Spis treści

1
Spis treści
2
0.1. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
0.1
3
Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
Teoria grup powstała na początku wieku XIX, gdy matematycy, zmęczeni wielusetletnimi próbami znalezienia wzorów na pierwiastki równań stopnia wyższego
niż czwarty, dali za wygraną i dopuścili myśl, że takie wzory po prostu nie istnieją.
Nawet najbardziej ogólny szkic konstrukcji rozumowania potwierdzającego ostatni
wniosek wykracza daleko poza ramy naszego wykładu, jednak w Rozdziale 2.4 uda
nam sie pokazać ciekawe zastosowanie algebry abstrakcyjnej do rozwiązania problemów, z którymi nie mogły sobie poradzić już nie - stulecia, a - tysiąclecia prac.
Twórcami podstaw teorii grup byli: Włoch Ruffini (1765-1822), Norweg Niels Abel
(1802-1829) i Francuz Evaryst Galois (1811-1832).
Niech X będzie zbiorem niepustym. Działaniem (dwuargumentowym) w zbiorze
X nazywamy każde przyporządkowanie uporządkowanej parze (x, y) elementów
zbioru X jakiegoś elementu tego zbioru, czyli działaniem jest dowolna funkcja
f : X × X −→ X.
Przyjęte jest zamiast f (x, y) pisać x • y, x ◦ y, x + y, itp.
Mówimy, że działanie • określone w zbiorze X jest:
• łączne, jeżeli dla dowolnych x, y, z ∈ X zachodzi równość
(x • y) • z = x • (y • z)
• przemienne, jeżeli dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi równość
x • y = y • x.
Element e ∈ X nazywamy elementem neutralnym lewostronnym (prawostronnym) działania •, jeżeli dla każdego x ∈ X zachodzi równość e • x = x
(x • e = x). Element spełniający oba te warunki nazywamy elementem neutralnym. Jeżeli w zbiorze X jest element neutralny działania •, to element x
e∈ X
nazywamy elementem odwrotnym lub elementem przeciwnym do elementu
x ∈ X, jeżeli x
e•x = x•x
e = e. W dalszym ciągu element odwrotny do elementu
x oznaczać będziemy symbolem x−1 (lub −x.)
• Fakt 0.1.1
Niech X będzie zbiorem niepustym z określonym w nim działaniem
dwuargumentowym.
(a) Element neutralny działania • jest wyznaczony jednoznacznie.
(b) Jeżeli działanie • jest łączne i istnieje element odwrotny do elementu x ∈ X,
to jest on wyznaczony jednoznacznie.
D o w ó d.
(a) Niech e1 , e2 ∈ X spełniają warunek z definicji elementu neutralnego. Wówczas
4
0. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
e1 = e1 • e2 = e2
(b) Jeżeli x • x
e1 = x
e1 • x = e oraz x • x
e2 = x
e2 • x = e, to
x
e2 = e • x
e2 = (e
x1 • x) • x
e2 = x
e1 • (x • x
e2 ) = x
e1 • e = x
e1 .
Niepusty zbiór X z określonym w nim jednym lub kilkoma działaniami określamy
mianem struktury algebraicznej i oznaczamy hX, •i, hX, •, ◦i, itd.
• Przyk/lad 0.1.1
Dodawanie jest działaniem łącznym i przemiennym w każdym ze zbiorów liczbowych IN, ZZ, CQ, IR, CC. W każdym z tych zbiorów jest element neutralny dodawania. Jest nim oczywiście liczba 0. W zbiorze ZZ (a także w CQ, IR oraz w CC) każdy
element ma element odwrotny (nazywamy go raczej elementem przeciwnym), natomiast elementy zbioru IN nie posiadają elementów przeciwnych w IN. Podobnie
każdy potrafi omówić własności mnożenia rozważanego w każdym z powyższych
zbiorów liczbowych.
• Przyk/lad 0.1.2
W każdym z wyżej rozważanych zbiorów liczbowych każdy ze wzorów:
(i) a ⊕ b = a + b + 1,
(ii) a ⊙ b = a + b + ab,
(iii) a ◦ b = a+b
2
określa działanie.
(i) Łatwo sprawdzić, że pierwsze z działań jest łączne i przemienne. Rozważane w
każdym ze zbiorów z wyjątkiem IN ma element neutralny (jest nim liczba (−1)),
a elementem odwrotnym (mówimy w tym przypadku raczej - przeciwnym) do elementu a jest element (a − 2).
(ii) Sprawdzenie łączności i przemienności drugiego dzałania nie sprawia kłopotu.
Poszukajmy elementu neutralnego. Niech a będzie dowolnym elementem któregokolwiek z rozważanych zbiorów. Szukamy e, dla którego zachodzi równość a⊙e = a
czyli a + e + ae = a. Ponieważ równość e(1 + a) = 0 powinna zachodzić dla każdego
a, więc e = 0. Zastanówmy się jeszcze, jaki jest element odwrotny do elementu a.
