projekty

*I
Zadanie 1 (6 pkt.).
Znaleźć przy pomocy metod numerycznych ruch punktu materialnego o masie m
poruszającego się po powierzchni stoŜka o kacie wierzchołkowym 2α znajdującego się w
polu siły cięŜkości. StoŜek jest skierowany wierzchołkiem w dół, a jego oś symetrii jest prostą
pionową. Określić zaleŜność zmiennych opisujących połoŜenie punktu materialnego od czasu
oraz wyznaczyć tor ruchu określając związek zachodzący pomiędzy tymi zmiennymi w
trakcie ruchu. Rozpatrzyć wpływ zmian energii całkowitej punktu materialnego, rzutu jego
momentu pędu na oś pionową oraz jego połoŜenia początkowego na jego ruch.
Wsk. Zadanie rozwiązać wybierając jako współrzędne słuŜące do opisu połoŜenia punktu 2 z 3
współrzędnych w sferycznym układzie współrzędnych o początku w wierzchołku stoŜka.
Problem moŜna sprowadzić do rozwiązania numerycznego równań Lagrange’a drugiego
rodzaju, przy czym moŜna je uprościć wykorzystując niezaleŜność od czasu rzutu momentu
pędu L na oś pionową. Równanie róŜniczkowe rzędu drugiego zawierające drugą pochodną
d 2r
moŜna zamienić na układ 2 równań róŜniczkowych rzędu pierwszego wprowadzając
dt 2
dr
jako nową zmienną pochodną pierwszą szukanej wielkości po czasie u =
. Wartości
dt
wielkości u (z dokładności do stałej) oraz ϕ& w chwili początkowej ruchu t=0 moŜna
wyznaczyć dla ustalonego r0 = r (t = 0) wykorzystując wzory wyraŜające całkowitą energie i
rzut momentu pędu na oś pionową.
Zadanie 2 (2 pkt.).
Znając funkcję tworzącą S (q, P ) = q 2 e P przekształcenia kanonicznego: Q = Q ( q, p ) ,
P = P ( q, p ) znaleźć funkcję tworzącą W (Q, q ) .
*II
Zadanie 1 (6 pkt.)
Znaleźć przy pomocy metod numerycznych ruch wahadła sferycznego tzn. punktu
materialnego o masie m poruszającego się po powierzchni kuli o promieniu R w polu siły
cięŜkości skierowanej pionowo w dół. Określić zaleŜność zmiennych opisujących połoŜenie
punktu materialnego od czasu oraz wyznaczyć tor ruchu określając związek zachodzący
pomiędzy tymi zmiennymi w trakcie ruchu. Rozpatrzyć wpływ zmian energii całkowitej
punktu materialnego, rzutu jego momentu pędu na oś pionową oraz jego połoŜenia
początkowego na jego ruch. Przy ustalaniu powyŜszych wartości uwzględnić związek między
energią całkowitą, momentem pędu oraz początkowym połoŜeniem punktu materialnego
Wsk. Zadanie rozwiązać wybierając jako współrzędne słuŜące do opisu połoŜenia punktu 2 z 3
współrzędnych w sferycznym układzie współrzędnych o początku w środku kuli. Problem
moŜna sprowadzić do rozwiązania numerycznego równań Lagrange’a drugiego rodzaju, przy
czym moŜna je uprościć wykorzystując niezaleŜność od czasu rzutu momentu pędu L na oś
d 2θ
pionową. Równanie róŜniczkowe rzędu drugiego zawierające drugą pochodną
moŜna
dt 2
zamienić na układ 2 równań róŜniczkowych rzędu pierwszego wprowadzając jako nową
dθ
zmienną pochodną pierwszą szukanej wielkości po czasie u =
. Wartości wielkości u (z
dt
dokładności do stałej) oraz ϕ& w chwili początkowej ruchu t=0 moŜna wyznaczyć dla
ustalonego θ 0 = r (t = 0) wykorzystując wzory wyraŜające całkowitą energie i rzut momentu
pędu na oś pionową.
Zadanie 2 (2 pkt).
1 2 1 2 2
p1 + ω1 q1
2
2
jest całką (stałą) ruchu dwuwymiarowego anizotropowego oscylatora harmonicznego o
1
1
1
1
funkcji Hamiltona H (q1 , q 2 , p1 , p 2 ) = p12 + p 22 + ω12 q12 + ω 22 q 22
2
2
2
2
Pokazać przy uŜyciu nawiasów Poissona , Ŝe wielkość H 1 =
*III
Zadanie 1 (6 pkt.).
Znaleźć w układzie biegunowym tor po którym w płaszczyźnie z=0 porusza się ciało o masie
m na które działa siła centralna o potencjale:
V (r ) = −
α
rβ
.
Stała α jest większa od zera (siła przyciągająca), a stała β jest liczbą dodatnią. Rozpatrzyć
orbity ograniczone, a więc przypadek kiedy energia ciała jest ujemna E < 0 . MoŜna
r
r
dodatkowo załoŜyć iŜ z-owa składowa momentu pędu jest dodatnia L = Le z ( L-wartość
momentu pędu).
