Department of Metrology and Optoelectronics

Katedra Metrologii i Optoelektroniki
Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki
Politechnika Gdańska
Niezawodność i Diagnostyka
Ćwiczenie laboratoryjne Nr 1
Graficzne i analityczne metody testowania
hipotez o rozkładach czasów pracy do
uszkodzenia w celu wyznaczenia
charakterystyk niezawodnościowych
Gdańsk, 2012
1. Funkcyjne charakterystyki niezawodności
Za podstawowe charakterystyki niezawodności przyjmuje się:
- dystrybuantę czasu poprawnej pracy F(t),
- funkcję gęstości uszkodzeń f(t),
- funkcję intensywności uszkodzeń λ(t),
- funkcję niezawodności R(t).
Dystrybuanta czasu poprawnej pracy, F(t), jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że uszkodzenie wyrobu nastąpi nie później niż w chwili t.
Dystrybuanta F(t) dla określonej funkcji gęstości uszkodzeń, f(t), jest dana
wyrażeniem:
t
F (t )  P(T  t )   f (u ) du
0
Funkcja intensywności uszkodzeń, λ(t), jest definiowana jako prawdopodobieństwo warunkowe tego, że uszkodzenie wyrobu nastąpi w przedziale czasu,
[t, (t + ∆t)], ale nie wcześniej jak w czasie t:
 (t ) 
f (t )
1  F (t )
Funkcja niezawodności, R(t), jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że
dany wyrób spełni wymagane funkcje w określonych warunkach pracy i w ustalonym
czasie. Niezawodność danego wyrobu jest prawdopodobieństwem wystąpienia
przypadkowego zdarzenia jakim jest jego uszkodzenie. Czas pracy wyrobu do
uszkodzenia jest zmienną losową.
Testy niezawodnościowe są prowadzone w celu oszacowania charakterystyk
niezawodnościowych. Wyniki testu, to liczby uszkodzonych wyrobów w czasie testu
oraz ich czasy uszkodzeń zapisywane w postaci ciągu rosnącego. Jak już
wspomniano czas do uszkodzenia wyrobu, t, jest traktowany jako zmienna losowa.
Wyniki testu przedstawiane są zwykle w następującej postaci:
{t i } i  1, 2, 3,..., M
M≤N
gdzie: M – liczba uszkodzonych wyrobów w czasie testu,
N – liczba wyrobów pobranych do testu.
Metody wnioskowania statystycznego służą do wnioskowania o właściwościach
populacji generalnej na podstawie wyników testu niezawodnościowego. Do metod
wnioskowania statystycznego zalicza się:
-
metody graficzne bazujące na siatkach funkcyjnych,
metody analityczne bazujące na testach statystycznych.
2
Metody graficzne są metodami przybliżonymi, są stosowane zwykle jako metody
wstępne, dokładne oszacowania można uzyskać na podstawie metod analitycznych.
Dokładność oszacowania rozkładu uszkodzeń metodami graficznymi jest określana
wizualnie po przedstawieniu wyników testu na specjalnie skonstruowanych siatkach
funkcyjnych dystrybuanty.
Metody graficzne umożliwiają:
-
-
sprawdzenie zgodności postaci funkcyjnej rozkładu empirycznego zmiennej
losowej, t, czyli czasu poprawnej pracy do uszkodzenia z założonym
rozkładem teoretycznym, na jego siatce funkcyjnej,
szacowanie parametrów tego rozkładu.
Siatki funkcyjne dystrybuanty czasu poprawnej pracy charakteryzują się tym, że
wykres dystrybuanty zmiennej losowej, t, o rozkładzie zgodnym z rozkładem
teoretycznym, dla którego skonstruowano siatkę, jest na tej siatce linią prostą.
Siatki funkcyjne są konstruowane dla każdego z typowych rozkładów.
Zwykle analizę wyników testu niezawodnościowego zaczyna się od graficznego
testowania hipotezy o rozkładzie zmiennej losowej jaką jest czas do uszkodzenia,
czyli oszacowania funkcji gęstości uszkodzeń, a następnie oszacowywane są funkcja
intensywności uszkodzeń i funkcja niezawodności, jeżeli uzyskano potwierdzenie
o zgodności rozkładów empirycznego i teoretycznego.
Dokładniejsze wyniki można uzyskać stosują metody analityczne, np. metodę n 2 .
Ćwiczenie laboratoryjne umożliwia zapoznanie się z graficznymi i analitycznymi
zasadami wnioskowania statystycznego o rozkładzie uszkodzeń: normalnym
i Weibulla.
3
1.1.
Rozkład normalny
Funkcja gęstości uszkodzeń, f(t), dla rozkładu normalnego czasu poprawnej pracy do
uszkodzenia, t, dana jest zależnością:
0
t0


