Zestaw zadań i rozwiązania

ALGEBRA Z GEOMETRIA¾ ANALITYCZNA¾
Egzamin na ocene¾ celujac
¾ a,
¾ luty 2010
Na pierwszej stronie pracy nalez·y napisać: swoje imie¾ i nazwisko, numer indeksu, wydzia÷, kierunek, rok
studiów, nazwiska wyk÷adowcy i osoby prowadzacej
¾ ćwiczenia, date,
¾ ocene¾ zaproponowana¾na zaliczenie na podstawie kolokwiów oraz sporzadzić
¾
poniz·sza¾tabelk¾
e. Ponadto nalez·y ponumerować, podpisać i spiać
¾ zszywaczem
wszystkie kartki pracy.
1
2
3
4
Suma
Ocena
Treści zadań prosze¾ nie przepisywać. Rozwiazanie
¾
zadania o numerze n nalez·y napisać na n-tej kartce
pracy. Na rozwiazanie
¾
zadań przeznaczono 3 godziny. Za rozwiazanie
¾
kaz·dego zadania moz·na dostać od 0 do
5 punktów. Ocene¾ celujac
¾ a¾ otrzyma student, który zdobedzie
¾
co najmniej 10 punktów. W rozwiazaniach
¾
nalez·y opisywać przebieg rozumowania, tj. formu÷
ować wykorzystywane twierdzenia, przytaczać
stosowane wzory oraz uzasadniać wyciagane
¾
wnioski. Ponadto prosze¾ sporzadzać
¾
staranne rysunki z pe÷
nym opisem. Powodzenia!
Zbigniew Skoczylas
ZADANIA
1. Czy istnieja¾ liczby zespolone z1 ; z2 ; które spe÷
niaja¾ warunek:
jz1
1j <
1
2
^
jz2
ij <
1
2
^
z1
z2
1 <
1
?
2
Odpowiedź uzasadnić.
2. W przestrzeni dane sa¾ dwie proste, które przecinaja¾ sie¾ pod katem
¾
prostym.
Kule¾ o promieniu 1 przetaczamy przez proste w ten sposób, aby ca÷
y czas by÷
a styczna
do kaz·dej z nich (rysunek). Wyznaczyć równanie krzywej, po której porusza sie¾ środek
kuli.
1
3. Wielomian W; uporzadkowany
¾
wed÷
ug malejacych
¾
poteg
¾ zmiennej x; ma postać
W (x) = x15
9x14 +
7;
gdzie w ramce ukryto pozosta÷
e wyrazy. Wiadomo, z·e wszystkie pierwiastki wielomianu sa¾ liczbami ca÷
kowitymi. Znaleźć wspó÷
czynnik przy x:
4. Sudoku nazywamy macierz kwadratowa¾stopnia 9 wype÷
niona¾liczbami 1; 2; : : : ; 9:
Kaz·da z nich pojawia sie¾ tylko raz w dowolnym wierszu, dowolnej kolumnie oraz
we wszystkich dziewieciu
¾ wyróz·nionych macierzach kwadratowych stopnia 3. Znaleźć
najwieksz
¾ a¾ liczbe¾ naturalna,
¾ przez która¾ jest podzielny wyznacznik kaz·dego sudoku.
Odpowiedź uzasadnić.
Poniz·ej podajemy przyk÷ad dwóch sudoku oraz ich wyznaczniki:
4
1
6
2
det 3
7
9
5
8
5
9
2
4
8
6
3
7
1
7
8
3
9
1
5
6
2
4
2
5
7
6
9
4
8
1
3
9
6
8
1
2
3
7
4
5
3
4
1
5
7
8
2
6
9
1
7
5
8
6
9
4
3
2
8
3
4
7
5
2
1
9
6
1
4
7
2
det 5
8
3
6
9
6
2
9
3
4 = 49 381 650;
1
5
8
7
2
5
8
3
6
9
4
7
1
3
6
9
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
7
1
4
6
9
3
7
1
4
8
2
5
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
1
4
7
9
3
6
1
4 =
7
2
5
8
215 233 605:
Źród÷a zadań: 1 - z egzaminu wstepnego
¾
do jednej z uczelni w Rosji, 3 - z konkursu matematycznego dla
studentów w USA, 2 i 4 - ZS.