−a
.
Powinna zachodzić równość a ⊙ a−1 = 0 czyli a + a−1 + aa−1 . Zatem a−1 = 1+a
• Przyk/lad 0.1.3
Niech X oznacza zbiór liczb rzeczywistych z przedziału [0, 1). Wówczas wzór
x ∗ y = x + y − [x + y],
gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x, określa działanie w X. Oczywiście jest
ono przemienne i łączne. Elementem neutralnym jest liczba 0, a przeciwnym do
a ∈ [0, 1) - liczba (1 − a) ∈ [0, 1).
5
0.1. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
• Przyk/lad 0.1.4
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym i oznaczmy symbolem X X zbiór
wszystkich przekształceń zbioru X na siebie. Składanie (superpozycja) przekształceń (oznaczane w dalszym ciągu symbolem ◦) jest działaniem w X X . Działanie to
jest łączne, bo dla dowolnych funkcji f, g, h ∈ X X oraz dowolnego x ∈ X mamy
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x).
Działanie to nie jest na ogół przemienne. Elementem neutralnym jest oczywiście
przekształcenie identycznościowe (idX (x) = x dla dowolnego x ∈ X.) Symbolem
S(X) będziemy w dalszym ciągu oznaczać zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru X na siebie. W tym zbiorze każdy element ma element
odwrotny. Jest nim oczywiście funkcja odwrotna do danej funkcji.
Działanie w zbiorze skończonym wygodnie jest zdefiniować, podając tzw. tabelkę
działania.
• Przyk/lad 0.1.5
Niech ZZn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} a działanie +n określmy jako branie reszty z dzielenia sumy x+y przez n. Oto tabliczki działań w strukturach hZZ5 , +5 i oraz hZZ6 , +6 i.
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
+6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Nietrudno sprawdzić bezpośrednio, że działania +n są łączne i przemienne. Elementem neutralnym w każdym z tych zbiorów jest liczba 0, a elementem przeciwnym do liczby a ∈ ZZn jest liczba (n − a).
• Definicja 0.1.2
grupa֒, jeżeli:
Niepusty zbiór G, w którym określone jest działanie • nazywamy
(G1) działanie • jest łączne;
(G2) w G istnieje element neutralny działania •;
(G3) dla każdego elementu a ∈ G istnieje w G element odwrotny do a.
Grupę, w której działanie jest przemienne nazywamy grupą przemienną lub
abelową. Jeżeli grupa G ma n elementów, to liczbę n nazywamy rzędem grupy.
6
0. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
Jeżeli G ma nieskończenie wiele elementów, to nazywamy ją grupą nieskończoną
lub grupą rzędu nieskończonego. Piszemy: |G| = n i |G| = ∞, odpowiednio.
W dalszym ciągu, mówiąc o dowolnej grupie, będziemy jej działanie oznaczać symbolem •. W pozostałych konkretnych przypadkach będziemy używać standardowych oznaczeń: +, +n , ·, ·n , itd. Symbolem ◦ będziemy zawsze oznaczać złożenie,
tzn. działanie w grupie przekształceń S(X). Wynik działania w dowolnej grupie
będziemy często nazywać iloczynem, a o samej ”czynności” - mówić ”mnożenie”
(np. ”pomnóżmy stronami...”).
• Fakt 0.1.3
Niech hG, •i będzie grupą. Wówczas:
(a) Element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie.
(b) Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokładnie jeden element do niego
odwrotny.
(c) Dla dowolnego a ∈ G elementem odwrotnym do a−1 jest a, czyli (a−1 )−1 = a.
(d) Dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość (a • b)−1 = b−1 • a−1 .
(e) Dla dowolnych a, x, y ∈ G,
jeżeli a • x = a • y lub x • b = y • b, to x = y
Mówimy, że w każdej grupie zachodzi lewo- i prawostronne prawo skreśleń.
(f) Dla dowolnych a, b ∈ G istnieją jednoznacznie wyznaczone x, y ∈ G takie, że
a • x = b oraz y • a = b.
Mówimy, że w każdej grupie istnieja֒ jednoznaczne rozwia֒zania równań
a • x = b oraz y • a = b.
D o w ó d.
(a) i (b) już udowodniliśmy.
(c) i (d) wynikają z faktu, że element odwrotny do danego elementu jest wyznaczony jednoznacznie. Zarówno a jak i b−1 • a−1 spełniają warunek z definicji elementu
odwrotnego, bo:
(c) a • a−1 = a−1 • a = e
(d) (a • b) • (b−1 • a−1 ) = a • (b • b−1 ) • a−1 = a • e • a−1 ) = e
(e) Wystarczy pomnożyć stronami równość a • x = a • y z lewej strony przez
element a−1 i skorzystać z łączności mnożenia.
(f) Łatwo sprawdzić, że x = a−1 • b.
a • (a−1 • b) = (a • a−1 ) • b = e • b = b.
