Wykład 5 (zazębienie ewolwentowe)

Zazębienie
Jak już wzmiankowano, kształt zarysu zęba może być
dowolny.
Jednakże nie wszystkie zarysy spełniają podstawową
zasadę zazębienia (zasadę Willis’a),
‘prosta normalna do boku zęba w punkcie styku
zębów kół współpracujących musi przechodzić przez
punkt styku kół tocznych’.
Aby dwa zarysy współpracujących ze sobą zębów
miały wspólną normalną w punkcie ich styku to muszą
być one utworzone przez to samo koło odtaczające.
Warunek te spełniają zarysy utworzone przez krzywe
cykliczne, tj. różnego rodzaju cykloidy oraz ewolwenta
koła.
Aby dwa zarysy współpracujących ze sobą zębów miały
wspólną normalną w punkcie ich styku to muszą być one
utworzone przez to samo koło odtaczające.
W przypadku zarysu cykloidalnego koło odtaczające dla
współpracujących zarysów musi mieć tę samą średnicę.
epicykloida
ρ
ρ
hipocykloida
wspólna normalna do
zarysów
W przypadku zarysu ewolwentowego kołem odtaczającym jest
linia prosta, a więc ten warunek zawsze jest spełniony.
koło odtaczające o promieniu równym
∞
ZAZĘBIENIE EWOLWENTOWE
W zazębieniu ewolwentowym zarysy boków
współpracujących zębów są utworzone przez
odtaczanie linii prostej po kole zasadniczym.
Oznacza to, że zarysy boków współpracujących
zębów są utworzone przez to samo koło
odtaczające (o promieniu ρ = ∞), a więc mają one
wspólną normalną w punkcie ich styku.
W ten sposób został spełniony warunek podstawowej zasady
zazębienia:
‘prosta normalna do boku zęba w punkcie styku zębów kół
współpracujących musi przechodzić przez punkt styku kół
tocznych’.
CECHY ZAZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO
1. Zarys boku zęba
¾ jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek
ewolwenty,
¾ początek łuku ewolwenty możliwy do wykorzystania jako
zarys ewolwentowy znajduje się na kole zasadniczym,
¾ współpracujące części ewolwenty powstają tylko na
odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi,
¾ część zarysu poniżej okręgu zasadniczego wykonywana
jest jako krzywa przejściowa (może ona być dowolna, ale
taka aby umożliwiła przejście wierzchołka zęba i
jednocześnie nie powodowała zmniejszenia grubości
zęba i jego osłabienia przy podstawie).
CECHY ZAZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO
1. Zarys boku zęba
¾ jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek
ewolwenty,
¾ początek łuku ewolwenty możliwy do wykorzystania jako
zarys ewolwentowy znajduje się na kole zasadniczym,
¾ współpracujące części ewolwenty powstają tylko na
odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi,
¾ część zarysu poniżej okręgu zasadniczego wykonywana
jest jako krzywa przejściowa (może ona być dowolna, ale
taka aby umożliwiła przejście wierzchołka zęba i
jednocześnie nie powodowała zmniejszenia grubości
zęba i jego osłabienia przy podstawie).
ewolwenta
koło dna
wrębów
koło
zasadnicze
rz
df
0
CECHY ZAZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO
1. Zarys boku zęba
¾ jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek
ewolwenty,
¾ początek łuku ewolwenty możliwy do wykorzystania jako
zarys ewolwentowy znajduje się na kole zasadniczym,
¾ współpracujące części ewolwenty powstają tylko na
odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi,
¾ część zarysu poniżej okręgu zasadniczego wykonywana
jest jako krzywa przejściowa (może ona być dowolna, ale
taka aby umożliwiła przejście wierzchołka zęba i
jednocześnie nie powodowała zmniejszenia grubości
zęba i jego osłabienia przy podstawie).
ewolwenta
koło dna
wrębów
koło
zasadnicze
rz
df
0
CECHY ZAZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO
1. Zarys boku zęba
¾ jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek
ewolwenty,
¾ początek łuku ewolwenty możliwy do wykorzystania jako
zarys ewolwentowy znajduje się na kole zasadniczym,
¾ współpracujące części ewolwenty powstają tylko na
odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi,
¾ część zarysu poniżej okręgu zasadniczego wykonywana
jest jako krzywa przejściowa (może ona być dowolna, ale
taka aby umożliwiła przejście wierzchołka zęba i
jednocześnie nie powodowała zmniejszenia grubości
zęba i jego osłabienia przy podstawie).