W szczególności w ramach zadania:
• Wprowadzić zmienne bezwymiarowe - bezwymiarową długość i bezwymiarowy czas:
r
t
ρ≡
τ≡
R
T
gdzie R =
L
− mE
T=
L
−E
Pokazać Ŝe w zmiennych bezwymiarowych moŜna otrzymać następujące równania
2
d 2 ρ 2  dρ 
β
 = ρ − b β −3
a)
− 
(wynika ono z II zasady dynamiki Newtona przy
2
ρ  dϕ 
dϕ
ρ
wykorzystaniu relacji wynikającej z zasady zachowania momentu pędu)
1
b
 dρ 
b)   + 2 − 2 β = −2
(wynika ono z zasady zachowania energii całkowitej
ρ
ρ
 dτ 
przy wykorzystaniu relacji wynikającej z zasady zachowania momentu pędu)
2
c)
dϕ
1
= 2
dτ ρ
(wynika ona z zasady zachowania momentu pędu)
gdzie stała bezwymiarowa b jest równa:
•
b=
α  − mE 
− E 
L
β


Znaleźć przy pomocy metod numerycznych tor ciała dla następujących wartości
wykładnika β oraz parametru b:
a)
β = 1 , b =1.5 i b =2.5
b)
β = 1 .2 ,
b =2
c)
β = 0 .8
b =2
Dla przypadków rozwaŜanych w punktach b) i c) znaleźć zmianę kata ϕ przy
przejściu cząstki od punktu w którym znajdowała się ona najbliŜej początku układu
współrzędnych do punktu w którym znajdowała się ona najdalej od początku układu
współrzędnych.
Uwaga dotyczące poszukiwania rozwiązań równania róŜniczkowego przy pomocy
2
d 2 ρ 2  dρ 
β
 = ρ − b β −3
którego moŜna znaleźć tor ciała :
− 
2
ρ  dϕ 
ρ
dϕ
MoŜna zamienić powyŜsze równane róŜniczkowe drugiego rzędu na układ dwu równań
∂ρ
róŜniczkowych rzędu pierwszego wprowadzając nową zmienną υ =
∂ϕ
Przy wyznaczaniu zaleŜności ρ (ϕ ) oraz υ (ϕ ) niezbędne jest określenie wstępnie wartości
ρ (ϕ = 0) oraz υ (ϕ = 0) .Wielkości te nie są niezaleŜne od siebie i nie mogą zostać przyjęte w
dowolny sposób. Wynika to z faktu iŜ z równania
1
b
 dρ 
  + 2 − 2 β = −2
ρ
ρ
 dτ 
2
wyraŜającego zasadę zachowania energii przy wykorzystaniu związku wynikającego z zasady
zachowania momentu pędu:
dϕ
1
= 2
dτ ρ
wynika równanie
2
1  dρ 
1
b

 + 2 − 2 β = −2
4 
ρ  dϕ 
ρ
ρ
które ustala związek pomiędzy ρ oraz υ . Dogodnie jest tak przyjąć wartość ρ (ϕ = 0) , Ŝeby
υ (ϕ = 0) = 0 .
Zadanie 2 (2 pkt.)
Dwa sprzęŜone wahadła opisane są funkcją Lagrange’a:
L=
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
m x&12 + x& 22 − mω 02 x12 + x 22 − m ω12 − ω 02 ( x1 − x 2 )
2
2
4
Wykazać, Ŝe funkcja Lagrange’a:
L' =
(
)
1
1
1
2
2
2
m(x&1 − iω 0 x1 ) + m( x& 2 − iω 0 x 2 ) − m ω12 − ω 02 ( x1 − x 2 )
2
2
4
prowadzi do tych samych równań ruchu. Dlaczego? Określić róŜnicę L'− L . Jak moŜna
wyrazić tę wielkość?
IV*
Zadanie 1 (6 pkt.)
RozwaŜyć dwa ciała (punkty materialne) o masach m i M odpowiednio połączone niewaŜką i
nierozciągliwą nicią przechodzącą przez nieruchomy bloczek o pomijalnie małym promieniu.
ZałoŜyć iŜ nić moŜe ślizgać się wokół bloczka bez tarcia. Ponadto odcinek nici łączący
bloczek z ciałem o masie M zachowuje zawsze kierunek pionowy zaś odcinek łączący
bloczek z ciałem o masie m tworzy w czasie ruchu z osią poziomą zmienny w czasie kąt θ .
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a dla tego układu obierając jako współrzędne uogólnione
odległość r ciała o masie m od bloczka oraz kąt θ .
2) Znaleźć równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch układu
3) Rozwiązać otrzymany układ równań przy pomocy metod numerycznych zakładając iŜ
w chwili początkowej oba ciała pozostawały w spoczynku, zaś kąt θ = 0 . RozwaŜyć
wpływ zmiany stosunku obu mas na ruch układu ciał.
y
θ
x
r
m
r
g
M
Zadanie 2 (2 pkt.).
Pokazać iŜ dla funkcji Hamiltona
p2
1
H=
− 2
2m 2q
wielkość
pq
Z=
− Ht (t-czas)
2
jest stałą ruchu.