Szkice rozwiazań
¾
1. Nie istnieja¾ liczby zespolone z1 ; z2 spe÷niajace
¾ wszystkie warunki zadania.
z1
1
Wskazówka. Nierówność z2 1 < 2 zapisać w równowaz·nej postaci jz1
wykorzystać fakt, z·e dla 0 < k 6= 1 oraz ustalonych u; v 2 C; gdzie u 6= v; zbiór
fz 2 C : jz
uj < k jz
z2 j <
1
2
z1
z2
1:
jz2
0j : Ponadto
vjg
jest ko÷em. Inny sposób polega na wykorzystaniu ograniczeń
6
< arg z1 <
i oszacowania na tej podstawie argumentu ilorazu
6
;
3
< arg z2 <
2
3
z1
z2 ;
a nastepnie
¾
argumentu róz·nicy
p
2. Środek kuli bedzie
¾
porusza÷sie¾ po elipsie o pó÷osiach a = 2; b = 1:
3. Skorzystamy ze wzorów Viete’a. Pierwiastki wielomianu x1 ; x2 ; : : : ; x15 spe÷niaja¾ warunki:
x1 x2 : : : x15 = 7
x1 + x2 + : : : + x15 = 9
Poniewaz· liczby x1 ; x2 ; : : : ; x15 sa¾ ca÷
kowite, wiec
¾ z pierwszego równania wynika, z·e jedna z nich np. x1 = 7;
a pozosta÷e sa¾ równe 1: Wykluczymy najpierw przypadek x1 = 7: Rzeczywiście, mamy wtedy x1 + x2 +
: : : + x15 6 7 + 1 + 1 + : : : + 1 = 7 < 9 - sprzeczność. Zatem x1 = 7: Wtedy z drugiego równania wynika, z·e
liczba „1” jest o 2 wieksza
¾
niz· liczba „ 1”. To zaś oznacza, z·e
x2 = 1; x2 = 1; : : : ; x9 = 1 oraz x10 =
2
1; x11 =
1; : : : ; x15 =
1:
Ze wzorów Viete’a wynika, z·e wspó÷czynnik przy x jest równy
(x2 x3 : : : x15 + x1 x3 : : : x15 + : : : + x1 x2 : : : x14 ) =
1
1
1
(x1 x2 : : : x15 )
+
+ ::: +
= 7
x1 x2
x15
1 8
6
+ +
7 1
1
= 15:
Inny sposób zakończenia rozwiazania.
¾
Wielomian W ma postać
W (x) = (x
7) (x
1)8 (x + 1)6 = (x
7) (x
1)2 x2
1
6
:
Ostatni czynnik nie ma wp÷ywu na wspó÷czynnik przy x; zatem wystarczy obliczyć iloczyn (x
x3 9x2 + 15x 7: Wspó÷czynnik przy x równa sie¾ 15 1 = 15:
Rzeczywiście mamy
(x
7) (x
1)8 (x + 1)6 = x15
9x14 + 9x13 + 47x12
285x7 + 5x6 + 219x5
51x4
75x11
93x10 + 205x9 + 75x8
89x3 + 33x2 + 15x
7:
4. Dodajac
¾ wszystkie wiersze wyznacznika do ostatniego otrzymamy
?
?
?
..
..
..
det .
.
.
45 45 45
?
..
.
45
?
?
..
..
.
.
45 45
?
?
..
..
.
.
45 45
?
? ? ?
..
. . .
. = 45 det .. .. ..
45
1 1 1
? ? ?
.. .. ..
. . .
1 1 1
? ? ?
.. .. ..
. . . :
1 1 1
Nastepnie
¾
dodajac
¾ wszystkie kolumny otrzymanego wyznacznika do ostatniej dostaniemy
? ? ?
.. .. ..
45 det . . .
? ? ?
1 1 1
:::
:::
:::
:::
? ? 45
? ? ?
. . .
.. .. ..
. . . = 45 9 det .. .. ..
? ? ?
? ? 45
1 1 1
1 1 9
:::
:::
:::
:::
? ? 5
.. .. ..
. . . :
? ? 5
1 1 1
Zatem wyznacznik kaz·dego sudoku jest podzielny przez 45 9 = 405: Z drugiej strony mamy
NWD (49 381 650; 215 233 605) = NWD 2
34 52 89
137; 316 5 = 34 5 = 405;
wiec
¾ 405 jest najwieksz
¾ a¾ liczba¾ naturalna,
¾ która dzieli wyznacznik kaz·dego sudoku.
3
7) (x
1)2 =