Teoria miary i całki Lebesgue`a ()

1. σ-ciała zbiorów i przestrzenie mierzalne
Def. (σ-ciało) Niech Ω 6= ∅, F ⊂ 2Ω ;
Tw. (σ-ciało generowane) Niech Ω 6= ∅, G ⊂ 2Ω . Wówczas istnieje
Rodzin˛e F nazywamy σ-ciałem, jeśli: najmniejsze σ-ciało S(G), zawierajace
˛ G.
T
(i) ∅ ∈ F
S(G) = {F | F jest σ-ciałem oraz G ⊂ F} — σ-ciało generowane
(ii) A ∈ F ⇒ Ω\A ∈ F
Ozn. B(Ω) := S(OΩ ) — rodzina zbiorów borelowskich
S∞
(iii) {An }∞
⊂
F
⇒
A
∈
F
Def. Par˛e (Ω, F) nazywamy przestrzenia˛ mierzalna.˛
n
n=1
n=1
Niech (X, d) b˛edzie przestrzenia˛ metryczna;˛ OX — zbiory otwarte, FX — zbiory domkni˛ete.
Def. (zbiór typu Fσ ) A ⊂ X jest typu Fσ , ozn. A ∈ Def. (zbiór typu Gδ ) A ⊂ X jest typu Gδ , ozn. A ∈
Fσ (X), jeśli:
Gδ (X), jeśli:
∃
{Fn }n∈N
Fn ∈FX , n∈N
A=
∞
[
∃
Fn
{Gn }n∈N
Gn ∈OX , n∈N
n=1
Niech M ⊂ 2X , N ⊂ 2Y . Wówczas:
M × N = {A × B; A ∈ M, B ∈ N}.
A=
∞
\
Gn
n=1
Niech (X, M), (Y, N) — przestrzenie mierzalne. Wówczas:
M ⊗ N := S(M × N) — σ-ciało produktowe
2. Odwzorowania i funkcje mierzalne.
Niech X 6= ∅, Y 6= ∅, f : X → Y, A ⊂ 2Y ; Tw. (!!!) N ⊂ 2Y – σ-ciało ⇒ f −1 (N) – σ-ciało. Ponadto:
Def. f −1 (A) := {f −1 (A) | A ∈ A}
∀A⊂2Y S(f −1 (A)) = f −1 (S(A)).
Niech (X, M), (Y, N) – przestrzenie mierzalne. Def. Tw. Niech (Z, R) – prz. mierzalna, f : X → Y –
(mierzalność) Odwzorowanie f : X → Y jest (M, N)-mierzalne, g : Y → Z – (N, R)-mierzalne.
mierzalne (dokładniej (M, N)-mierzalne), jeśli:
Wówczas g ◦ f : X → Z jest (M, R)-mierzalne.
∀B∈N f −1 (B) ∈ M.
Tw. Niech N = S(A), A ⊂ 2Y . Wówczas:
Tw. Niech (X, M) – przestrzeń mierzalna.
f : X → Y jest (M, N)-mierzalne ⇔
n
n
m
(i) f : X → R – mierz., ϕ : R → R – borelowskie
⇔ ∀A∈A f −1 (A) ∈ M.
m
(np. ϕ – ciagłe),
˛
to ϕ ◦ f : X → R – mierzalne.
Wn.↑ (!) Dowolne przekształcenie ciagłe
˛ f :X→Y
(ii) f = (f1 , . . . , fn ) : X → Rn – mierzalne ⇔
pomi˛edzy przestrzeniami metrycznymi jest
⇔ ∀i=1,...,n fi : X → R – mierzalne.
borelowskie, tzn. (B(X), B(Y ))-mierzalne.
n
Tw. (X, M) – przestrzeń mierzalna; f, g : X → R – Tw. (!!!) Jeśli ciag
˛ (fn : X → RN )∞
n=1 funkcji mierzalfunkcje mierzalne. Wówczas:
nych jest zbieżny punktowo do funkcji f : X → RN
(i) ∀A∈M f |A : A → Rn – jest MA -mierzalna.