 1  t   2 
f (t )   1
exp  
  t0
 2
 2    






gdzie:
σ2 – wariancja,
μ – wartość średnia,
σ – standardowa dewiacja.
Dystrybuanta czasu poprawnej pracy, F(t), opisywana jest jako:
0



F (t )   t
 1 u   2 
1
1

exp 
 du 
2

 0  2 
 2
 2 

t0
 u   2 
0 exp  2 2  du t  0
t






Funkcja niezawodności, R(t), może być określona z zależności:
R(t) = 1 – F(t)
W celu uniezależnienia się od parametrów rozkładu normalnego, tj. wartości średniej
i standardowej dewiacji, wprowadzono zmienną standaryzowaną, zαi, zdefiniowaną
jako:
zi 
1

ti   
i  1, 2, 3,..., N
Rozkład tej zmiennej jest szczególnym przypadkiem rozkładu normalnego, dla
wartości średniej równej 0 i standardowej dewiacji równej 1.
Dystrybuanta standaryzowana czasu poprawnej pracy, F(zαi), zmiennej losowej, zαi,
jest dana jako:
F z  i   P t  z i  
z i


dla
 u2 
1
exp    du
2
 2
  0  1
Wartości dystrybuanty standaryzowanej, F(zαi), zależą tylko od wartości zmiennej
losowej zαi, i są niezależne od μ i σ.
Wartości dystrybuanty standaryzowanej są przedstawione w formie tabeli w Dodatku
umieszczonym na końcu Instrukcji do Ćwiczenia laboratoryjnego nr 1. W tabeli
zestawiono wartości F(zαi) dla wartości zmiennej zαj = -4.00 (0.01) 4.00.
4
Doświadczalna (empiryczna) dystrybuanta czasu poprawnej pracy dana jest wzorem:
Fi* 
i
N
Fi* 
i
i  1, 2, 3,..., M
N 1
(1)
gdzie: N – liczba wyrobów pobranych do testu,
M – liczba wyrobów uszkodzonych,
i = 1, 2, 3, … , M, M ≤ N.
Typowe przebiegi charakterystyk niezawodnościowych przedstawiono na rys. 1.1
i rys. 1.2.
Rys. 1.1. Funkcje gęstości uszkodzeń rozkładu normalnego dla różnych wartości
parametrów rozkładu
Rys. 1.2. Funkcje niezawodności I intensywności uszkodzeń dla rozkładu
normalnego przy różnych wartościach parametrów rozkładu
5
Weźmy pod uwagę test niezawodnościowy przeprowadzony dla N wyrobów.
W czasie testu uszkodzeniu uległo M wyrobów. Czasy uszkodzeń wyrobów są znane
i oznaczone przez ti i = 1, 2, …, M.
Stawiamy hipotezę, że wyniki testu, tzn. czasy do uszkodzenia badanych wyrobów
mają rozkład normalny.
1.Obliczmy doświadczalną dystrybuantę czasu poprawnej pracy, Fi* , i = 1, 2, … , M,
zgodnie z zależnością (1).
2.Z tablicy umieszczonej w Dodatku odczytujemy wartości, zi*, dla,
Fi* i = 1, 2, … , M,.
Wartość, zi*, dla danej, Fi*, jest wartością funkcji odwrotnej do dystrybuanty
doświadczalnej.
3.Na siatce funkcyjnej rozkładu normalnego zaznaczamy punkty:
(zi*, ti ), i = 1, 2, …, M:
Na siatce funkcyjnej rozkładu normalnego punkty (zi*, ti ) powinny dać się przybliżyć
prostą, jeżeli rozkład czasów do uszkodzenia jest rozkładem normalnym, ponieważ
słuszna jest zależność:
zi* = ati + b
i = 1, 2, 3, … , M.
Do wyznaczenia prostej można zastosować metodę regresji liniowej. Jeżeli na siatce
funkcyjnej dystrybuanty możliwe jest wykreślenie prostej, względem której rozrzut
punktów (zi*, ti ) i = 1, 2, …, M jest niewielki, to możemy przyjąć, że jest to prosta
aproksymująca wykres dystrybuanty zmiennej losowej t. Czyli oceniamy zgodność
rozkładów wizualnie.
4. Jeżeli można wrysować prostą, to możemy uznać, że nasza hipoteza była słuszna.
5. Z parametrów prostej należy określić wartości parametrów rozkładu normalnego:
wartość średnią i dewiację standardową.
Punkt przecięcia wrysowanej prostej z osią ti, określa wartość średnią – μ,
a nachylenie prostej jest równe 1/σ, gdzie σ – dewiacja standardowa.
Obliczenia możemy wykonać na podstawie zależności:
zi* = 0
ati + b = 0
t = -b/a = μ
σ = 1/a
Na podstawie oszacowanych parametrów rozkładu normalnego można określić
charakterystyki niezawodnościowe, a mianowicie: funkcję gęstości uszkodzeń,
funkcję intensywności uszkodzeń i funkcję niezawodności jako funkcje czasu.
6
1.2.
Rozkład Weibulla
Funkcja gęstości uszkodzeń, f(t), rozkładu Weibulla jest dana zależnością:
t0
 0
a