*V
Zadanie 1 (5 pkt.).
RozwaŜyć odwrócone wahadło matematyczne o masie m i długości l, którego niewaŜki punkt
zawieszenia porusza się po prostej pionowej zgodnie z równaniem ξ = A cos(ωt ) .
m
y
r
g
l
α
S
ζ
O
x
1) Znaleźć równanie Lagrange'a II rodzaju opisujące ruch tego wahadła, przyjmując jako
współrzędną uogólnioną kąt α między nicią wahadła a osią pionową (rysunek).
g
i
l
róŜnych stosunków A/l dla warunku początkowego α (t = 0) = 0.1 oraz α& (t = 0) = 0 . W
szczególności rozpatrzyć przypadek gdy A/l =0.01;0.014;0.015;0.02
2) Znaleźć w sposób numeryczny rozwiązanie tego równania dla l=1m oraz ω = 100
Zadanie 2 (3 pkt.)
RozwaŜyć układ złoŜony z 3 punktów materialnych o jednakowych masach równych m
połączonych ze sobą oraz nieruchomymi ścianami przy pomocy spręŜyn o stałej spręŜystości
k. W stanie równowagi pokazanym na rysunku długości wszystkich spręŜyn są jednakowe i
na punkty materialne nie działa Ŝadna siła. WydłuŜenie lub skrócenie dowolnej spręŜyny
wywołuje powstanie siły spręŜystości spełniającej prawo Hooke’a. Zakładamy iŜ punkty
materialne mogą poruszać się tylko w kierunku prostopadłym do ściany.
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a układu przyjmując za współrzędne uogólnione
wychylenie punktów z połoŜenia równowagi
2) Znaleźć moŜliwe częstości drgań własnych tego układu, zapisać ogólne rozwiązanie
równań Lagrange'a II rodzaju oraz przedyskutować ruch ciał odpowiadający drganiom
o znalezionych częstościach
m
m
m
*VI
Zadanie 1 (4 pkt.).
Rozpatrzyć w przestrzeni 2 DIM ruch wahadła matematycznego
(punktu materialnego o masie m zawieszonego na nierozciągliwej
r
nici o długości l) pod wpływem siły cięŜkości Fc = (0,−mg ) , jeśli
punkt zawieszenia wahadła S porusza się po prostej Ox zgodnie z
t2
równaniem ξ = ξ (t ) = A (A-stała) .
2
y
S
O
x
ζ
l
α
m
1)
Znaleźć przy pomocy formalizmu opartego na równaniach Lagrange’a II rodzaju
równanie ruchu dla tego wahadła.
2)
Rozwiązać otrzymane równanie i znaleźć ruch wahadła zakładając, iŜ w trakcie
ruchu wahadła kąt wychylenia wahadła α od pionu jest na tyle mały, Ŝe moŜna załoŜyć,
Ŝe sin (α ) ≈ α , cos(α ) ≈ 1 . Wiadomo, Ŝe w chwili t=0 punkt materialny o masie m
spoczywał w punkcie o współrzędnych x0 = 0, y 0 = −l (l -długość nici wahadła).
3)
Znaleźć ruch omawianego wahadła przy pomocy metod numerycznych przy
braku załoŜenia dotyczącego wychylenia wahadła w przypadku gdy l=1m oraz l=10m
oraz A/l =0.1, 1, l0,100.
Zadanie 2 (4 pkt.).
Cztery ciała będące punktami materialnymi znajdują się na okręgu koła o promieniu R. KaŜde
z ciał jest połączone ze swoimi sąsiadami na okręgu przy pomocy spręŜynek o stałej
spręŜystości k. W stanie równowagi ciała znajdują się w stałej i jednakowej odległości od
swoich sąsiadów. Zakładamy iŜ wszystkie ciała o jednakowych masach równych m mogą
poruszać się tylko po okręgu.
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a i napisać równania Lagrange'a II rodzaju przy załoŜeniu
małych wychyleń ciał od połoŜenia równowagi
2) Znaleźć częstości małych drgań układu, zapisać ogólne rozwiązanie równań
Lagrange’a w przybliŜeniu małych drgań oraz przedyskutować ruch ciał
odpowiadający drganiom o znalezionych częstościach.
Wsk. Wielkość wychylenia ciała z połoŜenia równowagi moŜna przybliŜyć przez długość
odpowiedniego wycinka okręgu po którym ciało się porusza. Za współrzędną uogólnioną
opisującą połoŜenie ciała moŜna przyjąć kąt między wektorem wodzącym tego ciała w danym
połoŜeniu na okręgu i w połoŜeniu równowagi w układzie o początku w środku okręgu.
*VII
Zadanie 1 (5 pkt.).
Punkt zawieszenia wahadła matematycznego o długości l i masie m umieszczono na krawędzi
koła o promieniu R, które obraca się ze stałą prędkością kątową o wartości ω w kierunku
przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. W chwili t=0 punkt zawieszenia wahadła
S znajdował się na tej samej wysokości co środek koła na prawo od niego. Traktując kąt ϕ
pokazany na rysunku jako współrzędną uogólnioną znaleźć równanie Lagrange’a II rodzaju
opisujące ruch wahadła. Rozwiązać numerycznie otrzymane równaniu przy załoŜeniu iŜ
ϕ& (t = 0) = 0 dla następujących parametrów l=1m, ω = 0.6
g
g
oraz ω = 0.4
i R = 0.2l ,
l
l
R = 0.5l , R = l .