(tzn. ∀x∈X f (x) = limn→∞ fn (x)),
(MA = {A ∩ B; B ∈ M})
to f jest funkcja˛ mierzalna.˛
(ii) ∀α,β∈R αf ± βg – jest mierzalna;
d-d:↑ f −1 (B(y0 , ε)) = {x ∈ X | f (x) ∈ B(y0 , ε)} =
S
S
T
(iii) h : X → R, h(x) = hf (x), g(x)i – jest mierzalna; = k∈N N ∈N n>N {x ∈ X | fn (x) ∈ B(y0 , ε − k1 )}
(iv) ||f || : X 3 x 7→ ||f (x)|| ∈ R – jest mierzalna.
Stw. (Mierzalność rozszerzonych funkcji rzeczy- Tw. Niech f, g : X → R – mierzalne. Wówczas:
wistych) Niech f : X → R := R ∪ {−∞, +∞}. (i) funkcje: αf ± βg (α, β ∈ R), f g, fg (g 6= 0), |f |
Wówczas nast˛epujace
˛ warunki sa˛ równoważne:
(i) – sa˛ mierzalne;
(1.) f jest mierzalna;
(ii) {x ∈ X| f (x) > g(x)} ∈ M;
(2.) ∀a∈R {x ∈ X; f (x) < a} ∈ M;
(ii) {x ∈ X| f (x) > g(x)} ∈ M;
(3.) ∀a∈R {x ∈ X; f (x) 6 a} ∈ M;
(ii) {x ∈ X| f (x) = g(x)} ∈ M.
∞
(4.) ∀a∈R {x ∈ X; f (x) > a} ∈ M;
Wn. Niech fn : X → R n=1 – funkcje mierzalne.
(5.) ∀a∈R {x ∈ X; f (x) > a} ∈ M;
Wówczas funkcje f, g : X → R, dane wzorami:
(6.) ∀P f −1 (P ) ∈ M, gdzie P jest przedziałem f (x) := inf n∈N fn (x), g(x) := supn∈N fn (x), x ∈ X,
postaci: (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], a, b ∈ R.
sa˛ również mierzalne. Stad
˛ wynika, że funkcje:
X 3 x 7→ max{f (x), g(x)}, X 3 x 7→ min{f (x), g(x)} również sa˛ mierzalne. Dodatkowo, dla danego ciagu
˛
(fn : X → R)∞
,
funkcje:
lim
inf
f
,
lim
sup
f
–
s
a
˛
mierzalne.
W
szczeg.
jeśli
istnieje
granica
n→∞ n
n→∞ n
n=1
punktowa f = limn→∞ fn , to f jest funkcja˛ mierz. (w sensie metryki w R: d(x, y) = | arctan x − arctan y|).
1
lim inf n→∞ fn = supn∈N (inf m>n fm ),
Fakt: Niech f : A → R (lub f : A → Rn ), A ∈ M.
Rozważmy f ∗ : X → R (lub f ∗ : X → Rn ):
(
f (x); x ∈ A
f ∗ (x) =
0;
x ∈ X\A
Wówczas: f – mierzalna ⇔ f ∗ – mierzalna. (!!!)
Tw. f jest mierzalna ⇔ f − i f + sa˛ mierzalne.
Def. (funkcja charakteryczna)
A ⊂ X, χA : X → R,
(
1; x ∈ A
χA (x) =
0; x ∈ X\A.
Fakt: (i) Funkcja χA jest mierzalna ⇔ A ∈ M;
(ii) f : X → R oraz f (X) = {c1 , . . . , cm }, ci ∈ R,
i = 1, . . . , m. Wówczas dla dowolnego x ∈ X:
Pm
f (x) = i=1 ci χAi (x),
gdzie Ai := {x ∈ X| f (x) = ci }. Funkcja f jest
mierzalna ⇔ ∀i=1,...,m Ai ∈ M.
Niech (X, M), (Y, N) – przestrzenie mierzalne;
lim supn→∞ fn = inf n∈N (supm>n fm )
Def. Rozkład funkcji f : X → R na cz˛eść ujemna˛ i
cz˛eść dodatnia:˛
(
(
0;
f
>
0
f; f > 0
; f+ =
f− =
f; f 6 0
0; f < 0
Inaczej: f − = max{−f, 0}, f + = max{f, 0}
Ponadto: f = f + − f − , |f | = f + + f −
Def. (funkcja prosta) f : X → R – jest prosta, jeśli:
xx• f (X) – jest zbiorem skończonym;
xx• f – jest mierzalna.
