Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2

Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
1
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
Z1/6 Zadane 2
Udowodnić geometryczną niezmienność ramy płaskiej na rysunku Z1/6.1 a następnie wyznaczyć
reakcje podporowe oraz wykresy siły normalnej, poprzecznej i momentu zginającego. Wszystkie wymiary są
podane w metrach.
D
C
32,0 kN
B
6,0
16,0 kN/m
A
E
5,0
4,0
3,0
Rys. Z1/6.1. Rama płaska.
Z1/6.2 Analiza kinematyczna ramy płaskiej
Rysunek Z1/6.2 przedstawia układ tarcz sztywnych który jest modelem rozpatrywanej ramy płaskiej
przedstawionej na rysunku Z1/6.1.
Rozpatrywana rama płaska składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć stopni
swobody. Układ tarcz sztywnych jest podparty za pomocą czterech prętów i przegubu pomiędzy tarczami 1 i
2. Stanowią one
4⋅11⋅2=6
(Z1/6.1)
więzów. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Pręty łączące tarcze
1 i 2 do tarczy podporowej stanowią przeguby znajdujące się w punktach A i E. Cały układ tarcz sztywnych
jest więc układem trójprzegubowym, w którym przeguby A, C i E nie znajdują się na jednej prostej. Tym
samym został spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Układ tarcz sztywnych jest
więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/6.3 Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z1/6.3 przedstawia ramę płaską z zaznaczonymi przyjętymi zwrotami reakcji podporowych
w przegubach A i E.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
2
C
1
2
A
E
Rys. Z1/6.2. Układ tarcz sztywnych – model ramy płaskiej.
D
C
32,0 kN
B
16,0 kN/m
1
HA
6,0
2
HE
E
A
VA
VE
5,0
4,0
3,0
Rys.Z1/6.3. Założone zwroty reakcji podporowych w przegubach A i E.
Długość pręta AB wynosi
L AB = 5,026,0 2=7,81 m .
(Z1/6.2)
Reakcję VA możemy wyznaczyć z warunku
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
 M E=0


1
V A⋅12,0−32,0⋅6,0−16,0⋅7,81⋅ ⋅5,07,0 =0
2
V A=114,9kN
.
3
(Z1/6.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję VE możemy wyznaczyć z warunku
 M A=0
1
−V E⋅12,0−32,0⋅6,016,0⋅7,81⋅ ⋅5,0=0
2
V E =10,03kN
.
(Z1/6.4)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Jako sprawdzenie możemy wykorzystać warunek
Y =0
V AV E−16,0⋅7,81=114,910,03−16,0⋅7,81=0
(Z1/6.5)
Rysunek Z1/6.4 przedstawia ramę płaską z podziałem na poszczególne pręty oraz z zaznaczonymi
przyjętymi zwrotami reakcji podporowych.
Reakcję HA możemy wyznaczyć z warunku
 M C1 =0


1
V A⋅9,0−H A⋅6,0−16,0⋅7,81⋅ ⋅5,04,0 =0
2
H A=36,98kN
.
(Z1/6.6)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję HE możemy wyznaczyć z warunku
 2
 M C =0
−V E⋅3,0H E⋅6,0=0 .
H E =5,015 kN
(Z1/6.7)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Jako sprawdzenie możemy wykorzystać warunek
 X =0
H A−H E −32,0=36,98−5,015−32,0=0
.
(Z1/6.8)
Na podstawie zależności (Z1/6.5) i (Z1/6.8) możemy stwierdzić, że rama znajduje się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
4
Reakcję HC możemy wyznaczyć z warunku
1 
 X =0
H A−H C =0 .
H C =36,98 kN
(Z1/6.9)
HC
D
C
32,0 kN
VC
C
HC
VC
6,0
B
2
16,0 kN/m
6,0
1
HE
E
VE
HA
A
VA
5,0
4,0
3,0
Rys.Z1/6.4. Założone zwroty reakcji podporowych.
Jako sprawdzenie możemy wykorzystać warunek
 2
 X =0
.
H C − H E −32,0=36,98−5,015−32,0=0
(Z1/6.10)
Reakcję VC możemy wyznaczyć z warunku
 1
 Y =0
V AV C −16,0⋅7,81=0 .
V C =10,06 kN
(Z1/6.11)
Jako sprawdzenie możemy wykorzystać warunek
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
5
 2
 Y =0
.
−V C V E =−10,0610,03≈0
(Z1/6.12)
Rysunki Z1/6.5 i Z1/6.6 przedstawiają prawidłowe zwroty reakcji podporowych.
32,0 kN
D
C
B
16,0 kN/m
1
36,98 kN
6,0
2
E 5,015 kN
A
114,9 kN
10,03 kN
5,0
4,0
3,0
Rys.Z1/6.5. Prawidłowe zwroty reakcji podporowych.