ω
S
O
ϕ
r
mg
Zadanie 2 (3 pkt.) RozwaŜyć układ złoŜony z 3 punktów materialnych
połączonych ze sobą przy pomocy spręŜyn o stałej spręŜystości k.
Punkty materialne mogą poruszać się tylko wzdłuŜ lini prostej wzdłuŜ
której leŜą spręŜyny. Masa środkowego punktu materialnego jest równa
m, zaś masy pozostałych punktów są równe M. W stanie równowagi
pokazanym na rysunku długości wszystkich spręŜyn są jednakowe i na
punkty materialne nie działa Ŝadna siła. WydłuŜenie lub skrócenie
dowolnej spręŜyny wywołuje powstanie siły spręŜystości spełniającej
prawo Hooke’a.
M
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a układu przyjmując za współrzędne
uogólnione wychylenie punktów z połoŜenia równowagi
2) Znaleźć częstości drgań wlanych tego układu i zapisać ogólne
rozwiązanie równań Lagtrange'a II rodzaju
2) Znaleźć związek między współrzędnymi normalnymi i współrzędnymi uogólnionymi i
zapisać funkcje Lagrange’a przy pomocy współrzędnych normalnych.
m
M
m
*VIII
x
Zadanie 1 (6 pkt.)
l
α
m
M
r
g
y
Do końca wahadła matematycznego o masie M i długości l doczepiono pręt w ten sposób iŜ
pręt ten tworzy zawsze kąt prosty z nicią. Po pręcie moŜe poruszać się ciało o masie m.
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a dla tego układu.
2) Znaleźć równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch układu
3) Rozwiązać otrzymany układ równań przy pomocy metod numerycznych dla
wybranych warunków początkowych ruchu
Zadanie 2 (2 pkt). W ruchu pod wpływem siły centralnej punkt materialny P o masie m
porusza się po okręgu o średnicy a przechodzącym przez początek układu współrzędnych O
połoŜony w centrum siły. Wartość momentu pędu ciała w trakcie ruchu wynosi L
a) Wykazać, Ŝe wartość siły wywołującej ten ruch
jest odwrotnie proporcjonalna do piątej potęgi
odległości od początku układu współrzędnych O.
b) Znaleźć związek między kątem ϕ a czasem
ruchu zakładając, Ŝe ϕ (t = 0) = 0 .
P
r
r
ϕ
O
a
*IX
Zadanie 1 (5 pkt.)
Rozpatrzyć w przestrzeni 2 DIM ruch wahadła
matematycznego (punktu materialnego) o masie m
zawieszonego na nierozciągliwej nici o długości l=1m pod
wpływem siły cięŜkości, jeśli punkt zawieszenia wahadła S
porusza się po prostej Oy zgodnie z równaniem ξ = A cos(Ωt ) .
O
ξ
x
r
g
S
l
y
α
m
1) Znaleźć przy pomocy formalizmu opartego na
równaniach Lagrange’a II rodzaju równanie ruchu dla tego
wahadła.
2) Rozwiązać to równanie przy pomocy metod numerycznych w przypadku gdy
g
A
Ω
α (t = 0) = 0.1; α& (t = 0) = 0 dla róŜnych stosunków
oraz
gdzie ω =
.W
l
ω
l
A
Ω
Ω
= 1 .1 i
= 1 .9
szczególności rozpatrzyć przypadek gdy = 0.2 oraz
l
ω
ω
Zadanie 2 (3 pkt.)
x2 y2
Punkt porusza się po elipsie o równaniu 2 + 2 = 1
a
b
Jego prędkość polowa względem punktu leŜącego na przecięciu osi symetrii elipsy jest stała i
równa σ . Określić przyspieszenie punktu jako funkcję jego połoŜenia.
*X
Zadanie 1 (5 pkt.).
CięŜarek o masie M moŜe obracać się w płaszczyźnie pionowej po obwodzie koła o
promieniu R. Do końca cięŜarka przyczepiono nić. Nić ta jest przerzucona przez nieruchomy
bloczek. Na drugim końcu nici znajduje się cięŜarek o masie m (m<M), który moŜe poruszać
się w kierunku pionowym (rysunek poniŜej).
1) Znaleźć funkcję Lagrange’a i zapisać równanie Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch
układu.
2) Znaleźć połoŜenie równowagi tego układu (poprzez określenie np. kąta ϕ
odpowiadającego połoŜeniu równowagi).
3) Określić częstość małych drgań tego układu wokół połoŜenia równowagi.
4) Rozwiązać przy pomocy metod numerycznych pełne równanie Lagrange’a II rodzaju
dla kilku róŜnych warunków początkowych i róŜnych stosunków mas obu ciał.
