa
Uklad równań różniczkowych X (t, x) jest ukladem Liego, wtedy i tylko
wtedy, gdy Lie({Xt }t∈R ) jest algebra̧ Liego skończonego wymiaru.
Znikoma algebra Liego
Znikoma̧ algebra̧ Liego pola wektorowego X (t, x) nazywa siȩ
najmniesza̧ algebrȩ Liego V X zawieraja̧ca̧ {Xt }t∈R .
23 of 48
Równania Riccatiego drugiego rzȩdu
Rozpatrzmy teraz równania Riccatiego drugiego rzȩdu, tj.
ẍ + (b0 (t) + b1 (t)x)ẋ + c0 (t) + c1 (t)x + c2 (t)x 2 + c3 (t)x 3 = 0,
gdzie
p
b1 (t) = 3 c3 (t),
c2 (t)
ċ3 (t)
b0 (t) = p
−
,
c3 (t) 2c3 (t)
c3 (t) 6= 0.
Jeżeli dodamy zmienne v = ẋ do tych ukladów, to nie uzyskamy
uklad’ow Liego. Jednak, te równania posiadaja̧ funkcjȩ Lagranjowska̧
wzorem
1
,
L(t, x, v ) =
v + U(t, x)
gdzie U(t, x) = a0 (t) + a1 (t)x + a2 (t)x 2 i a0 (t), a1 (t), a2 (t) sa̧
funkcjami zmiennych czasu zależne od c1 (t), c2 (t), c3 (t).
24 of 48
Ta funkcja Lagranjowska jest powia̧zana z funkcja̧ Hamiltonowska̧
√
h(t, x, p) = vp − L(t, x, v ) = −2 −p − p U(t, x).
Jej równania Hamiltona sa̧

∂H
1


=√
− a0 (t) − a1 (t)x − a2 (t)x 2 ,
 ẋ =
∂p
−p


 ṗ = − ∂H = p(a1 (t) + 2a2 (t)x).
∂x
Udowodnimy, że ten uklad jest ukladem Liego. Rozważmy pola
wektorowe
1 ∂
∂
∂
∂
, X2 =
, X3 = x
−p ,
−p ∂x
∂x
∂x
∂p
√
∂
∂
x
∂
∂
X4 = x 2
− 2xp , X5 = √
+ 2 −p ,
∂x
∂p
−p ∂x
∂p
X1 = √
na
O.
25 of 48
One spelniaja̧ relacje komutacyjne
[X1 , X2 ] = 0,
[X2 , X3 ] = X2 ,
[X3 , X4 ] = X4 ,
1
[X1 , X3 ] = X1 ,
2
[X2 , X4 ] = 2X3 ,
1
[X3 , X5 ] = X5 ,
2
[X1 , X4 ] = X5 ,
[X1 , X5 ] = 0,
[X2 , X5 ] = X1 ,
[X4 , X5 ] = 0.
Zatem one generuja̧ algebrȩ Vessiota–Guldberga piȩciowymiarowa̧ V .
Ponadto, pole wektorowe zależne od czasu Xt powia̧zane z ukladami
Hamiltona (25) ma formȩ
X (t, x, p) = X1 (x, p) − a0 (t)X2 (x, p) − a1 (t)X3 (x, p) − a2 (t)X4 (x, p),
Wówczas uklad (25) jest ukladem Liego. Poza tym, pola wektorowe
X1 , . . . , X5 sa̧ polami Hamiltonowskimi zwia̧zanymi ze struktura̧
symplektyczna̧ na rozmaitości T∗ R.
