Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Układy dysypatywne. Atraktory

Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Atraktory dziwne.
10
10.1
10–1
Pola wektorowe. Potoki. Stabilność.
Układy dysypatywne. Atraktory dziwne.
Pola wektorowe.
Zakładamy, że D ⊂ Rn jest obszarem (tzn. zbiorem otwartym i spójnym).
Polem wektorowym f określonym na obszarze D nazywamy
przyporządkowanie każdemu punktowi x ∈ D n-wymiarowego wektora f(x)
zaczepionego w punkcie x. Ponieważ punkt z D jest zadany przez n
współrzędnych, zatem może być utożsamiony z uporządkowaną n-tką liczb
rzeczywistych. Podobnie, wektor można też utożsamić z uporządkowaną
n-tką liczb rzeczywistych (współrzędnych wektora). Zatem pole wektorowe
to funkcja wektorowa z D w Rn . Mówimy, że pole wektorowe f jest ciągłe,
lokalnie lipschitzowskie, różniczkowalne, klasy C k , itp., gdy funkcja
wektorowa f : D → Rn jest ciągła, lokalnie lipschitzowska, różniczkowalna,
klasy C k , itp.
Niech f : D → R będzie polem wektorowym. Załóżmy, że ϕ : (α, β) → D
jest rozwiązaniem układu
(UA)
x0 = f(x)
równań różniczkowych. Pochodna tej funkcji w punkcie t ∈ (α, β), ϕ0 (t),
jest to wektor f(ϕ(t)). Zatem rozwiązanie układu (UA) to różniczkowalna
funkcja wektorowa ϕ taka, że dla każdej chwili t pochodna tej funkcji to
wektor pola wektorowego zaczepiony w punkcie będącym wartością tej
funkcji w chwili t.
10.2
Pola wektorowe zupełne
Pole wektorowe f : D → Rn , klasy C 1 , nazywamy zupełnym, jeżeli każde
rozwiązanie nieprzedłużalne układu (UA) jest określone na całej prostej
(−∞, ∞).
W przypadku, gdy D = Rn , mamy prosty warunek dostateczny zupełności
pola f:
Lemat 10.1. Załóżmy, że f : Rn → Rn jest polem wektorowym klasy C 1 ,
dla którego istnieją stałe A, B ­ 0 takie, że kf(x)k ¬ A + Bkxk dla każdego
x ∈ Rn . Wówczas f jest zupełnym polem wektorowym.
Dowód. Jest to wniosek z Twierdzenia 7.2.
10–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Załóżmy, że f : U → Rn jest zupełnym polem wektorowym klasy C 1 .
Dla x0 ∈ D, oznaczmy przez ϕ(·; x0 ) (jedyne) rozwiązanie zagadnienia
początkowego

x0 = f(x)
x(0) = x0 .
Na podstawie Twierdzenia Picarda–Lindelöfa (Tw. 6.2) funkcja powyższa
jest dobrze określona.
Twierdzenie 10.2. Niech f : D → Rn będzie zupełnym polem wektorowym
klasy C 1 . Wówczas zachodzą następujące własności:
(i) ϕ(0; x0 ) = x0 , dla każdego x0 ∈ D,
(ii) ϕ(t; ϕ(s; x0 )) = ϕ(t + s; x0 ) dla wszystkich s, t ∈ R i x0 ∈ D,
(iii) ϕ(−t; ϕ(t; x0 )) = x0 dla wszystkich t ∈ R i x0 ∈ D.
Dowód. Część (i) jest oczywista.
Aby wykazać (ii), ustalmy x0 ∈ D i s ∈ R. Wykorzystując wzór na
pochodną funkcji złożonej widzimy, że funkcja wektorowa
[ R 3 t 7→ ϕ(t + s; x0 ) ∈ D ]
jest rozwiązaniem układu (UA). Oznaczmy y0 := ϕ(s; x0 ). Funkcja
powyższa jest zatem rozwiązaniem zagadnienia początkowego

x0
= f(x)
= y0 ,
x(0)
zatem, na postawie jednoznaczności,
ϕ(t + s; x0 ) = ϕ(t; ϕ(s; x0 ))
dla wszystkich t ∈ R.
Część (iii) jest wnioskiem z (i) i (ii).