36,98 kN
D
C
32,0 kN
10,03 kN
C 36,98 kN
10,03 kN
6,0
B
2
16,0 kN/m
6,0
1
E 5,015 kN
10,03 kN
36,98 kN
A
114,9 kN
5,0
4,0
3,0
Rys.Z1/6.6. Prawidłowe zwroty reakcji podporowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
6
Z1/6.4 Wykresy sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z1/6.7 przedstawia równowagę odciętej części pręta ukośnego AB. Na rysunku tym
przedstawione są także składowe reakcji oraz wypadkowej z obciążenia równomiernie rozłożonego na
kierunki siły normalnej i poprzecznej. Siły i momenty, które mają ten sam kierunek co odpowiednie siły
przekrojowe będą zapisywane z minusem natomiast siły i momenty, które mają przeciwny kierunek co
odpowiednie siły przekrojowe będą zapisywane z plusem.
X
114,9 kN
N(x)
α
16,0 kN/m
M(x)
1
α
A
36,98 kN
36,98 kN
0,7682⋅x
-x
-
T(x)
α
α
α
W =16,0⋅x
α
α
114,9 kN
0,6402⋅x
Rys.Z1/6.7. Równowaga odciętej części pręta ukośnego AB.
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta nachylenia pręta AB (uwzględniając wpisać) wynoszą
sin=
6,0
=0,7682
7,81
(Z1/6.13)
cos =
5,0
=0,6402 .
7,81
(Z1/6.14)
oraz
Siła normalna ma postać
N  x=−114,9⋅sin−36,98⋅cos 16,0⋅x⋅sin  .
N  x=12,29⋅x−111,2
(Z1/6.15)
Wartości siły normalnej na końcach przedziału wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
7
N 0,0=−111,2 kN .
N 7,81=−15,22 kN
(Z1/6.16)
T  x=114,9⋅cos −36,98⋅sin −16,0⋅x⋅cos  .
T  x=−10,24⋅x45,15
(Z1/6.17)
Siła poprzeczna ma postać
Wartości siły poprzecznej na końcach przedziału wynoszą
T 0,0=45,15 kN
.
T 7,81=−34,82 kN
(Z1/6.18)
Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej wynosi
T  x0 =−10,24⋅x 045,15=0 .
x 0=4,409 m
(Z1/6.19)
Moment zginający ma postać
M  x=114,9⋅x⋅cos−36,98⋅x⋅sin−16,0⋅x⋅
x⋅cos
.
2
(Z1/6.20)
2
M  x=−5,122⋅x 45,15⋅x
Wartości momentu zginającego na końcach przedziału wynoszą
M 0,0=0,0 kNm
.
M 7,81=40,2 kNm
(Z1/6.21)
Wartość ekstremalna momentu zginającego wynosi
M 4,409=99,5 kNm .
(Z1/6.22)
Rysunki Z1/6.14, Z1/6.15, Z1/6.16 przedstawiają wykresy sił przekrojowych w ramie płaskiej.
Z1/6.5 Wykresy sił przekrojowych w pozostałych przedziałach
W pozostałych przedziałach nie ma obciążenia ciągłego więc siły normalna i poprzeczna będą miały
w każdym z pozostałych przedziałów stałe wartości. Rysunek Z1/6.8 przedstawia równowagę odciętej części
ramy w przedziale BC z zaznaczonymi dodatnimi zwrotami siły normalnej i poprzecznej. Siły i momenty,
które mają ten sam kierunek co odpowiednie siły przekrojowe będą zapisywane z minusem natomiast siły i
momenty, które mają przeciwny kierunek co odpowiednie siły przekrojowe będą zapisywane z plusem.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
NBC
32,0 kN
D
C
8
TBC
E
6,0
2
5,015 kN
10,03 kN
3,0
Rys.Z1/6.8. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC.
Siła normalna w przedziale BC wynosi
N BC =−5,015−32,0≈−36,98kN
.
(Z1/6.23)
Siła poprzeczna w przedziale BC wynosi
T BC =−10,03kN
.
(Z1/6.24)
Aby wyznaczyć jednoznacznie funkcję liniową momentu zginającego należy obliczyć wartości momentu
zginającego na początku i na końcu przedziału. Rysunek Z1/6.9 przedstawia równowagę momentów dla
momentu w punkcie B i C.
Moment w punkcie B wynosi
M B=10,03⋅7,0−5,015⋅6,0=40,12kNm≈40,2kNm
.
(Z1/6.25)
Moment w punkcie C wynosi
M C =10,06⋅3,0−5,015⋅6,0=0,0 kNm
.
(Z1/6.26)
Rysunki Z1/6.14, Z1/6.15 oraz Z1/6.16 w dalszej części przedstawiają wykresy sił przekrojowych w ramie
płaskiej.
Rysunek Z1/6.10 przedstawia równowagę sił normalnej i poprzecznej w przedziale CD.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
MB
9
MC
D
C
D
C
32,0 kN
32,0 kN
E
2
5,015 kN
E
10,03 kN
4,0
6,0
2
5,015 kN
10,03 kN
3,0
3,0
Rys.Z1/6.9. Równowaga momentów zginających w przedziale BC.
NCD
D
32,0 kN
TCD
6,0
2
5,015 kN
E
10,03 kN
Rys.Z1/6.10. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale CD.
