Metoda wyrównania zbioru poziomych sieci geodezyjnych

Metoda wyrównania zbioru poziomych sieci geodezyjnych

P R A C E IN S T Y T U T U G EO D EZJI I K A R T O G R A F II
Т о т X X V I , Ze sz y t 3(63), 1979
JE R ZY G A Ź D Z IC K I
528.1:528.33
Metoda wyrównania zbioru poziomych sieci geodezyjnych
Zarys
treści.
P o d a je się m etod ę w y ró w n a n ia zb ioru w z a je m n ie p o w ią z a ­
n y ch sieci, p o le g a ją c ą na ite r a c y jn y m ob liczen iu jed n ozn a czn ych w a r to ś c i w s p ó ł­
rzę d n y c h w s zy s tk ich p u n k tów . U zy s k a n e ro z w ią z a n ie spełn ia w a ru n e k m in im a ln e j
d e fo r m a c ji sieci.
1. Wstęp
T y p o w y m i produktam i prac geod etów są sieci geod ezyjn e. Z tego
oczyw istego faktu w ynika, że liczba różnego rodzaju sieci stale rośnie
w każdym kraju. Sieci now e są zakładane na obszarach p o k rytych już
uprzednio innym i sieciami, zw a n ym i tu krótko sieciam i starym i. Z r e ­
g u ły sieci łączą się ze sobą, m ając pew n e pu nkty wspólne.
Pod w zględ em nu m erycznym pow iązanie dwóch sieci w yk on u je się
różn y m i sposobami. O gólnie rzecz biorąc, można stw ierdzić, że stosowane
są procesy obliczeniow e prow adzące do jednego z dwóch podstaw ow ych
w a ria n tó w w yn ików .
W w ariancie I pu nkty należące w yłączn ie do sieci starej zachow ują
w spółrzędne określone w w yrów n a n iu tej sieci w yk on an ym bez u w zg lęd ­
nienia sieci n ow ej; w spółrzędne punktów należących w yłączn ie do sieci
n ow ej są otrzy m y w a n e w w yrów n an iu sieci now ej, natomiast w sp ółrzęd ­
ne pu nktów w spólnych uzyskuje się w sposób w ła ściw y dla zastosowanej
m etody.
Jako w yp ad k i szczególne można tu podać:
— klasyczne w yrów n a n ie sieci n ow ej jako sieci dru giego rzędu
w stosunku do sieci starej; zakłada się w ówczas, że w spółrzędne obliczo­
ne w w yrów n an iu sieci starej są bezbłędne w w yrów n a n iu sieci n ow ej,
— w yrów n a n ie sieci n ow ej p rz y u w zględn ieniu w a ria n cji (m etoda
Hausbrandta) lub też w arian cji i k ow arian cji w spółrzędnych punktów
w spólnych określonych w w yrów n a n iu sieci starej.
W ariant I I ch ara k teryzu je się tym , że w rezu ltacie dołączenia sieci
n ow ej zm ianie u legają rów n ież w spółrzędne w szystkich pu nktów sieci
starej.
W y n ik i
tego
typ u
u zyskuje
się,
stosując,
na przykład,
jedną
z m etod łącznego w yrów n a n ia sieci spełniającą w arunek
v TQ - i v = m in
odniesiony do w ektora popraw ek v oraz
w szystkich obserw acji obydw óch sieci.
( 1)
m acierzy
k o w arian cyjn ej
Q
Generalną w adą rozw iązań w edłu g w ariantu I jest zniekształcanie
jed n ej lub obydw óch sieci w rejonach pu nktów w spólnych. O bserw acjom
w
tych rejon ach p rzyp orzą d k ow yw a n e są nadm iernie duże popraw ki.
W ielkość zniekształcenia uzależniona jest p rzy ty m od stosunku dokład­
ności ob serw acji obydw óch sieci, u żytej m etod y oraz sposobu pow iązania
i kształtu sieci.
M e to d y rea lizu jące w sposób ścisły w aru nek (1) stosowane są dość
rzadko z p rzy czyn czysto praktycznych: cena jaką n ależy płacić za zgod­
ność z teorią jest n iejedn okrotn ie zb yt w ysoka. D o ty czy to zwłaszcza
zakładanych obecnie sieci szczegółow ych, które, na p rzyk ła d w Polsce,
za w iera ją dziesiątki, a naw et setki tysięcy punktów.