Tw. (F) Funkcja f : X → R jest mierzalna wtw., gdy
f jest granica˛ pewnego ciagu
˛ funkcji prostych.
xx• Jeśli f > 0 na X, to można zakładać, że ten ciag
˛
jest niemalejacy;
˛
xx• Jeśli f – ogr. na X, to można żadac,
˛
aby ciag
˛ ten
był zbieżny jednostajnie.
d-d: (F)

gdy f (x) > n

n,
k
fn (x) = 2n , gdy − n 6 2kn 6 f (x) < k+1
2n 6 n ;


−n, gdy f (x) < −n
f : X × Y → Rn , n > 1 (lub f : X × Y → R);
Tw. f jest M ⊗ N-mierzalna ⇒ ∀x∈X fx : Y →
Rn (lub fx : Y → R), dana wzorem: fx (y) = f (x, y),
dla y ∈ Y , jest N-mierzalna (analogicznie ∀y∈Y f y :
X → Rn (lub f y : X → R) dana wzorem f y (x) :=
f (x, y), dla x ∈ X, jest M-mierzalna).
• f > 0 : fn (x) = sup{w ∈ Zn | w 6 f (x)}
xiZn = { 2kn ; 0 6 k 6 n · 2n };
• |f | 6 M : ∀ε>0 ∃Nε ∀n>Nε ∀x∈X |fn (x) − f (x)| < ε
xiNε ≡ M (!!!)
3. Miara
Niech (X, M) b˛edzie przestrzenia˛ mierzalna.˛
Tw. (Podstawowe własności miary) Niech µ : M →
Def. (Miara) Funkcj˛e µ : M → [0, +∞] nazywamy [0, +∞] b˛edzie miara.˛ Wówczas:
miara,˛ jeśli:
(1.) (addytywność) Jeśli {Ai }m
i=1 ⊂ M, Ai ∩ Aj =
i(i) µ(∅) = 0;
∅, dla i 6= j, i, j = 1, . . . , m, to:
Sm
Pm
(ii) Jeśli {Ai }∞
⊂
M
oraz
A
∩
A
=
∅,
dla
i
=
6
j,
to:
µ( i=1 Ai ) = i=1 µ(Ai );
i
j
i=1S
P
∞
∞
µ( i=1 Ai ) = i=1 µ(Ai ).
(2.) (monotoniczność)
Def. Miara µ jest skończona, o ile µ(X) < ∞.
(A, B ∈ M ∧ A ⊂ B) ⇒ µ(A) 6 µ(B);
(⇒ ∀A∈M µ(A) < ∞) (!)
(3.) (substraktywność)
Def. Jeśli ∃{Xi }∞
(µ(X
)
<
∞,
i
>
1
oraz
(A, B ∈ M, A ⊂ B, µ(B) < ∞) ⇒
i
⊂M
i=1
S
X = i∈N Xi ), to miara µ jest σ-skończona.
⇒ µ(B\A) = µ(B) − µ(A);
Niech µ : M → [0, +∞] b˛edzie miara.˛
(4.) (subaddytywność)
Def. Zbiór A ∈ M nazywamy zbiorem miary zero,
A, B ∈ M ⇒ µ(A ∪ B) 6 µ(A) + µ(B);
jeżeli µ(A) = 0.
(5.) (σ-subaddytywność)
S∞
Def. Zbiór A ∈ M jest nieistotny, o ile:
({Ai }∞
i=1 ⊂ M ∧ A ⊂
i=1 Ai ) ⇒
P∞
∃B∈M, µ(B)=0 A ⊂ B.
⇒ µ(A) 6 i=1 µ(Ai );
Def. (miara zupełna) Miar˛e µ nazywamy zupełna,˛
(6.) (ciagłość)
˛
Niech {Ai }∞
⊂ M;
Si=1
∞
jeśli każdy zbiór nieistotny A ∈ M jest zbiorem
• ∀i∈N Ai ⊂ Ai+1 ⇒ µ( i=1 Ai ) = limi→∞ µ(Ai );
mierzalnym, tzn.:
• (∀i∈N Ai+1 ⊂ Ai ∧ ∃N >1 µ(AN ) < ∞) ⇒
T∞
∀A∈M ((µ(A) = 0 ∧ B ⊂ A) ⇒ B ∈ M).
