Z1/2 ANALIZA BELEK – ZADANIE 2

05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
1
Z1/2 ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
Z1/2.1 Zadanie 2
Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/2.1 a następnie wyznaczyć
reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego. Wszystkie wymiary są podane w
metrach. Zadanie zostanie rozwiązanie z wykorzystaniem metody skróconej, bazującej na wyznaczeniu
wartości sił przekrojowych w charakterystycznych punktach belki.
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
8,0 kN
B
A
D
6,0
2,0
C
4,0
E
1,0
Rys. Z1/2.1. Belka złożona.
Z1/2.2 Analiza kinematyczna belki złożonej
Rysunek Z1/2.2 przedstawia układ tarcz sztywnych, który jest modelem belki złożonej przedstawionej
na rysunku Z1/2.1.
A
A
B
1
1
C
C
B
D
2
E
2
E
D
Rys. Z1/2.2. Układ tarcz sztywnych – model belki złożonej.
Układ tarcz sztywnych składa się z dwóch tarcz, które razem mają 6 stopni swobody. Układ jest podparty
czterema prętami podporowymi oraz przegubem rzeczywistym, które to więzy odbierają
4⋅11⋅2=6
(Z1/2.1)
stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).
Tarcza numer 1 jest podparta do tarczy podporowej za pomocą trzech prętów, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Tarcza ta jest więc geometrycznie zmienna i może stanowić podłoże dla
tarczy numer 2. Rysunek Z1/2.3 przedstawia tarczę numer 2. Jak widać jest ona podparta do podłoża za
pomocą przegubu rzeczywistego i pręta podporowego. Przegub rzeczywisty nie leży na kierunki pręta
podporowego więc tarcza numer 2 jest także geometrycznie niezmienna. Skoro obie tarcze są geometrycznie
niezmienne to i cały układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
C
2
2
E
D
Rys. Z1/2.3. Tarcza numer 2.
Z1/2.3 Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z1/2.4 przedstawia podział belki złożonej na belki proste wraz z założonymi zwrotami
reakcji podporowych.
10,0 kN/m
15,0 kN/m
HC
HA
6,0
VD
HC
1
VA
E
2
C
B
A
D
C
VC
12,0 kNm
8,0 kN
VB
2,0
VC
4,0
1,0
Rys. Z1/2.4. Założone zwroty reakcji podporowych.
Całe obciążenie czynne jest prostopadłe do osi belki więc poziome reakcje H C oraz HA są równe zero.
Reakcję VD możemy wyznaczyć z warunku
 M C2 =0
1
−V D⋅4,08,0⋅5,010,0⋅4,0⋅ ⋅4,0=0
2
V D=30,0kN
.
(Z1/2.2)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję VC możemy wyznaczyć z warunku
 M 2D =0
1
V C⋅4,08,0⋅1,0−10,0⋅4,0⋅ ⋅4,0=0
2
V C =18,0kN
.
(Z1/2.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
3
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi
2
 Y =0
.
V C V D−8,0−10,0⋅4,0=30,018,0−10⋅4,0−8,0=0
(Z1/2.4)
Reakcje działające na belkę numer 2 znajdują się więc w równowadze.
Rysunek Z1/2.5 przedstawia belkę numer 2 w równowadze.
10,0 kN/m
8,0 kN
D
C
2
18,0 kN
E
30,0 kN
4,0
1,0
Rys. Z1/2.5. Belka numer 2 w równowadze.
Reakcję VB możemy wyznaczyć z warunku
 M A1=0
1
2
−V B⋅6,0V C⋅8,0−12,0 ⋅15,0⋅6,0⋅ ⋅6,0=0
2
3
V B=52,0kN
.
(Z1/2.5)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję VA możemy wyznaczyć z warunku
 M 1
B =0
1
1
V A⋅6,0V C⋅2,0−12,0− ⋅15,0⋅6,0⋅ ⋅6,0=0
2
3
V B=11,0kN
.
(Z1/2.6)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi
Y  1=0
1
1
V AV B−V C − ⋅15,0⋅6,0=11,052,0−18,0− ⋅15,0⋅6,0=0
2
2
Dr inż. Janusz Dębiński
.
(Z1/2.7)
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
4
Reakcje działające na belkę numer 1 znajdują się więc w równowadze.
Rysunek Z1/2.6 przedstawia belkę numer 1 w równowadze.
15,0 kN/m
12,0 kNm
C
B
A
1
11,0 kN
52,0 kN
6,0
2,0
Rys. Z1/2.6. Belka numer 1 w równowadze.
Rysunek Z1/2.7 przedstawia całą belkę złożoną w równowadze.
