Teoria Sterowania - część 1 pytania i problemy z metody linii

Teoria Sterowania - część 1
pytania i problemy z metody linii pierwiastkowych
1.1 Dany jest układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, wyprowadzić
zależności opisujące transmitancje
ĝo (s) =
ŷ(s)
,
r̂(s)
ĝer (s) =
ê(s)
.
r̂(s)
1.2 Dany jest układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, wykorzystując
twierdzenie graniczne przekształcenia Laplace’a wyprowadzić zależności opisujące
błąd położeniowy ep i błąd prędkościowy eV .
1.3 Dany jest układ opisany transmitancją
ĝ(s) =
1 2
s
ω02
k
,
+ ω2β0 s + 1
wyprowadzić zależności opisujace odpowiedź skokową h(t) i jej maksimum hmax .
1.4 Dany jest układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym z zakłóceniem
d(t) i szumem pomiarowym n(t), wyprowadzić zależności opisujące
ĝyd (s) =
ŷ(s)
,
ˆ
d(s)
ĝen (s) =
ê(s)
.
n̂(s)
1.5 Naszkicować wykresy linii pierwiastkowych układów sterowania z obiektami
ĝ(s) =
1
,
s(s + 2)
ĝ(s) =
s+4
.
s2 + s − 2
1.6 Dany jest obiekt
1
,
s(s + 2)
wykorzystując metodę linii pierwiastkowych zaprojektować układ sterowania spełniający następujące wymagania:
ĝ(s) =
a) błąd położeniowy eP = 0,
b) przeregulowanie p% ¬ 5%,
c) czas ustalania t2% ¬ 9 s (2% - czas ustalania),
d) czas narastania t0.9 możliwie najkrótszy.
1.7 Dany jest obiekt
s+4
s2 + s − 2
wykorzystując metodę linii pierwiastkowych zaprojektować układ sterowania spełniający następujące wymagania:
ĝ(s) =
a) błąd położeniowy eP % ¬ 10%,
b) przeregulowanie p% ¬ 5%,
c) czas ustalania t2% ¬ 4.5 s (2% - czas ustalania),
d) czas narastania t0.9 możliwie najkrótszy.
Teoria Sterowania - część 2
pytania i problemy z metody częstotliwościowej
2.1 Naszkicuj wykres Nyquista układu
k
,
(1 + T s)3
ĝ(s) =
(1)
gdzie k, T > 0. Wyznacz ω1 , |ĝ(jω1 )| i arg ĝ(jω1 ) odpowiadające punktowi przecięcia
wykresu z ujemną częścią osi rzeczywistych.
2.2 Wykorzystując kryterium stabilności Nyquista zbadaj stabilność układu sterowania
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
ĝo (jω) = ĉ(jω)ĝ(jω)
r(t)✲
e(t) ✲
ĉ(s)
u(t) ✲
ĝ(s)
y(t) ✲
✻
Rysunek 1: Układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
gdzie ĉ(s) = kp , a ĝ(s) jest dane zależnością (1).
2.3 Naszkicuj charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy transmitancji układu otwartego z Rysunku 1, przyjmując
√
10
√
,
(2)
ĉ(s) = 1 , ĝ(s) =
s(s + 10)
a następnie z otrzymanych wykresów odczytaj zapas modułu i zapas fazy.
2.4 Dany jest obiekt
ĝ(s) =
√
10
√
,
s(s + 10)
(3)
wykorzystując metodę częstotliwościową zaprojektuj układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, spełniający następujace wymagania:
a) błąd położeniowy eP % ¬ 10%,
b) zapas fazy zf ­ 45o ,
c) modułowa pulsacja przejścia ωm możliwie największa.
Wskazówka : Wykorzystaj najprostszy możliwy regulator i uproszczone charakterystyki logarytmiczne.
2.5∗ (nie objęte wykładem) Dany jest obiekt
ĝ(s) =
1
;
s(s + 2)
(4)
wykorzystując metodę częstotliwościową zaprojektuj układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, spełniający następujace wymagania:
a) błąd prędkościowy eV % ¬ 10%,
b) zapas fazy zf ­ 60o .
Wskazówka : Wykorzystaj regulator opóźniający fazę i charakterystyki logarytmiczne wykreślone z pomocą programu MATLAB.
2
Teoria Sterowania - część 3
pytania i problemy z metody przestrzeni stanu
3.1 Dane są obiekty opisane transmitancjami
ĝ1 (s) =
3s2 + 6
,
2s2 + 18s + 12
ĝ2 (s) =
s2
1
.