W p raktyce g eo d ezy jn ej rozw iązan iem bardzo dogodnym jest w y r ó w ­
nyw anie każdej sieci szczegółow ej bez u w zględn ien ia pow iązań z sąsied­
nim i sieciam i o podobnej dokładności. B iorąc to pod uwagę, w pracy
nin iejszej rozpatru je się zbiór w za jem n ie pow iązanych, lecz oddzielnie
w yrów n a n ych sieci g eo d ezy jn y ch p o k ry w a ją cy ch p ew ien obszar. Zakłada
się, że w spółrzędne pu nk tów w e w szystk ich sieciach są obliczone w je d ­
nym i ty m sam ym układzie w spółrzędn ych na drodze:
— w yrów n a n ia w naw iązaniu do pu nktów sieci pań stw ow ej w yższej
klasy, lub
— w yrów n a n ia
niezależnego
oraz późn iejszej
tra n sform acji
w spół­
rzędnych.
P o m ię d zy w artościam i w spółrzędn ych pu nk tów w spóln ych o trzy m a ­
nym i z sąsiednich sieci istn ieją zatem pew n e różnice w yn ik a ją c e z b łę ­
dów pom iarow ych. Zachodzi w ięc potrzeba w yrów n a n ia i uzyskania
jednoznacznych w spółrzędn ych każdego punktu.
Dążąc do uniknięcia w ad rozw iązań w ed łu g w ariantu I i jednocześnie
rezygn u ją c ze ścisłego spełnienia w aru nku ( 1) proponu je się now ą m e­
todę w yrów n an ia, staw iając w aru nek m in im aln ej d eform a cji zbioru sieci
w sensie określon ym w dalszym ciągu pracy. Do zalet tej m etod y za li­
czyć można:
•— jednoczesne i jed n olite p rzetw o rzen ie w szystkich w y ró w n y w a n y c h
sieci,
— uniwersalność zastosowań,
— prostotę algorytm u oraz m ałą pracochłonność ob l;czeń,
— n iew ielk ą liczbę danych początkow ych.
M etoda nie k w a lifik u je się, oczyw iście, do w yrów n a n ia sieci I klasy
oraz innych sieci o w ysokich standardach dokładności.
2. Podstawowe założenia
W niniejszej pracy sieć geod ezyjn a S będzie określona przez podanie
(rys. 1):
1) zbioru P oznaczeń punktów sieci,
2) zbioru
В = {(i, j ) }
oznaczeń boków sieci, gdzie
i 6 P,
jC P
są
oznaczeniam i p a ry punktów połączonych bokiem ,
2) zbioru W = { ( x k> у/с)}, к 6 P par w spółrzędnych punktów sieci,
4)
param etru m dokładności sieci, p rzyjm o w a n ego jako przeciętn y
średni błąd w zg lęd n y długości boku w sieci.
W sposób ogóln y można zatem przedstaw ić sieć geod ezyjn ą S pisząc
S = (P , B, W , m )
(2)
W y o b ra źm y sobie teraz, że dany obszar jest p o k ry ty zbiorem Z sieci
g eod ezyjn ych S(1>, S(2), . . . S(n) (rys. 2):
Z = {S<1>, S<« . . . S<n>},
(3)
SOo = { p w , B<">, W<">, m (h)}.
(4)
gdzie
Zakłada się, że:
1) każda sieć S <
-h) ma co n ajm n iej jed en punkt w sp óln y z sieciam i
pozostałym i,
2) k a żd y punkt g e o d e z y jn y w zbiorze sieci Z ma jedno, n iep ow ta rza l­
ne oznaczenie,
3) w spółrzędne pu nktów w e w szystk ich sieciach podane są w jed n ym
układzie w spółrzędnych,
4) w szystk ie sieci są doprow adzon e do jed n olitej skali oraz do jed n o­
lite j orien ta cji p rzez uprzednie w yrów n a n ia oraz ew en tu aln e tra n sfor­
m acje m etodą n ajm n iejszych kw adratów ,
5) p om iędzy w sp ółrzęd n ym i pu nktów w spólnych t, tj. pu nk tów nale­
żących do co n ajm n iej dw óch sieci S(g), S (r) (t 6 P (q\ t G P W ) istnieją
pew n e różnice o ch arakterze przyp a d k ow ym , w yn ik a ją c e z b łęd ów po­
m iarow ych.