26 of 48
Dokladniej, poniższe pola wektorowe maja̧ Hamiltonowskie funkcje
√
h1 (x, p) = −2 −p, h2 (x, p) = p, h3 (x, p) = xp,
√
h4 (x, p) = x 2 p, h5 (x, p) = −2x −p,
takie, że
{hi , hj }
h1
h2
h3
h4
h5
h6
h1
0
0
h1 /2
h5
2h6
0
h2
0
0
h2
2h3
h1
0
h3
−h1 /2
−h2
0
h4
2h6
0
h4
−h5
−2h3
−h4
0
h5 /2
0
h5
−2h6
−h1
−2h6
−h5 /2
0
0
h6
0
0
0
0
0
0
i
ht = h1 − a0 (t)h2 − a1 (t)h3 − a2 (t)h4 .
27 of 48
Równiania Riccatiego drugiego rzȩdu moga̧ być powia̧zane z dzialania̧
grupy Liego Φ : G × O → O w formie
Φ
λ1
λ2
α
,
γ
β
δ
x
,
=
p
√
√
x0 − λ1 −p0
2
, −( −p0 + λ5 ) .
1 + λ5 (−p0 )−1/2
i zasada̧ superpozycji
√
√
√
√
√
∆3 ( −p2 x2 − −p1 x1 ) + ∆2 ( −p1 x1 − −p3 x3 ) + ∆1 x1 −p1
,
√
√
√
√
√
∆3 ( −p2 − −p1 ) + ∆2 ( −p1 − −p3 ) + −p1 k1
√
√
√
√
√
√
(∆1 −p1 + ∆3 ( −p1 − −p2 ) + ∆2 ( −p1 − −p3 ))(∆2 + p1 p2 (x2 − x1 ))
p(0) =
.
√
√
√
∆1 p2 p1 (x1 − x2 ) + ∆2 p2 p3 (x2 − x3 ) + p3 p2 (x3 − x2 ) + ∆1
x(0) =
28 of 48
Definicja
Struktura̧ Liego–Hamiltona nazywamy trókȩ (M, Λ, h), gdzie (M, Λ)
to rozmaitośc Poissona z bi-wektorem Poissona Λ i h to
t-parametryzowana rodzina funkcji ht : M → R, taka, że
Lie({ht }t∈R ) to algebra Liego skończonego wymiaru.
Definicja
Ukladem Liego–Hamiltona nazywamy uklad X na rozmaitości
Poissona (M, Λ) taki, że istnieje struktura Liego–Hamiltona (M, Λ, h)
b
taka, że Xt ∈ Λ(−dh
t ) dla dowolnego t ∈ R. Trójkȩ (M, Λ, X )
nazywamy trójka̧ Liego–Hamiltona.
29 of 48
Oscylatory Winternitza–Smorodinsky’ego można zapisać w
nastȩpuja̧cy sposób


 ẋi = pi ,
i = 1, . . . , n.
k
2

 ṗi = −ω (t)xi + x 3 ,
i
Powyższy uklad opisuje calki pola wektorowego zależnego od czasu
n X
∂
k
∂
2
Xt =
pi
+ −ω (t)xi + 3
.
∂xi
xi ∂pi
i=1
na
T∗ Rn .
Rozpatrzmy pola wektorowe
n
n
X
X
∂
1
∂
∂
X1 =
xi
, X2 =
xi
− pi
,
∂pi
2
∂xi
∂pi
i=1
i=1
n X
∂
k ∂
X3 =
pi
+ 3
.
∂xi
xi ∂pi
i=1
Za
pomoca̧ tych pól wektorowych można zapisać Xt = X3 − ω 2 (t)X1 .
30 of 48
Ponieważ
[X1 , X2 ] = −X1 ,
[X2 , X3 ] = X3 ,
[X1 , X3 ] = 2X2 ,
zatem powyższy uklad jest ukladem Liego. Ponadto, pola wektorowe
X1 , X2 i X3 sa̧ polami wektorowymi powia̧zanymi z funkcjami
Hamiltonowskimi
n
n
n X
1 X 2 bi
1X 2
xi , h2 =
xi pi , h3 =
pi + 2 ,
h1 = −
2
2
xi
i=1
i=1
i=1
które spelniaja̧ relacje komutacyjne
{h1 , h2 } = h1 ,
{h1 , h3 } = −2h2 ,
{h2 , h3 } = −h3 .
