Bryła sztywna, zadania

Bryła sztywna - zadanka
1. Hantla składa się z dwóch kul o masach m1 = 1kg i m2 = 2kg połączonych prętem o
długości l = 0.5m masie dużo mniejszej niż masy tych kul. Wyznacz środek ciężkości tej
haltli
2. Trzy kule o masach ma = 1kg , ma = 2kg , ma = 0.5kg połączono prętami w
sposób jak na rysunku. Wyznacz środek ciężkości i moment bezwłądności względem tego
środka dla takiego układu.
a
b
c
1m
0.6m
3. Pokrywa zbiornika na wodę ma kształt kwadratu i może obracać się względem punktu A
(rysunek). Do pokrywy przyłożono siłę o wartości 50N . Oblicz moment siły obracający
pokrywę
1,2m
45
F
A
4. Walec starej studni na który nawija się łańcuch ma promień 0.1m, ramie kolby przymocowanej do walca wynosi 0.3m. Jaką siłą trzeba działać na kolbę aby utrzymać na końcy
łańcucha utzrymać wiadgo o masie 12kg
5. Oblicz moment bezwładności cienkiej obręczy o promieniu 0.2m i masie 0.5kg względem
osi równoległej do jego osi symetrii i odległej od niej o 10cm
6. Baletnica wykonująca na lodzie piruet obraca się wokół pionowej osi ze stałą częstotliwością
3Hz . Jak zmieni się częstotliwość wykonywanych przez nią obrotów jeżeli po rozłożeniu
rąk jej moment bezwładności zmaleje o 10%.
7. Na rysunku przedstawiono model cząsteczki dwutlenku węgla. Masa atomu tlenu wynosi
2, 66 · 10−26kg a węgla 1, 99 · 10−26 kg . Oblicz moment bezwładności wzgl. osi
przechodzącej przez środek masy.
O
C
0.234nm
1
O
8.
Z jakim przyspieszeniem poruszają się masy m1 i m2 zawieszone
na końcach nici przewieszonej przez krążek o momencie bezwładności
I = 12 mr 2 i promieniu r
r
m1
m2
9. Z równi pochyłej stacza się walec o masie m i promieniu r . Oblicz przyspieszenie liniowe
ruchu postępowego, oraz siłę tarcia toczenia. Moment bezwładności walca: I = 12 m · r 2
10.
Rysunek przedstawia koło o promieniu osi r = 2cm na którą nawinięty jest sznurek na którym zawieszono ciężarek o masie 2kg . W
czasie 15s klocek opadł w dół o 1.5m powodując rozwijanie
się nitki. Oblicz przyspieszenie klocka, naprężenie nitki i moment bezwładności koła wraz
z osią.
11. Po równi pochyłej o wysokości h = 1m i długości 2m stacza się bez ślizgania kulka o
promieniu 10cm i masie 1kg . Oblicz przyspieszenie kulki, jej prędkość u podstawy równi
i siłę tarcia dzięki któremu kulka może się toczyć. (g = 10 m2 , Ik = 52 mr 2 )
s
√
12. Po równi pochyłej o wysokości h = 1m i długości podstawy 3m stacza się bez
ślizgania walec o promieniu 10cm i masie 1kg . Oblicz przyspieszenie walca, jego prędkość
u podstawy równi i siłę tarcia dzięki któremu walec może się toczyć. (g = 10 m2 ,
s
Ik = 12 mr 2 )
13. Promień walca na który nawijany jest łańcuch w starej studni jest o 80% mniejszy niż
ramię korby. Wiedząc, że prostopadle do ramienia korby przyłożono siłę 20N oblicz masę
wiadra które można utrzymać w spoczynku. (g = 10 m2 )
s
14. Korzystając z zasady zachowania energii oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego do całkowitej energii kinetycznej dla kulki o promieniu r = 10cm i masie
m = 1kg toczącej się bez ślizgania z równi pochyłej o wysokości h = 1m i kącie
nachylenia 30o. Moment bezwładności kulki względem osi symetrii wynosi Ik = 52 mr 2
15. Korzystając z zasady zachowania energii oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu obrotowego do całkowitej energii kinetycznej dla walca o promieniu r = 10cm i masie
m = 1kg toczącego się bez ślizgania z równi pochyłej o wysokości h = 1m i kącie
nachylenia 30o. Moment bezwładności walca względem osi symetrii wynosi Iw = 21 mr 2
16. Oblicz jak zmienia się moment bezwładności regulatora Watt-a zawierającego dwie identyczne kulki o masiach 300g zawieszonych na prętach o długości 30cm które początkowo
tworzą z pionem kąt 10o.