ZałoŜyć, Ŝe w chwili początkowej oba ciała spoczywały przy czym układ znajdował
się ''blisko'' lub ''daleko'' od wyznaczonego połoŜenia równowagi. Zanalizować jaki
wpływ na zachowanie układu ma zmiana stosunku mas obu ciał.
m
r
mg
ϕ
r
Mg
Zadanie 1 (3 pkt.).
CięŜarek o masie m moŜe poruszać się w płaszczyźnie poziomej po
obwodzie niewaŜkiego koła o promieniu r. Środek koła o promieniu r
porusza się po obwodzie koła o promieniu R leŜącego równieŜ w
płaszczyźnie poziomej ze stała prędkością kątową o wartości ω
1) Znaleźć funkcję Lagrange’a i zapisać równanie
Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch cięŜarka.
2) Znaleźć połoŜenie punktu na obwodzie koła o promieniu
r o tej własności iŜ cięŜarek umieszczony w tym punkcie
poruszający się z prędkością początkową równą
prędkości tego punktu będzie pozostawał stale w tym
samym punkcie na obwodzie koła.
3) Określić częstość małych drgań tego cięŜarka wokół tak
określonego połoŜenia równowagi w układzie związanym
z kołem
m
r
V = Rω
R
O
ϕ
*XI
Zadanie 1 (5 pkt.)
RozwaŜyć układ złoŜony z 3 ciał. Dwa z nich spoczywają, zaś trzecie o masie znacznie
mniejszej od masy pierwszych dwóch ciał porusza się w płaszczyźnie w której leŜą te ciała
pod wpływem sił grawitacyjnych jakimi dwa ciała nieruchome działają na te ciało.
1) Znaleźć równanie Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch ciała ruchomego
2) Przy pomocy metod numerycznych rozwiązać te równania i wykreślić tor ruchu ciała dla
róŜnych warunków początkowych ruchu.
Zadanie 2 (3 pkt.)
Punkt porusza się po gładkiej elipsoidzie o równaniu:
x2 y2 z2
(*)
+
+
=1
a2 b2 c2
bez działania Ŝadnych sił (za wyjątkiem sił reakcji). Wykazać, przy pomocy równań
Lagrange’a pierwszego rodzaju, Ŝe wartość jego prędkości jest stała.
Wsk. Wykorzystać oprócz równań Lagrange’a pierwszego rodzaju dodatkowo równanie powstałe po
zróŜniczkowaniu po czasie równania (*).
XII
Zadanie 1 (5 pkt.)
Znaleźć w biegunowym układzie współrzędnych równanie toru po którym w płaszczyźnie
α β
z=0 porusza się ciało o masie m w polu siły centralnej opisanej potencjałem V ( r ) = − − 2 .
r r
α - stała dodatnia, β -stała (dodatnia lub ujemna). ZałoŜyć iŜ znamy moment pędu ciała
r
r
2βm
L = Le z (L>0) oraz jego całkowitą energię E. Ponadto zakładamy iŜ 1 − 2 > 0 . UzaleŜnić
L
równanie toru od wartości momentu pędu oraz energii całkowitej ciała. Kiedy ruch ciała jest
ograniczony w przestrzeni? W przypadku ruchu ograniczonego w przestrzenia określić
zmianę kąta ϕ odpowiadającą przemieszczeniu się ciała pomiędzy punktami na torze ruchu
znajdującymi się w minimalnej odległości od początku układu współrzędnych. Dla jakich
wartości momentu pędu ruch ciała jest periodyczny?
Zadanie 2 (3 pkt.)
Po dwóch równych, gładkich, poziomych okręgach o promieniu r, o środkach połoŜonych na
wspólnej prostej pionowej w odległości d, poruszają się dwa punkty materialne o masach m1
oraz m2 pod wpływem siły przyciągającej wprost proporcjonalnej do odległości tych punktów
od siebie. Wyznaczyć równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch tych punktów.
Opisać zachowanie się punktów materialnych gdy w chwili początkowej oba punkty
materialne spoczywały w punkcie bliskim połoŜeniu równowagi w którym odległość
pomiędzy nimi jest najmniejsza.
XIII
Zadanie 1. (4 pkt.)
Na ciało o masie m działa siła centralna odwrotnie proporcjonalna do trzeciej potęgi
r
r
2α r
odległości od centrum siły F = − 3 ⋅
r r
Znaleźć równanie opisujące tor ruchu ciała w układzie biegunowym w przypadku gdy
2mα
2mα
2mα
< 1,
= 1 oraz
> 1 (L2-kwadrat momentu pędu).
2
2
L
L
L2
UzaleŜnić równanie toru od wartości momentu pędu L oraz energii całkowitej ciała E.
Dla kaŜdego z otrzymanych równań torów określić jakie wartości moŜe przyjmować
całkowita energia ciała E. Przedyskutować otrzymane wyniki szkicując moŜliwe tory ruchu
Zadanie. 2 (4 pkt.)
y
λ
 x
y = y ( x) = b  ( a,b, λ -stałe)
a
obraca się wokół pionowej osi OY ze stałą prędkością
kątową o wartości ω . Ciało o masie m moŜe poruszać się
bez oporów po tej krzywej. Na ciało działa siła cięŜkości
skierowana pionowo w dół. Znaleźć połoŜenie równowagi
w układzie obracającym się czyli połoŜenie w którym
ciało umieszczone na krzywej, nie poruszające się
względem niej w chwili początkowej, nie będzie zmieniać
swego połoŜenia względem krzywej w późniejszych
chwilach czasu. Znaleźć częstość małych drgań ciała
wokół połoŜenia odpowiadającego tak określonemu
połoŜeniu równowagi.
