(1) span((1,2,3,5),(2,1,3,4),(4,1,5,6))

ZESTAW 2
Zadanie 1. Wskazać bazę przestrzeni:
(1) span((1, 2, 3, 5), (2, 1, 3, 4), (4, 1, 5, 6))
(2) span((1, 2, 3, 4), (6, 5, 4, 3), (7, 5, 3, −8))
(3) span((1, 2, 4, 9), (7, 6, 4, 7), (9, 7, 3, 4))
(4) span((1, 6, 7, 8), (2, 1, 3, 5), (2, 3, 5, 7), (3, 1, 4, 7))
Zadanie 2. Znaleźć układ równań liniowych określający daną podprzestrzeń R3 :
(1) span((1, 2, 1), (6, 7, 3))
(3) span((4, −1, 3), (0, 3, −1))
(2) span((1, 1, 3), (5, 1, 5))
(4) span((1, 7, −1))
Zadanie 3. Znaleźć układ równań liniowych określający daną podprzestrzeń R4 :
(1) span((5, −1, 3, 1), (3, 1, 1, 1))
(2) span((1, −1, 1, −1), (3, −4, 5, −8))
(3) span((0, 1, 2, 1), (1, 3, 4, 1), (4, 7, 6, −1))
(4) span((1, −1, 3, 4), (3, −5, 7, 8), (4, −6, 9, 11))
Zadanie 4. Sprawdzić, czy w R3 zachodzi równość:
(1) span((1, 3, 4), (9, 6, 1)) = span((5, 3, 0), (7, 6, 3))
(2) span((1, 2, 2), (1, 3, 4)) = span((3, 3, 1), (5, 4, 0))
(3) span((1, 2, 7), (3, 1, 5)) = span((1, 0, 1), (1, 1, 4))
(4) span((1, 1, 3), (2, 5, 0)) = span((1, 2, 1), (1, 0, 5), (2, 1, 8))
Zadanie 5. Sprawdzić, czy podane wektory są liniowo zależne (jeśli tak - podać zależność):
(1) (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)
(2) (4, −5, 3), (5, −7, 3), (7, −9, 5)
(3) (3, 5, 1), (4, −1, 2), (8, 9, 4)
(4) (6, 7, 3), (4, 5, 1), (6, 5, 9)
(5) (1, 1, −1), (3, 4, 1), (6, 7, 1), (2, 1, −5)
Zadanie 6. Sprawdzić, czy podane wektory przestrzeni C(R) są liniowo zależne:
(1) sin x, sin 2x, sin 3x, . . .
(2) 1, cos x, cos 2x, cos 3x, . . .
(3) 1, sin x, sin2 x, sin3 x, . . .
(4) log(|x| + 1), log 2(|x| + 1), log 3(|x| + 1), . . .
(5) 1, x, x2
(6) 1, sin2 x, cos2 x
(7) x2 − 3x, 5x + x3 , x3 − 1
(8) x − 2, x2 − 3, x3 − x − 1, x3 − x2
Zadanie 7. Dla podanych v1 , v2 i L wyznaczyć takie v3 by przestrzeń span(v1 , v2 , v3 )
była zadana w R4 równaniem L = 0.
(1) v1 = (1, 1, −1, 0), v2 = (0, 2, −1, 1), L = 2x + 3y + 5z − w
(2) v1 = (3, 1, −1, 1), v2 = (5, 5, 1, 1), L = x − 2y + 3z + 2w
(3) v1 = (−4, −3, −2, 4), v2 = (8, 6, 3, −6), L = 3x − 4y + 2z + w
(4) v1 = (8, 3, 0, 2), v2 = (5, 4, 0, −3), L = −x + 2y − 3z + w