0.1. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
7
• Definicja 0.1.4
Niech hG, •i będzie grupą. Podzbiór H zbioru G, który sam tworzy
grupę z działaniem • nazywamy podgrupa֒ grupy hG, •i.
Fakt, że H jest podgrupą grupy G będziemy zapisywali krótko: H < G.
• Fakt 0.1.5
Podzbiór H zbioru G jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnych a, b ∈ H element a • b−1 należy do H.
D o w ó d.
(⇒) Jeżeli H jest podgrupą grupy G oraz a, b ∈ H, to b−1 oraz a • b−1 należą do
H, gdyż H jest grupą z działaniem •.
(⇐) Jeżeli a ∈ H, to e = a • a−1 ∈ H oraz a−1 = e • a−1 ∈ H.
• Przyk/lad 0.1.6
Oczywiście grupą przemienną jest każdy ze zbiorów ZZ, CQ, IR i CC rozważany z
dodawaniem i zachodzą inkluzje
ZZ < CQ < IR < CC .
Często w odniesieniu do tych grup będziemy używać terminu addytywne grupy
liczbowe. Zbiór ZZ\{0} rozważany z mnożeniem nie jest grupą. Co prawda jest w
nim element neutralny mnożenia (liczba 1), ale odwrotność żadnej liczby całkowitej
oprócz 1 nie jest liczbą całkowitą. Natomiast zbiory CQ \ {0}, IR \ {0} i CC \ {0}
rozważane z mnożeniem są grupami. Będziemy je nazywać multyplikatywnymi
grupami liczbowymi.
• Przyk/lad 0.1.7
Grupą jest struktura hZZn , +n i zdefiniowana w Przykładzie 1.1.5. Jest to tzw.
addytywna grupa reszt modulo n.
• Przyk/lad 0.1.8
Niech będzie dany na płaszczyźnie trójkąt równoboczny △ABC. Rozważmy zbiór
D3 wszystkich przekształceń płaszczyzny przeprowadzających ten trójkąt na siebie z działaniem składanie przekształceń. Są to obroty α0 , α1 , α2 (umówmy się,
4π
że w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) o kąty 0, 2π
3 , 3 oraz symetrie αA , αB , αC względem symetralnych boków trójkąta przechodzących przez
wierzchołki A, B, C. Sprawdzając kolejno, na co przechodzą przy składaniu takich
przekształceń, poszczególne wierzchołki, piszemy tabelkę działania w tej grupie.
Dla przykładu:
(α2 ◦ αA )(A) = α2 (αA (A)) = α2 (A) = C ,
(α2 ◦ αA )(B) = α2 (αA (B)) = α2 (C) = B ,
(α2 ◦ αA )(C) = α2 (αA (C)) = α2 (B) = A
I widać, że α2 ◦ αA = αB . Takie rachunki prowadzą do następującej tabelki działania w grupie hD3 , ◦i.
8
0. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
◦
α0
α1
α2
αA
αB
αC
α0
α0
α1
α2
αA
αB
αC
α1
α1
α2
α0
αC
αA
αB
α2
α2
α0
α1
αB
αC
αA
αA
αA
αB
αC
α0
α1
α2
αB
αB
αC
αA
α2
α0
α1
αC
αC
αA
αB
α1
α2
α0
Z powyższej tabelki można odczytać podstawowe własności tej grupy. Widać, że
nie jest ona przemienna (tabelka nie jest symetryczna względem głównej przekątnej!), elementem neutralnym jest α0 , każde z przekształceń αA , αB , αC jest swoją
odwrotnością (αA ◦ αA = α0 , αB ◦ αB = α0 , αC ◦ αC = α0 ).
Grupa D3 jest przykładem grupy izometrii figur płaskich, tzn. przekształceń
płaszczyzny zachowujących odległość punktów, które przeprowadzają zadaną figurę płaską na siebie. Podobnie można napisać tabelkę działania w grupie izometrii
n-kąta foremnego hDn , ◦i.
• Przyk/lad 0.1.9
W fizyce i chemii duże znaczenie mają tzw. grupy symetrii. Pozwalają one w jednolity sposób opisać bardzo różne struktury czy zjawiska fizyczne lub chemiczne.
Na przykład klasyfikacja poziomów energetycznych elektronu w krysztale wyznaczona jest przez symetrię pola występującą w tym krysztale i dlatego podstawową
sprawą jest wyliczenie wszystkich możliwych typów symetrii jakie może posiadać
dana cząstka czy kryształ. Symetria ciała fizycznego opisana jest przez podanie
wszystkich przekształceń zachowujących odległości między punktami. Fizycy nazywają je przekształceniami (transformacjami) symetrii. Łatwo widać, że zbiór
takich przekształceń tworzy grupę ze składaniem przekształceń jako działaniem.