17. Oblicz stosunek szybkości walca do szybkości kuli staczających się (bez ślizgania) ze szczytu
tej samej równi pochyłej. Która bryła będzie miała większą szybkość u podstawy? (moment
bezwładności kuli 21 mr 2 a walca 12 mr 2)
2
18. W wyniku piątkowego trzęsienia Ziemi w Japoni oś obrotu Ziemi, przemieściła się o 10cm
zaś dzień skrócił się o 2ms oszacuj z jaką siłą zderzyły się płyty kontynentalne. Promień
Ziemii wynosi: 6400km, masa Ziemii 6 · 1024 kg, moment bezwładności kuli: 25 mr 2 .
Pomiń wszystkie inne efekty nieopisane w zadaniu.
19. Oblicz stosunek szybkości osiągniętej przez kulkę która raz toczy się bez ślizgania a raz
ślizga bez toczenia ze szczytu tej samej równi pochyłej. Kiedy bryła będzie mieć większą
szybkość? (moment bezwładności kuli 52 mr 2 )
Zadanka testowe z matury z fizyki, bryła sztywna
1. (2001) Zadanie 25. Gwiazda neutronowa (5 pkt) Z gwiazdy o masie 4 · 1030kg , promieniu
106 km i okresie wirowania 105 s w czasie wybuchu supernowej zostaje odrzuconych
w przestrzeń kosmiczną 90% masy. Z pozostałej masy powstaje gwiazda neutronowa o
promieniu 100 km. Odrzucona masa nie unosi momentu pędu. Moment bezwładności kuli
I = 0,4mr2. Oblicz okres wirowania gwiazdy neutronowej oraz gęstość gwiazdy przed i po
wybuchu.
2. (2004.12W) Zadanie 28. (10 pkt) MAŁPKA I PULSAR Na jednym z końców obracającej
się wokół pionowej osi cienkościennej rurki siedzi małpka. Rurka ma długość 2 m, jej masa
wynosi 0,5 kg, małpka ma masę 2 kg. Oś obrotu przechodzi przez środek rurki.
(a) (2 pkt) Oblicz wartość momentu bezwładności pręta z małpką siedzącą na końcu pręta.
Przyjmij, że rozmiary małpki są niewielkie w stosunku do długości pręta.
(b) (2 pkt) W pewnej chwili pręt z małpką siedzącą na końcu został wprawiony w powolny
ruch obrotowy tak, że wykonywał jeden obrót na 10 sekund. Małpka nie była z tego
zbyt zadowolona i przeszła na środek pręta. Pręt z siedzącą na środku małpką zaczął
wirować szybciej, mimo że nikt do niego nie podchodził. Dlaczego pręt zaczął wirować
szybciej, gdy małpka przeszła na jego środek?
3. (2005.05) Zadanie 28. Kołowrót (11 pkt) Kołowrót w kształcie walca, którego masa
wynosi 10 kg, zamocowany jest nad studnią (rys.). Na kołowrocie nawinięta jest nieważka
i nierozciągliwa linka, której górny koniec przymocowany jest do kołowrotu. Do dolnego
końca linki przymocowano wiadro o masie 5 kg, służące do wyciągania wody ze studni. Pod
wpływem ciężaru pustego wiadra linka rozwija się, powodując ruch obrotowy kołowrotu.
Oblicz przyspieszenie wiadra. Moment bezwładności walca względem osi obrotu wyraża
się wzorem: 12 mr 2 . Pomiń wpływ sił oporu ruchu oraz korby z rączką na wartość
przyspieszenia.
4. (2008.05) Zadanie 1. Beczka (12 pkt) Do hurtowni chemicznej przywieziono transport
blaszanych beczek z gipsem. W celu wyładowania beczek z samochodu położono pochylnię,
tworząc w ten sposób równię pochyłą. Wysokość, z jakiej beczki staczały się swobodnie
bez poślizgu wynosiła 100 cm. Beczki były ściśle wypełnione gipsem, który nie mógł się
przemieszczać, i miały kształt walca o średnicy 40 cm. Masa gipsu wynosiła 100 kg. W
obliczeniach przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego równą 10 m/s2, a beczkę potraktuj
3
jak jednorodny walec. Masę blachy, z której wykonano beczkę pomiń. Moment bezwładności
walca, obracającego się wokół osi prostopadłej do podstawy walca i przechodzącej przez
jej środek, jest równy I = 0.5mr 2 .
(a) Zadanie 1.1 (2 pkt) Narysuj siły działające na beczkę podczas jej swobodnego staczania.
Zapisz ich nazwy.
