Całki nieoznaczone - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Całki nieoznaczone
wykład z MATEMATYKI
Budownictwo, studia niestacjonarne
sem. I, rok ak. 2008/2009
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Funkcje pierwotne
Definicja 1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) wtedy i tylko
wtedy, gdy
F 0 (x) = f (x) ,
dla każdego x ∈ (a, b).
Uwaga 2. Funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie.
Przykład 3. Funkcje F1 (x) = 3 − cos2 x i F2 (x) = 2 −
1
cos 2x są funkcjami pierwotnymi funkcji
2
f (x) = sin 2x.
Twierdzenie 4 (o funkcjach pierwotnych).
Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b), to
① funkcja G(x) = F (x) + C, C ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na (a, b),
② każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) można przedstawić w postaci F (x) + D, gdzie
D jest pewną stałą rzeczywistą.
Twierdzenie 5 (warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym przedziale, to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Uwaga 6. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Na przykład funkcje
pierwotne funkcji
2
e−x ,
nie są funkcjami elementarnymi
√
sin x p
1
, 1 + x3 , cos x2 ,
, x sin x
x
ln x
1
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki nieoznaczone
Definicja 7. Całką nieoznaczoną z funkcji f na przedziale (a, b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji
pierwotnych funkcji f . Oznaczamy :
Z
f (x)dx = F (x) + C
y
y = F (x) + C4
y = F (x) + C3
całka nieoznaczona funkcji f
y = F (x) + C2
y = F (x) + C1
y = F (x)
x
Z definicji wynika, że:
Z
2.1
f (x)dx
0
= f (x),
Z
f 0 (x)dx = f (x) + C.
Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych
Z
0dx = C = const , dla x ∈ R.
Z
Z
xα dx =
Z
1
dx = ln |x| + C , dla x ∈ R \ {0}.
x
Z
sin xdx = − cos x + C , dla x ∈ R.
Z
cos xdx = sin x + C , dla x ∈ R.
Z
1
π
dx = tg x + C , dla x 6= + kπ, k ∈ Z.
2
cos x
2
Z
1
dx = − ctg x + C , dla x 6= kπ, k ∈ Z.
sin2 x
Z
ex dx = ex + C , dla x ∈ R.
Z
ax dx =
Z
1
dx = arc tg x + C , dla x ∈ R.
1 + x2
Z
1
√
dx = arc sin x + C , dla x ∈ (−1, 1).
1 − x2
dx = x + C , dla x ∈ R.
xα+1
+ C , dla α ∈ R \ {−1}, zakres zmiennej x jest ustalony w zależności od α.
α+1
ax
+ C , dla 0 < a 6= 1, x ∈ R.
ln a
2
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
3
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Twierdzenia o całkach nieoznaczonych
Twierdzenie 8 (o liniowości całki nieoznaczonej). Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to:
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx .
Z
(f (x) − g(x))dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx .
Z
[c · f (x)] dx = c ·
Z
f (x)dx .
Przykład 9.
Z
Z
(x − 2ex )dx = ....
x2 − x + 1
√
dx = .....
x
Twierdzenie 10 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale, to
Z
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) −
Z
f 0 (x) · g(x)dx .
Przykład 11.
Z
(x · ex )dx = ....
Z
x2 · sin xdx = .....
Z
x
dx = .....
cos2 x
Twierdzenie 12 (o całkowaniu przez podstawienie). Jeżeli
① funkcja f : I → R jest ciągła na przedziale I
② g : J → I ma ciągłą pochodną na przedziale J ,
to
Z
f (x)dx =
Z
f (g(t))g 0 (t)dt .
Przykład 13.
Z
(2x − 5)7 dx = ....
Z
x 4 − x2 dx = .....
p
3
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
Jeżeli
Z
Z
4
Z
MATEMATYKA - wykład
f (x)dx = F (x) + C , to
Z
f (ax + b)dx =
Katedra Matematyki
1
F (ax + b) + C .
a
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C .
f (x)
q
f 0 (x)
dx = 2 f (x) + C .
f (x)
p
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja 14. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
w(x) =
P (x)
,
Q(x)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym.
Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ,
to mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna
jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze
Dw = R \ {x : Q(x) = 0} .