15,0 kN/m
12,0 kNm
10,0 kN/m
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
6,0
52,0 kN
E
30,0 kN
2,0
4,0
1,0
Rys. Z1/2.7. Cała belka złożona w równowadze.
Z1/2.4 Wykres siły poprzecznej w belce
Wykres siły poprzecznej zaczynamy rysować od lewego końca belki. Indeks górny L oznacza siłę
poprzeczną z lewej strony natomiast indeks górny P oznacza siłę poprzeczną z prawej strony. W punkcie A
działa siła skupiona o wartości 11,0 kN w górę czyli wartość siły poprzecznej wynosi
T PA =11,0 kN .
(Z1/2.8)
W przedziale AB działa obciążenie trójkątne czyli wykres siły poprzecznej jest parabolą. Wartość siły
poprzecznej z lewej strony podpory B wynosi
1
T LB=11,0− ⋅15,0⋅6,0=−34,0 kN .
2
(Z1/2.9)
Zgodnie z (1.65) miejsce zerowe wykresu siły poprzecznej znajduje się od punktu A w odległości
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
x 0=

5
2⋅11,0⋅6,0
=2,966 m .
15,0
(Z1/2.10)
Ponieważ obciążenie trójkątne ma wartość zero w punkcie A to wykres siły poprzecznej będzie miał
ekstremum w tym punkcie. Rysunek Z1/2.8 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale AB.
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
6,0
E
30,0 kN
52,0 kN
2,0
4,0
1,0
+11,0
-34,0
T(x) [kN]
2,966
3,034
Rys. Z1/2.8. Wykres siły poprzecznej w przedziale AB.
W punkcie B działa siła skupiona o wartości 52,0 kN w górę więc siłą poprzeczna z prawej strony podpory
B wynosi
T PB =−34,052,0=18,0 kN .
(Z1/2.11)
W przedziale BC nie działa obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma wartość stałą czyli
T CL =T BP=18,0 kN .
(Z1/2.12)
Rysunek Z1/2.9 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale BC.
W przegubie C siła poprzeczna jak wiadomo nie zmienia swojej wartości czyli
T CL =T CP=18,0 kN .
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/2.13)
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
6
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
6,0
E
30,0 kN
52,0 kN
2,0
4,0
1,0
+18,0
+11,0
-34,0
T(x) [kN]
2,966
3,034
Rys. Z1/2.9. Wykres siły poprzecznej w przedziale BC.
W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone w dół czyli funkcja siły poprzecznej jest
funkcją liniową. Wartość siły poprzecznej na początku przedziały wynosi zgodnie (Z1/2.13)
T CP =18,0 kN .
(Z1/2.14)
Wartość siły poprzecznej na końcu przedziału wynosi
T LD=18,0−10,0⋅4,0=−22,0 kN .
(Z1/2.15)
Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej znajduje się zgodnie z (1.61) w odległości
x 0=
18,0
=1,8 m
10,0
(Z1/2.16)
od punktu C. Rysunek Z1/2.10 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale CD.
W punkcie D działa siła skupiona o wartości 30,0 kN w górę czyli wartość siły poprzecznej z prawej strony
podpory D wynosi
T PD=−22,030,0=8,0 kN .
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/2.17)
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
7
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
6,0
E
30,0 kN
52,0 kN
2,0
4,0
1,0
+18,0
+11,0
-34,0
-22,0
T(x) [kN]
1,8
2,966
2,2
3,034
Rys. Z1/2.10. Wykres siły poprzecznej w przedziale CD.
W przedziale DE nie działa obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma stałą wartość czyli
T E =T PD=8,0 kN .
(Z1/2.18)
Rysunek Z1/2.11 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale DE, który jest jednocześnie wykresem
dla całej belki.
Z1/2.5 Wykres momentu zginającego w belce
W przedziale AB działa obciążenie trójkątne więc funkcja momentu zginającego jest wielomianem
trzeciego stopnia. Aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w
trzech punktach oraz wykorzystać fakt, iż obciążenie trójkątne działa w dół.
Według rysunku Z1/2.12 a moment zginający w punkcie A wynosi
M A=0,0 kNm
.
(Z1/2.19)
Według rysunku Z1/2.12 b ekstremalny moment zginający wynosi (porównaj rysunek Z1/2.8)
1
1
M EXT1=11,0⋅2,966−12,0− ⋅7,415⋅2,966⋅ ⋅2,966=9,754 kNm .
2
3
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/2.20)
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
8
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
30,0 kN
52,0 kN
6,0
E
2,0
4,0
1,0
+18,0
+8,0
+11,0
-34,0
-22,0
T(x) [kN]
1,8
2,966
2,2
3,034
Rys. Z1/2.11. Wykres siły poprzecznej w przedziale DE i całej belki.
a)
b)
12,0 kNm
A
MA
15,0
kN
⋅2,966=7,415
6,0
m
12,0 kNm
A
1
MEXT1
11,0 kN
2,966
11,0 kN
c)
15,0 kN/m
12,0 kNm
MBL
A
1
11,0 kN
6,0
Rys. Z1/2.12. Części belki w przedziale AB.