Dla w yrów n a n ia tak określonego zbioru sieci i uzyskania jednoznacz­
nych w spółrzędn ych w szystk ich pu nktów staw ia się następujący w aru ­
nek ogólny:
V
h=l
У1
w (h) [(г-'а|,?г)) 2+ (ь 'Ь ^ )) 2] = min,
(TT) e B(h)
(5)
Q
-w(,l) — ęm (h)yi
jest w agą sieci S(h) obliczoną p rz y u w zględn ien iu w y b r a ­
nej stałej c,
va9f
— jest zm ianą azym utu affi (w radianach) boku (i, j ) w te j
vb ff
— jest zm ianą loga rytm u naturalnego bjV = In i f f długości
sieci,
199 tego boku, rów n ą w zg lęd n ej zm ianie długości:
vW1
)
vb99 =
№
'
W aru n ek (5) n a zyw an y jest w n in iejszej pra cy w aru n kiem m in im al­
nej d eform a cji zbioru sieci. Z godnie z ty m w aru nkiem poszukuje się
takich w artości w spółrzędn ych punktów , aby suma k w a d ra tów zm ian
a zym u tów oraz w zg lęd n y ch zm ian długości pom nożonych p rzez odpo­
w ied n ie w a g i była rów n a m inim um . Stosuje się p rz y ty m w a g i w <h> je d ­
nakow e dla azym u tów i lo g a ry tm ó w długości w danej sieci S №). P r z y ­
jęcie tak ogólnego m odelu stochastycznego zn ajd u je sw oje uzasadnienie
w w yn ikach obliczeń testow ych, ja k też w fakcie, że dla w iększości sieci,
zwłaszcza dawnych, brak jest in form a cji u m ożliw iają cych sform u łow anie
tego m odelu w sposób bardziej szczegółow y.
3. W yprowadzenie wzorów
R ozw iązanie przedstaw ionego p o w y żej problem u u zyskuje się w p ro ­
sty sposób, stosując m etodę n ajm n iejszych k w a d ratów w odniesieniu do
azym u tów a/j° i loga rytm ów długości b /
( j} jako w ielkości obserw ow anych.
Z m ian y v a ff} , vU/p spełniają w ów czas rolę popraw ek obserw acji.
Dla każdego boku (i, j ) sieci S (h) m ożna zatem napisać dw a rów nania
popraw ek:
vaW = da.:
af) — a f ) ,
( 6)
vb<>? = dbu + b < ? - b f f ,
(7)
g d z ;e dciij, dbjj są zm ianam i, które n ależy dodać do w artości p rz y b liż o ­
nych aj0) , b<°> obliczonych ze w spółrzędn ych p rzy b liżon y ch x j ^ y ^ x j ^ y j 0’
aby uzyskać w yró w n a n e w artości azym utu i logarytm u długości boku
0 , j).
Oznaczając dalej
d xk = x , . - x f ,
dyk = y k~ y (^ — różnice m ięd zy w spółrzędn ym i
w y ró w n a n y m i i p rzy b liżo n y m i
punktu k,
d x(h> = x (h) — X ® , dy(fch) = ук ] — у(к — różnice m ięd zy w spółrzędn ym i
w sieci S<h> oraz w sp ó łrzęd n y ­
m i p rzy b liżo n y m i punktu k,
m ożna przekształcić rów nania (6), (7) zastępując d a d b tj, oraz a j f — af)
Ц к) — b p
od pow ied n im i różniczkam i zupełnym i:
m (/;> = Bijdx{ — Ajjd y, — B^d xj + A y d y , — ( В иdx(!l) — A tJ d y f - B ^ dxf> +
+ A ..d y f'),
v b ^ = — A j jd x i —Б.