Krzywa
o
r
ω
równaniu
Wsk. PołoŜeniu równowagi odpowiada punkt o współrzędnej x = x 0 w którym &x& = 0 . W celu
wyznaczenia częstości małych drgań funkcję Lagrange’a rozwinąć w szereg wokół
x = x0 zachowując co najwyŜej wyrazy rzędu ~
x 2,~
x& 2 , ~
x~
x& , gdzie ~
x = x − x0 czyli pomijając np.
wyrazy typu ~
x~
x& 2 , ~
x 3 i zapisać równanie Lagrange’a II rodzaju przyjmując za współrzędną
~
uogólnioną x .
r
g
m
x
XIV
Zadanie 1 (2 pkt.)
Punkt materialny porusza się pod wpływem siły centralnej po lemniskacie o równaniu:
r 2 = 2a 2 cos(2ϕ ) . Wykazać, Ŝe wartość siły wywołującej ten ruch jest odwrotnie
proporcjonalna do siódmej potęgi promienia wodzącego, jeśli centrum siły pokrywa się z
początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 2. (6 pkt.)
Do ciała o masie M, które moŜe poruszać się bez tarcia po powierzchni gładkiej równi
pochyłej o kącie nachylenia do poziomu α , doczepiono na lince o długości l drugie ciało o
masie m
1)
Napisać równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ściśle ruch układu.
Wsk. Za współrzędne uogólnione moŜna przyjąć np. kąt ϕ oraz współrzędną s określającą
odległość ciała o masie M od podstawy równi mierzoną wzdłuŜ równi.
2)
Określić częstość małych drgań ciała o masie m wokół połoŜenia w którym linka jest
prostopadła do powierzchni równi czyli zachodzi ϕ = −α .
Wsk. Rozwinąć wzór na funkcje Lagrange’a w szereg Taylora wokół punktu wskazanego
zachowując tylko wyrazy co najwyŜej rzędu ϕ~ 2 , ϕ~& 2 –gdzie ϕ~ = ϕ + α kąt określający
odchylenie nici od wskazanego połoŜenia nici czyli pomijając np. wyrazy ϕ~ 3 , ϕ~ 2ϕ& . Ponadto
g sin (α )t 2
(g-wartość przyspieszenia ziemskiego).
2
Napisać równania Lagrange’a przyjmując za współrzędne uogólnione zmienne ϕ~,η i je
rozwiązać.
wprowadzić nową zmienną η = s +
y
r
g
M
s
ϕ
m
α
XV
Zadanie 1 (3 pkt.).
Na gładkiej poziomej płaszczyźnie znajdują się dwa punkty materialne o masach m1 i m2,
połączone nierozciągliwą nicią o pomijalnie malej masie i długości l. Wiadomo iŜ nić
przechodzi bez tarcia przez stały punkt O połoŜony w płaszczyźnie ruchu.
1) Znaleźć równanie róŜniczkowe określające zmiany w czasie r- odległości ciała o
masie m1 od punktu O.
2) Określić zaleŜność siły naciągu nici od r.
Wiadomo iŜ w chwili początkowej ciało o masie m1 znajdowało się w odległości r0 od punktu
O, a jego składowa prędkości w kierunku prostopadłym do nici była równa r0ω1 , zaś w
kierunku równoległym do nici r&0 . Wiadomo ponadto iŜ w tej samej chwili czasu składowa
prędkości ciała o masie m2 w kierunku prostopadłym do nici była równa (l 0 − r0 )ω 2 .
Zadanie 2 (5 pkt.).
RozwaŜyć wahadło potrójne złoŜone z trzech ciał traktowanych jako punkty materialne
zawieszonych na niewaŜkich, nierozciągliwych niciach o jednakowych długościach.
x
l
φ1
r
g
6m
l
φ2
2m
y
φ3
m
Pierwsza z nici (na końcu której znajduje się ciało o masie 6m) umocowana jest w
nieruchomym początku układu współrzędnych, zaś druga na końcu której znajduje się ciało o
masie 2m zamocowana jest do ciała o masie 6m.Ostatnia nic na końcu którego znajduje się
ciało o masie m zamocowana jest do ciała o masie 2m Cały układ znajduje się w polu siły
cięŜkości skierowanej pionowo w dół. Znaleźć częstości małych drgań opisanego wyŜej
wahadła potrójnego i określić związek współrzędnych normalnych z kątami ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3
Wsk. Jedna z częstości jest równa ω1 =
3g
l
XVI
Zadanie 1 (3 pkt.).