Według rysunku Z1/2.12 c moment zginający w punkcie B wynosi
1
1
M LB=11,0⋅6,0−12,0− ⋅15,0⋅6,0⋅ ⋅6,0=−36,0 kNm .
2
3
(Z1/2.21)
Rysunek Z1/2.13 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale AB.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
9
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
30,0 kN
52,0 kN
6,0
E
2,0
4,0
1,0
+11,0
-34,0
T(x) [kN]
3,034
9,754
36,0
2,966
12,0
M(x) [kNm]
2,966
3,034
Rys. Z1/2.13. Wykres momentu zginającego w przedziale AB.
a)
b)
MBP
C
MC
18,0 kN
C
18,0 kN
2,0
Rys. Z1/2.14. Części belki w przedziale BC.
W przedziale BC nie działa obciążenie ciągłe więc wykres momentu zginającego jest funkcją liniową.
Wystarczy wyznaczyć wartości momentu zginającego w dwóch punktach. Według rysunku Z1/2.14 a
moment w punkcie B wynosi
M PB=−18,0⋅2,0=−36,0 kNm .
(Z1/2.22)
Według rysunku Z1/2.14 b moment zginający w przegubie C wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
M C =0,0 kNm
10
.
(Z1/2.23)
Rysunek Z1/2.15 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale BC.
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
B
A
8,0 kN
D
C
11,0 kN
6,0
E
30,0 kN
52,0 kN
2,0
4,0
1,0
+18,0
+11,0
-34,0
T(x) [kN]
36,0
3,034
9,754
2,966
12,0
2,966
0,0
M(x) [kNm]
3,034
Rys. Z1/2.15. Wykres momentu zginającego w przedziale BC.
W przedziale CD działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone czyli moment zginający w tym przedziale
jest parabolą. Aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w trzech
punktach.
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.16 a wartość momentu zginającego w przegubie C wynosi
M C =0,0 kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
.
(Z1/2.24)
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
a)
b)
11
c)
10,0 kN/m
10,0 kN/m
MC
MEXT2
C
C
18,0 kN
18,0 kN
MDL
C
2
2
18,0 kN
1,8
4,0
Rys. Z1/2.16. Części belki w przedziale CD.
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
8,0 kN
B
A
D
C
11,0 kN
6,0
52,0 kN
2,0
4,0
30,0 kN
E
1,0
+18,0
+11,0
-34,0
-22,0
T(x) [kN]
2,966
3,034
8,0
2,2
16,2
36,0
12,0
1,8
3,034
9,754
2,966
0,0
1,8
2,2
Rys. Z1/2.17. Wykres momentu zginającego w przedziale CD.
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.16 b wartość ekstremalnego momentu zginającego wynosi
1
M EXT2=18,0⋅1,8−10,0⋅1,8⋅ ⋅1,8=16,2 kNm .
2
(Z1/2.25)
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.16 c wartość momentu zginającego w punkcie D wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
12
1
L
M D=18,0⋅4,0−10,0⋅4,0⋅ ⋅4,0=−8,0 kNm .
2
(Z1/2.26)
Rysunek Z1/2.17 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale CD.
W przedziale DE nie działa obciążenie ciągłe więc wykres momentu zginającego będzie liniowy.
a)
b)
8,0 kN
MDP
8,0 kN
ME
E
E
1,0
Rys. Z1/2.18. Części belki w przedziale DE.
15,0 kN/m
10,0 kN/m
12,0 kNm
8,0 kN
B
A
D
C
11,0 kN
6,0
52,0 kN
2,0
4,0
30,0 kN
E
1,0
+18,0
+8,0
+11,0
-34,0
-22,0
T(x) [kN]
2,966
3,034
8,0
2,2
16,2
36,0
12,0
1,8
3,034
9,754
2,966
0,0
1,8
M(x) [kNm]
2,2
Rys. Z1/2.19. Wykres momentu zginającego w przedziale DE i całej belki.
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.18 a wartość momentu w punkcie D wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
Z1/2. ANALIZA BELEK – ZADANIE 2
M PD=−8,0⋅1,0=−8,0 kNm .
13
(Z1/2.27)
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.18 b wartość momentu w punkcie E wynosi
M E=0,0kNm
.
(Z1/2.28)
Rysunek Z1/2.19 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale DE. Jest to także ostateczny
wykres momentu zginającego dla całej belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni