5 Funkcje wymierne.

Politechnika Białostocka
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Katedra Matematyki
5
kierunek: Automatyka i Robotyka
rok ak. 2009/2010
Funkcje wymierne.
Definicja 1. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
w(x) =
P (x)
,
Q(x)
(1)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany
te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ (stopień
wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q), to mówimy, że funkcja wymierna jest
właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze Dw = R \ {x : Q(x) = 0}.
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x2 x3 + 7x2 − 8
,
.
x+1
x7 + 1
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją
wymierną właściwą.
Twierdzenie 2. Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i
funkcji wymiernej właściwej.
P (x)
gdzie stP > stQ. Niech S będzie ilorazem, a Q— resztą z dzielenia
Q(x)
P przez Q. Z Twierdzenia (o dzieleniu z resztą) mamy równość P (x) = Q(x)S(x) + R(x), gdzie
Dowód. Niech w(x) =
stR < stQ. Ponieważ stP > stQ, więc S nie może być wielomianem zerowym. Wobec tego
możemy podzielić ostatnią równość stronami przez Q(x), otrzymując żądany rozkład wyjściowej
funkcji na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
P (x)
Q(x)S(x) + R(x)
R(x)
=
= S(x) +
.
Q(x)
Q(x)
Q(x)
Funkcja wymierna
R(x)
jest oczywiście właściwa, ponieważ stR < stQ.
Q(x)
Z powyższego dowodu wynika, że podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z
resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:
x2 + 2x − 2
x2 + x + x + 1 − 3
x(x + 1) + (x + 1) − 3
3
=
=
=x+1−
.
x+1
x+1
x+1
x+1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Politechnika Białostocka
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Katedra Matematyki
5.1
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Funkcja homograficzna i jej własności
Wśród funkcji wymiernych wyróżnia się funkcję postaci:
f (x) =
ax + b
,
cx + d
)
f (x) ∈ Rf = R \
(2)
gdzie c 6= 0 oraz ad − cb 6= 0.
(
d
Df = R \ −
,
c
a
.
c
Funkcję f zdefiniowaną wzorem (2) nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
Y
d
c
− ab
X
y=
a
c
x = − dc
b
Jeżeli a 6= 0, to miejscem zerowym funkcji homograficznej jest x = − .
a
Jeżeli ad − bc > 0, to funkcja homograficzna postaci (2) jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli ad − bc < 0, to funkcja homograficzna postaci (2) jest malejąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli a 6= 0, to funkcja homograficzna postaci (2) jest funkcją wymierną niewłaściwą, więc z
Twierdzenia 2 mamy
f (x) =
ax + b
a
bc − ad
= +
.
cx + d
c c(cx + d)
ax + b
można otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji
cx + d"
#
A
bc − ad
d a
f (x) = , gdzie A =
, o wektor − , .
x
c2
c c
Wówczas wykres funkcji f (x) =
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
5.2
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Ułamki proste
Z Twierdzenia 2 wiemy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci
sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Okazuje się, że każdą funkcję wymierną właściwą
można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych
ułamkami prostymi.
Rzeczywiste ułamki proste dzielą się na ułamki proste pierwszego rodzaju oraz ułamki proste
drugiego rodzaju.
Definicja 3. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
A
,
(x − a)n
gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
Definicja 4. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
(x2
Ax + B
,
+ px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 −4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny).
5.3
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.
P (x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą.
Q(x)
Załóżmy, że mianownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Twierdzenie 5. Niech w(x) =
Q(x) = an (x − x1 )k1 · · · (x − xr )kr · x2 + p1 x + q1
l1
· · · x2 + ps x + qs
ls
.
Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 +k2 +. . .+kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju
oraz n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju. W rozkładzie tym
każdemu czynnikowi
(x − xi )ki ,
i = 1, . . . , r
odpowiada suma ki rzeczywistych ułamków prostych postaci
Ai1
Aik2
Aiki
+
,
2 +···+
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
natomiast każdemu czynnikowi
x2 + pj x + qj
lj
,
j = 1, . . . , s
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
kierunek: Automatyka i Robotyka
rok ak. 2009/2010
odpowiada suma lj rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
Bjlj x + Cjlj
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+
·
·
·
+
.
+
2
x2 + pj x + qj (x2 + pj x + qj )
(x2 + pj x + qj )lj
tzn.
w(x) =
A11
A1k1
Arkr
Ar1
+···+
+···+
+
k1 + · · · +
x − x1
x − xr
(x − x1 )
(x − xr )kr
B1l1 x + C1l1
Bsls x + Csls
B11 x + C11
Bs1 x + Cs1
+ 2
+···+
+
+
·
·
·
+
.
l
x + p1 x + q1
(x2 + p1 x + q1 ) 1 x2 + ps x + qs
(x2 + ps x + qs )ls
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
Zauważmy, że mianowniki funkcji wymiernej zostały podane w postaci iloczynu czynników
nierozkładalnych. Jeśli mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwiniętej, np.
x+4
,
x3 − x2 − 2x
to musimy taki mianownik najpierw rozłożyć na czynniki:
x+4
,
x(x + 1)(x − 2)
a dopiero potem zastosować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste.