10.3
Definicja potoku (abstrakcyjnego)
Potokiem na przestrzeni metrycznej X nazywamy odwzorowanie ciągłe
Φ : R × X → X spełniające następujące warunki:
(1) Φ(0, x) = x dla każdego x ∈ X.
Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Atraktory dziwne.
10–3
(2) Φ(s + t, x) = Φ(s, Φ(t, x)) dla wszystkich s, t ∈ R i x ∈ X.
(3) Φ(−t, Φ(t, x)) = x dla wszystkich t ∈ R i x ∈ X.
Dla t ∈ R oznaczmy Φt (·) := Φ(t, ·). Warunki (1)–(3) przybierają teraz
postać:
(1’) Φ0 = IdX ,
(2’) Φs ◦ Φt = Φs+t dla wszystkich s, t ∈ R,
(3’) dla każdego t ∈ R odwzorowanie Φt jest odwracalne, i zachodzi
(Φt )−1 = Φ−t .
Z warunków (1’)–(3’) wynika następujący fakt:
Odwzorowanie
[ R 3 t 7→ Φt ∈ Hom(X) ]
jest homomorfizmem grupy (R, +, 0) w grupę (Hom(X), ◦, IdX ), gdzie
Hom(X) oznacza zbiór wszystkich homeomorfizmów przestrzeni metrycznej
X na siebie.
10.4
Potok fazowy zupełnego pola wektorowego.
Dla zupełnego pola wektorowego f : D → Rn klasy C 1 zdefiniujmy
odwzorowanie Φ : R × D → D wzorem:
Φ(t, x) := ϕ(t; x),
t ∈ R, x ∈ D.
Twierdzenie 10.2 mówi nam, że tak zdefiniowane Φ spełnia własności (1),
(2) i (3) potoku na przestrzeni metrycznej D.
Pozostaje jeszcze kwestia ciągłości odwzorowania Φ. Ponieważ rozwiązanie
zagadnienia początkowego otrzymuje się jako punkt stały pewnego
odwzorowania zwężającego, idea dowodu ciągłej zależności jest dosyć
prosta, niemniej sprawdzenie wszystkiego wymaga przeprowadzenia wielu
raczej żmudnych rachunków.
Otrzymane powyżej odwzorowanie Φ nazywamy potokiem generowanym
przez (zupełne) pole wektorowe f, lub potokiem fazowym pola wektorowego
f.
10–4
10.5
Skompilował Janusz Mierczyński
Klasyfikacja ruchów w potoku (abstrakcyjnym).
Niech Φ będzie potokiem na przestrzeni metrycznej X.
Dla ustalonego x ∈ X odwzorowanie
[ R 3 t 7→ Φt (x) ∈ X ]
nazywamy ruchem punktu x ∈ X.
Orbitą O(x) punktu x ∈ X nazywamy obraz jego ruchu,
O(x) = { Φt (x) : t ∈ R }. Inne nazwy orbity to trajektoria, krzywa fazowa.
Twierdzenie 10.3. Dla punktu x ∈ X mogą zachodzić trzy wzajemnie
wykluczające sie przypadki:
(1) Ruch punktu x jest funkcją stałą. (Punkt taki nazywamy punktem
stacjonarnym, punktem równowagi lub położeniem równowagi dla
potoku Φ.)
(2) Ruch punktu x jest (niestałą) funkcją okresową, o okresie podstawowym
T > 0. (Punkt taki nazywamy punktem okresowym dla potoku Φ, a
jego orbitę nazywamy orbitą okresową.)
(3) Ruch punktu x jest funkcją różnowartościową. (Punkt taki nazywamy
punktem nieokresowym dla potoku Φ.)
W przypadku (2), oznaczmy przez T okrąg sparametryzowany w następujący
sposób:
T = { (cos ϑ, sin ϑ) : ϑ ∈ [0, 2π] }.
Wówczas odwzorowanie
[ T 3 z = (cos ϑ, sin ϑ) 7→ Φ
jest homeomorfizmem okręgu T na O(x).
T
ϑ, x
2π
]
Dowód. Ustalmy x ∈ X, i oznaczmy
G := { t ∈ R : Φt (x) = x }.
Łatwo widać, że zbiór G zawiera 0 i jest zamknięty ze względu na operacje
dodawania i brania liczby przeciwnej. Zatem G jest podgrupą grupy
addytywnej liczb rzeczywistych (R, +, 0).