ewolwenta
koło dna
wrębów
koło
zasadnicze
rz
df
0
CECHY ZAZĘBIENIA EWOLWENTOWEGO
1. Zarys boku zęba
¾ jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek
ewolwenty,
¾ początek łuku ewolwenty możliwy do wykorzystania jako
zarys ewolwentowy znajduje się na kole zasadniczym,
¾ współpracujące części ewolwenty powstają tylko na
odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi,
¾ część zarysu poniżej okręgu zasadniczego wykonywana
jest jako krzywa przejściowa (może ona być dowolna, ale
taka aby umożliwiła przejście wierzchołka zęba i
jednocześnie nie powodowała zmniejszenia grubości
zęba i jego osłabienia przy podstawie).
odcinek
ewolwenty
wykorzystany
jako zarys
koło zasadnicze
ewolwenta
koło odtaczające
krzywa
przejściowa
odcinek
ewolwenty
wykorzystany
jako zarys
koło zasadnicze
ewolwenta
krzywa
przejściowa
2. Linia przyporu
¾ linia przyporu jest linią prostą,
¾ linia przyporu jest styczną do kół zasadniczych,
przechodzącą przez centralny biegun zazębienia C,
¾ linia przyporu jest nachyloną do stycznej poprowadzonej
w punkcie styku kół tocznych pod kątem α.
2. Linia przyporu
¾ linia przyporu jest linią prostą,
¾ linia przyporu jest styczną do kół zasadniczych,
przechodzącą przez centralny biegun zazębienia C,
¾ linia przyporu jest nachyloną do stycznej poprowadzonej
w punkcie styku kół tocznych pod kątem α.
KT1
KZ1
O1
O2
linia przyporu
KZ2
KT2
2. Linia przyporu
¾ linia przyporu jest linią prostą,
¾ linia przyporu jest styczną do kół zasadniczych,
przechodzącą przez centralny biegun zazębienia C,
¾ linia przyporu jest nachyloną do stycznej poprowadzonej
w punkcie styku kół tocznych pod kątem α.
KT1
KZ1
O1
linia przyporu
N1
C
N2
O2
KZ2
KT2
2. Linia przyporu
¾ linia przyporu jest linią prostą,
¾ linia przyporu jest styczną do kół zasadniczych,
przechodzącą przez centralny biegun zazębienia C,
¾ linia przyporu jest nachyloną do stycznej poprowadzonej
w punkcie styku kół tocznych pod kątem α.
KT1
KZ1
O1
linia przyporu
N1
α
C
N2
O2
KZ2
KT2
3. Kąt przyporu
¾ kąt przyporu ma stałą wartość,
¾ gdy koła toczne pokrywają się z kołami podziałowymi, to
mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym i w takim
przypadku kąt przyporu nosi nazwę nominalnego kąta
przyporu (zerowego kąta przyporu),
¾ w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z kołami
podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją wartość i
powstaje wówczas toczny kąt przyporu różny od
nominalnego kąta przyporu,
¾ kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ
określa on punkt oddziaływania siły międzyzębnej na
zarys zęba.
3. Kąt przyporu
¾ kąt przyporu ma stałą wartość,
¾ gdy koła toczne pokrywają się z kołami podziałowymi, to
mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym i w takim
przypadku kąt przyporu nosi nazwę nominalnego kąta
przyporu (zerowego kąta przyporu),
¾ w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z kołami
podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją wartość i
powstaje wówczas toczny kąt przyporu różny od
nominalnego kąta przyporu,
¾ kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ
określa on punkt oddziaływania siły miedzyzębnej na
zarys zęba.
linia przyporu
O1
E1
C
α = const.
E2
wspólna normalna
do zarysów
O2
3. Kąt przyporu
¾ kąt przyporu ma stałą wartość,
¾ gdy koła toczne pokrywają się z kołami podziałowymi, to
mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym i w takim
przypadku kąt przyporu nosi nazwę nominalnego kąta
przyporu (zerowego kąta przyporu),
¾ w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z kołami
podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją wartość i
powstaje wówczas toczny kąt przyporu różny od
nominalnego kąta przyporu,
¾ kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ
określa on punkt oddziaływania siły międzyzębnej na
zarys zęba.