2
b
Ponieważ Xt = −Λ(d(h
3 − ω (t)h1 )), wiȩc (M, Λ, h) to struktura
Liego–Hamiltona.
31 of 48
Niech g bȩdzie algebra̧ Liego, jej przestrzeń dualna g∗ ma strukturȩ
rozmaitości Poissona (g∗ , {, }g∗ ). Dokladniej,
{f , g }g∗ (θ) = h[dθ f , dθ g ]g , θi,
f , g ∈ C ∞ (g∗ ).
Rozpatrzmy uklady w formie
dθ
= −ad∗φ(t) θ,
dt
θ ∈ g∗ ,
gdzie φ(t) to krzywa zawarta w g i ad∗φ(t) θ = θ ◦ adφ(t) .
Wybierzmy P
bazȩ {e1 , . . . , er } dla g ze stalymi strukturalnymi cαβγ , tj.
[eα , eβ ]g = rγ=1 cαβγ eγ , α, β = 1, . . . , n. Zatem pola wektorowe
Xα (θ) = −ad∗eα (θ) ∈ Tθ g∗ ,
α = 1, . . . , r ,
generuja̧ algebrȩ Vessiota–Guldberga dla ukladu na g∗ .
32 of 48
Ponadto, te pola wektorowe sa̧ Hamiltonowskimi polami z funkcjami
Hamiltonowskimi hα = −h·, eα i. Co wiȩcej, funkcje hα generuja̧
algebrȩ Liego (W , {, }g∗ ) skończonego wymiaru:
{hα , hβ }g∗ (θ) = h[dθ hα , dθ hβ ]g , θi = h[eα , eβ ]g , θi
r
r
X
X
=
cαβγ heγ , θi = −
cαβγ hγ (θ).
γ=1
γ=1
W konsekwencji, za pomoca̧ każdej krzywej ht w (W , {, }g∗ ) możemy
zdefinionować strukturȩ
Liego–Hamiltona (g∗ ,P
Λg∗ , h).
Pr
Wówczas Xt = α=1 bα (t)Xα , gdzie φ(t) = rα=1 bα (t)eα .
Ponieważ Xα sa̧ Hamiltonowskimi polami wektorowami, zatem
"
!#
r
r
r
X
X
X
b
b
Xt =
bα (t)Xα =
bα (t)Λ(−dh
bα (t)hα
.
α ) = Λ −d
α=1
α=1
Innymi slowami, trójca (g∗ , Λg∗ , h), gdzie ht =
struktura̧ Liego–Hamiltona dla ukladu X .
33 of 48
α=1
Pr
α=1 bα (t)hα ,
jest
Pole wektorowe zależne od czasu (jeszcze raz)
Z każdym polem wektorowym X n rozmaitości N można powia̧zać
dystrybucjȩ DX taka̧, że
DxX = {Yx | Y ∈ V X },
i jedna̧ kodystrybucjȩ
VxX = {ωx | ωx (Y ) = 0, ∀Y ∈ DxX } = (DxX )◦ .
Można stwierdzić, że DX jest inwolutywna̧ dystrybucja̧. Ponadto,
dim Dx jest lokalnie maksymalny w otwartym i gȩstym podzbiorze
U ⊂ N.
34 of 48
Pole wektorowe zależne od czasu
Lemat
Dla każdego punktu p ∈ U gdzie dim DX = k, istnieje (lokalna) baza
dla kodystrybucji V X w postaci
df1 , . . . , dfn−k ,
gdzie f1 , . . . , fn−k : V ⊂ U → R sa̧ calkami pierwszami pól
wektorowych w dystrybucji DX |V .
Twierdzenie
Funkcja f : V ⊂ N → R to calka ukladu X , wtedy i tylko wtedy, gdy
df ∈ V X |V .
