Układ regulacji ze sprzężeniem od stanu

Układ regulacji ze sprzężeniem od stanu

Układ regulacji ze sprzężeniem od stanu
1. WSTĘP
Jednym z celów stosowania układu regulacji (otwartego, zamkniętego) jest kształtowanie dynamiki obiektu
sterowania. Jeżeli obiekt opisany jest równaniami stanu, to dynamika obiektu jest jednoznacznie określona przez
macierz stanu. Pierwiastki równania charakterystycznego, wartości własne macierzy stanu, określają stabilność i
dynamikę obiektu. Na rysunku 1 pokazano przykłady relacji pomiędzy położeniem wartości własnych macierzy
stanu na płaszczyźnie zespolonej a właściwościami dynamicznymi. Klasyczny układ regulacji z regulatorem
typu P, PI, PID może zmodyfikować położenie tylko ograniczonej liczby wartości własnych macierzy stanu.
Właściwości obiektu sterowania kształtuje się przez odpowiedni dobór wartości własnych macierzy stanu układu
zamkniętego. Metoda sterowania ze sprzężeniem od stanu, polegająca na tym, że sygnał sterujący jest
kombinacją liniową wszystkich zmiennych stanu umożliwia lokowanie wartości własnych macierzy stanu
zgodnie z wymaganiami.
Rys.1. Zależność między położeniem wartości własnych macierzy stanu a dynamiką układu
2. UKŁAD STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD STANU
Celem zadania jest zaprojektowanie prawa sterowania ze sprzężeniem od stanu, które zapewni pożądane
właściwości zamkniętego układu sterowania w stanie przejściowym i ustalonym.
Jeżeli do obiektu liniowego opisanego równaniami stanu:
gdzie: A(n*n), B(n*m), u(m*1), x(n*1),
zastosowuje się prawo sterowania o postaci:
gdzie: K(m*n) jest macierzą o stałych współczynnikach wzmocnień sprzężenia od stanu,
to układ zamknięty opisują równania stanu:
gdzie: (A-BK) jest macierzą stanu układu zamkniętego.
Struktura układu ze sprzężeniem od stanu przedstawiona jest na rysunku 2.
Rys.2. Struktura układu ze sprzężeniem od stanu
Macierz stanu układu zamkniętego jednoznacznie określa jego właściwości dynamiczne. Można osiągnąć
arbitralnie wybrane wartości własne układu zamkniętego za pomocą sprzężenia zwrotnego od stanu, jeżeli układ
otwarty jest sterowalny. Oznacza to, że dla każdych n liczb zespolonych {1, 2, … n}, istnieje macierz
wzmocnień K taka, że: (A-BK)= {1, 2, … n}, wtedy i tylko wtedy, gdy para (A, B) jest sterowalna (gdzie
(M) oznacza wartości własne M).
Projektowanie układu sterowania ze sprzężeniem od stanu składa się więc z kilku kroków:
1. Sprawdzenie, że układ otwarty jest liniowy (zlinearyzowany),
2. Sprawdzenie, że układ otwarty jest sterowalny,
3. Wybór wartości własnych układu zamkniętego,
4. Wyznaczenie K.
Dla obiektu typu SISO K jest wektorem o wymiarach (1*n) a prawo sterowania ma postać:
u (t )    k1 k2
 x1 (t ) 
 x (t ) 
... kn    2   r (t ) 
 ... 


 xn (t ) 
 k1 x1 (t )  k2 x2 (t )  ...  kn xn (t )  r (t )
Rys.3. Układ ze sprzężeniem od stanu dla obiektu SISO
3. ZMNIEJSZANIE UCHYBU USTALONEGO
Drugim poza kształtowaniem dynamiki obiektu celem układu sterowania jest śledzenie wartości zadanej r.
Ponieważ sprzężenie od stanu nie zapewnia śledzenia wartości zadanej, to układ należy zmodyfikować. Wierne
śledzenie wartości zadanej realizowane może być w układach z SFC na dwa sposoby: dodatkowa macierz
sprzężenia w przód G albo dodatkowy człon całkujący. Oba układy pokazano na rysunku 4.
Rys.4. Układ sterowania ze sprzężeniem od stanu z: a) dodatkowym sprzężeniem w przód G, b) dodatkowym
członem całkującym
Prawo sterowania dla układu ze sprzężeniem w przód G (rys.4a) ma postać:
u(t )  Kx(t )  Gr (t )
gdzie G wyznaczana z warunku równości wartości zadanej r i wyjścia obiektu y w stanie ustalonym jest równa:

G   C(A  BK ) 1 B

1
Prawo sterowania dla układu z rysunku 4b, z dodatkowym członem całkującym ma postać:
 x(t ) 
u(t )  Kx (t )  k I  (t )  K  k I   