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x2
,
x+1
x3 + 7x2 − 8
.
x7 + 1
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną
właściwą.
Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez
jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu
elementarnych przekształceń, np.:
x2 + 2x − 2
x2 + x + x + 1 − 3
x(x + 1) + (x + 1) − 3
3
=
=
=x+1−
.
x+1
x+1
x+1
x+1
4.1
Ułamki proste
Każdą funkcję wymierną właściwą można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji
wymiernych, zwanych ułamkami prostymi.
Definicja 15. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
A
, gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
(x − a)n
4
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Definicja 16. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną
postaci
(x2
Ax + B
,
+ px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 − 4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny).
4.2
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
P (x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą. Załóżmy, że mianownik Q
Q(x)
ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Niech w(x) =
Q(x) = an (x − x1 )k1 · · ·(x − xr )kr · x2 + p1 x + q1
l1
· · · x2 + p s x + q s
ls
.
Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz
n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju.
W rozkładzie tym każdemu czynnikowi (x − x i )ki ,
i = 1, . . . , r odpowiada suma ki rzeczywistych
ułamków prostych postaci
Ai1
Aik2
Aiki
+
+··· +
,
2
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
natomiast każdemu czynnikowi
x2 + p j x + q j
prostych drugiego rodzaju postaci
lj
,
j = 1, . . . , s odpowiada suma lj rzeczywistych ułamków
Bjlj x + Cjlj
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+
+ ··· +
.
2
2
2
x + pj x + q j
(x + pj x + qj )
(x2 + pj x + qj )lj
w(x) =
A11
A1k1
Ar1
Arkr
+ ··· +
+ ··· +
+ ··· +
+
k
1
x − x1
x − xr
(x − x1 )
(x − xr )kr
B11 x + C11
B1l1 x + C1l1
Bs1 x + Cs1
Bsls x + Csls
+ 2
+ ··· +
+ 2
+ ··· +
.
l1
2
2
x + p1 x + q 1
x
+
p
x
+
q
s
s
(x + p1 x + q1 )
(x + ps x + qs )ls
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
Przykład 17. Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)3 (x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
1
A
B
C
D
=
+
+
+
3
2
3
(x − 3) (x + 2)
x − 3 (x − 3)
(x − 3)
x+2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w trzeciej, a
drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi x − 3 oraz jeden
ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
5
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Przykład 18. Rozkład funkcji
1
x (x2 + x + 2)2
na ułamki proste jest następujący:
x (x2
A
1
Bx + C
Dx + E
2 = x + x2 + x + 2 +
2
+ x + 2)
(x + x + 2)2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi trójmianu
nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x oraz dwa ułamki
proste odpowiadające trójmianowi x 2 + x + 2.
4.3
Całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x + a = t i otrzymujemy:
Z
Z
4.4
A
dx = A ln |x + a| + C .
x+a
A
−A
dx =
+ C , n > 2.
(x + a)n
(n − 1)(x + a)n−1
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w następujący sposób:
Z
dx
Gdy B = 0 – obliczamy całkę
:
2
(x + px + q)n
Sprowadzamy trójmian
p
x+ =
2
s
x2
+ px + q do postaci kanonicznej
4q − p2
· t.
4
Dla n = 1 korzystamy ze wzoru
Dla n > 2
Z
Z
t2
p
x+
2
2
−
p2 − 4q
i stosujemy podstawienie
4
dt
= arc tg t + C :
+1
dt
t
2n − 3
=
+
2
n
2
n−1
(t + 1)
(2n − 2)(t + 1)
2n − 2
Z
(t2
dt
+C .
+ 1)n−1
Gdy B 6= 0 – licznik zapisujemy w postaci Bx + C = P (2x + p) + Q, gdzie P i Q są odpowiednio
dobranymi stałymi, po czym całkę zapisujemy następująco:
Z
Bx + C
dx = P
(x2 + px + q)n
Z
2x + p
dx + Q
(x2 + px + q)n
Z
dx
(x2 + px + q)n
i do całki
Z
2x + p
dx
(x2 + px + q)n
stosujemy podstawienie t = x2 + px + q.
6
Opracowała: Małgorzata Wyrwas