Na gładkiej poziomej płaszczyźnie znajduje się punkt materialny o masie m1. Do punktu
przymocowano wiotką i nierozciągliwą nić o długości l i pomijalnie małej masie, która
przechodzi przez mały otwór w płaszczyźnie i dźwiga na drugim końcu pionowo zwisający
punkt materialny o masie m2. Wiadomo iŜ w chwili początkowej punkt materialny o masie m1
znajdował się w odległości ρ 0 od otworu i poruszał się w poziomej płaszczyźnie z prędkością
skierowaną prostopadle do nici o wartości V = ρ 0ω 0
.
1) Znaleźć funkcję Lagrange’a i zapisać równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch
układu złoŜonego z obu punktów.
2) Wyznaczyć zaleŜność siły naciągu nici od odległości punktu o masie m1 od otworu w
płaszczyźnie.
3) Określić wartość ω 0 , przy której odległość punktu o masie m1 od otworu nie ulegała
by zmianie w trakcie ruchu
Zadanie 2 (5 pkt.)
RozwaŜyć wahadło podwójne fizyczne złoŜone z dwóch cienkich jednorodnych prętów o
długości l i masie m kaŜdy
x
l
r
g
φ1
l
φ2
y
Koniec pierwszego pręta umocowany jest w nieruchomym początku układu współrzędnych,
zaś początek drugiego pręta zamocowany jest do końca pierwszego pręta. Cały układ znajduje
się w polu siły cięŜkości skierowanej pionowo w dół.
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a i napisać równania Lagrange’a II rodzaju opisujące ruch
opisywanego fizycznego wahadła podwójnego
2) Znaleźć częstości małych drgań tego wahadła.
XVII
Zadanie 1 (4 pkt.).
Cztery ciała punktowe znajdują się na okręgu koła o promieniu R. KaŜde z ciał jest połączone
ze swoimi sąsiadami na okręgu przy pomocy spręŜynek o stałej spręŜystości k. W stanie
równowagi ciała znajdują się w stałej i jednakowej odległości od swoich sąsiadów.
Zakładamy iŜ jedno z ciał jest nieruchome, natomiast pozostałe o jednakowych masach
równych m mogą poruszać się wyłącznie po okręgu
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a i napisać równania Lagrange'a II rodzaju przy załoŜeniu
małych wychyleń ciał od połoŜenia równowagi
2) Znaleźć częstości małych drgań układu oraz jakościowo przedyskutować ruch ciał
odpowiadający tym drganiom
Wsk. Wielkość wychylenia ciała z połoŜenia równowagi moŜna przybliŜyć przez długość
odpowiedniego wycinka okręgu po którym ciało się porusza. Za współrzędną uogólnioną
opisującą połoŜenie ciała moŜna przyjąć kąt między wektorem wodzącym tego ciała w danym
połoŜeniu na okręgu i w połoŜeniu równowagi w układzie o początku w środku okręgu.
Zadanie 2 (4 pkt.).
Promień świetlny przebiega pomiędzy dwoma punktami o współrzędnych A = (0,0) oraz
B = (1,1) w ośrodku, w którym współczynnik załamania zaleŜy od połoŜenia zgodnie ze
wzorem: n( x) = Bx + 1 gdzie β oznacza stałą dodatnią.
Znaleźć posługując się rachunkiem wariacyjnym równanie krzywej, wzdłuŜ której rozchodzi
się światło. Pokazać, iŜ kąt θ, jaki tworzy poszukiwana krzywa z osią Ox spełnia zaleŜność
n( x ) sin θ = const .
Wsk. Czas propagacji światła pomiędzy punktami A i B po krzywej o równaniu y = y (x)
x
wyznacza wzór: t =
( )
2
1 2
dy
n( x ) 1 + y ' dx gdzie y ' =
, c-prędkość światła w próŜni. Światło
∫
c x1
dx
propaguje po krzywej, dla której czas propagacji jest minimalny. Parametry krzywej moŜna
podać specyfikując równania, które muszą spełniać.
XVIII (8 pkt.)
Zadanie 1 (4 pkt.)
RozwaŜyć wahadło potrójne złoŜone z dwóch wahadeł matematycznych o masie m i długości
l, dołączonych do wahadła matematycznego o masie M i długości l
x
l
φ1
r
g
M
l
φ2
m
y
φ3
m
Znaleźć:
a) funkcje Lagrange’a opisującą układ
b) równania Lagrange’a II rodzaju
c) częstości małych drgań rozwaŜanego wahadła
Zadanie 2 (4 pkt.).
y
Znaleźć posługując się rachunkiem wariacyjnym równanie
krzywej x = x( y ) , y ∈ y A , y B
przechodzącej przez
a
yB
B
punkty A = ( x A , y A ) oraz B = ( x B , y B ) o tej własności, Ŝe
powierzchnia boczna bryły powstałej w wyniku obrotu tej
krzywej wokół osi Oy ma minimalne pole. Parametry
krzywej moŜna podać specyfikując równania, które muszą
spełniać.
x=x(y)
A
b
yA
Wsk.