Przykład 6. Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)3 (x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
1
A
B
C
D
=
+
+
+
3
2
3
(x − 3) (x + 2)
x − 3 (x − 3)
(x − 3)
x+2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
Przykład 7. Rozkład funkcji
x (x2
1
+ x + 2)2
na ułamki proste jest następujący:
x (x2
1
A
Bx + C
Dx + E
+ 2
+ 2
2 =
x x + x + 2 (x + x + 2)2
+ x + 2)
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x2 + x + 2.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
5.4
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
kierunek: Automatyka i Robotyka
rok ak. 2009/2010
Równania i nierówności wymierne.
Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v są funkcjami
wymiernymi. Dziedziną tego równania jest część wspólna dziedzin funkcji wymiernych w i v.
5.4.1
Sposoby rozwiązywania równań wymiernych.
I sposób: (krótszy, ale ogólnie nie można stosować przy nierównościach)
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• obustronnie mnożymy równanie przez wspólny mianownik
• rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 8. Rozwiążemy równanie
2
x+1
x2
−
= 2
.
x+1 1−x
x −1
2
x+1
x2
−
=
,
x+1 1−x
(x − 1)(x + 1)
Wtedy
(3)
D = R \ {−1, 1},
,
2
x+1
x2
−
=
· (x − 1)(x + 1)
x+1 1−x
(x − 1)(x + 1)
2(x − 1) + (x + 1)2 = x2
⇒
2x − 2 + x2 + 2x + 1 = x2
1
4x = 1
⇒
x = ∈ D.
4
Stąd x =
1
jest rozwiązaniem równania (3).
4
II sposób:
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• przenosimy wszystko na lewą stronę
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porównujemy licznik do zera (ułamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0) i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
kierunek: Automatyka i Robotyka
rok ak. 2009/2010
Przykład 9. Rozwiążemy równanie
2x
4
+ = 3.
2−x x
(4)
Wtedy D = R \ {0, 2} i
2x · x + 4 · (2 − x) − 3x(2 − x)
= 0
x(2 − x)
5x2 − 10x + 8 = 0
∆ < 0
Stąd brak rozwiązań równania (4) w zbiorze liczb rzeczywistych.
Uwaga 10. Jeżeli równanie ma postać proporcji ( równość dwóch ułamków ) To: iloczyn wyrazów
skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Przykład 11. Rozwiążemy równanie
x
3x
=
.
x+2
x−3
Wtedy
D = R \ {−2, 3},
x(x − 3) = 3x(x + 2);
x2 –3x = 3x2 + 6x;
2x2 + 9x = 0;
9
= 0;
2x x +
2
x1 = 0 ∈ D ∨ x2 = −4, 5 ∈ D.
Zatem rozwiązaniem równania (5) są liczby 0 lub −4,5.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
(5)
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność w postaci:
oraz
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
P (x)
P (x)
Q(x)
> 0,
> 0,
<0
Q(x)
Q(x)
Q(x)
P (x)
6 0, gdzie P i Q są wielomianami.
Q(x)
5.4.2
Sposoby rozwiązywania nierówności wymiernych.
I sposób:
• przenosimy wszystko na jedną stronę
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• ustalamy wspólny mianownik
• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
• porządkujemy licznik i rozkładamy go na czynniki
• iloraz (ułamek) zamieniamy na iloczyn (znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie ustalamy)
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 12. Rozwiążmy nierówność
2x − 5
6 −1.
x2 − 6x + 8
Wtedy
(6)
2x − 5
1 (x2 − 6x + 8)
+
60i
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x − 4)
D = R \ {2, 4},
2x − 5 + x2 − 6x + 8
6 0;
(x − 2)(x − 4)
x2 − 4x + 3
6 0;
(x − 2)(x − 4)
(x − 1)(x − 3)
6 0;
(x − 2)(x − 4)
(x − 1)(x − 3)(x − 2)(x − 4) 6 0 ∧ x 6= {2, 4}.
1
x ∈ h1, 2) ∪ h3, 4).
Zatem rozwiązaniem nierówności (6) jest zbiór h1, 2) ∪ h3, 4).
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
2
3
4
X
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
II sposób:
• rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki
• ustalamy dziedzinę ( R \ {miejsca zerowe mianowników})
• mnożymy obustronnie nierówność przez kwadraty mianowników liniowych
lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej
• ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny.
Przykład 13. Rozwiążmy nierówność
4−x 2
− > 1.
x2
x
(7)
Wtedy
D = R \ {0},
4−x 2
− −1 >0
/ · x2
x2
x
4 − x − 2x − x2 > 0;
−x2 − 3x + 4 > 0;
−(x − 1)(x + 4) > 0.
0
−4
x ∈ h−1, 4) \ {0}.
Zatem rozwiązaniem nierówności (7) jest zbiór h−1, 4) \ {0}.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
1
X