docGra w policjantów i złodziei
download 
Reklamacja Transkrypt
Gra w policjantów i złodziei
. . Algorytmiczna teoria grafów Problem policjantów i złodziei Cops and robbers problem [email protected] 26.01.2016 . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Nowakowski, Winkler 1983 . Opis . Gra w policjantów i złodzieja toczona jest w rundach na spjnym grafie G przez k policjantów i 1 złodzieja. Po każdej rundzie gry każdy policjant i złodziej zajmuje pewien wierzchołek grafu G ; Po i-tej rundzie policjanci zajmują zbiór Vi natomiast złodziej wierzchołek zi (zi ̸∈ Vi , jeżeli gra nie jest skończona). Podczas (i + 1)-wszej rundy gry: każdy policjant przemieszcza się do sąsiedniego wierzchołka grafu, ale może też pozostać w wierzchołku zajmowanym dotychczas (po tej rundzie policjanci zajmują zbiór Vi+1 ), . złodziej przemieszcza się z wierzchołka zi do sąsiedniego zi+1 , który spełnia warunki: zi+1 ̸∈ Vi+1 oraz istnieje ścieżka z zi do zi+1 omijająca wszystkie wierzchołki zbioru Vi ∩ Vi+1 . . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Policjanci mają strategię wygrywającą na grafie G , jeżeli niezależnie od strategii złodzieja istnieje runda, w której złodziej nie jest w stanie wykonać poprawnego ruchu; w przeciwnym przypadku strategię wygrywającą ma złodziej. . . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Policjanci mają strategię wygrywającą na grafie G , jeżeli niezależnie od strategii złodzieja istnieje runda, w której złodziej nie jest w stanie wykonać poprawnego ruchu; w przeciwnym przypadku strategię wygrywającą ma złodziej. . R. Nowakowski, P. Winkler, Vertex-to-vertex pursuit in a graph, Discrete Mathematics 43 (1983) 235–239. . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) ’kontakt wzrokowy’ policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) ’kontakt wzrokowy’ policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) ’kontakt wzrokowy’ policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) wersja pasywna gry - złodziej może pozosta w wierzchołku, bez wykonywania ruchu do innego wierzchołka . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) ’kontakt wzrokowy’ policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) wersja pasywna gry - złodziej może pozosta w wierzchołku, bez wykonywania ruchu do innego wierzchołka wesja on-line - struktura grafu nie jest znana w całości . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Klasy grafów, dla których policjanci mają strategię . wygrywającą drzewa - jeden policjant . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Klasy grafów, dla których policjanci mają strategię . wygrywającą drzewa - jeden policjant cykle - dwaj policjanci . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Klasy grafów, dla których złodziej ma strategi˛ wygrywającą cykle o długości większej niż 4 z jednym policjantem . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Klasy grafów, dla których złodziej ma strategi˛ wygrywającą cykle o długości większej niż 4 z jednym policjantem wszystkie grafy regularne, różne od grafu pełnego - z jednym policjantem . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Przykład grafu, dla którego w wersji aktywnej strategię . wygrywającą ma policjant (1), w wersji pasywnej - złodziej . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą w każdym grafie planarnym wystarcza zawsze 3 policjantów, aby złapać złodzieja. . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. . Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą w każdym grafie planarnym wystarcza zawsze 3 policjantów, aby złapać złodzieja. M. Aigner, M. Fromme, A game of cobs and robbers, Discrete Applied Mathematics 8 (1984) 1–12. . .. .. [email protected] Cops and robbers . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. ..