+4
(1)
Dla każdego z tych obiektów znajdź po dwie realizacje w przestrzeni stanu
ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) ,
y(t) = cx(t) + du(t),
(2a)
(2b)
gdzie A ∈ R2×2 , b ∈ R2×1 , c ∈ R1×2 i d ∈ R, z których jedna jest sterowalna a
druga obserwowalna.
3.2 Dana jest sterowalna realizacja transmitancji obiektu ĝ2 (s); zaprojektuj układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu
r(t)
u(t)
✲
✲
y(t)
Obiekt
✲
✻
kx(t)
x(t)
k = [k1 k2 ] ✛
Rysunek 1: Układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu
gdzie sterowanie ma postać
h
u(t) = r(t) − kx(t) = r(t) − k1 k2
i
"
x1 (t)
x2 (t)
#
= r(t) − k1 x1 (t) − k2 x2 (t) ,
(3)
a r(t) jest nowym wejście lub sygnałem odniesienia. Innymi słowy, wyznacz macierz
wzmocnień sprzężenia zwrotnego
h
i
k = k1 k2 ∈ R1×2 ,
(4)
które ulokuje bieguny układu (wartości własne macierzy głównej Ak = A − bk) w
położeniach
√
√
λ̄1 = −2 − j 3 , λ̄2 = −2 + j 3 .
(5)
3.3 Wyprowadź zastępczą transmitancję układu ze sprzężeniem zwrotnym z Rysunku 1,
tzn.
ŷ(s)
,
(6)
ĝk (s) =
r̂(s)
i sprawdź czy posiada ona pożądane bieguny.
3.4 Dana jest obserwowalna realizacja transmitancji obiektu ĝ2 (s); przyjmując, że stan
dokładny jest niedostępny, zaprojektuj obserwator stanu
˙
x̃(t)
= (A − lc)x̃(t) + (b − ld)u(t) + ly(t) ,
(7)
tzn. wyznacz macierz wzmocnień błędu wyjściowego
l=
"
#
l1
l2
∈ R2×1 ,
(8)
która ulokuje wartości własne macierzy głównej obserwatora Al = A − lc w położeniach
µ̄1 = −8 , µ̄2 = −8 .
(9)
3.5 Zadanie podsumowujące
Dany jest obiekt o transmitancji
ĝ(s) =
s2
1
;
+1
(10)
zaprojektuj układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym i obserwatorem (Rysunek 2)
r(t)
u(t)
✲
✲
y(t)
Obiekt
✲
✻
kx̃(t)
k
✛
x̃(t)
❄
Obserwator ✛
Rysunek 2: Układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym i obserwatorem
tzn. sterowanie ma postać
u(t) = r(t) − kx̃(t) ,
(11)
gdzie x̃(t) jest stanem estymowanym, k jest macierzą wzmocnień sprzężenia zwrotnego, a r(t) jest nowym wejściem.
Rozwiązanie zadania podziel na następujące trzy kroki ((a), (b), (c)):
(a) Znajdź sterowalną i obserwowalną realizację transmitancji (10)
ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) ,
y(t) = cx(t) + du(t),
(12a)
(12b)
gdzie
x(t) =
2
"
x1 (t)
x2 (t)
#
(13)
jest stanem oraz
A=
"
a11 a12
a21 a22
#
,
b=
"
b1
b2
#
c=
,
h
c1 c2
i
,
d jest liczbą.
(14)
(b) Dla układu (12) zaprojektuj sprzężenie zwrotne od stanu (w tym kroku załóż,
że stan dokładny x(t) jest dostępny)
u(t) = r(t) − kx(t) ,
(15)
gdzie k = [ k1 k2 ] jest macierzą wzmocnień sprzężenia zwrotnego, a r(t) jest nowym
wejściem, tzn. wyznacz taką macierz wzmocnień
k = [k1 k2 ] ,
(16)
która ulokuje bieguny układu (wartości własne macierzy głównej Ak = A − bk) w
położeniach
λ̄1 = −2, λ̄2 = −4 .
(17)
(c) Zakładając, że dokładny stan x(t) jest niedostępny, zaprojektuj pełnowymiarowy
obserwator stanu układu (12) w postaci
˙
x̃(t)
= (A − lc)x̃(t) + bu(t) + ly(t) ,
(18)
"
(19)
gdzie
x̃(t) =
"
l
jest stanem estymowanym, a l = 1
l2
tzn. znajdź taką macierz wzmocnień
#
x̃1 (t)
x̃2 (t)
#
jest macierzą wzmocnień błędu wyjściowego,
l=
"
l1
l2
#
,
(20)
która ulokuje wartości własne macierzy głównej obserwatora Al = A − lc w położeniach
µ̄1 = −4, µ̄2 = −8 .
(21)
3