ALGEBRA Z GEOMETRI ąA ANALITYCZN ąA ZADANIA

ALGEBRA Z GEOMETRIA¾ ANALITYCZNA¾
Egzamin na ocene¾ celujac
¾ a,
¾ luty 2010
Na pierwszej stronie pracy nalez·y napisać: swoje imie¾ i nazwisko, numer indeksu, wydzia÷, kierunek, rok
studiów, nazwiska wyk÷adowcy i osoby prowadzacej
¾ ćwiczenia, date,
¾ ocene¾ zaproponowana¾na zaliczenie na podstawie kolokwiów oraz sporzadzić
¾
poniz·sza¾tabelk¾
e. Ponadto nalez·y ponumerować, podpisać i spiać
¾ zszywaczem
wszystkie kartki pracy.
1
2
3
4
Suma
Ocena
Treści zadań prosze¾ nie przepisywać. Rozwiazanie
¾
zadania o numerze n nalez·y napisać na n-tej kartce
pracy. Na rozwiazanie
¾
zadań przeznaczono 3 godziny. Za rozwiazanie
¾
kaz·dego zadania moz·na dostać od 0 do
5 punktów. Ocene¾ celujac
¾ a¾ otrzyma student, który zdobedzie
¾
co najmniej 10 punktów. W rozwiazaniach
¾
nalez·y opisywać przebieg rozumowania, tj. formu÷
ować wykorzystywane twierdzenia, przytaczać
stosowane wzory oraz uzasadniać wyciagane
¾
wnioski. Ponadto prosze¾ sporzadzać
¾
staranne rysunki z pe÷
nym opisem. Powodzenia!
Zbigniew Skoczylas
ZADANIA
1. Czy istnieja¾ liczby zespolone z1 ; z2 ; które spe÷
niaja¾ warunek:
jz1
1j <
1
2
^
jz2
ij <
1
2
^
z1
z2
1 <
1
?
2
Odpowiedź uzasadnić.
2. W przestrzeni dane sa¾ dwie proste, które przecinaja¾ sie¾ pod katem
¾
prostym.
Kule¾ o promieniu 1 przetaczamy przez proste w ten sposób, aby ca÷
y czas by÷
a styczna
do kaz·dej z nich (rysunek). Wyznaczyć równanie krzywej, po której porusza sie¾ środek
kuli.
1
3. Wielomian W; uporzadkowany
¾
wed÷
ug malejacych
¾
poteg
¾ zmiennej x; ma postać
W (x) = x15
9x14 +
7;
gdzie w ramce ukryto pozosta÷
e wyrazy. Wiadomo, z·e wszystkie pierwiastki wielomianu sa¾ liczbami ca÷
kowitymi. Znaleźć wspó÷
czynnik przy x:
4. Sudoku nazywamy macierz kwadratowa¾stopnia 9 wype÷
niona¾liczbami 1; 2; : : : ; 9:
Kaz·da z nich pojawia sie¾ tylko raz w dowolnym wierszu, dowolnej kolumnie oraz
we wszystkich dziewieciu
¾ wyróz·nionych macierzach kwadratowych stopnia 3. Znaleźć
najwieksz
¾ a¾ liczbe¾ naturalna,
¾ przez która¾ jest podzielny wyznacznik kaz·dego sudoku.
Odpowiedź uzasadnić.
Poniz·ej podajemy przyk÷ad dwóch sudoku oraz ich wyznaczniki:
4
1
6
2
det 3
7
9
5
8
5
9
2
4
8
6
3
7
1
7
8
3
9
1
5
6
2
4
2
5
7
6
9
4
8
1
3
9
6
8
1
2
3
7
4
5
3
4
1
5
7
8
2
6
9
1
7
5
8
6
9
4
3
2
8
3
4
7
5
2
1
9
6
6
2
9
3
4 = 49 381 650;
1
5
8
7
1
4
7
2
det 5
8
3
6
9
2
5
8
3
6
9
4
7
1
3
6
9
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
7
1
4
6
9
3
7
1
4
8
2
5
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
1
4
7
9
3
6
1
4 =
7
2
5
8
215 233 605:
Źród÷a zadań: 1 - z egzaminu wstepnego
¾
do jednej z uczelni w Rosji, 3 - z konkursu matematycznego dla
studentów w USA, 2 i 4 - ZS.
2