O
yB
2
 dx 
Pole powierzchni bocznej bryły wyraŜa się wzorem S [x ] = ∫ 2πx 1 +   dy =
 dy 
yA
dx
2
gdzie F ( x, x' ) = 2πx 1 + ( x') , x' =
dy
xA
yB
xB
∫ F ( x, x' )dy
yA
x
XIX
Zadanie 1 (6 pkt.).
Trzy ciała będące punktami materialnymi o jednakowych masach równych m mogą poruszać
się po okręgu koła o promieniu R. KaŜde z ciał jest połączone ze swoimi sąsiadami na okręgu
przy pomocy spręŜynek o stałej spręŜystości k. W stanie równowagi ciała znajdują się w stałej
i jednakowej odległości od swoich sąsiadów.
1) Znaleźć funkcje Lagrange’a i napisać równania Lagrange'a II rodzaju przy załoŜeniu
małych wychyleń ciał od połoŜenia równowagi
2) Znaleźć częstości małych drgań układu oraz przedyskutować ruch ciał odpowiadający
drganiom o znalezionych częstościach.
3) Znaleźć związek miedzy współrzędnymi normalnymi a przyjętymi współrzędnymi
uogólnionymi oraz zapisać funkcje Lagrange’a przy wykorzystaniu współrzędnych
normalnych.
Wsk. Wielkość wychylenia ciała z połoŜenia równowagi moŜna przybliŜyć przez długość
odpowiedniego wycinka okręgu po którym ciało się porusza. Za współrzędną uogólnioną
opisującą połoŜenie ciała moŜna przyjąć kąt między wektorem wodzącym tego ciała w danym
połoŜeniu na okręgu i w połoŜeniu równowagi w układzie o początku w środku okręgu.
Zadanie 2 (2 pkt.)
Punkt materialny porusza się po gładkiej krzywej, połoŜonej w płaszczyźnie pionowej.
Krzywa ma tą własność, Ŝe punkt rozpoczynający ruch bez prędkości początkowej od
pewnego punktu O połoŜonego na tej krzywej, doleci do dowolnego punktu P w tym samym
czasie w którym osiągnąłby punkt P poruszając się po cięciwie łączącej O z P. Znaleźć
równane tej krzywej we współrzędnych biegunowych
0
y
ϕ
r
P
x
mg
**XX
Zadanie 1 (4 pkt.)
Sprawdzić przy wykorzystaniu nawiasów Poissona, Ŝe przekształcenie dane wzorami:
x=
y=
1
mω
1
mω
(
)
(
2 P1 sin Q1 + P2
)
px =
mω
2
(
2 P1 cos Q1 + Q2
)
py =
mω
− 2 P1 sin Q1 + P2
2
(
2 P1 cos Q1 − Q2
)
jest przekształceniem kanonicznym. Wyznaczyć w nowych zmiennych funkcję Hamiltona
H ' (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) oraz równania Hamiltona dla cząstki o ładunku q i masie m poruszającej się
w płaszczyźnie z=0 w polu magnetycznym opisanym potencjałem wektorowym:
r B
qB
A = (− y, x,0 ) . Przyjąć, Ŝe ω =
.
2
m
Zadanie 2 (4 pkt.).
Jednorodny walec o promieniu a moŜe toczyć się bez poślizgu po wewnętrznej powierzchni
drugiego nieruchomego walca o osi poziomej i promieniu R. Wyznaczyć częstość małych
drgań pierwszego walca w pobliŜu połoŜenia równowagi .
**XXI
Zadanie 1 (6 pkt.).
Cząstka o ładunku q poruszająca się po płaszczyźnie z=0 znajduje się w polu siły centralnej
α
o potencjale V = −
oraz w stałym w czasie, słabym jednorodnym polu magnetycznym o
r
r
indukcji B o kierunku prostopadłym do tej płaszczyzny. Pole takie moŜna opisać przez
r 1 r r
potencjał skalarny ϕ = 0 oraz potencjał wektorowy A = B × r .
2
1) Znaleźć funkcję Hamiltona opisującą tą cząstkę w biegunowym układzie
współrzędnych wprowadzonym w płaszczyźnie ruchu ciała
2) Znaleźć przybliŜoną postać funkcji Hamiltona w której zakładając iŜ pole
magnetyczne jest słabe zaniedbujemy wyrazy proporcjonalne do kwadratu indukcji
pola B 2 .
3) Posługując się ta postacią funkcji Hamiltona napisać równania Hamiltona-Jacobiego w
szczególności
a) znaleźć postać równania wiąŜącego czas z odległością cząstki od początku układu
współrzędnych o postaci t = const + ∫ g ( ρ )dρ , przy czym funkcja g ( ρ ) jest
funkcją zaleŜną od stałych ruchu
b) znaleźć układ odniesienia obracający się wokół osi OZ w którym jest moŜliwe
analityczne określenie równania toru w układzie biegunowym wprowadzonym w
układzie obracającym się. Jaka jest częstość kołowa z jaką układ ten się obraca ?
Zadanie 2 (2 pkt.)
Sprawdzić czy przekształcenie współrzędnej q i pędu p dane poniŜszymi wzorami jest
przekształceniem kanonicznym
1

Q = Q (q, p ) = ln sin p 
q

P = P(q, p ) = q ⋅ ctg ( p )