⇒ µ( i=1 Ai ) = limi→∞ µ(Ai ).
Tw. (!!!) Niech (X, M, µ) b˛edzie przestrzenia˛ z miara.˛ Niech M := S(M ∪ N), gdzie N jest rodzina˛ wszystkich podzbiorów zbiorów miary zero: N := {B ∈ M | B ⊂ A, µ(A) = 0}. Wówczas istnieje dokładnie
jedna miara zupełna µ : M → [0, +∞] taka, że µ(A) = µ(A), dla dowolnego A ∈ M (tzn. µ|M ≡ µ).
2
Def. Niech (X, M, µ) – przestrzeń z miara.˛ Niech ω – forma zdaniowa określona na X (tzn. ∀x∈X ω(x) jest
zdaniem w sensie logicznym). Mówimy, że ω zachodzi prawie wsz˛edzie (w skrócie: p.w.) na X, jeśli zbiór:
{x ∈ X | zdanie ω(x) jest fałszywe} jest zbiorem miary zero.
Ex. Mówimy, że f, g : X → Rn sa˛ równe p.w. (lub równoważne), jeśli µ({x ∈ X | f (x) 6= g(x)}) = 0.
Lemat: Niech µ – miara zupełna na M. Jeśli f, g : X → Rn (lub R) sa˛ równe p.w. oraz jedna z nich jest
mierzalna, to druga też jest mierzalna.
4. Ogólna teoria całki Lebesgue’a na zbiorach dowolnej miary.
(1.-szy etap konstrukcji całki Lebesgue’a)
(X, M, µ) – przestrzeń z miara;˛ Załóżmy, że
A ∈ M, µ(A) 6 ∞ i niech f : A → R+ := [0, +∞] –
Pm
funkcja prosta, tzn. f = i=1 ai χAi , 0 < a1 < . . . <
am < +∞, Ai = {x ∈ X | f (x) = Ai }, 1 6 i 6 m.
Wówczas definiujemy:
R
def. Pm
f dµ :=
ai µ(Ai ) 6 +∞
A
R i=1
R
Dla B ∈ M, B ⊂ A: B f dµ := A χB f dµ.
Pm
χB f = i=1 ai χB∩Ai ;
R
Pm
f
dµ = i=1 ai µ(B ∩ Ai ) (!!!)
B
(2.-gi etap konstrukcji całki Lebesgue’a)
Niech f : A → [0, +∞] – dowolna funkcja mierzalna
˛ ciag:
˛
(nieujemna!). Tw. (F) ⇒ istnieje niemalejacy
∞
(fn : A → R)n=1 ,
nieujemnych funkcji prostych taki, że:
fn → f, n → ∞.
R
R
def.
Wówczas: A f dµ := limn→∞ A fn dµ.
∀
(µ(Z) = 0 oraz µ – miara zupełna) ⇒
R Z∈M
⇒ Z f dµ = 0, f – prosta, f > 0.
Lemat: (!!!) (Fatou) Niech A ∈ M. Dla dowolnego
ciagu
˛ (fn : A → R)∞
n=1 nieujemnych funkcji mierzalnych zachodzi nierówność:
R
R
lim inf n→∞ A fn dµ > A (lim inf n→∞ fn ) dµ.
(3.-ci etap konstrukcji całki Lebesgue’a)
Niech (X, M, µ) – przestrzeń z miara,˛ A ∈ M,
f : A → R – mierzalna. Wtedy f = f + − f − ,
gdzie f + , f − : A → [0, +∞] – nieujemne funkcje
R
mierzalne. Sa˛ zatem określone całki : A f + dµ i
R
f − dµ.
A
Def. f jest całkowalna na A, jeśli f + oraz f − sa˛
całkowalne na A oraz mamy:
R
R
R
f dµ = A f + dµ − A f − dµ
A
– całka funkcji f na zbiorze A.
f jest całkowalna na zbiorze A ≡ f ∈ L1 (A)
Tw. (Podstawowe własności całki c.d.)