( 8)
h+ A ijd x j + B ijd y j - ( - A !Jd x ^ - B iJd y ^ + A iJd x f'> +
+ B 0dy<*>),
(9)
gd zie w spółczyn n ik i A y , B y są podane w zora m i
xV *— х 1.0'*
Ai} =
(x)°) - x<°>)2'+ (j/»> - y <0)) 2 ’
y,-0*— y p
B '7 =
( x j o ) - x <0)) 2+ ( ^ 0)- 2/'0)) 2
(10)
O bliczenie niew iadom ych różnic m ięd zy w sp ółrzęd n ym i w y ró w n a n y ­
m i i p rzy b liżo n y m i m oże być łatw o w yk on an e p rz y zastosowaniu procesu
itera cy jn eg o
Gaussa-Seidla,,
k tó ry
w
rozp a tryw a n ym
w yp ad ku
sieci
szczegółow ych jest z reg u iy szybko zbieżny. O dpow iednie w z o r y iteracy jn e otrzym u je się układając rów nania norm alne na podstaw ie rów nań
popraw ek ( 8) i (9).
K ażdem u
punktow i
o w spółrzędnych
w y ró w n y w a n y c h
są p rzy p o ­
rządkow ane dwa rów nania norm alne:
dxi V y ^ w (h)( A l
h j
-
v
h
dy,
V
h
-£
fi
V V w {h)(A-j-\-Bl')dXj +
h
j
j dx<w -|- v У w(h) ( A l + B l ) d x f = 0,
h j
j
V w(h\ A * + В?) j
v te№ )(A *+ B *)
У
v V
h
+ B I)
( 11)
dVj +
j
+ ^
h
^
j
- f Bf.) dyjW = 0.
(12)
Podstaw iając
A j + B y — ^x (0) ZT^(0y ip ^ y (0) _ y(0)^2
U«J
(13)
oraz rozw iązu jąc rów nania ( 11), ( 12) w zględ em d x it dyt otrzy m u je się
bezpośrednio w zo ry procesu iteracyjn ego, zapisane tutaj w następującej
postaci:
V V
dXi: =
h
w^h)u iJ (dx^h) —
j
V V
h
i
w (h5u-tj dXj
------- -------------------- + ----fT T i
У
У ги№) u ij (dy<
iU] —dy<jM')
h i
dyt ■ ------------ \ ' \ ’
N У
—j —j
h
j
-----
W'nl U.j
У Y w(W u-.dy
h j
—---------------- 1
-----— тг:------------- •
и-,
1
(14)
У V го( >и-,
h
^
(15)
u
N a początku procesu p rzy jm u je się d x k = dyk = 0. P o uzyskaniu do­
statecznie m ałych — w sensie w yb ran ego k ry teriu m — różnic m ięd zy
k o lejn y m i przyb liżen ia m i niew iadom ych, oblicza się w yrów n a n e w a rto ­
ści w spółrzędnych:
x, = Xj(0) + dXj
(16)
У i = V i ^ + dyi
(17)
P r z y pra k tyczn ym stosowaniu w zo ró w itera cy jn y ch (14) i (15) należy
zw rócić uwagę na to, że w yrażen ia
V
V w<h) u.j (d x ^ —dxjh))
y j V w(h) Uy (dy(ih>—
ii
У У w th> U.J
h
i
(18)
У
’
j
W (h> U у
h
i
są stałym i, które w ys ta rczy ob liczyć jed en raz w p ierw szej iteracji. N a ­
tom iast w każdej itera cji obliczane są w yra żen ia
у V
___"
V у
w^UydXj
J
_______________
/Vi /Vi w (hyur‘J
h
w (h^Uydyj
___ ____ L________________
(1 9 )
/У < /УJ1w (h) U-
’
i
h
j
które m ogą być in terpretow an e jako ogólne średnie a rytm etyczn e z ak­
tualnych w artości niew iadom ych dXj oraz dy3 dla w szystkich punktów j
połączonych bokam i z punktem i w każdej sieci S (h) w y ró w n y w a n e g o
zbioru sieci Z.
D la uproszczenia obliczenia w yra żeń (18) sugeru je się p rzy jm o w a n ie
następujących w artości p rzyb liżon ych w spółrzędnych:
1) jeśli punkt
к w ystęp u je
w yłączn ie
w
sieci S (h), p rz y jm u je
się
(xjj.0), y[0>) = ( x f \ Vi^), a w ów czas (d x ‘h), dy[h)) = (0,0),
2) jeśli punkt к jest punktem stałym o w spółrzędn ych ( x k, y k), p r z y j­
m uje się (x<0), y f ) = {x k, y k), a w ów czas (dx™, dy™ = (x™ - x k, y '^ -
y.J,
3) jeśli punkt к jest punktem w yzn aczan ym w ystęp u jącym w w ięcej
niż jed n ej sieci, w ów czas jako w spółrzędne p rzyb liżon e p rz y jm u je się
w spółrzędne dane w jed n ej z tych sieci, np. S<9>, co oznacza, że (x [0),y<0,) =
= (x<f, y ^ ) , (dxf>, dyf>) = ( x f }- x f > , y f > - y f ) .