a)
KT1=KP1
r1
O1
α0
N2
rz1
C
N1
a0
rz2
O2
r2
KT2=KP2
α0 – nominalny kąt przyporu
3. Kąt przyporu
¾ kąt przyporu ma stałą wartość,
¾ gdy koła toczne pokrywają się z kołami podziałowymi, to
mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym i w takim
przypadku kąt przyporu nosi nazwę nominalnego kąta
przyporu (zerowego kąta przyporu),
¾ w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z kołami
podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją wartość i
powstaje wówczas toczny kąt przyporu różny od
nominalnego kąta przyporu,
¾ kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ
określa on punkt oddziaływania siły międzyzębnej na
zarys zęba.
a)
b)
KT1
KT1=KP1
KP1
r1
O1
α0
N2
KZ1
rw1
O’1 αw
rz1
C
N’1
a
N1
a0
rz2
O2
rz1
C
αw
N’2
r2
rw2
O’2
KZ2
rz2
KP2
KT2=KP2
αw
KT2
Zależność między nominalnym
kątem przyporu α0 a tocznym
kątem przyporu α znajdziemy
rozpatrując następujące trójkąty
dla przypadku a):
KT1=KP1
r1
O1
ΔO1N1C
ΔO2N2C
O1 N 1 O2 N 2
cosα0 =
=
=
O1C
O2C
rz1 rz 2 rz
=
=
=
r1
r2
r
rz1
α0
α0
N2
α0
C
N1
rz2
O2
r2
KT2=KP2
Zależność między nominalnym
kątem przyporu α0 a tocznym
kątem przyporu α znajdziemy
rozpatrując następujące trójkąty
dla przypadku b):
b)
KT1
KP1
KZ1
rz1
ΔO’1N’1C
O’1 αw
N’1
ΔO’2N’2C
C
αw
N’2
O1'N1'
O2' N 2'
cos α =
=
=
O1'C
O2' C
rz1 rz 2 rz
=
=
=
rw1 rw 2 rw
rw1
αw
rw2
O’2
KZ2
rz2
KP2
KT2
Zależność między tocznym kątem przyporu α
a nominalnym kątem przyporu α0
rz
cos α0 =
r
rz
cos α =
rw
⇒
r
cos α = ⋅ cos α 0
rw
3. Kąt przyporu
¾ kąt przyporu ma stałą wartość,
¾ gdy koła toczne pokrywają się z kołami podziałowymi, to
mamy do czynienia z tzw. zazębieniem zerowym i w takim
przypadku kąt przyporu nosi nazwę nominalnego kąta
przyporu (zerowego kąta przyporu),
¾ w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z kołami
podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją wartość i
powstaje wówczas toczny kąt przyporu różny od
nominalnego kąta przyporu,
¾ kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ
określa on punkt oddziaływania siły międzyzębnej na
zarys zęba.
Kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu ponieważ określa
on punkt oddziaływania siły międzyzębnej na zarys zęba
O1
linia przyporu
kąt zarysu = kąt przyporu
siła międzyzębna
O2
4. Odległość międzyosiowa
¾ koła o ewolwentowych zarysach zębów mogą poprawnie
pracować przy zmianie odległości osi, gdyż w punkcie
przyporu normalne do ich zarysów pokrywają się,
¾ przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych
granicach, ponieważ zmieniają się luzy międzyzębne,
¾ nominalna (zerowa odległość międzyosiowa) równa się:
a 0 = r1 + r2
¾ rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:
cosα0
a = a0 ⋅
cosα w
4. Odległość międzyosiowa
¾ koła o ewolwentowych zarysach zębów mogą poprawnie
pracować przy zmianie odległości osi, gdyż w punkcie
przyporu normalne do ich zarysów pokrywają się,
¾ przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych
granicach, ponieważ zmieniają się luzy międzyzębne,
¾ nominalna (zerowa odległość międzyosiowa) równa się:
a 0 = r1 + r2
¾ rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:
cosα0
a = a0 ⋅
cosαw
wspólna normalna do
zarysów
4. Odległość międzyosiowa
¾ koła o ewolwentowych zarysach zębów mogą poprawnie
pracować przy zmianie odległości osi, gdyż w punkcie
przyporu normalne do ich zarysów pokrywają się,
¾ przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych
granicach, ponieważ zmieniają się luzy międzyzębne,