S∞
(8.) Jeśli f : A → R oraz A = i=1 Ai , gdzie Ai ∈ M
sa˛ zbiorami rozłacznymi,
˛
to:
f ∈ L1 (A) ⇔ ∀i>1 f ∈ L1 (Ai )
PR
oraz szereg (
f dµ)i>1 jest bezwzgl˛ednie zbieAi
żny. Wtedy też:
R
P∞ R
f dµ = i=1 Ai f dµ.
A
Stw. (Elementarne własności całki nieujemnych
funkcji prostych)
Niech f, g : A → R+ b˛eda˛ funkcjami prostymi.
R
(1.) f ≡ 0 ⇒ A f dµ = 0,
R
(1.) f ≡ c, c ∈ R ⇒ A f dµ = c · µ(A);
(2.) A = B1 ∪ . . . ∪ Bn ; Bj – mierzalne i rozłaczne
˛
⇒
R
Pn R
⇒ A f dµ = j=1 Bj f dµ;
R
R
R
(3.) A (f + g) dµ = A f dµ + A g dµ,
R
R
(3.) A (αf ) dµ = α A f dµ, α > 0;
R
R
(4.) f 6 g ⇒ A f dµ 6 A g dµ;
(5.) (!!!) (fn : A → R+ )∞
˛ ciag
˛ nieun=1 – niemalejacy
jemnych funkcji prostych, zbieżny do funkcji prostej
f : A → R+ , to :
R
R
limn→∞ A fn dµ = A f dµ.
(6.) Jeśli (fn )∞
˛
ciagiem
˛
nieujemn=1 jest niemalejacym
nych funkcji prostych, zbieżnym p.w. do f , to:
R
R
limn→∞ A fn dµ = A f dµ.
Tw. (!!!) (Beppo – Levy’ego / Lebesgue’a o monotonicznym przejściu do granicy pod znakiem całki)
Niech A ∈ M. Jeśli (fn : A → R)∞
˛
n=1 jest ciagiem nieujemnych funkcji mierzalnych takim, że dla
dowolnego n > 1, fn 6 fn+1 p.w., to ciag
˛ ten jest
zbieżny p.w. do funkcji mierzalnej f : A → R oraz:
R
R
R
limn→∞ A fn dµ = A limn→∞ fn dµ = A f dµ.
Tw. (Podstawowe własności całki) Niech A ∈ M
oraz f, g : A → R – funkcje mierzalne. Wówczas:
R
(1.) µ(A) = 0 ⇒ f ∈ L1 (A) ∧ A f dµ = 0;
R
(2.) f = 0 – p.w. ⇒ f ∈ L1 (A) ∧ A f dµ = 0;
(3.) f ∈ L1 (A), α ∈ R ⇒ αf ∈ L1 (A) oraz:
R
R
(αf ) dµ = α A f dµ;
A
Sn
(4.) Jeśli A = i=1 Ai , gdzie Ai ∈ M, i = 1, . . . , n,
(4.) Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to:
f ∈ L1 (A) ⇔ ∀i=1,...,n f ∈ L1 (Ai )
R
Pn R
oraz: A f dµ = i=1 Ai f dµ;
(5.) Jeśli Z ∈ M, µ(Z) = 0, to (f ∈ L1 (A) ⇔
R
R
(5.) ⇔ f ∈ L1 (A\Z)) oraz A f dµ = A\Z f dµ;
(Wn. f = g – p.w. ⇒ (f ∈ L1 (A) ⇔ g ∈ L1 (A))
R
R
oraz: A f dµ = A g dµ);
(6.) Jeśli f ∈ L1 (A), to µ ({x ∈ A | f (x) = ±∞}) = 0;
(7.) Jeśli f, g ∈ L1 (A) oraz f 6 g – p.w., to:
R
R
f dµ 6 A g dµ.
A
3
Tw. (Podstawowe własności całki c.d.)