Jest to tzw. grupa symetrii. Można udowodnić, że wszystkie transformacje przestrzeni zachowujące odległość mogą być otrzymane jako złożenie przekształceń
trzech następujących typów:
1. obrót o określony kąt wokół ustalonej osi,
2. odbicie zwierciadlane względem ustalonej płaszczyzny,
3. przesunięcie równoległe (translacja).
• Przyk/lad 0.1.10
W Przykładzie 1.1.4 rozważaliśmy grupę wzajemnie jednoznacznych przekształceń
dowolnego zbioru X na siebie. Wspomniane w poprzednim przykładzie, stosowane w fizyce czy w chemii, grupy symetrii są podgrupami tzw. grup permutacji
(oznaczane Sn ), czyli grup wzjemnie jednoznacznych przekształceń zbiorów skończonych na siebie. Permutację zbioru n-elementowego {1, 2, . . . , n} zapisujemy na
ogół w postaci
1
2
...
n
σ=
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
9
0.1. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady.
Złożenie permutacji
σ1 =
1
σ1 (1)
2
σ1 (2)
...
...
n
σ1 (n)
σ2 =
,
1
σ2 (1)
2
σ2 (2)
...
...
n
σ2 (n)
wygląda następująco
σ2 ◦ σ1 =
1
σ2 (σ1 (1))
2
σ2 (σ1 (2))
...
...
n
σ2 (σ1 (n))
Mówimy, że elementy σ(i) i σ(j) są w inwersji, jeżeli przy i < j jest σ(i) > σ(j).
Permutację posiadającą parzystą liczbę inwersji nazywamy permutacją parzystą, a permutację posiadającą nieparzystą liczbę inwersji - permutacją nieparzystą. Permutacje parzyste tworzą podgrupę grupy wszystkich permutacji Sn .
Jest to tzw. grupa alternująca An .
Napiszmy tabelkę działania w grupie S3 .
1 2 3
1
σ0 =
σ1 =
1 2 3
2
1 2 3
1
σ3 =
σ4 =
1 3 2
3
Oznaczając
2 3
1 2
σ2 =
3 1
3 1
2 3
1 2
σ5 =
2 1
2 1
3
2
3
3
otrzymujemy
◦
σ0
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ0
σ0
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ1
σ1
σ2
σ0
σ5
σ3
σ4
σ2
σ2
σ0
σ1
σ4
σ5
σ3
σ3
σ3
σ4
σ5
σ0
σ1
σ2
σ4
σ4
σ5
σ3
σ2
σ0
σ1
σ5
σ5
σ3
σ4
σ1
σ2
σ0
Permutacje σ0 , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 mają kolejno 0, 2, 2, 1, 3, 1 inwersji, a podgrupę
alternującą tworzą permutacje σ0 , σ1 , σ2 .
• Przyk/lad 0.1.11
Zbiór macierzy wymiaru m × n tworzy grupę z działaniem dodawania macierzy.
• Przyk/lad 0.1.12
Zbiór GLn macierzy kwadratowych odwracalnych stopnia n tworzy grupę z działaniem mnożenia macierzy. Z twierdzenia Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy wynika, że podzbiór złożony z macierzy o wyznaczniku 1 jest podgrupą tej
grupy.
10
0.2
0. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
• Definicja 0.2.1
Niech X będzie dowolnym podzbiorem zbioru G. Podgrupa֒ generowana֒ przez zbiór X nazywamy najmniejszą podgrupę grupy hG, •i zawierającą zbiór X. Oznaczamy ją symbolem hXi. Podgrupę H generowaną przez zbiór
jednoelementowy X = {a} nazywamy podgrupa֒ cykliczna֒, a element a - generatorem tej podgrupy. Piszemy H = hai. Jeżeli cała grupa G jest generowana przez
jeden element, to nazywamy ją grupa֒ cykliczna֒.
• Fakt 0.2.2
Podzbiór X zbioru G rozważany z działaniem • jest podgrupą grupy
hG, •i wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b ∈ X element a • b−1 należy do
X.
D o w ó d. (⇒) Jeżeli podzbiór X zbioru G rozważany z działaniem • jest podgrupą
grupy hG, •i, to z definicji grupy wynika, że dla a, b ∈ X zarówno b−1 jak i a • b−1
są elementami zbioru X, bo pamiętamy, że element odwrotny do danego elementu
grupy jest wyznaczony jednoznacznie.
(⇐) Jeżeli dla dowolnych a, b ∈ X element a • b−1 należy do X, to w szczególności
e = a • a−1 ∈ X, a co za tym idzie: a−1 = e • a−1 ∈ X i a • b = a • (b−1 )−1 ∈ X.
Łatwo sprawdzić, że przekrój (część wspólna) dowolnej ilości podgrup grupy hG, •i
jest grupą.