4. Przykład
P rz y k ła d d o tyczy zbioru Z =
{ S (1\
S <2)}
dw óch m ałych sieci geod e­
zyjn ych :
1 sm = (p(n
b
(1>, W <», m (i>),
P ( i) = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B<i) = {(1,6), (1,2), (2,6), (1,7), (1,3), (3,7), (2,3), (2,4),
(3,4), (2,5), (4 ,5 )}
W<n = {(x<]), y (11,) >
m<» = 4,2 • 10~5
2) s<2) = (p (2);
b
(2)> w<2), m<2>)
P ‘2> = (4, 5, 8, 9, 10}
ВЙ) = {(4,5), (5,8), (8,4), (4,9), (8,9), (5,10), (8,10)}
W (2) = j ^ ( 2) г y(2)j ^ ^x (2) ( y (2))J
m 2 = 3,0 • 10~5
Przeciętn a długość boku w sieciach w yn osi 3 km.
W procesie w yrów n an ia w edług opisanej m etody p rzy jęto, że
— w spółrzędne pu nktów 6, 7 są stałe o w artościach różnych od w a r ­
tości danych w sieci S(1>,
— w spółrzędne pu nktów 9, 10 są stałe o wartościach rów n ych w a r ­
tościom danym w sieci S (2),
■
— • w spółrzędne punktów w spólnych 4, 5 w sieci S (1) m ają w artości
różne od w artości w sieci S(2).
10
P
5KALA
S IEC I
SKALA
ZMIAN
i----- .
1km
WSPÓŁRZĘDNYCH
i-- 1
10cm
R ys. 3
Na rysunku 3 przedstaw iono ob yd w ie sieci po w yrów n a n iu (lin ie
ciągłe) oraz przed w yrów n a n iem (lin ie kropkow ane — sieć S (1\ linie
kreskow ane — sieć S<2)).
L IT E R A T U R A
G a ź d z i e k i J.: S t r e n g t h analysis of g e o d e tic c o n t r o l n etw o rk s. B u lle tin G eod esique, IA G , P a ris 1976.
H a u s b r a n d t S.: R a c h u n e k w y r ó w n a w c z y i o b lic z e n ia ge o de z y jn e. P P W K , W a r ­
sza w a 1970.
Moritz
H .: T h e m e t h o d o f lea st-squa res c o llo c a t i o n in g e o m e t r i c a l geodesy.
I A G S ym posiu m , O x fo r d 1973.
W o l f H .: A u s g le ic h u n g s r e c h n u n g n a ch der M e t h o d e d er k le in s t e n Q uadrate. Bonn
1968.
ЕЖ И ГАЗЬДЗИ ЦКИ
МЕТОД У Р А В Н И В А Н И Я ГО РИ ЗО Н Т А Л ЬН Ы Х
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Резюме
В работе р ассм атр ивается м н ож ество взаи м о св яза н н ы х, но о т д е л ь н о у р а в ­
н е н н ы х ге о д е зи ч е с к и х сетей. П р е д п о ла га е тс я , что к оо р д и н а ты п у н к т ов во в сех
с е т я х в ы ч и с л е н ы в той ж е самой одной систем е к оо р д и н ат путём :
— у р а в н и в ан и я
к ла с с а , и л и
с
— н езависим ого
п р и в язк о й
к
п ун к т а м
го суд ар ств ен н о й
сети
вы сш его
ура вн и ван и я и п озд н ей ш ей тр ан сф ор м ац и и координат.
М е ж д у в ели ч и н а м и к оорд и н ат о б щ и х п ун ктов, п о л у ч е н н ы м и
сетей, су щ е ст в у ю т разниц ы , в ы т ек а ю щ и е из ош и бо к изм ер ения.