(b) Zadanie 1.2 (2 pkt) Oblicz wartość siły nacisku beczki na równię podczas staczania,
jeżeli kąt nachylenia pochylni do poziomu wynosi 30o
(c) Zadanie 1.3 (4 pkt) Wykaż, że wartość prędkości liniowej beczki po stoczeniu się z
pochylni jest równa 3, 65 m
s
(d) Zadanie 1.4 (2 pkt) Oblicz, korzystając ze związku pomiędzy energią i pracą, zasięg
toczenia się beczki po poziomej trawiastej powierzchni. Przyjmij, że podczas toczenia
się beczki po trawie działa na nią stała siła oporu o wartości 50 N, a wartość prędkości
liniowej beczki po stoczeniu się z pochylni jest równa 3, 65 m
s
(e) Zadanie 1.5 (2 pkt) Wykaż, że zmiana zawartości beczki z gipsu na cement (o innej
niż gips masie), również ściśle wypełniający beczkę, nie spowoduje zmiany wartości
przyspieszenia kątowego, z jakim obraca się beczka wokół osi prostopadłej do podstawy
beczki i przechodzącej przez jej środek.
5. (2010.operon) Zadanie 1. Spadek ciała (13 pkt) W pracowni fizycznej na suficie zamocowano płaski bloczek o promieniu R = 2cm i masie m0 = 100g . Na bloczek nawinięto
cienką, nierozciągliwą nić, do której można przymocować ciężarek o masie m . Wysokość,
z której spuszczany jest ciężarek wynosi h = 200cm . Moment bezwładności płaskiego
bloczka względem osi przechodzącej przez jego środek wyraża się wzorem I0 = 12 M R2
(a) (1 pkt) Oblicz moment bezwładności I0 płaskiego bloczka.
(b) (3 pkt) Wykorzystując zasadę zachowania energii i znając moment bezwładności bloczka
I0 , udowodnij,
że prędkość uzyskana przez ciężarek tuż nad podłogą pracowni wynosi:
s
vk =
2gH
I
1+ 0 2
mR
(c) (5 pkt) Znając wzór na prędkość końcową vk oraz wartość momentu bezwładności
I0 = 2 · 10−5kgm2 , wyznacz czasy, po których ciężarki o masach 50g , 100g i
150g znajdą się tuż nad podłogą i prędkości końcowe przyjmując g = 9, 81 m2 .
s
(d) (4 pkt) Oblicz przyspieszenie liniowe a ciężarka o masie m = 500g zawieszonego
na nici nawiniętej na bloczek o promieniu R = 15cm i spadającego z wysokości
h = 200cm w czasie t = 18s oraz przyspieszenie kątowe tego bloczka.
4
Zadania do samodzielnego przeliczenia na podstawie zrobionych na lekcji
1. Wyznacz środek masy a następnie oblicz moment bezwładności względem tego środka
masy dla układu pokazanego na rysunku:
1kg
2kg
3kg
4kg
1m
1m
1m
Odp: xsm = 2m (licząc od masy 1kg), Ism = 10kg · m2
2. Belka o masie 1kg i długości 1m jest podparta w sposób jak pokazany na rysunku,
wyznacz siły nacisku na podpory:
1/3m
1/4m
Odp: 4N i 6N
3. Walec o masie 1kg i promieniu 1m (moment bezwładności walca: 21 mr 2 ) toczy się bez
poślizgu ze szczytu równi pochyłej o kącie nachylenia 30o i długości 1m
q. Korzystając z
20 m )
zasady zachowania energii oblicz jego prędkość u podstawy równi. (odp:
3 s
4. Na bloczek w kształcie walca o masie 1kg i promieniu 10cm nawinięto 1m sznurka i do
jego końca przywiązano ciężarek o masie 1kg . Oblicz przyspieszenie spadającego ciężarka,
m , 10 N ,
siłę napięcia sznurka oraz prędkość po całkowitym rozwinięciu cię nitki. (odp: 20
3
s2 3
q
40 m )
3 s
5. Na wirujący ze stałą prędkością kątową 10 rad
s walec o masie 1kg i promieniu 1m spada,
poruszając się wzdłuż osi symetrii drugi walec o masie 0.5kg i promieniu 0.5m i po
upływie 2s wirują razem. Oblicz prędkość kątową wirowania obu walców i opóżnienie
rad 5 rad
podczas hamowania. (odp: 80
9 s , 9 2 )
s
6. Gwiazda neutronowa ma masię 21 · 1030 , promień 100km i wiruje wykonując 1000
obrotów na minutę. Wiedząc, że powstała ona z czerwonego olbrzyma o promieniu 1
miliona kilometrów w wyniku eksplozji wyrzucającej w przestrzeń 90% masy oblicz masę
okres obrotu czerwonego olbrzyma tuż przed wybuchem. (moment bezwładności kuli
I = 52 m · r 2), Odp: 6 · 106 s
7. Ramię korby w starej studni jest o 250% większe niż promień walca na który nawijany
jest łańcuch. Oblicz z jaką siłą należy działać aby wiadro o masie 15kg wciągać do góry
ruchem jednostajnym prostoliniowym. (g = 10 m2 ) odp: 43N
s
We wszystkich zadaniach przyjąć, że przyspieszenie ziemskie ma wartość 10 m2
s
5