35 of 48
Lemat
Dla każdego ukladu Liego–Hamiltona X posiadaja̧cego strukturȩ
b ◦ d : Lie({ht }t∈R ) → V X
Liego–Hamiltona (M, Λ, h), odwzorowanie Λ
jest homomorfizmem surjektywnym miȩdzy algebrami Liego. W
rezultacie,
Lie({ht }t∈R )
VX '
b◦d
ker Λ
i elementy algebry V X sa̧ Hamiltonowskimi polami wektorowymi na
rozmaitości Poissona (M, Λ).
Dowód
b ◦ d jest liniowe. Ponadto,
Odwzorowanie Λ
b ◦ d{f , g }Λ = Λ[df
b , dg ]Λ = [Λ(df
b ), Λ(dg
b
Λ
)]
∀f , g ∈ C ∞ (M).
b ◦ d jest surjektywny. Z tego wynika
Latwo zauważyć, że Λ
stwierdzenie lematu.
36 of 48
Twierdzenie
Dany uklad X jest ukladem Liego–Hamiltona wzglȩdem rozmaitości
Poissona (M, Λ), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ukladem Liego a
elementy algebry V X sa̧ Hamiltonowskimi polami wektorowymi.
Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktura̧ Liego-Hamiltona dla ukladu X .
b ◦ d jest morfizmem miȩdzy algebrami Liego
Odwzorowanie Λ
∞
(C (M), {, }Λ ) i (X(M), [, ]). Ponieważ Lie({ht }t∈R ) ma skończony
b ◦ d(Lie({ht }t∈R )) ma skończony wymiar. Zatem,
wymiar, to Λ
X
b ◦ d(Lie({ht }t∈R )) i X to uklad Liego. Latwo zauważyć,
Xt ∈ V = Λ
X
że V sa̧ Hamiltonowskimi polami wektorowymi wzglȩdem
rozmaitości (M, Λ).
37 of 48
Odwrotnie, jeśli X to uklad Liego i elementy algebry V X sa̧
Hamiltonowskimi polami wektorowymi, to można definiować zbiór
h1 , . . . , hr Hamiltonowskich funkcji (nad M) dla tych pól.
Wówczas Iij = {hi , hj } to funkcja Hamiltonowska dla pola
wektorowego Yij = −[Xi , Xj ] ∈ V X . Zatem, istnieja̧ kombinacje
gij = λ1 h1 , . . . , λn hn ,
takie, że każda gi j jest funcja̧ Hamiltonowska̧ dla Yij . W
konsekwencji, każda funkcja Iij − gij jest Casimir. Jeśli
V = {h1 , . . . , hn },
V (1) = {Iij − gij | i = 1, . . . , n},
to latwo zauważyć, że V ⊕ V (1) jest algebra̧ funkcji skończonego
b t ).
wymiaru i Xt = −Λ(dh
Twierdzenie
Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktura̧ Liego–Hamiltona. Uklad w postaci
b
Xt = Λ(−dh
t ) jest ukladem Liego-Hamiltona.
38 of 48
Uklady Liego-Hamiltona i zasady superpozycji
Twierdzenie
Dany uklad Liego–Hamiltona X powia̧zany ze struktura̧
Liego–Hamiltona (M, Λ, h) taka̧, że
dim DX = dim M = dim V X = Lie({ht }t∈R ), wiȩc X i Λ moga̧ być
zapisane w liniowej postaci na pewnym ukladzie wspólrzȩdnych.
Dowód
Ponieważ zakladaliśmy, że dim V X = dim Lie({ht }t∈R ), istnieje baza
h1 , . . . , hr , dla algebry Liego Lie({ht }t∈R ) taka, że Hamiltonowskie
pola wektorowe X1 , . . . , Xr tych elementów sa̧ baza̧ dla V X . Ponadto,
mamy dim M = dim V X , wiȩc te pola wektorowe sa̧ (lokalna̧) baza̧
dla kostycznej przestrzeni TM. Wówczas h1 , . . . , hr sa̧ ukladem
wspólrzȩdnych na M i
39 of 48
Λ=
r
X
r
X
∂
∂
∂
∂
{hi , hj }
∧
=
cijk hk
∧
.