• Fakt 0.2.3
Jeżeli Gi : i T
∈ I jest zbiorem wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór X, to hXi =
Gi .
i∈I
D o w ó d. Zbiór wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór X ten jest
niepusty), bo jednym z jego elementów jest sama grupa G. hXi jako
T podgrupa
zawierająca zbiór X jest jednym z elementów zbioru Gi : i ∈ I, więc
Gi ⊂ hXi.
i∈I
T
Ponieważ
Gi jest grupą zawierającą zbiór X (zawiera go każda z Gi , i ∈ I), a
i∈I
T
hXi jest najmniejszą podgrupą grupy hG, ◦i zawierającą X, więc hXi ⊂
Gi .
i∈I
Dzięki łączności działania w dowolnej grupie możemy określić potęgę elementu
a ∈ G o wykładniku całkowitym w sposób następujący:
(i) a0 = e,
(ii) dla każdego n ∈ IN:
an+1 = an ◦ a,
a−n = (an )−1 .
Ma ona wszystkie znane nam własności potęgi.
• Definicja 0.2.4
Rze֒dem elementu a ∈ G nazywamy najmniejszą liczbę naturalną n, dla której an = e. Jeżeli takie n nie istnieje, to mówimy, że a jest elementem
rzędu nieskończonego.
0.2. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.
11
• Fakt 0.2.5
Rząd elementu równy jest rzędowi podgrupy cyklicznej generowanej
przez ten element.
D o w ó d. Jeżeli rz(a) = n, to zbiór A = {a, a2 , a3 , . . . , an = e} tworzy podgrupę.
Zauważmy przede wszystkim, że wszystkie elementy tego zbioru są równe. Gdyby
bowiem dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ n zachodziła równość ai = aj , to aj−i = e
dla 0 < j − i < n, co przeczy definicji rzędu elementu jako najmniejszej liczby
naturalnej o tej własności. Łatwo sprawdzić, że (ak )−1 = an−k , więc dla dowolnych
ai , aj ∈ A mamy ai • an−j = ai+n−j . Jeżeli i + n − j ¬ n, to ai+n−j ∈ A. Jeżeli
zaś i + n − j > n, to zapiszmy i + n − j w postaci i + n − j = 2n + (i − j − n).
2
Ponieważ ai+n−j = a2n+(i−j−n) = an ) • ai−j−n oraz 0 < i − j − n < n, więc i
tym razem ai+n−j ∈ A..
Oczywiście w grupie rzędu skończonego nie ma elementów rzędu nieskończonego.
Jeżeli a jest elementem rzędu nieskończonego, to {a} generuje podgrupę cykliczną rzędu nieskończonego. Podgrupę cykliczną generowaną przez element a ∈ G
możemy więc krótko przedstawić w postaci hai = {an : n ∈ ZZ} gdy jest ona
nieskończona.
• Fakt 0.2.6
Wszystkie grupy cykliczne rzędu n są izomorficzne z grupą hZZn , +n i.
Wszystkie nieskończone grupy cykliczne są izomorficzne z hZZ, +i.
D o w ó d. Niech a będzie generatorem grupy skończonej G, czyli
G = {a, a2 , a3 , . . . , an = e}.
−1
= an−k a odwzorowanie Φ : ZZn −→ G
Z własności potęgi wynika, że ak
k
zadane wzorem Φ(k) = a dla k = 1, 2, . . . , n jest izomorfizmem.
• Fakt 0.2.7
Niech hG, ◦i będzie grupą. Jeżeli a ∈ G jest elementem rzędu k, to dla
dowolnej liczby całkowitej m równość am = e zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy k
jest dzielnikiem m.
D o w ó d.
m
a) Jeżeli n = k · m, to an = ak
= em = e.
Z drugiej strony, jeżeli zapiszmy n w postaci n = kq + r, gdzie 0 ¬ r < n. Wówczas
q
an = akq+r = ak · ar = ar = e wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0,
bo k jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której zachodzi warunek ak = e.
Podobnie dowodzi się następującego faktu.
Niech hG, ◦i będzie grupą cykliczną rzędu n. Wówczas rz ak =
n
m, gdzie m = NWD
. W szczególności hai = hak i wtedy i tylko wtedy, gdy
(k,n)
• Fakt 0.2.8
NWD(k, n) = 1.
12
0. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
• Fakt 0.2.9
Dowolna podgrupa H grupy cyklicznej G = hai jest też grupą cykliczną. Podgrupa H składa się z samego elementu neutralnego (H = {e}) lub H = ham i,
gdzie m jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że am ∈ H. Jeżeli rzG = n, to dla
każdej liczby naturalnej k dzielącej n istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu k.
• Przyk/lad 0.2.1
Zbiór obrotów stanowi podgrupę cykliczną grupy D3 . Jej generatorem jest każde
z przekształceń α1 i α2 . Natomiast cała grupa D3 ma dwuelementowy zbiór generatorów. Łatwo bowiem sprawdzić, że każdy jej element można otrzymać jako
złożenie jednego z obrotów α1 i α2 i dowolnie ustalonej symetrii.