Zbiór G jest zbiorem domkniętym: istotnie, niech (tk )∞
k=1 ⊂ G będzie
ciągiem zbieżnym do t ∈ R. Skoro Φtk (x) = x dla każdego k ∈ N, z ciągłości
odwzorowania Φ wynika, że Φt (x) = x, zatem t ∈ G.
Korzystamy teraz z wyniku mówiącego, że dla domkniętej podgrupy G
addytywnej grupy liczb rzeczywistych (R, +, 0) zachodzą następujące trzy
(wzajemnie wykluczające się) przypadki:
10–5
Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Atraktory dziwne.
(1) G = R.
(2) Istnieje T > 0 takie, że G = { kT : k ∈ Z }.
(3) G = {0}.
W przypadku (1), ruch jest funkcją stałą, podobnie w przypadku (2) ruch
jest funkcją okresową, o okresie T (zauważmy, że nie wiemy jeszcze, czy T
jest okresem podstawowym!). W przypadku (3), niech t1 , t2 ∈ R będą takie,
że Φt1 (x) = Φt2 (x). Nakładając na obie strony równości odwzorowanie Φ−t1
widzimy, że Φt2 −t1 (x) = x, a zatem t1 = t2 .
Załóżmy teraz, że zachodzi przypadek (2). Na początek musimy stwierdzić,
czy odwzorowanie
(10.1)
[ T 3 z = (cos ϑ, sin ϑ) 7→ Φ
T
ϑ, x
2π
]
jest dobrze określone. Jedyny punkt, w którym może coś się „psuć”, to
z = (1, 0), odpowiadający ϑ = 0 i ϑ = 2π. Lecz wtedy
T
T
Φ( 2π
0, x) = Φ(0, x) = Φ(T, x) = Φ( 2π
2π, x). Twierdzimy, że
odwzorowanie (10.1) jest różnowartościowe. Niech 0 ¬ ϑ1 ¬ ϑ2 ¬ 2π oraz
T
T
Φ( 2π
ϑ1 , x) = Φ( 2π
ϑ2 , x). Nakładając na ostatnią równość odwzorowanie
T
T
Φ(− 2π ϑ1 , ·) otrzymujemy, że Φ( 2π
(ϑ2 − ϑ1 ), x) = x. Zatem
−ϑ1
T ϑ22π
∈ G = { kT : k ∈ Z },
zatem musi być albo ϑ1 = 0 i ϑ2 = 2π, albo ϑ1 = ϑ2 . Odwzorowanie (10.1)
jest zatem różnowartościowe. Przy okazji otrzymaliśmy, że T jest okresem
podstawowym dla ruchu.
Ciągłość odwzorowania (10.1) jest oczywista. Teraz wykorzystujemy znany
fakt z topologii, że odwzorowanie ciągłe i różnowartościowe przestrzeni
metrycznej zwartej jest homeomorfizmem na swój obraz.
Ostatnim krokiem jest zauważenie, że w przypadku (2)
O(x) = { Φt (x) : t ∈ [0, T ] }.
Zachodzi następujący (niemal) oczywisty rezultat:
Lemat 10.4. Niech Φ będzie potokiem fazowym zupełnego pola wektorowego
f klasy C 1 na obszarze D ⊂ RN . Wówczas x ∈ D jest punktem
stacjonarnym potoku Φ wtedy i tylko wtedy, gdy x jest miejscem zerowym
pola wektorowego f.
10–6
10.6
Skompilował Janusz Mierczyński
Stabilność punktów stacjonarnych.
W bieżącym podrozdziale niech f : D → Rn będzie polem wektorowym
klasy C 1 na obszarze D ⊂ Rn . Dla x0 ∈ D oznaczmy przez ϕ(·; x0 )
rozwiązanie układu równań różniczkowych x0 = f(x) spełniające warunek
początkowy x(0) = x0 .
O polu wektorowym f nie zakładamy, że jest zupełne. Niemniej jednak,
istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między punktami
stacjonarnymi (punktami równowagi , położeniami równowagi ) układu
x0 = f(x) (czyli takimi x0 , że funkcja stale równa x0 jest rozwiązaniem
układu) a miejscami zerowymi pola wektorowego f.