Tw. (Absolutna/bezwzgl˛edna ciagłość
˛
całki)
∞
(9.) Jeśli {Ai }i=1 jest wst˛epujac
˛ a˛ rodzina˛ mierzal- Niech A ∈ M oraz f : A → R – funkcja mierzalna.
nych podzbiorów zbioru A ∈ M, f : A → R, to:
Jeżeli f ∈ L1 (A), to:
R
1
1
f ∈ L (A) ⇔ ∀i>1 f ∈ L (Ai )
∀ε>0 ∃δ>0 ∀B∈M (µ(B) < δ ⇒ B |f | dµ < ε).
B⊂A
R
oraz istnieje limn→∞ Ai f dµ. Wtedy też:
Tw. Niech A ∈ M, f : A → R – mierzalna oraz
R
R
f dµ = limn→∞ Ai f dµ.
f ∈ L1 (A). Wówczas zbiór {x ∈ A | f (x) 6= 0} ma
A
Tw. (Kryteria całkowalności)
miar˛e σ-skończona.˛
Niech A ∈ M, f : A → R – funkcja mierzalna.
Tw. (!!!) (Lebesgue’a o zmajoryzowanym przejściu
(1.) f ∈ L1 (A) ⇔ |f | ∈ L1 (A) oraz:
do granicy pod znakiem całki)
R
R
| A f dµ| 6 A |f | dµ.
Niech A ∈ M i rozważmy ciag
˛ (fn : A → R)∞
n=1 fun1
W szczególności jeśli |f | 6 g i g ∈ L (A), to:
cji mierzalnych. Załóżmy, że ciag
˛ ten jest zbieżny
R
R
f ∈ L1 (A) oraz: | A f dµ| 6 A g dµ;
p.w. do (określonej p.w.) funkcji f : A → R. Jeśli ist(2.) f – ograniczona i µ(A) < ∞, to f ∈ L1 (A) oraz:
nieje całkowalna funkcja g : A → R taka, że:
R
| A f dµ| 6 supx∈A f (x) · µ(A);
|fn (x)| 6 g(x) – p.w. na A,
(3.) Jeśli f, g ∈ L1 (A), to f ± g ∈ L1 (A) oraz:
dla p.w. n ∈ N, to ∀n∈N fn ∈ L1 (A), f ∈ L1 (A) oraz:
R
R
R
R
R
(f ± g) dµ = A f dµ ± A g dµ;
limn→∞ A f dµ = A f dµ.
A
(4.) f ∈ L1 (A) i g : A → R – ograniczona p.w., to f g ∈ L1 (A).
5. Konstrukcja miary Lebesgue’a
Def. (miara zewn˛etrzna, generator miary)
Konstrukcja σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie
∗
X
NiechX 6= ∅. Funkcj˛e µ : 2 → [0, +∞] nazywamy Lebesgue’a i miary Lebesgue’a:
miara˛ zewn˛etrzna,˛ jeśli:
Ozn. Pn – rodzina wszystkich kostek w Rn , n > 1;
Qn
∗
(1.) µ (∅) = 0;
Niech Q ∈ Pn i Q = i=1 Pi , gdzie Pi – przedział o
(2.) A ⊂ B ⊂ X → µ∗ (A) 6 µ∗ (B);
końcach −∞ 6 ai 6 bi 6 +∞.
S∞
P∞
∗
∗
X
(3.) ∀{An }∞
µ ( n=1 An ) 6 n=1 µ (An ).
Def. (obj˛etość kostki)
n=1 ⊂2
Def. (warunek Caratheodory’ego)
vol(Q) := (b1 − a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ) 6 +∞.
Niech µ∗ : 2X → [0, +∞] – miara zewn˛etrzna. Zbiór Def. (pokrycie zbioru kostkami)
A ⊂ X spełnia warunek Caratheodory’ego, jeśli:
Niech A ⊂ Rn . Ciag
˛ kostek {Qi }∞
i=1 tworzy pokrycie
S∞
∗
∗
∗
∀Z⊂X µ (Z) = µ (Z ∩ A) + µ (Z\A).
zbioru A, o ile A ⊂ i=1 Qi .
Tw. (!!!) (Caratheodory’ego)
Ozn. P(A) – rodzina wszystkich pokryć kostkami
Niech M ozn. rodzin˛e wszystkich podzbiorów A zbioru A. (∀A∈Rn P(A) 6= ∅)
zbioru X, spełniajacych
˛
w-k Caratheodory’ego. (↑)
Def. (obj˛etość pokrycia zbioru kostkami)
P∞
Wówczas:
vol(α) := i=1 vol(Qi ), dla α = {Qi }∞
i=1 ∈ P(A).