из
соседн и х
Д л я урав н и в ан и я м н ож еств а сетей и д л я п о л у ч е н и я о д н о зн а ч н ы х к оорд и н ат
в с е х п ун к тов п риним ается с л е д у ю щ е е о б щ ее у сл о в и е :
1
h= 1
5
(i, j ) е В
,»>
« “ [« Т + М
» ) ’ ] - " ’ 1"'
где:
/i, \
с
= (т (й ))2 ~ вес сети SO1), в ы ч и с л ен н ы й
vaW
— и зм ен ен и е
v h jV — и зм ен ен и е
а зи м у та
а,у
н а т у р а л ь н о го
с учетом
(в р ад и а н ах)
ло га р и ф м а
в ы б р ан н ой
бок а
(i, j)
b y * — In i j V
п осто ян н о й
в то й
же
длины
с,
сети,
i j j 1^ того
<м = —
*4~h) .
бока, р авн ое о т н о с и т е ль н о м у и зм ен ен и ю д л и н ы : vb)j
Э то
услови е
н а зы в а ется
в
данной
р аботе
услови ем
м иним альной
деф ор­
мации м н ож еств а сетей. С о гл а с н о этом у у с л о в и ю оты ск и в аю тся та к и е в е ли ч и н ы
коорд и н ат п унктов, ч то б ы сум м а к вадр атов и зм ен ен и й а зи м у то в и о т н о с и т е л ь ­
н ы х и зм ен ен и й д л и н у м н о ж е н н а я на с о о тв етств ую щ и е в е с ы б ы л а равна м и ­
нимум .
Р е ш е н и е п р ед ста в лен н о й в ы ш е п р о б л е м ы о с у щ е с т в л я е т с я п р осты м способом
с и с п о л ьзо в а н и ем ф о р м у л , у к а з а н н ы х в р а з д е л е 3.
П ер ев од :
R ó ża T o ls t ik o w a
3 P race IG iK z. 3, t. X X V I
JER ZY G A Ź D Z IC K I
A M E T H O D F O R A D J U S T M E N T O F A SE T OF H O R IZ O N T A L
G E O D E T IC N E T W O R K S
S u mma r y
A
set
of
m u tu a lly
con n ected
but
s e p a ra tely
ad ju sted
g e o d e tic
n e tw o rk s ,
c o v e rin g a ce rta in area, is con sid ered in this paper.
It is assum ed th at the p oin t coord in ates in a ll n e tw o rk s are com p u ted in one
and the sam e c o o rd in a te system in the w a y of:
— ad ju stm en t w ith a re fe re n c e to the h ig h e r o rd e r n a tio n a l n e tw o r k
points,
— in d ep en d en t ad ju stm en t fo llo w e d b y tra n s fo rm a tio n o f coordinates.
Thus, som e d iffe re n c e s caused b y m ea su rem en t errors e x is t b e tw e e n th e jo in t
p oin t coord in ates ob tain ed fr o m n eig h b ou rin g n etw ork s.
In
o rd e r to ad ju st and to ob ta in u n ique coord in a tes o f a ll points, f o llo w in g
con d ition is im posed:
V
h --1
£
w(h> \(va§>)2-VO l f ' ) 2] = min,
(i , j ) e B (h)
w h ere
w h =■=
is
the
w e ig h t
of
the •n e tw o r k
S(>>)
com p u ted
w ith
re g a rd
to
a chosen con stant c,
vajj1)
is the a lte ra tio n o f the azim u th a'J1* (in rad ian s) o f the side (i, j )
in this n e tw o rk ,
«b f
is
the
a lte r a tio n
le n g th
of
th e
n a tu ra l lo g a rith m
b y ^ = In i-J1'
of
the
o f this side b e in g eq u a l to the r e la tiv e le n g th a lte ­
ration
Oi)
vb
In
this paper, the
con d ition
,J
Ah)
l ij
w r itte n
above
is c a lle d
as „M in im u m
n e tw o r k
d is to rtio n c o n d itio n ” . A c c o r d in g to this con dition , such v a lu e s are sou gh t f o r p o in t
coord in ates, th at th e sum o f squares o f azim u th altera tio n s and o f r e la tiv e le n g th
a lte ra tio n s m u ltip lie d b y corresp on d in g w e ig h ts is eq u a l to the m inim u m .
T h e solu tion o f the p ro b lem m en tion ed ab ove is a c h ie v e d in a sim p le w a y be
u sing fo r m u la e o f c h ap ter 3.
T ra n s la tio n : Ja ce k D r a c h a l