Definicja. Mówimy, że punkt stacjonarny x0 ∈ D układu x0 = f(x) jest
stabilny w sensie Lapunowa 1 , gdy istnieje takie ε0 > 0, że dla każdego
ε ∈ (0, ε0 ] można znaleźć takie δ > 0, że jeśli ky − x0 k < δ to rozwiązanie
ϕ(·; y) jest określone (co najmniej) na przedziale [0, ∞), i zachodzi
kϕ(t; y) − x0 k < ε dla wszystkich t ­ 0.
Niekiedy w literaturze spotyka się inne rodzaje stabilności, na przykład
stabilność w sensie Lagrange’a, stabilność w sensie Poissona. Jednak, gdy
mówimy po prostu „stabilność”, rozumiemy przez to stabilność w sensie
Lapunowa.
Definicja. Mówimy, że punkt stacjonarny x0 ∈ D układu x0 = f(x) jest
asymptotycznie stabilny, gdy jest stabilny w sensie Lapunowa, oraz istnieje
takie δ0 > 0, że jeśli ky − x0 k < δ0 to kϕ(t; y) − x0 k → 0 przy t → ∞
Dla miejsca zerowego x0 ∈ D pola wektorowego f = col (f1 , . . . , fn )
oznaczmy
"
#n
∂fj
Df(x0 ) =
(x0 )
.
∂xi
i,j=1
Macierz Df(x0 ) nazywamy linearyzacją pola wektorowego f w x0 .
Twierdzenie 10.5 (Twierdzenie Lapunowa o stabilności). Niech x0 będzie
miejscem zerowym pola wektorowego f : D → Rn klasy C 1 .
(i) Jeśli wszystkie wartości własne macierzy Df(x0 ) mają ujemne części
rzeczywiste, to punkt stacjonarny x0 jest asymptotycznie stabilny.
(ii) Jeśli któraś z wartości własnych macierzy Df(x0 ) ma dodatnią część
rzeczywistą, to punkt stacjonarny x0 nie jest stabilny w sensie
Lapunowa.
1
Aleksandr Michajłowicz Lapunow (1857 – 1918), matematyk i fizyk rosyjski
Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Atraktory dziwne.
10.7
10–7
Układy dysypatywne. Atraktory
W niniejszym podrozdziale zakładamy, że f : Rn → Rn jest polem
wektorowym klasy C 1 , mającym następującą własność
Dla każdego x0 ∈ Rn dziedzina nieprzedłużalnego rozwiązania ϕ(·; x0 )
zagadnienia początkowego x0 = f(x), x(0) = x0 , zawiera przedział [0, ∞).
Definicja. Mówimy, że układ równań różniczkowych x0 = f(x) jest
dysypatywny, gdy istnieje kula K(0; R0 ) o środku w 0 i promieniu R0 > 0
taka, że dla każdego zbioru ograniczonego U ⊂ Rn istnieje T = T (U) ­ 0
takie, że ϕ(t; U) ⊂ K(0; R0 ) dla wszystkich t ­ T .
Analogicznie można mówić o dysypatywnym polu wektorowym.
Fakt 10.6. Załóżmy, że f : Rn → Rn jest dysypatywnym polem wektorowym
klasy C 1 . Wówczas zbiór
\ [
G :=
ϕ(s; K(0; R0 ))
t­0 s­t
(B oznacza domknięcie zbioru B) ma następujące własności:
(i) G jest zwarty i niepusty,
(ii) G ⊂ K(0; R0 ),
(iii) dla każdego x ∈ G nieprzedłużalne rozwiązanie ϕ(·; x) jest określone
na (−∞, ∞), oraz ϕ(t; x) ∈ G dla każdego t ∈ R,
(iv) dla każdego zbioru ograniczonego U ⊂ Rn i każdego ε > 0 istnieje
T = T (U, ε) ­ 0 takie, że ϕ(t; U) ⊂ G(ε) dla wszystkich t ­ T , gdzie
G(ε) oznacza zbiór tych wszystkich punktów z Rn których odległość od
G jest mniejsza od ε,
Dowód (fragment). Zauważmy, że rodzina zbiorów
t 7→
[
ϕ(s; K(0; R0 ))
s­t
jest zstępująca. W szczególności, wynika stąd, że
G=
\ [
ϕ(s; K(0; R0 )),
t­T s­t
gdzie za T bierzemy T = T (K(0; R0 )) w definicji dysypatywności. Mamy
więc, dla każdego t ­ T ,
[
s­t
ϕ(s; K(0; R0 )) ⊂ K(0; R0 ),
10–8
Skompilował Janusz Mierczyński
co natychmiast daje (ii). Własność (i) wynika z faktu, że przekrój
zstępującej rodziny niepustych zbiorów zwartych jest niepusty i zwarty.