 t 
f (t )   a a 1
t
exp     t  0
b
  b  






gdzie: a  0, parametr kształtu,
b  0, parametr skali.
Dystrybuanta czasu poprawnej pracy, F(t), dla t ≥ 0, dana jest zależnością:
  t a 
F (t )  1  exp    
  b  
Funkcja niezawodności, R(t), dla t ≥ 0, może być określona z zależności:
  t a 
R(t )  1  F (t )  exp    
  b  
Funkcja intensywności uszkodzeń, λ(t), dla t ≥ 0, dana jest zależnością:
 (t ) 
a 1
a 1
a 1
f (t ) a
 t
R(t ) b
a 1
funkcja intensywności uszkodzeń jest niezależna od czasu,
funkcja intensywności uszkodzeń rośnie w funkcji czasu,
funkcja intensywności uszkodzeń maleje w funkcji czasu.
Doświadczalna dystrybuanta czasu poprawnej pracy dana jest zależnością:
Fi* 
i  0.3
i 1, 2, 3, ... , M
N  0.4
(2)
gdzie: N – liczba wyrobów pobrana do badan,
M – liczba uszkodzonych wyrobów,
i = 1, 2, 3, … , M, M ≤ N.
W celu skonstruowania siatki funkcyjnej doświadczalnej dystrybuanty Fi*  F * (ti ) dla
czasu t  0 zostały wykonane następujące przekształcenia matematyczne:
7
  t a 
F (t )  1  exp    
  b  
  t a 
1  F (t )  exp    
  b  
t
ln1  F (t )   
b
a
t
 ln1  F (t )   
b
a
ln ln 1  F (t )  aln t  ln b  a ln t  a ln b
 

Yi* ln ti   ln  ln 1  F * (ti )  aln ti  ln b  a ln ti  a ln b  a ln ti  c
 
Yi* ln t i   ln  ln 1  F * (t i )

