Elementy teorii pola

dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok,
I0
in».
28 marca 2015
Elementy teorii pola
Informacje pomocnicze
Denicja 1.
Symbol
∇
(operator nabla)
(nabla) oznacza wektorowy operator ró»niczkowy (operator Hamiltona) zadany wzorem:
∂
∂
∂
∇ = ~i + ~j + ~k
∂x
∂y
∂z
Denicja 2.
(gradient funkcji skalarnej)
Niech funkcja skalarna
F (x, y, z) b¦dzie gªadka w obszarze V. Gradientem funkcji F (x, y, z) nazywamy
wektor:
Uwaga 3.
lub
∂ ∂ ∂
∇=
, ,
∂ ∂y ∂z
grad F =
∂F ~ ∂F ~ ∂F ~
k
i+
j+
∂x
∂y
∂z
Stosuj¡c operator nabla mo»emy zapisa¢:
gradF = ∇F.
Denicja 4.
(potencjaª pola wektorowego)
Potencjaªem pola wektorowego
~ (P, Q, R)
W
nazywamy funkcj¦ skalarn¡
F (x, y, z)
tak¡, »e
~.
grad F = W
Denicja 5.
(dywergencja pola wektorowego)
Dywergencj¡ (rozbie»no±ci¡) pola wektorowego
rem:
~ =∇◦W
~ =
div W
Denicja 6.
Denicja 7.
∂Q ∂R
∂P
+
+
.
∂x
∂y
∂z
~ = 0.
div W
(rotacja pola wektorowego)
Rotacj¡ (wirowo±ci¡) pola wektorowego
~i
∂
W = ∇ × W = ∂x
P
Denicja 8.
nazywamy pole skalarne okre±lone wzo-
Pole wektorowe nazywamy bez¹ródªowym, je»eli w ka»dym jego punkcie dywergencja
jest równa zeru:
rot
~ (P, Q, R)
W
~j
∂
∂y
Q
~ (P, Q, R)
W
nazywamy pole wektorowe okre±lone nast¦puj¡co:
~k ∂R ∂Q ~
∂P
∂R ~
∂Q ∂P ~
∂ =
−
i+
−
j +
−
k.
∂z ∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
R
Pole wektorowe b¦dziemy nazywa¢ bezwirowym, je»eli w ka»dym jego punkcie rotacja
jest równa zeru
Twierdzenie 9.
~ = ~0.
rot W
Niech
±lonym w obszarze
V.
V
b¦dzie obszarem jednospójnym, oraz
Pole wektorowe
~ (P, Q, R)
W
polem wektorowym okre-
jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy
~ = ~0.
rot W
1
~ (P, Q, R)
W
dr Krzysztof ›yjewski
Denicja 10.
MiBM, I rok,
Laplasjanem funkcji skalarnej
I0
in».
F (4F )nazywamy
28 marca 2015
funkcje skalarna okre±lon¡ wzorem:
∂ 2F
∂ 2F
∂ 2F
4F =
+
+
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Twierdzenie 11.
Je»eli pole wektorowe
~ (P, Q, R)
W
posiada w obszarze
V
potencjaª
F (x, y, z),
to
div (gradF ) = 4F.
Zadania na ¢wiczenia
1. Wyznacz gradienty funkcji skalarnej:
a)
F (x, y, z) = z − arctg xy ;
b)
F (x, y, z) = xy cos(y 2 + 2z).
F (x, y, z) = x3 +y 3 +z 3 −3xyz w punkcie P0 = (3, 2, 0). W jakich punktach
niezerowy i prostopadªy do osi Oz, a w jakich si¦ zeruje?
2. Oblicz gradient pola
gradient pola jest
3. Oblicz k¡t mi¦dzy gradientami pól
y
F1 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , F2 (x, y, z) = arctg x+y
2
w punkcie
P0 = (1, 1, 4).
F (x, y, z) = ln(2x + y 2 + z)
P0 = (1, −2, 1).
4. Dla pola
5. Zaªó»my, »e temperatura
T
wyznacz najwi¦ksz¡ pr¦dko±¢ zmiany warto±ci w punkcie
w pewnym ciele zmienia si¦ zgodnie ze wzorem
2
xz . Wyznacz kierunek, najszybszego wzrostu T
w punkcie
T (x, y, z) = x3 y +
P0 = (1, 2, −1) oraz pr¦dko±¢ z jak¡
ro±nie.
6. Wyznacz dywergencj¦ pola wektorowego:
a)
c)
~ = [y 2 + z 2 , z 2 + x2 , x2 + y 2 ] ;
W
~ = − 1 xy 2~i − zy 2~j − xz 2~k;
W
2
7. Czy pole wektorowe
b)
d)
~ = [y 2 + z 2 , z 2 + x2 , x2 + y 2 ] ;
W
~ = ln x, exyz , arctg z
W
x
h
i
~ = cos xy 2 , ln(z 2 − 3y), 4z+x3 .
W
jest bez¹rodªowe?
8. Wyznacz rotacj¦ pola wektorowego:
a)
c)
~ = [y 2 + z 2 , z 2 + x2 , x2 + y 2 ] ;
W
~ = [x + 2z, z − 3y, 4x + 5z] ;
W
d)
~ = (3x2 + y)~i + x~j + 2z~k
W
h
i
~ = x2 e−z2 , −xyz 2 , e−(x2 +y2 +z2 ) .
W
b)
~ = [x + z, −y, 2] .
W
b)
9. Sprawd¹, które pola wektorowe s¡ potencjalne:
a)
10. Czy
~ = [y + z, x + z, x + y] ;
W
i
h
~ = ex ln y, − ex , ex
pole wektorowe W
y
y
jest bezwirowe.
11. Wyznacz laplasjan funkcji:
a)
F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xyz;
12. Czy dla pola wektorowego
b)
F (x, y, z) = x − arctg yz .
~ = [x2 − yz, y 2 − xz, z 2 − xy] zachodzi wzór div (gradF ) = 4F ?
W
2