Biocybernetyka - Sprzezenie zwrotne

2013‐01‐23
Przedmiotem dzisiejszego wykładu jest sprzężenie zwrotne
Warto zapamiętać jego angielską nazwę: Modelowanie biocybernetycznych systemów ze sprzężeniem zwrotnym
Wykład nr 7 z kursu Biocybernetyki dla Inżynierii Biomedycznej prowadzonego przez Prof. Ryszarda Tadeusiewicza
Rozważmy jednak taki system
X
Pozornie wydaje się, że stosując opisane na poprzednim wykładzie metody dekompozycji i agregacji
powinniśmy sobie poradzić z każdym złożonym systemem
X
Y = AX
Tego się nie da pogodzić
w dziedzinie modeli statycznych!
X
X
A
B
A
Y
B
X = BY
X
Model statyczny
Y
X
Model dynamiczny 1
Y(t)
X(t)
Y = AX
X = BY
???
Uwaga ogólna: rozróżniamy modele statyczne i dynamiczne Y
Y
Y
Model dynamiczny 2
Y(t)
???
1
2013‐01‐23
W systemie ze sprzężeniem musi występować dynamika sprzężonych układów, a najprostszą jej formą jest opóźnienie w jednym z układów składowych
Modelami dynamicznymi zajmiemy się dokładniej na następnym wykładzie. X(t)
Teraz wrócimy do tej najprostszej formy dynamiki, która pozwala zrozumieć zachowanie systemu ze sprzężeniem zwrotnym. X(t+1)
Y(t) = AX(t)
Y
Istota opóźnienia
X(t+1)
Y(t)
A
B
Y(t)
Y(t)
X(t+1) = B Y(t)
Sprzężenie zwrotne ‐ dynamika X(1)
A
Y (1)
t
X(2)
X
Δ
B
Y(1) = A X(1)
Y(1)
X(2) = B Y(1)
t
Sprzężenie zwrotne ‐ dynamika X(2)
X(3)
Y(2) = A X(2)
A
B
Sprzężenie zwrotne ‐ dynamika Y (2)
X(3)
Y(2)
X(4)
X(3) = B Y(2)
Y(3) = A X(3)
A
B
Y (3)
Y(3)
X(4) = B Y(3)
2
2013‐01‐23
Sprzężenie zwrotne ‐ dynamika X(4)
X(5)
A
B
Y(4) = A X(4)
Y (4)
Y(4)
Sprzężenie zwrotne może być dodatnie
albo ujemne
X(5) = B Y(4)
Sprzężenie zwrotne dodatnie
X(t)
+A
Y(t)
Sprzężenie zwrotne ujemne
X(t)
+A
Y(t)
itd….
+B
X(t+1)
‐B
Y(t)
Sprzężenie ma charakter dodatni, gdy wzrost jednego z sygnałów powoduje wzrost pozostałych sygnałów
O charakterze sprzężenia decyduje transmitancja układu otwartego
X(t)
X(t+1)
A
B
Y(t)
Y(t)
X(t+1) = B A X(t) X(t+1)
Y(t)
Sprzężenie ma charakter ujemny, gdy wzrost jednego z sygnałów powoduje zmalenie przynajmniej jednego z pozostałych sygnałów – i vice versa.
O charakterze sprzężenia decyduje transmitancja układu otwartego
X(t)
X(t+1)
A
B
Y(t)
Y(t)
Sprzężenie ma charakter dodatni, gdy BA > 0 oraz ujemny, gdy BA < 0
3
2013‐01‐23
X(1)
X
Prześledzimy teraz zmiany wartości sygnałów w kolejnych chwilach w układzie ze sprzężeniem zwrotnym ujemnym
X(2)
X
X(3)
1
2
A
‐B
X(2)
1
3
X
X(4)
1
Y(1)
n
X(3)
n
‐B
Y (1)
2
Y (2)
Y(2)
A
2
3
A
‐B
Y (3)
Y(3)
4
n
Ciąg dalszy obejrzyjmy na szybszej animacji
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne słabe i stabilne
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne bardzo silne, stabilne
1,5
1,2
1
0,8
BA = ‐ 0,4
1
BA = ‐ 0,8
0,6
0,5
0,4
0,2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
‐0,2
‐0,5
‐0,4
‐0,6
‐1
4
2013‐01‐23
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne – granica stabilności
1,5
BA = ‐ 1,0
1
0,5
Tu uwaga praktyczna:
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
‐0,5
‐1
‐1,5
Na przykład obserwując cykliczne zmiany nastroju koleżanek, których normalny człowiek pojąć nie jest w stanie
– można się domyślać istnienia ujemnego sprzężenia zwrotnego! Jeśli gdziekolwiek i kiedykolwiek obserwuje się trwałe oscylacje (naprzemienne wzrosty i malenia jakiegoś sygnału) to na pewno przyczyną jest układ ze sprzężeniem zwrotnym. Ponadto wiadomo, że jest to układ ze sprzężenie ujemnym pracujący na granicy stabilności. Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne niestabilne
30
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne silnie niestabilne
10000
Zwróćmy uwagę na skalę!
Zwróćmy uwagę na skalę!
8000
20
BA = ‐ 1,4
10
6000
BA = ‐ 1,8
4000
2000
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
‐10
‐2000
‐4000
‐20
‐6000
‐30
‐8000
5
2013‐01‐23
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie dodatnie niestabilne
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie dodatnie słabo niestabilne
1,6
30
1,4
25
BA = 1,4
20
1,2
1
BA = 1,0004
0,8
15
0,6
10
0,4
5
0,2
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie dodatnie – granica stabilności
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie dodatnie stabilne!
1,2
1,2
1
1
0,8
0,8
BA = 1,0
0,6
BA = 0,4
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
O stabilności sprzężenia decyduje moduł transmitancji układu otwartego
X(t)
X(t+1)
A
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
Sprzężenie zwrotne i procesy sterowania
Y(t)
Zakłócenia!
Sterownik
Regulator
Sterowanie
(komputer)
automat.
Y(t)
Rola człowieka: Wyłącznie programowanie celu regulacji
Obiekt
sterowania
Efekt
czujnik
Sprzężenie zwrotne
System jest stabilny, gdy abs(BA) < 1 oraz niestabilny, gdy abs(BA) > 1
6
2013‐01‐23
Dynamika układu ze sprzężeniem zwrotnym: sprzężenie ujemne bardzo silne i stabilne
1,2
1
Zakłócenie!
0,8
Przykłady biologicznych systemów ze sprzężeniem zwrotnym podane będą na kolejnym wykładzie
0,6
0,4
0,2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435
‐0,2
Tu jest obszar stabilnej pracy układu. ‐0,4
‐0,6
Cel regulacji został osiągnięty!
7