geometria różniczkowa

Program przedmiotu:
GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
30 godz. wykładu + 30 godz. ćwiczeń
Cel przedmiotu: Poznanie podstawowych metod i pojęć geometrii różniczkowej.
Uwypuklenie związków z algebrą, topologią, analizą matematyczną i równaniami różniczkowymi.
Podkreślenie, że geometria różniczkowa dostarcza podstawowych modeli
i metod dla wielu zagadnień w naukach fizycznych i technicznych. Zwrócenie uwagi na
algebraiczne podstawy geometrii różniczkowej. Wyrobienie u studentów zdolności dostrzegania
schematów, niezbędnych przy korzystaniu z literatury specjalistycznej z wielu działów matematyki
i matematyki stosowanej.
1. Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur
algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.
2. Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry
macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności
odwzorowania wykładniczego.
3. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń. Rola odwzorowania
wykładniczego.
4. Elementy algebry wieloliniowej. Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.
5. Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna
(dwie definicje) .
6. Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki
wektorowe. Pola wektorowe.
7. Pola wektorowe (kont.), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych.
Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna
Liego.
8. Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych,
twierdzenie Stokesa.
9. Całkowanie form różniczkowych (kont.). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i
wystarczające dla potencjalności pola .
10. Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna.
Symbole Christoffla.
11. Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.
12. Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i
własności.
13. Zupełność i twierdzenie Hopfa - Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.
14. Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr
Liego.
Bibliografia:
1. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, BM, PWN 1985.
2. S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962.
3. W. Wojtyński, Grupy i Algebry Liego, BM, PWN 1986.