Projekt 1. Odwzorowanie kota Arnolda

Pro jekt 1.
Odwzorowanie kota Arnolda
Celem projektu jest numeryczne zbadanie dyfeomorzmów Anosowa na torusie. Wykorzystany b¦dzie w tym celu przykªad nazywany odwzorowaniem
kota Arnolda. W ramach projektu ka»dy zbada takie odwzorowanie, wygeneruje animacj¦, która poprzez ewolucj¦ obrazka b¦dzie ilustrowa¢ zachowanie
si¦ rozwa»anego automorzmu. Przykªad takiej iteracji zaprezentowany jest
na rysunku ??, a przykªadowa animacja do obejrzenia na mojej stronie.
Termin oddania - godzina 24:00 6 listopada 2012
Rysunek 1: Obrazek po lewej to rozwa»ana graka, w ±rodku wynik po
pierwszej iteracji automorzmu zadanego macierz¡ A0 . Po prawej wynik
drugiej iteracji tego samego odwzorowania.
A0 =
1 1
1 2
.
Wymagania merytoryczne
W zale»no±ci od otrzymanego numeru prosz¦ wybra¢ odpowiadaj¡c¡ mu macierz
A1 =
1 1
1 2
,
A2 =
3 2
1 1
,
A3 =
1 1
2 3
,
A4 =
1 2
1 3
.
Nast¦pnie nale»y znale¹¢ obrazek, który b¦dzie iterowany (nie mniejszy
ni» 200×200 pikseli, najwygodniej b¦dzie je±li b¦dzie kwadratowy). Obrazek
nale»y wyrazi¢ w postaci, która umo»liwi wykorzystanie go przez program
1
iteruj¡cy wybrany automorzm torusa1 . Nast¦pnie nale»y zidentykowa¢
po ilu iteracjach obrazek wraca do swojej pierwotnej postaci, innymi sªowy
wyznaczy¢ okres odwzorowania. Z wyników iteracji nale»y wygenerowa¢ plik
*.gif ilustruj¡cy okresowo±¢ rozwa»anego odwzorowania.
Wymagania formalne
‘rodowisko, w którym symulacja zostanie wykonana jest dowolne, przy czym
do sprawozdania nale»y doª¡czy¢ pliki ¹ródªowe (skrypty). Sprawozdanie
wraz z kodami ¹ródªowymi nale»y przesªa¢ na mój adres email. W tytule
maila prosz¦ wpisa¢ "UD - projekt2".
W razie problemów z przekonwertowaniem obrazka na macierz sªu»¦ pomoc¡, jesli za± chodzi o wygenerowanie animacji, to w Mathematice wykonuje sie to standardowo funkcj¡ Export (Export["plik.gif ",{kadr1,
kadr2, ...}], gdzie lista zawiera kolejne klatki2 ), w Gnuplocie pomocny
mo»e by¢ link. Je±li kto± nie lubi ani Gnuplota ani Mathematiki pozostaje
zapisanie kilkudziesi¦ciu statycznych obrazków i zrobienie z nich pliku *.gif
np. w Gimpie (przykªad).
Sprawozdanie
Sprawozdanie (nie wi¦cej ni» 3 strony) zªo»one w ±rodowisku LATEXpowinno
zawiera¢ temat projektu, gªówne cele, kody ¹ródªowe wraz z komentarzami.
Ponadto do sprawozdania powinien by¢ doª¡czony plik *.gif z animacj¡.
W sprawozdaniu powinny by¢ zawarte rozwi¡zania nast¦puj¡cych problemów
• Wyznacz zbiory stabilne i niestabilne rozwa»anego odwzorowania dla
ustalonego punktu (±cisªe wyprowadzenie i opis matematyczny oraz wizualizacja graczna). Czy te zbiory maj¡ niepuste przeci¦cie? Je±li tak,
wyja±nij jak to mo»liwe, »e zbiór mo»e by¢ jednocze±nie stabilny i niestabilny?
• Oszacuj z góry okres rozwa»anego obrazka (liczb¦ iteracji po której
wraca do swojego pierwotnego ksztaªtu). Do zaliczenia wystarczy oszacowanie bardzo zgrubne, dla ch¦tnych pozostawiam prób¦ wyliczenia
dokªadnego. Oszacowanie nale»y porówna¢ z wynikiem eksperymentu
numerycznego.
1W
razie problemów z konwersj¡ pliku gracznego na macierz prosz¦ go przesªa¢ do
mnie, ode±l¦ plik tekstowy z macierz¡.
2 W bardzo prosty i analogiczny sposób zamienia si¦ obrazek na macierz -
Import["plik.jpg","Data"]
2
• Wyja±nij na czym polega bª¡d w poni»szym rozumowaniu: rozwa»any
automorzm torusa jest odwzorowaniem chaotycznym, a zatem jest totalnie nieprzewidywalny, niemo»liwe jest zatem aby obrazek po sko«czonej liczbie iteracji powróciª do stanu pocz¡tkowego.
3