∗
Rn
(1.) rodzina M jest σ-ciałem;
Lemat: Funkcja µ : 2 → [0, +∞], dana wzorem:
(2.) funkcja µ := µ∗ |M : M → R+ jest miara˛ zupełna˛
µ∗ (A) := inf{vol(α) | α ∈ P(A)}, A ⊂ Rn
(2.) na σ-ciele M.
jest miara˛ zewn˛etrzna.˛
Własności zbiorów mierz. w sensie Lebesgue’a:
Def. Na mocy tw. Caratheodory’ego, rodzina: Ln :=
n
Lemat: Jeśli A, B ⊂ R oraz dist(A, B) := inf{||a−
= {A ⊂ Rn | ∀Z⊂Rn µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z\A)}
∗
∗
∗
b|| | a ∈ A, b ∈ B} > 0, to µ (A∪B) = µ (A)+µ (B). jest σ-ciałem, które nazywamy σ-ciałem zbiorów
Stw. (!!!) Jeśli Q ∈ Pn , to Q ∈ Ln .
mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś ograniczenie
n
Wn. (i) σ-ciało zbiorów borelowskich B(R ) ⊂ Ln ;
µn := µ∗ |Ln jest miara˛ zupełna,˛ która˛ nazywamy n(ii) Miara Lebesgue’a jest σ-skończona.
wymiarowa˛ miara˛ Lebesgue’a.
Tw. (Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a) Niech A ⊂ Rn . Nast. w-ki sa˛ równ.:
(1.) A ∈ Ln ;
(2.) ∀ε>0 ∃U ∈ORn , U ⊃A µ∗ (U \A) < ε;
n
∗
(3.) A = G\K, gdzie G ∈ Gδ (R ) i µ (K) = 0;
(4.) ∀ε>0 ∃D∈FRn , D⊂A µ∗ (A\D) < ε;
n
∗
(5.) A = F ∪ K, gdzie F ∈ Fσ (R ) i µ (K) = 0.
4
6. Całka Lebesgue’a – porównanie z całka˛ Riemanna.
CAŁKA RIEMANNA
CAŁKA LEBESGUE’A
Rysunek 1: Podejście Riemanna
Rysunek 2: Podejście Lebesgue’a
metoda obliczania pola pod wykresem funkcji
Dokonujemy dowolnego podziału odcinka, na Całkowana˛ funkcj˛e przybliżamy niemalejacym
˛
którym całkujemy na mniejsze odcinki, cz˛esto ciagiem
˛
funkcji prostych. Przeciwobrazy wartości
równej długości jak na rysunku powyżej i wybier- przyjmowanych przez funkcj˛e prosta˛ określaja˛ jedamy na nich pewne punkty pośrednie, w których noznacznie rozbicie odcinka, na którym całkujemy
wartość funkcji określa wysokość prostokata.
˛
na mniejsze zbiory (np. odcinki lub ich sumy).
przejścia graniczne
Nie zachodza˛ analogiczne jak w przypadku całki Zachodza˛ twierdzenia o granicznym przejściu pod
Lebesgue’a twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki. Można zamienić kolejność liczenia
znakiem całki
granicy ciagu
˛ i całki funkcji.
Tw. (!!!) Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna ⇔ zbiór jej punktów niecia˛
głości jest zbiorem miary zero. Wówczas f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i obie całki sa˛ równe.
Ex. Klasa L1 ([a, b]) funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a jest szersza niż klasa R[a, b]. Przykładem jest
funkcja Dirichleta: f : R → R, f (x) = 0 dla x ∈
/ Q oraz f (x) = 1 dla x ∈ Q. Całka Riemanna funkcji f nie
istnieje, natomiast w teorii całki Lebesgue’a jest to zwykła funkcja prosta, która przyjmuje tylko dwie warR
tości: 0 i 1. Całka Lebesgue’a funkcji f wynosi: R f dµ = 0 · µ(R\Q) + 1 · µ(Q) = 0, ponieważ µ(Q) = 0.
5