( )π

ZADANIA MATURALNE - TRYGONOMETRIA (PR)
• Zad.1. ( PR - 4 pkt)
Wiedząc, że tgα = −2 i α ∈ (0; π ) oblicz, bez użycia tablic i kalkulatora, wartości pozostałych funkcji
trygonometrycznych kąta α .
• Zad.2. ( PR – 3 pkt )
Wiedząc, że 0 0 ≤ α ≤ 360 0 , sin α < 0 oraz 4 tgα = 3 sin 2 α + 3 cos 2 α
a) oblicz tgα ,
b) Zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od
początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.
• Zad.3. ( PR )
W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji
f ( x ) = 3 sin x i g ( x ) = sin 3x . Odczytaj z rysunku, dla jakich x ∈ 0;2π
określonych wzorami
spełniona jest nierówność
f (x ) ≥ g (x ) .
• Zad.4. ( PR – 4 pkt )
Dana jest funkcja określona wzorem f ( x ) = cos x − 3 sin x,
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Rozwiąż równanie: f ( x ) =1 .
• Zad.5. ( PR – 4 pkt )
a) Naszkicuj wykres funkcji y = sin 2 x w przedziale
b) Naszkicuj wykres funkcji y =
sin 2 x
sin 2 x
przedziału spełniona jest nierówność
− 2π , 2π .
w przedziale
sin 2 x
sin 2 x
< 0.
• Zad.6. ( PR – 7 pkt )
Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem
 πx
sin , x ≤ 2
2
f (x ) = 
.
 x−2 , x >2

• Zad.7. ( PR)
Dla x ∈ 0;2π rozwiąż równanie sin3x = 1.
• Zad.8. ( PR – 5 pkt.)
Rozwiąż równanie 2 cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0 .
• Zad.9. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie:
x∈ R .
1
π

+ ctgx + cos  + x  = 0
sin x
 2

1
− 2π , 2π
i zapisz, dla których liczb z tego
• Zad.10. (PR – 6 pkt)
Dla x ∈ 0;2π rozwiąż równanie sin x + sin 3x + sin 5 x = 0 .
• Zad. 11. ( PR )
sin 3 x = ctg
Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania
25
π , które spełniają nierówność
2
x − 5π ≤ 5π .
• Zad.12. ( PR )
Wykaż, że równanie tgx + ctgx = 1 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Zad.13. ( PR – 4 pkt)
π

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem: f ( x ) = sin 2 x + cos − 2 x  .

6
Odpowiedź uzasadnij
• Zad.14.(PR )
Korzystając z informacji, że jeśli n ≥ 2 to dla każdego kąta
sin nα 〈n sin α
sprawdź, że sin 10 0 〉
α ∈ 0;
π
2n
zachodzi nierówność:
1
1
oraz sin 6 0 〉
6
10
Zad.15. ( PR – 4pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru α ∈ o;π , dla których równanie x 2 + cos α ⋅ x + 2 cos 2 α − 2 = 0
ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba 1 leży między tymi pierwiastkami.
• Zad.16. ( PR - 7 pkt )
Dane jest równanie postaci
( cos x − 1 )⋅ ( cos x + p +1) = 0, gdzie
p∈ R jest parametrem.
a) Dla p = - 1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału
0;5 .
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale
− π ;π
trzy
różne rozwiązania.
• Zad.17. ( PR – 8 pkt)
Rozwiąż równanie: 2 sin 2 x + ctgx = 4 cos x dla
x ∈ 0;2π . Ze zbioru rozwiązań tego równania
losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedno z
π
wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby .
2
• Zad.18.( PR – 5 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC ( o podstawie AC ) oraz prostokątny
1
równoramienny trójkąt BDC. Uzasadnij, że cos( ∠ ACD) <
2
C
A
2
B
D
• Zad.19. (PR - 4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę
120 0 . Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
• Zad.20. (PR – 3 pkt)
Liczby α i β są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Wykaż, że cos α + cos β 〉 1 .
• Zad.21. ( PR – 5 pkt)
Latarnia morska jest w punkcie P. Statek zbliża się do brzegu. Kapitan obserwuje latarnię morską z
1
punktu A i widzi ja pod kątem α takim, że tgα = . Po przepłynięciu 500 m w kierunku latarni kapitan
10
1
widzi ją z punktu B pod kątem β takim, że tgβ = . Oblicz odległość punktu B od punktu P przy
8
założeniu, że punkty A, B i P należą do jednej prostej.
• Zad.22. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie 4 cos 2 x = 4 sin x + 1 w przedziale 0, 2π .
• Zad.23. ( PR – 6 pkt )
Dana jest funkcja f ( x ) = sin 2 x + cos x dla x ∈ R .
a) Rozwiąż równanie f (x ) = 1 w przedziale 0, 2π .
b) Wyznacz największą wartość funkcji f.
• Zad.24. ( PR – 3 pkt )
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) =
sin 2 x − sin x
sin x
dla x ∈( 0, π ) ∪ (π , 2π ) .
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
• Zad.25. ( PR – 4pkt )
Dana jest funkcja f ( x ) = 2 sin 2 x − 1 , x ∈ R .
a) Narysuj wykres funkcji f.
π

b) Rozwiąż równanie f  x −  = 0
3

• Zad.26. ( PR – 6pkt )
Rozwiąż równanie tgx ( 2sinxcosx + cosx ) = 0 w przedziale π , 2π .
• Zad.27. ( PR – 3pkt )
Wiedząc, że 0 0 ≤ α ≤ 360 0 , sin α < 0 oraz 4tg α = 3 sin 2 α + 3 cos 2 α
a) oblicz tgα ,
b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od
początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.
• Zad.28. ( PR – 4pkt )
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2ଶ − 7 cos − 5 = 0 należące do przedziału 〈0, 2〉.
3
• Zad.29. ( PR – 4pkt )
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 ଶ − 5 sin − 4 = 0 należące do przedziału 〈0, 2〉.
• Zad.30. ( PR – 4pkt )
Wykaż, że cos
+ ∙ cos
− ≤ 1.
• Zad.30. ( PR – 4pkt )
Rozwiąż równanie 2ଶ − 2ଶ cos = 1 − cos w przedziale 〈0, 2〉.
• Zad.31. ( PR – 4pkt )
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji = (), otrzymanego z wykresu funkcji = sin w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż równanie = −√3.
Zadania z informatora
Zadanie 1.
గ
గ
Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą i . Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj w stopniach.
଺
ହ
Zadanie 2.
Dane jest równanie sin = ଶ + 1, z niewiadomą . Wyznacz wszystkie wartości
parametru a , dla których dane równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie 3.
Wykaż, że wyrażenie
ି ୡ୭ୱ ଶ௫
ୱ୧୬ ௫ ୡ୭ୱ ௫
= ‫ ݔ݃ݐ‬+
ଵ
௧௚௫
nie jest tożsamością.
Zadanie 4.
Miary pięciu kątów tworzą ciąg arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciągu jest 150° , a czwartym 270° .
Oblicz sumę sinusów tych pięciu kątów.
Zadanie 5.
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 ଶ = należące do przedziału 〈0, 2〉 .
Zadanie 6.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (ଶ − ଶ )2 + ଶ − 5 = 0
z niewiadomą x ma rozwiązanie.
4