• Przyk/lad 0.2.2
Grupa CCn pierwiastków stopnia n z jedności jest grupą cykliczną generowaną przez
π
π
element ei· n . Jej generatorem jest też każdy element ei·k n , gdzie k jest liczbą
względnie pierwszą z n. Jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to każdy jej dzielnik
generuje podgrupę grupy CCn .
• Przyk/lad 0.2.3
Zbiór G =
∞
S
CCn rozważany z mnożeniem jest grupą rzędu nieskończonego, w
n=1
której każdy element ma rząd skończony. Ponadto dla każdej liczby naturalnej n
istnieje w G element rzędu n.
• Przyk/lad 0.2.4
Niech hG, •i będzie dowolną grupą. Wówczas zbiór
W
C = {c ∈ G :
g • c = c • g}
(tzw. centrum grupy)
g∈G
jest podgrupą grupy hG, •i.
Zgodnie z
0.3
Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
• Definicja 0.3.1
Niech H będzie dowolną podgrupą grupy G, a g - dowolnie ustalonym elementem G. Wartwa֒ lewostronna֒ (prawostronna֒) grupy G względem
podgrupy H nazywamy zbiór
gH = {g • h : h ∈ H} Hg = {h • g : h ∈ H}
Oczywiście w grupie przemiennej te dwa pojęcia pokrywają się. Wszystko, co powiemmy o warstwach lewostronnych jest prawdziwe dla warstw prawostronnych,
więc skupimy się na tych pierwszych.
0.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
• Fakt 0.3.2
13
Niech H będzie dowolną podgrupą grupy G. Wówczas:
(a) Dla dowolnego h0 ∈ H zachodzi równość h0 H = H,
(b) Dla dowolnych a, b ∈ G: |aH| = |bH|,
(c) Dla dowolnych a, b ∈ G: aH ∩ bH = ∅ lub aH = bH.
D o w ó d.
a) h0 H ⊂ H, bo H jest grupą z działaniem •. H ⊂ h0 H, bo h = h0 • (h−1
0 • h) dla
dowolnego h ∈ H.
b) Równoliczność warstw ustala odwzorowanie φ : aH−→bH zdefiniowane wzorem
φ(ah) = bh.
c) Załóżmy, że aH ∩ bH 6= ∅ i niech x = a • h1 = b • h2 ∈ aH ∩ bH. Wówczas
i dla dowolnego h ∈ H możemy napisać
a = (b • h2 ) • h−1
1
a • h = (b • h2 ) • h−1
1 • h = b • h3 ,
gdzie h3 = h2 • h−1
1 • h ∈ H. To oznacza, że każdy element warstwy aH jest
jednocześnie elementem warstwy bH.
Dowolna podgrupa
H wyznacza więc podział grupy na rozłączne warstwy, przy
S
czym G =
aH, bo każdy element do jakiejś warstwy należy (a ∈ aH).
a∈G
• Definicja 0.3.3
Liczbę warstw, na jakie podgrupa H dzieli grupę G nazywamy
indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy |G : H|.
• Twierdzenie 0.3.1
(Lagrange)
Jeżeli G jest grupą skończoną, to rząd jej dowolnej podgrupy H jest dzielnikiem
rzędu grupy. Dokładnie: |G| = |G : H| · |H|.
D o w ó d. Jest to natychmiastowy wniosek z ostatniego Faktu.
• Wniosek 0.3.1
Rząd dowolnego elementu grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu
tej grupy.
D o w ó d. Ponieważ rząd elementu równa się rzędowi podgrupy generowanej przez
ten element, więc jest to natychmiastowy wniosek z Twierdzenia Lagrange’a.
• Wniosek 0.3.2
Jeżeli rząd grupy skończonej G jest liczbą pierwszą, to G jest
grupą cykliczną.
• Wniosek 0.3.3
Jeżeli G jest grupą skończoną rzędu n, to dla dowolnego elementu
g ∈ G zachodzi równość g n = e.
D o w ó d. Jeżeli k jest rzędem elementu g, to k · m = n dla pewnego m, więc
m
g n = (g k ) = em = e.
14
0. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
Zajmiemy się teraz ważną klasą grup. Napiszmy najpierw tabliczki mnożenia modulo 6 i modulo 7 w zbiorach {1, 2, 3, 4, 5} oraz {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
·6
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
4
0
2
4
3
3
0
3
0
3
4
4
3
0
4
2
5
5
4
3
2
1
·7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
Przede wszystkim od razu widać, że mnożenie modulo 6 nie jest działaniem w
zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}, więc się tym dalej nie zajmujmy. Ogólnie - jeżeli n jest
liczbą złożoną, to dla pewnych 1 ¬ k, l < n jest k · l = n = 0(mod n), więc
mnożenie modulo n nie jest działaniem w zbiorze {1, 2, . . . , n}. Natomiast zbiory
ZZ∗p = {1, 2, . . . , p − 1} dla p, które są liczbami pierwszymi tworzą grupę z mnożeniem modulo p. Nietrudno sprawdzić bezpośrednio, że mnożenie ·p jest łączne i
przemienne. Elementem neutralnym w ZZ∗p jest liczba 1, a elementem odwrotnym
do liczby k ∈ ZZ∗p jest liczba l ∈ ZZ∗p taka, że k ·p l = 1, czyli k · l = 1 (mod p).