∂hi ∂hj
∂hi ∂hj
i,j=1
(2)
i,j,k=1
b ◦ dft , gdzie ft to krzywa zawarta w
Latwo zauważyć, że Xt = −Λ
algebrze Lie({ht }t∈R ). Zatem
!
n
n
X
X
b
b
b ◦ dhl )
Xt = −Λ ◦ dht = −Λ ◦ d
bl (t)hl = −
bl (t)(Λ
l=1
= −2
n
X
j,k=1
bl (t)cljk hk
l=1
∂
.
∂hj
W rezultacie, Xt jest liniowe i posiada liniowa̧ zasadȩ superpozycji w
tym ukladzie wspólrzȩdnych.
40 of 48
Twierdzenie
Dany uklad Liego–Hamiltona X ustalony na rozmaitości M, takiej że
dim DX = dim M, to M ma wymiar parzysty.
Dowód
Niech (M, Λ, X ) bȩdzie trójca̧ Liego–Hamiltona a (M, Λ, h) struktura̧
Liego–Hamiltona dla ukladu X . Zalożmy, że V X jest algebra̧ Liego
skónczonego wymiaru. Zatem istnieje (lokalnie) rodzina pól
wektorowych X1 , . . . , Xn ∈ V X liniowo niezależnych. Wówczas,
rodzina 1–form dh1 , . . . , dhn ∈ W , jest liniowo niezależna i
b j ) = Xj dla j = 1, . . . , n. W konsekwencji, odwzorowanie Λ|
b U jest
Λ(ω
izomorfizmem. Zatem, M ma parzysty wymiar.
41 of 48
Twierdzenie
Dany uklad Liego-Hamiltona X ustalony na rozmaitości M takiej, że
dim DX = dim M i X posiada strukturȩ Liego–Hamiltona (M, Λ, h)
taka̧, że Lie({ht }t∈R ) ' V X , wiȩc centrum V X jest trywialne.
Dowód
Niech X1 bȩdzie nietrywialnym elementem centrum algebry V X .
Ponieważ dim DX = n, istnieja̧ pola wektorowe X2 , . . . , Xn ∈ V X
generuja̧ce (razem z X1 ) lokalna̧ bazȩ dla wia̧zki stycznej TM.
Jednocześnie, te pola wektorowe sa̧ Hamiltonowskimi polami
wektorowymi wzglȩdem pewnych funkcji h1 , . . . , hn zawartych w
Lie({ht }t∈R ). Jako, że X1 , . . . , Xn sa̧ liniowo niezależne, to
dh1 , . . . , dhn sa̧ liniowo niezależne. Wówczas {h1 , . . . , hn } to uklad
wspólrzȩdnych w M.
42 of 48
Jako, że V X ' Lie({ht }t∈R ), wiȩc [X1 , Xj ] = 0, dla j = 2, . . . , n,
oznacza, że {h1 , hj } = 0. Wówczas,
Λ=
n
X
{hi , hj }
i,j=2
∂
∂
b 1 ) = 0.
∧
=⇒ X1 = Λ(dh
∂hi ∂hj
Zatem V X ma trywialne centrum.
43 of 48
Calka uklady Liego–Hamiltona
Twierdzenie
Rodzina I X |U calek niezależnych od czasu na zbiorze otwartym
U ⊂ M dla trójcy (M, Λ, X ) jest algebra̧ Poissona i ko-dystrybucja V X
jest inwolutywna, tj. [ω, ω 0 ]Λ ∈ V X |U dla każdych ω, ω 0 ∈ V X |U .