Siła normalna w przedziale CD wynosi
N CD =−5,015−32,0≈−36,98kN
.
(Z1/6.27)
Siła poprzeczna w przedziale CD wynosi
T CD =−10,03kN
Dr inż. Janusz Dębiński
.
(Z1/6.28)
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
10
Aby wyznaczyć jednoznacznie funkcję liniową momentu zginającego należy obliczyć wartości momentu
zginającego na początku i na końcu przedziału. Rysunek Z1/6.11 przedstawia równowagę momentów dla
momentu w punkcie C i D.
MC
MD
32,0 kN
32,0 kN
2
6,0
2
D
E 5,015 kN
6,0
D
E 5,015 kN
10,03 kN
10,03 kN
3,0
Rys.Z1/6.11. Równowaga momentów zginających w przedziale CD.
Moment w punkcie C wynosi
M C =10,03⋅3,0−5,015⋅6,0=0,0 kNm
.
(Z1/6.29)
Moment w punkcie D wynosi
M D=−5,015⋅6,0=−30,09kNm
.
(Z1/6.30)
Rysunki Z1/6.14, Z1/6.15, Z1/6.16 przedstawiają wykresy sił przekrojowych w ramie płaskiej.
Rysunek Z1/6.12 przedstawia równowagę sił normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
Siła normalna w przedziale DE wynosi
N DE =−10,03kN
.
(Z1/6.31)
.
(Z1/6.32)
Siła poprzeczna w przedziale DE wynosi
T DE =5,015kN
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
11
NDE
TDE
2
E 5,015 kN
10,03 kN
Rys.Z1/6.12. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale DE.
Aby wyznaczyć jednoznacznie funkcję liniową momentu zginającego należy obliczyć wartości momentu
zginającego na początku i na końcu przedziału. Rysunek Z1/6.13 przedstawia równowagę momentów dla
momentu w punkcie D i E.
MD
6,0
2
ME
E
5,015 kN
E
5,015 kN
10,03 kN
10,03 kN
Rys.Z1/6.13. Równowaga momentów zginających w przedziale DE.
Moment w punkcie D wynosi
M D=−5,015⋅6,0=−30,09kNm
.
(Z1/6.33)
Moment w punkcie E wynosi
M E=0,0kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
.
(Z1/6.34)
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
12
Rysunki Z1/6.14, Z1/6.15 oraz Z1/6.16 przedstawiają wykresu siły normalnej, poprzecznej oraz momentu
zginającego w ramie.
-36,98
-10,03
-1
5,
22
N [kN]
-1
11
,2
Rys.Z1/6.14. Wykres siły normalnej.
Z1/6.6 Równowaga węzłów
Rysunek Z1/6.17 przedstawia równowagę węzła D, którą wyznaczono na podstawie wykresów na
rysunkach Z1/6.14, Z1/6.15 oraz Z1/6.16. Jak widać na tym rysunku równowaga węzła D jest zachowana.
Rysunek Z1/6.18 przedstawia równowagę całego pręta ukośnego. Aby sprawdzić równowagę w tym pręcie
zastosujmy warunek równowagi
 M A=0
−40,2−34,82⋅7,8116,0⋅7,81⋅2,5=0,256≈0,0
.
(Z1/6.35)
Pręt ukośny znajduje się w równowadze. Jako ostatnie trzecie sprawdzenie zastosujmy sprawdzenie węzła,
do którego dochodzi pręt ukośny czyli węzeł B. Rysunek Z1/6.19 przedstawia węzeł B z zaznaczonymi
prawidłowymi wartościami i zwrotami sił normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego.
Równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś poziomą ma postać
 X =15,22⋅cos34,82⋅sin −36,98 .
= 15,22⋅0,640234,82⋅0,7682−36,98≈0
(Z1/6.36)
Równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś pionową ma postać
 Y =15,22⋅sin−34,82⋅cos 10,03 .
= 15,22⋅0,7682−34,82⋅0,640210,03≈0
Dr inż. Janusz Dębiński
(Z1/6.37)
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
13
Węzeł B znajduje się więc w równowadze.
-10,03
+5,015
-3
4,
82
4,
40
9
T [kN]
+4
5,
15
40,2
Rys.Z1/6.15. Wykres siły poprzecznej.
30,09
30,09
4,4
09
40
,2
99
,5
M [kNm]
0,0
0,0
Rys.Z1/6.16. Wykres momentu zginającego.
10,03 kN D
32,0 kN
30,09 kNm
D
36,98 kN
5,015 kN
10,03 kN
30,09 kNm
Rys. Z1/6.17. Równowaga węzła D.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM
Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2
14
15,22 kN
40,2 kNm
16,0 kN/m
-7
,81
-
34,82 kN
1
36,98 kN A
114,9 kN
5,0
Rys.Z1/6.18. Równowaga całego pręta ukośnego.
B
10,03 kN
36,98 kN
α
34,82 kN
α
α
34,82 kN
α
α
α
15,22 kN
B
15,22 kN
40,2 kNm
40,2 kNm
Rys. Z1/6.19. Równowaga węzła B.
Dr inż. Janusz Dębiński
BDM