Dowody pozostałych części, chociaż nie wymagają zastosowania specjalnych
pomysłów, są bardzo techniczne, i dlatego je tu pomijamy.
Zajmijmy się pewnym wnioskiem z własności (iii). Mianowicie, zdefiniujmy
odwzorowanie Φ : R × G → G jako Φ(t, x) := ϕ(t; x). Odwzorowanie to jest
potokiem na G (pomimo, że pole wektorowe nie musi być zupełne)
Definicja. Mówimy, że zbiór A ⊂ G jest niezmienniczy, gdy dla każdego
t ∈ R zachodzi Φt (A) = A.
W szczególności, zbiór G jest niezmienniczy.
Definicja. Niepusty zwarty zbiór niezmienniczy A ⊂ G nazywamy
atraktorem, gdy istnieje jego otoczenie otwarte U o tej własności, że
A=
\ [
Φs (U).
t­0 s­t
Niekiedy w definicji atraktora żąda sie jeszcze jego nierozkładalności , tzn.
by nie istniał jego podzbiór właściwy o tych własnościach.
Przykładem atraktora jest A = {x0 }, gdzie x0 jest asymptotycznie
stabilnym punktem stacjonarnym.
Atraktorem dziwnym nazywamy atraktor, którego n-wymiarowa miara
Lebesgue’a jest równa zeru, lecz którego wymiar Hausdorffa jest ułamkowy.
Z pojęciem atraktora dziwnego wiąże sie pojecie chaosu.
Zwykle mówimy, że na zwartym zbiorze niezmienniczym A ⊂ G występuje
chaos, gdy spełnione są następujące trzy warunki:
• Zbiór punktów okresowych w A jest gęsty w A;
• Istnieje takie r > 0, że dla każdego x ∈ A i każdego ε > 0 można
znaleźć takie y ∈ A, że kx − yk < ε, lecz kϕ(t; x) − ϕ(t; y)k > r dla
pewnego t > 0 (jest to tzw. czuła zależność od warunków
początkowych);
b ∈ A o tej własności, że zbiór { ϕ(t; x
b ) : t ∈ R } jest gęsty w
• Istnieje x
A (jest to tzw. topologiczna tranzytywność).
Jest to tylko jedna z wielu (nierównoważnych!) definicji chaosu.
Pola wektorowe. Potoki. Stabilność. Atraktory dziwne.
10.8
10–9
Układ Lorenza
Układem równań różniczkowych Lorenza nazywamy układ
(ULor)

0


x
= σ(y − x)
y = ρx − y − xz


 0
z = −bz + xy,
0
gdzie (x, y, z) ∈ R3 , zaś σ, ρ i b są parametrami dodatnimi.
Układ (ULor) został wprowadzony przez Edwarda N. Lorenza 2 w pracy
Deterministic nonperiodic flow , Journal of the Atmospheric Sciences 20(3)
(1963), 130–141.
Jest on układem dysypatywnym. Ponadto, zbiór G ma trójwymiarową
miarę Lebesgue’a równą zeru.
Badania numeryczne wskazywały na chaotyczne zachowanie się na zbiorze
G (atraktorze Lorenza), dla pewnych wartości parametrów (na przykład,
dla σ = 10, b = 8/3 i ρ = 28). Przez długi czas jednak nie udało się wykazać
w sposób ścisły, że atraktor ten jest atraktorem dziwnym.
Dopiero na początku obecnego stulecia Warwick Tucker 3 udowodnił to (w
swojej rozprawie doktorskiej), wykorzystując między innymi rachunek
interwałowy (zaanonsowane w 2001, pełny dowód w A rigorous ODE solver
and Smale’s 14th problem, Foundations of Computational Mathematics
2(1) (2002), 53–117).
2
3
Edward Norton Lorenz (1917 – 2008), matematyk i meteorolog amerykański
Warwick Tucker (ur. 1970), matematyk