¾ nominalna (zerowa odległość międzyosiowa) równa się:
a 0 = r1 + r2
¾ rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:
cosα0
a = a0 ⋅
cosαw
4. Odległość międzyosiowa
¾ koła o ewolwentowych zarysach zębów mogą poprawnie
pracować przy zmianie odległości osi, gdyż w punkcie
przyporu normalne do ich zarysów pokrywają się,
¾ przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych
granicach, ponieważ zmieniają się luzy międzyzębne,
¾ nominalna (zerowa odległość międzyosiowa) równa się:
a 0 = r1 + r2
¾ rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:
cosα0
a = a0 ⋅
cosα w
a0 = r1 + r2
KT1=KP1
r1
rz1
cos α0 =
r1
rz 2
cos α0 =
r2
rz1
r1 =
cos α0
rz 2
r2 =
cos α0
rz1 + rz 2
a0 = r1 + r2 =
cos α0
O1
α0
N2
rz1
C
N1
a0
rz2
O2
r2
KT2=KP2
4. Odległość międzyosiowa
¾ koła o ewolwentowych zarysach zębów mogą poprawnie
pracować przy zmianie odległości osi, gdyż w punkcie
przyporu normalne do ich zarysów pokrywają się,
¾ przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych
granicach, ponieważ zmieniają się luzy międzyzębne,
¾ nominalna (zerowa odległość międzyosiowa) równa się:
a 0 = r1 + r2
¾ rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:
cosα0
a = a0 ⋅
cosα w
cosα0
a = a0 ⋅
cosα w
rz1
cos αw =
rw1
rz 2
cos αw =
rw 2
a = rw1 + rw 2
rz1
rw1 =
cos αw
rz 2
rw 2 =
cos αw
rz1 + rz 2
=
cos αw
b)
KT1
KP1
KZ1
rz1
rw1
O’1 αw
N’1
a
C
αw
N’2
αw
rw2
O’2
KZ2
rz2
KP2
KT2
Uzyskaliśmy zależności:
rz1 + rz 2
a0 =
cos α0
oraz
rz1 + rz 2
a=
cos αw
przekształcając do postaci:
rz1 + rz 2 = a0 ⋅ cos α0
oraz
rz1 + rz 2 = a ⋅ cos αw
porównamy lewe strony:
a0 ⋅ cos α0 = a ⋅ cos αw
cosα0
a = a0 ⋅
cosα w
5. Przełożenie
¾ przełożenie nie zależy od odległości międzyosiowej
bowiem niezależnie od tego, które odcinki ewolwenty ze
sobą współpracują, promienie kół zasadniczych nie
ulegają zmianie (pozostają zawsze te same).
Jak już wzmiankowano, z zasady zazębienia wynika, że:
ω1 rz
i=
=
ω2 rz
2
1
Oznacza to, że stosunek prędkości kątowych jest równy
stosunkowi promieni kół zasadniczych.
A te nie ulegają zmianie.
6. Siły w zazębieniu
¾ z własności prostej przyporu wynika korzystna właściwość
przekładni o zazębieniu ewolwentowym: stały kierunek
siły międzyzębnej.
O1
C
α
PN
O2
linia przyporu
Przyczynia się to do tego, że zmiany położenia punktu przyporu
nie wpływają na stan obciążenia łożysk i wałów.
O1
linia przyporu
P
α
PR
C
PN
cos α =
P
PN
⇒ PN =
P
cos α
O2
PR
tgα =
P
⇒ PR = P ⋅ tgα
Zalety zazębienia ewolwentowego
¾ zazębienie ewolwentowe jest zupełnie nieczułe na
zmianę odległości osi,
¾ obróbka może być przeprowadzana bardzo dokładnie
uniwersalnymi narzędziami, tj. jednym, tym samym
narzędziem można obrabiać koła o różnych liczbach
zębów (ale tym samym α, y i m),
¾ sprawdzenie wielkości koła i uzębienia odbywa się
łatwo przy użyciu bardzo prostych narzędzi
(suwmiarka modułowa),
¾ kierunek i wielkość sił promieniowych są stałe, a więc
z tego powodu podczas pracy nie występują
dodatkowe wahania obciążenia i drgania.
Wady zazębienia ewolwentowego
Współpraca w zazębieniu zewnętrznym odbywa się między
dwoma zębami o wypukłych bokach, a przez to:
¾ występuje małe pole dolegania,
¾ występują dość duże jednostkowe naciski
powierzchniowe,
¾ występują nieco większe poślizgi niż w
zazębieniu cykloidalnym.
Pomimo tych wad, zazębienie ewolwentowe uzyskało
powszechne zastosowanie w przekładniach zębatych
stosowanych w budowie maszyn i okrętownictwie do
przenoszenia dużych mocy z dużymi prędkościami
obrotowymi.