(3)
Ostateczna wersja doświadczalnej dystrybuanty jest liniową funkcją lnt:
Y *i (ln t i )  a ln t i  a ln b
(4)
Typowe przebiegi charakterystyk niezawodnościowych dla rozkładu Weibulla
przedstawiono na rys. 2.1 i rys. 2.2.
f(t)
a2
a2 > 1
a1 > 1
a1
0
t
Fig. 2.1. Funkcje gęstości uszkodzeń rozkładu Weibulla dla różnych
wartości parametru kształtu a
8
Fig. 2.2. Funkcje niezawodności i funkcje intensywności uszkodzeń rozkładu
Weibulla dla różnych wartości parametru kształtu a
Przeprowadzono test niezawodnościowy, do badań pobrano N wyrobów, M wyrobów
uległo uszkodzeniu, wynikiem testu są czasy uszkodzeń M wyrobów.
Formułujemy hipotezę, że wyniki testu, czasy uszkodzeń, mają rozkład Weibulla.
1. Obliczamy dystrybuantę doświadczalną, Fi*, i = 1, 2, … , M, zgodnie z zależnością
(2).
2. Obliczamy wartości Y *i (ln ti ) i = 1, 2, … , M, zgodnie z zależnością (3).
3. Obliczamy wartości, ln ti i = 1, 2, … , M.
4. Na siatce funkcyjnej dystrybuanty danej wzorem (2) zaznaczamy punkty:
Y *i (ln ti ), ln ti
i  1, 2, 3, ... , M
5. Na siatce funkcyjnej rozkładu Weibulla punkty:
Y *i (ln ti ), ln ti
i  1, 2, 3, ... , M
powinny dać się przybliżyć prostą, jeżeli rozkład czasów do uszkodzenia jest
rozkładem Weibulla.
Do wyznaczenia prostej można zastosować metodę regresji liniowej. Jeżeli na siatce
funkcyjnej dystrybuanty możliwe jest wykreślenie prostej, względem której rozrzut
punktów:
Y *i (ln ti ), ln ti
i  1, 2, 3, ... , M
jest niewielki, to możemy przyjąć, że jest to prosta aproksymująca wykres
dystrybuanty zmiennej losowej t. Czyli oceniamy zgodność rozkładów wizualnie.
4. Jeżeli można wrysować prostą, to możemy uznać, że nasza hipoteza była słuszna.
5. Z parametrów prostej należy określić wartości parametrów rozkładu Weibulla:
parametr kształtu i parametr skali.
9
Z określenia parametrów prostej można oszacować parametry rozkładu Weibulla,
a mianowicie parametr kształtu a i parametr skali b, charakteryzującego wyniki testu.
Punkt przecięcia aproksymującej prostej z osią Y umożliwia określenie stałej
w równaniu prostej, tj. (- c), a nachylenie prostej aproksymującej jest równe wartości
parametru kształtu a rozkładu Weibulla.
Z wartości c oraz a można obliczyć parametr skali b zgodnie ze wzorami:
c  a ln b
b  exp
c
a
Na podstawie oszacowanych parametrów rozkładu Weibulla można określić
charakterystyki niezawodnościowe, a mianowicie: funkcję gęstości uszkodzeń,
funkcję intensywności uszkodzeń i funkcję niezawodności jako funkcje czasu.
10
1.3.
Metody analityczne wnioskowania statystycznego
Do metod analitycznych wnioskowania statystycznego o właściwościach rozkładu
zmiennej losowej, t, należą metody nieparametryczne takie jak:
 M2 , Mizes-Smirnow,  2 .
W ćwiczeniu laboratoryjnym należy zastosować metodę  M2 .
Stawiamy hipotezę, że dystrybuanta doświadczalna jest zgodna z dystrybuantą
wybranego rozkładu teoretycznego.
Miara rozbieżności tych rozkładów może zostać oszacowana z zależności:

gdzie:
2
M

M
1

  F (t i )  F * (t i )
12  M i 1

2
M – liczba wyrobów uszkodzonych podczas testu,
- dystrybuanta doświadczalna,
- dystrybuanta teoretyczna.
Miara rozbieżności jest przypadkowa, jeżeli przy poziomie istotności α:
dla (1 – α) = 0.8
= 0.2412.
Nie ma powodu do odrzucenia hipotezy, jeżeli dla (1 – α) = 0.8:
11
2. Ćwiczenia laboratoryjne
W Ćwiczeniu laboratoryjnym jeden typowy przykład jest przytoczony dla każdego
rozkładu uszkodzeń, właściwe zadanie do rozwiązania zostanie przekazane w czasie
laboratorium. Wszystkie obliczenia należy wykonać w programie Excel.
2.1.
Rozkład normalny
Test niezawodnościowy został wykonany dla N = 13 kondensatorów. Test trwał do
czasu uszkodzenia wszystkich kondensatorów, czyli przez 310 godzin.
Czasy uszkodzeń kondensatorów były następujące:
25, 70, 90, 100, 115, 130, 160, 180, 200, 220, 250, 300, 310 godzin.
Zadania do wykonania
Sprawdź hipotezę, że rozkład czasów poprawnej pracy kondensatorów do
uszkodzenia ma rozkład normalny.
Zgodnie z wytycznymi z punktu 1.1 oblicz doświadczalną dystrybuantę, odczytaj
wartości funkcji odwrotnej do dystrybuanty i wykreśl obliczone punkty na siatce
funkcyjnej rozkładu normalnego.
Oceń, czy można punkty na siatce funkcyjnej aproksymować prostą.
Jeżeli hipoteza, że rozkład uszkodzeń kondensatorów jest normalny jest słuszna,
czyli miara rozbieżności punktów dystrybuanty od prostej jest niewielka, to:
- oszacuj parametry prostej aproksymującej punkty,
- oszacuj parametry rozkładu normalnego.
Biorąc pod uwagę oszacowane parametry rozkładu normalnego oblicz jako funkcje
czasu:
- funkcję gęstości rozkładu,
- funkcję niezawodności,
- funkcję intensywności uszkodzeń.
Dla oszacowanych parametrów rozkładu normalnego postaw hipotezę, że miara
rozbieżności pomiędzy doświadczalną dystrybuantą a dystrybuantą teoretyczną (dla
oszacowanych parametrów rozkładu) jest przypadkowa. Oszacowanie wykonaj
testem  M2 dla:
(1 – α) = 0.8
= 0.2412.
Podsumuj uzyskane wyniki.
2.2.
Rozkład Weibulla
Test niezawodnościowy został wykonany dla N = 50 tranzystorów mocy. Test trwał
do czasu uszkodzenia wszystkich tranzystorów, czyli przez 490 godzin.
Czasy uszkodzeń tranzystorów były następujące:
30, 85, 130, 180, 220, 285, 340, 380, 440, 490 godzin.
12
Zadania do wykonania
Sprawdź hipotezę, że rozkład czasów poprawnej pracy tranzystorów mocy do
uszkodzenia ma rozkład Weibulla.
Zgodnie z wytycznymi z punktu 1.2 oblicz doświadczalną dystrybuantę, oblicz
Y *i (ln ti ) i ln ti dla i = 1, 2, 3, …, M, wykreśl obliczone punkty na siatce funkcyjnej
rozkładu Weibulla.
Oceń, czy można punkty na siatce funkcyjnej aproksymować prostą.
Jeżeli hipoteza, że rozkład uszkodzeń tranzystorów mocy jest rozkładem Weibulla
jest słuszna, czyli miara rozbieżności punktów dystrybuanty od prostej jest niewielka,
to:
- oszacuj parametry prostej aproksymującej punkty,
- oszacuj parametry rozkładu Weibulla.
Biorąc pod uwagę oszacowane parametry rozkładu Weibulla oblicz jako funkcje
czasu:
- funkcję gęstości rozkładu,
- funkcję niezawodności,
- funkcję intensywności uszkodzeń.
Dla oszacowanych parametrów rozkładu Weibulla postaw hipotezę, że miara
rozbieżności pomiędzy doświadczalną dystrybuantą a dystrybuantą teoretyczną (dla
oszacowanych parametrów rozkładu) jest przypadkowa. Oszacowanie wykonaj
testem n 2 dla:
(1 – α) = 0.8
= 0.2412.
Podsumuj uzyskane wyniki.
Sprawozdanie z laboratorium musi zawierać:
Treść zadań do wykonania, hipotezy dotyczące oczekiwanego rozkładu uszkodzeń,
wyniki obliczeń I oszacowań.
Wyniki obliczeń należy zamieścić w tabelach, wartości oszacowanych parametrów
rozkładu należy dokładnie opisać, punkty dystrybuanty doświadczalnej wykreślić na
siatkach funkcyjnych, funkcje gęstości uszkodzeń, intensywności uszkodzeń
i niezawodności wykreślić w funkcji czasu pracy do uszkodzenia.
Wniosek z obliczeń miary rozbieżności w metodzie analitycznej musi być w sposób
jasny sformułowany.
Sprawozdanie musi zawierać podsumowanie.
13