 (t )
gdzie: K* = [K –kI] jest nową macierzą sprzężenia od stanu a  jest nową zmienną stanu obiektu, obiektu
rozszerzonego:
(t )  r (t )  y(t )
Nowa zmienna stanu  jest całką z błędu śledzenia a kI jest wzmocnieniem sprzężenia od stanu tej nowej
zmiennej. Równania stanu obiektu ze sprzężeniem od stanu i dodatkowym członem całkującym, z rozszerzonym
wektorem stanu są:
 x (t )   A  BK Bk I   x(t )  0


r (t )
(t )    C
0   (t ) 1

 
 x(t ) 
y (t )  C 0  

 (t )
Macierz stanu obiektu rozszerzonego ze sprzężeniem od stanu ma postać:
 A  BK Bk I   A 0 B
K  k I 


 C
0   C 0  0 

Z postaci równania wynika, że można arbitralnie ustalić bieguny obiektu rozszerzonego, jeżeli para (A*, B*) jest
sterowalna, gdzie:
  A 0  B  
*
*


  C 0 ,  0    A , B
  



Procedura wyznaczania wzmocnień jest taka sama jak poprzednio, czyli po sprawdzeniu sterowalności pary
(A*, B*), rozszerzony wektor wzmocnień: K* = [K –kI] wyznaczany jest dowolną metodą.
4. WZNACZANIE MACIERZY WZMOCNIEŃ SPRZĘŻENIA OD STANU
Jest kilka metod wyznaczania macierzy wzmocnień K.
1. Najprostsza metoda dotyczy obiektu opisanego równaniami stanu w postaci kanonicznej, z macierzą
stanu o postaci:
z równaniem charakterystycznym:
Macierz stanu (dla układu SISO) układu zamkniętego jest równa:
a jego równanie charakterystyczne ma postać:
Jeżeli dla ustalonych, wybranych wartości pierwiastków równania charakterystycznego {1, 2, … n} układu
ze sprzężeniem od stanu równanie to ma postać:
to z porównania otrzymuje się bezpośrednio wartości wzmocnień K:
K  ( 0  a0 ), (1  a1 ), ... ( n1  an1 )
2. Druga metoda nosi nazwę reguły Ackermana. Dla sterowalnego systemu określonego przez macierze A,
B oraz C, D i dla wartości własnych układu zamkniętego {1, 2, … n}, z równaniem
charakterystycznym układu zamkniętego (s) jak wyżej, macierz K wzmocnień sprzężenia od stanu
określona jest wyrażeniem:
Macierz P jest macierzą sterowalności pary (A, B) a (A) ma postać:
3. Trzecia metoda to wyznaczenie regulatora optymalnego (dla układu liniowego) K, który minimalizuje
kwadratowy wskaźnik jakości o postaci:
1 t

J  min   xT Qx  u T Ru dt 
u
2 0



gdzie Q, R dodatnio określone macierze wag dla stanu i sterowania.
Dla prawa sterowania o postaci: u(t )  Kx(t ) rozwiązaniem zadania optymalnego jest macierz K:
K  R 1BT P
gdzie P jest rozwiązaniem równania Ricattiego:
AT P  PA  Q  PBR 1BT P  0
Rozwiązanie tak postawionego zadania skutkuje kompromisem pomiędzy jakością a kosztem
sterowania. W metodzie tej nie określa się z góry położenia biegunów zamkniętego układu regulacji.
Macierze Q, R wybierane są przez projektanta (arbitralnie, iteracyjnie). Są w literaturze [1] wskazówki
pozwalające na wstępne określenie wartości elementów macierzy Q, R oraz opisane są procedury
iteracyjne.
5. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest zaprojektowanie dla zadanego obiektu układu sterowania ze sprzężeniem od stanu.
Zakres ćwiczenia:
1. Zamodelować obiekt zadany w postaci równań stanu albo równania różniczkowego wyższego rzędu. Zbadać
jego właściwości dynamiczne, stabilność, położenie biegunów i sterowalność.
2. Zaprojektować układ sterowania ze sprzężeniem od stanu. W tym celu określić położenie biegunów układu
zamkniętego i zgodnie z metodą 1 lub 2 z p.4 instrukcji określić wartość K.
3. Zaprojektować regulator optymalny przez sprzężenie od stanu, zgodnie z metodą 3 p.4 instrukcji. Sprawdzić
wpływ macierzy Q i R na jakość sterowania.
4. Sprawdzić uchyb ustalony w odpowiedzi na skok jednostkowy.
5. Zaprojektować układ zapewniający zerowy uchyb ustalony w odpowiedzi na skok jednostkowy zgodnie z
rysunkiem 4a lub 4b. Sprawdzić dokładność i odporność na błędy modelowania.
6. BIBLOGRAFIA
[1].
Rastic I., Kolonic F., Poljugan A.:State Feedback Optimal Controller Design for the Rotational
Electromechanical System, Croatia, 2006
[2].
Franklin G., Powell J. D., Emami-Naeini A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice Hall, 4
edition, 2002