Ostatni przykład można uogólnić. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i
niech ZZ∗n będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od
n, względnie pierwszych z n, czyli
ZZ∗n = {k ∈ IN : k > 0, N W D(k, n) = 1}
Wówczas hZZ∗n , ·n i jest grupą rzędu φ(n), gdzie φ(n) oznacza ilość wszystkich liczb
naturalnych dodatnich mniejszych od n względnie pierwszych z n (tzw. liczba
Eulera). Ostatni wniosek daje nam natychmiast
• Twierdzenie 0.3.2
(Euler)
Jeżeli m i n są liczbami względnie pierwszymi, to mφ(n) ≡ 1 (mod n).
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to oczywiście φ(p) = p − 1, więc natychmiąstowym
wnioskiem z Twierdzenia Eulera jest
• Twierdzenie 0.3.3
(Małe Twierdzenie Fermata)
Jeżeli p jest liczbą pierwszą i m nie dzieli się przez p, to mp−1 ≡ 1 (mod p).
Wróćmy do podziału grupy G na warstwy względem dowolnej podgrupy H. Jeżeli
podgrupa H ma pewne specjalne własności, to w zbiorze tych warstw (mówimy w zbiorze ilorazowym G|H) możemy wprowadzić strukturę grupy.
• Definicja 0.3.4
Podgrupa H grupy G nazywa się jej dzielnikiem normalnym,
jeżeli dla dowolnego g ∈ G zachodzi równość
0.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.
15
gH = Hg.
Powinniśmy zdawać sobie sprawę z tego, że równość w powyższej definicji oznacza
tylko równość pewnych zbiorów, dokładniej - w definicji powiedzane jest tylko, że
dla dowolnego h1 ∈ H istnieje h2 ∈ H takie, że g • h1 = h2 • g. Oczywiście każda
podgrupa grupy przemiennej jest jej dzielnikiem normalnym.
• Fakt 0.3.5
Jeżeli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to zbiór ilorazowy G|H tworzy grupę z działaniem ∗ określonym wzorem
aH ∗ bH = (a • b)H
D o w ó d. Przede wszystkim musimy wykazać, że działanie ∗ jest określone poprawnie. Przecież jedna i ta sama warstwa może być uważana za wyznaczoną
przez każdy swój element! Trzeba zatem pokazać, że jeżeli a′ ∈ aH oraz b′ ∈ bH,
to (a′ • b′ )H = (a • b)H.
Niech a′ ∈ aH oraz b′ ∈ bH, czyli a′ = a • x oraz b′ = y • b dla pewnych x, y ∈ H
(pamiętajmy, że H jest dzielnikiem normalnym!). Stąd
a′ • b′ = (a • x) • (y • b = a • (x • y) • b = a • z • b = a • b • z ′
dla pewnych z, z ′ ∈ H. Zatem a′ • b′ ∈ (a • b)H, skąd (a′ • b′ )H = (a • b)H.
Łączność działania w G|H wynika natychmiast z łączności działania w G
(aH ∗ bH) ∗ cH
=
(a • b)H ∗ cH = ((a • b) • c)H = (a • (b • c))H
= aH ∗ (b • c)H = aH ∗ (bH ∗ cH)
Elementem neutralnym w G|H jest warstwa eH = H i łatwo sprawdzić, że (aH)−1 =
a−1 H.
Grupę hG|H, ∗i nazywamy grupą ilorazową.
Komentarz. Zauważmy, że podział grupy G na warstwy względem podgrupy H
jest rozbiciem zbioru G względem relacji równoważności
a ≡ b mod H ⇐⇒ a • b−1 ∈ H ⇐⇒ a−1 • b ∈ H
O elementach a, b mówimy wówczas, że przystają względem modułu H. Jeżeli
podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to postępując, jak w dowodzie Faktu??
można wykazać, że
a ≡ b mod H ∧ c ≡ d mod H ⇐⇒a • b ≡ c • d.
Relację równoważności w grupie, spełniającą powyższy warunek, nazywamy kongruencją.
• Przyk/lad 0.3.1
16
0. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
Ponieważ G = hZZ, +i jest grupą przemienną, więc każda jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym. Niech H = 5ZZ = {5k : k ∈ ZZ} i wyznaczmy warstwy poszczególnych elementów grupy G.
0H = {0 + 5k : k ∈ ZZ}, 1H = {1 + 5k : k ∈ ZZ}, 2H = {2 + 5k : k ∈ ZZ},
3H = {3 + 5k : k ∈ ZZ}, 4H = {0 + 5k : k ∈ ZZ}, 5H = 0H, 6H = 1H , itd.