Dowód
Dane dwie calki f1 , f2 : U → R, to dfi (Y ) = 0, i = 1, 2, dla każdego
pola wektorowego Y ∈ V X . Ponieważ X to uklad Liego–Hamiltona,
elementy w V X sa̧ Hamiltonowskimi polami wektorowymi. Wówczas,
można zapisać Y {f , g } = {Yf , g } + {f , Yg } dla każdej pary funkcji
f , g ∈ C ∞ (M). Zatem Y ({f1 , f2 }) = {Yf1 , f2 } + {f1 , Yf2 } = 0. Jako,
że λf1 + µf2 i f1 · f2 sa̧ również calkami niezależnymi od czasu dla
każdych λ, µ ∈ R, to rodzina I X |U jest algebra̧ Poissona.
44 of 48
Ko-dystrybucja jest inwolutywna, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
lokalnej bazy nawias Liego miȩdzy jej elementami należy do
dystrybucji. Ko-dystrybucja V X ma lokalka̧ bazȩ df1 , . . . , dfn−k .
Ponadto, [dfi , dfj ]Λ = d({fi , fj }) i funkcja {fi , fj } jest calka̧ pierwsza̧.
Zatem {fi , fj } = G (f1 , . . . , fn−k ) wynika, że [dfi , dfj ]Λ ∈ V X .
Twierdzenie
Jeżeli X to uklad Liego–Hamiltona, wiȩc przestrzeń I X |U jest grupa̧
funkcji.
45 of 48
Definicja
Niech X bȩdzie ukladem na rozmaitości Poissona (M, Λ), jego
dystrybucja symetrii, SΛX , jest dystrybucja̧ Stefana–Sussmana w formie
bx (V X ) ∈ Tx M.
(SΛX )x = Λ
x
Twierdzenie
Niech X bȩdzie ukladem Liego–Hamiltona, to
• Dystrybucja symetrii powia̧zana z ukladem X jest inwolutywna.
• Jeśli f jest calka̧ pierwsza̧ (niezależna̧ od czasu) dla ukladu X , to
b ) jest symetria̧ Liego (niezależna̧ od czasu) dla X .
Λ(df
• Dystrybucja S X ma lokalna̧ bazȩ symetrii Liego dla ukladu X .
Ponadto, elementy tej bazy sa̧ Hamiltonowskimi polami
wektorotwymi powia̧zanymi z funkcjami Hamiltonowskimi, które sa̧
calkami ruchu (niezależnymi od czasu) dla X .
46 of 48
Dla każdych pól wektorowych Y1 , Y2 w S X , istnieja̧ dwie 2-formy
b
b 0 ). Ponieważ X jest
ω, ω 0 ∈ S X takie, że Y1 = Λ(ω),
Y2 = Λ(ω
ukladem Liego–Hamiltona, to V X jest inwolutywna. Wówczas,
b ), Λ(w
b 0 )] = Λ([w
b , w 0 ]Λ ) ∈ S X .
[Y1 , Y2 ] = [Λ(w
Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktura̧ Liego–Hamiltona dla ukladu X :
b )] = −[Λ(dh
b t ), Λ(df
b )] = −Λ(d{h
b
b
[Xt , Λ(df
t , f }) = −Λ[d(Xt f )] = 0.
Ponieważ V X ma lokalna̧ bazȩ df1 , . . . , dfn−k , gdzie f1 , . . . , fn−k to
rodzina calek ruchu (niezależnych od czasu) dla X . Wówczas,
Xf1 , . . . , Xfn−k , to rodzina symetrii Liego dla X generuja̧ca (lokalnie)
S X . Z tego, można latwo wybrać (lokalna̧) bazȩ dla S X .
47 of 48
Twierdzenie
Jeśli Y to Hamiltonowskie pole wektorowe i symetria Liego dla ukladu
Liego–Hamiltona X takie, że [V X , V X ] = V X , wiȩc Y ∈ S X .
48 of 48