Ostatnie ćwiczenia w grupie 2 Na ostatnich ćwiczeniach - E-SGH

Ostatnie ćwiczenia w grupie 2
Na ostatnich ćwiczeniach studenci z grupy 2 poprosili o zrobienie powtórzenia. W efekcie
rozwiązywali inne zadania, niż studenci z grupy 1 i 3.
Zamieszczam te zadania.
Uwaga. Zadania układałem „z głowy“ w trakcie zajęć, więc niektóre rozwiązują się nieciekawie, albo nie do końca.
1. Niech f : h1, ∞) → h1, ∞) będzie funkcją określoną wzorem
x
1
.
f (x) = x +
2
1+x
a) Sprawdzić, czy f ma punkty stałe.
b) Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem zwężającym.
2. Niech F : R2 → R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem
1
x1 + 2x2 − 1
2
F (x) =
.
x1 + 3x2 + 2
a) Wyznaczyć punkty stałe odwzorowania F .
b) Sprawdzić, czy F jest odwzorowaniem zwężającym.
3. Rozwiązać równanie
dy
= 1 + y 2 cos x
dx
z warunkiem początkowym y(0) = 1.
4. Rozwiązać równanie jednorodne wzgledem x i y
x+y
dy
=
dx
x−y
z warunkiem początkowym y(1) = 1.
5. Dane jest równanie
y2 + x − y
dy
= 0.
dx
a) Sprawdzić, że równanie nie jest zupełne.
b) Wyznaczyć czynnik całkujący zależny od jednej zmiennej (sprawdzić, czy równanie
otrzymane po przemnożeniu przez czynnik całkujący jest zupełne).
c) Rozwiązać równanie.
6. Wyznaczyć rozwiązanie niejednorodnego układu równań
(
dy1
= 2y1 − y2 + 1,
dx
dy2
= −y1 + 2y2 + x.
dx
Rozwiązania
1. Mamy
a) Rozwiązując równanie 21 x +
punktem stałym.
x
1+x
= x, otrzymujemy x = 0 lub x = 1, zatem x = 1 jest
1
2
b) f 0 (x) = 21 3+2x+x
oraz f 0 (x) ≤ 78 dla x ∈ h1, ∞), czyli f na podstawie odpowiedniego
(1+x)2
twierdzenia f jest zwężające.
2. Mamy
a) Rozwiązując równanie F (x) = x otrzymujemy
1
2
1
x + 2x2 − 1
x
2 1
= 1 ⇔ x1 = − , x2 = .
x1 + 3x2 + 2
x2
3
3
1 2
b) Należy obliczyć normę macierzy 2
korzystając ze wzoru
1 3
n√
o
A = max
λ : λ ∈ sp AT A
(tu akurat wynik jest mało ciekawy i nie policzyliśmy, ale podaję wartości)
λ1 =
57 1 √
57 1 √
+
3233, λ2 =
−
3233.
8
8
8
8
Niewątpliwie A > 1. F nie jest zwężające.
3. Odp: y (x) = tg sin x + 14 π .
4. Dzielimy licznik i mianownik po prawej stronie przez x i podstawiamy z = xy , otrzymując
2
dz
x = − 1+z
, a stąd
dx
z−1
− arc tg (z (x)) +
1
ln 1 + z 2 (x) − ln x = C,
2
czyli
y 2 1
− arc tg
+ ln 1 +
− ln x = C.
x
2
x
y
Należy jeszcze uwzględnić warunek początkowy, (który tu jest błędny, nie może być x = 1
i y = 1, bo po prawej stronie równania w mianowniku byłoby 0).
5. Rozw. i odp:
a) Nie jest zupełne.
−2x
b) Czynnik całkujący
−2x µ = e .
1
2
= C.
c) y + x + 2 e
6. Rozwiązanie można zapisać np. w postaci
10 1
− x,
9
3
8 2
x
3x
y2 (x) = D1 e − D2 e − − x.
9 3
y1 (x) = D1 ex + D2 e3x −
Uwaga. Do podanych powyżej rozwiązań proszę podchodzić z pewną dozą nieufności
2