Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił

Dynamika i Stateczność
Drgania wymuszone układów o jednym dynamicznym stopniu swobody
Polecenie: Sporządź wykresy statycznych i dynamicznych sił przekrojowych jeżeli ustrój nieważka
rama – urządzenie obciążony jest siłą F (t )  20 sin( 6t )[kN ] . Masa urządzenia wynosi 200kg, a
sztywność układu EI=4000kNm2, EA   .
a)
EI
s
t
F0
3
EI
3
Obciążenie statyczne – to obciążenie ciężarem własnym. Siłę ciężkości przykładamy w miejscu występowania
masy. Siła ciężkości zawsze działa pionowo w dół.
Wyznaczenie wartości ciężaru masy:
G  M  g  200kg  10
m
 2000 N  2kN
s2
Obciążenie statyczne układu:
A
HA= 2kN
G=2kN
Wyznaczenie reakcji:
M
VA= 2kN
A
 G 3  HB 3  0
3
3G
 G  2kN
3
 Rx   H A  H B  0  H A  H B  2kN
HB 
HB= 2kN
R
B
y
 V A  G  0  V A  G  2kN
3
Wykresy sił przekrojowych od obciążenia statycznego:
2
2
2
6
+
2
+
2
6
Tstat. [kN]
-
Mstat.
Nstat. [kN]
[kNm]
2
1|Strona
dr inż. Hanna Weber
Dynamika i Stateczność
Wyznaczenie obciążenia dynamicznego:
Obciążenie dynamiczne stawiamy na kierunku możliwego ruchu węzła (główna forma drgań). Ponieważ
EA   , pręty nie ulegają wydłużeniu, zatem obciążenie dynamiczne ustawiamy prostopadle do pręta
zamocowanego nieprzesuwnie na drugim końcu.
F0
u(t)
główna forma drgań
Obciążenie dynamiczne
Wykorzystując wzór na obciążenie wymuszające F (t )  F0  sin( s t )  20 sin( 6t )[kN ] uzyskujemy potrzebne
dane:
- amplituda siły wymuszającej F0  20 kN ,
- częstotliwość wymuszenia  s  6 [ rad / s ]
Obciążenie dynamiczne to iloczyn amplitudy siły wymuszającej F0 , współczynnika dynamicznego 
i współczynnika zmęczeniowego  . Jeżeli nie ma żadnych danych w zadaniu to współczynnik zmęczeniowy
przyjmujemy jako   1 .
Współczynnik dynamiczny wyznaczamy na podstawie wzoru:


1
, gdzie   s
2

1 
Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych układu:
Stawiamy jednostkową siłę, w miejscu występowania masy na kierunku możliwego przemieszczenia
i wyznaczamy wykres momentów M .
A
1
HA= 1
3
3
3
VA= 1
HB= 1
B
3
Całkując graficznie wykres sam przez siebie otrzymujemy współczynnik podatności układu:
11 
1 1
2
1
2  18
  3  3   3   3  3   3 
EI  2
3
2
3  EI
2|Strona
dr inż. Hanna Weber
Dynamika i Stateczność
Częstotliwość drgań własnych układu:

1

m  11
4  106
 33,33 [rad/s] – do obliczeń sztywność podstawiamy w Nm2.
200  18
EI

m  18
Współczynnik dynamiczny:

s
1
1
6

 1,033

 0,18   
2
1 
1  0,182
 33,33
Wyznaczenie obciążenia dynamicznego:
F0      20  1,033  1  20,66 kN
20,66kN
A
HA= 20,66kN
3
VA= 20,66kN
HB= 20,66kN
B
3
Wykresy od obciążenia dynamicznego:
20,66
20,66
20,66
61,98
+
20,66
+
20,66
61,98
Tdyn. [kN]
Mdyn.
-
Ndyn. [kN]
[kNm]
20,66
b)
t
s
EI
3
F0
3
EI
4
3|Strona
dr inż. Hanna Weber
Dynamika i Stateczność
Wyznaczenie wartości ciężaru masy:
G  M  g  200kg 10
m
 2000 N  2kN
s2
Obciążenie statyczne układu:
VA= 2kN
A
Wyznaczenie reakcji:
M
HA= 0kN
 HB  6  0
3
H B  0kN
R
R
x
  H A  H B  0  H A  H B  0kN
y
 V A  G  0  V A  G  2kN
3
G=2kN
A
4
HB= 0kN
Wykresy sił przekrojowych od obciążenia statycznego:
2
+
2
Tstat. [kN]
Nstat. [kN]
Mstat.
[kNm]
Wyznaczenie obciążenia dynamicznego:
u(t)
główna forma drgań
4|Strona
F0
Obciążenie dynamiczne
dr inż. Hanna Weber
Dynamika i Stateczność
Jak w poprzednim podpunkcie:
- amplituda siły wymuszającej F0  20 kN ,
- częstotliwość wymuszenia  s  6 [ rad / s ] ,
- współczynnik zmęczeniowy   1 .
Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych układu:
Stawiamy jednostkową siłę, w miejscu występowania masy na kierunku możliwego przemieszczenia
i wyznaczamy wykres momentów M .
VA= 0
A
3
HA= 1/2
1,5
3
1
4
HB= 1/2
Współczynnik podatności układu:
1 1
2
1
2
 6
  3  1,5   1,5   5  1,5   1,5  
EI  2
3
2
3
 EI
11 
Częstotliwość drgań własnych układu:

1

m  11
EI

m6
4  106
 57,74 [rad/s] – do obliczeń sztywność podstawiamy w Nm2.
200  6
Współczynnik dynamiczny:

s
1
1
6

 0,104   

 1,011
2
 57,74
1 
1  0,1042
Wyznaczenie obciążenia dynamicznego:
F0      20  1,011  1  20,22 kN
5|Strona
dr inż. Hanna Weber
Dynamika i Stateczność
VA= 0
A
3
HA= 10,11kN
Wyznaczenie siły tnącej i normalnej na pręcie ukośnym:
20,22kN
TB= HBsin =10,11 0,6=6,07kN
3
HB= 10,11kN
NB= HBcos =10,11 0,8=8,09kN
4
HB= 10,11kN
Wykresy od obciążenia dynamicznego:
-
30,33
8,09
10,11
6,07
Tdyn. [kN]
Mdyn.
+
[kNm]
Ndyn. [kN]
8,09
6,07
6|Strona
dr inż. Hanna Weber