Nietrudno zauważyć, że grupa ilorazowa G = hZZ|5ZZ, ∗i jest izomorficzna z grupą
hZZ5 , +5 i.
• Przyk/lad 0.3.2
Wyznaczmy grupę ilorazową D3 |H, gdzie H = {α0 , α1 , α2 , }. Warstwy poszczególnych elementów są następujące:
α0 H = α1 H = α2 H = H, αA H = {αA , αB , αC } = αB H = αC H
Ponieważ, co łatwo sprawdzić bezpośrednio, αA H ∗ αA H = H, więc oznaczając
elementy zbioru ilorazowego krótko g0 = H, g1 = αA H otrzymujemy następującą
tabelkę działania w grupie ilorazowej
∗
g0
g1
0.4
g0
g0
g1
g1
g1
g0
Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
Zauważyliśmy w przykładach ?? i ?? że dwie, z pozoru całkiem różne struktury
mają takie same tabelki działania.
• Definicja 0.4.1
Niech hG1 , •1 i i hG2 , •2 i będą dwiema grupami. Odwzorowanie
Φ : G1 −→G2 nazywamy homomorfizmem, jeżeli dla dowolnych a, b ∈ G1 spełniony jest warunek
Φ(a •1 b) = Φ(a) •2 Φ(b).
Homomorfizm, który jest odwzorowaniem różnowartościowym grupy G1 na grupę
G2 nazywamy izomorfizmem.
• Fakt 0.4.2
to:
Jeżeli Φ : G1 −→G2 jest izomorfizmem grupy hG1 , •1 i na grupę hG2 , •2 i,
(a) Φ(e1 ) = e2 ,
−1
,
(b) dla dowolnego a ∈ G1 , Φ(a−1 ) = Φ(a)
(c) dla dowolnego
a ∈ G1 i dowolnego n ∈ IN z równości an = e1 wynika równość
n
Φ(a) = e2 .
17
0.4. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
D o w ó d.
(a) Niech y będzie dowolnym elementem grupy G2 . Ponieważ Φ przekształca grupę G1 na całą grupę G2 , więc istnieje x ∈ G1 takie, że y = Φ(x). Z definicji
homomorfizmu możemy napisać następujący ciąg równości:
Φ(e1 ) •2 y = Φ(e1 ) •2 Φ(x) = Φ(e1 •1 x) = Φ(x) = y
Podobnie sprawdzamy, że y •2 Φ(e1 ) = y i teza wynika z jednoznaczności elementu
neutralnego.
(b) Z definicji homomorfizmu wynika, że
Φ(a) •2 Φ(a−1 ) = Φ(a •1 a−1 ) = Φ(e1 ) = e2
i podobnie Φ(a−1 ) •2 Φ(a) = Φ(a−1 •1 a) = Φ(e1 ) = e2 .
(c) Prosty dowód indukcyjny.
• Przyk/lad 0.4.1
Widzieliśmy, że tabelki działań dla grup D3 i S3 są identyczne. Przyporządkowanie
Φ(αk ) = σk , gdzie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 jest oczywiście izomorfizmem.
• Przyk/lad 0.4.2
Przyporządkowanie Φ : ZZn −→CCn zadane wzorem
Φ(k) = ei·k
2π
n
, gdzie k = 0, 1, . . . n−1
ustala izomorfizm addytywnej grupy reszt modulo n i grupy pierwiastków stopnia
n a jedności, bo
2π
Φ(k +n l) = ei·(k+n l) n = ei·k
2π
n
2π
· ei·l n = Φ(k) · Φ(l).
• Przyk/lad 0.4.3
Dla dowolnego a > 0, a 6= 1 funkcja fa (x) = ax ustala izomorfizm addytywnej
grupy liczb rzeczywistych z multyplikatywną grupą liczb rzeczywistych dodatnich.
• Fakt 0.4.3
Dla dowolnego elementu a ∈ G funkcja φa : G−→G określona wzorem
φa (x) = a • x jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem grupy G na siebie
(tzn. jest elementem grupy S(G)).
D o w ó d. Różnowartościowość funkcji φa wynika z prawa skreśleń. Ponadto dla
dowolnego x ∈ G zachodzi równość x = φa (a−1 • x), co oznacza, że φ odwzorowuje
G na całe G.
• Twierdzenie 0.4.1
(Cayley) Każda grupa hG, •i jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy S(G). W szczególności grupa skończona rzędu n jest izomorficzna z
pewną podgrupą grupy Sn .
D o w ó d. Niech H = {φa : a ∈ G}. Przede wszystkim zauważmy, że dla dowolnego
−1
a ∈ G zachodzi równość φa
= φa−1 , ponieważ
18
0. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
(φa−1 ◦ φa )(x) = φa−1 (φa )(x)) = φa−1 (a • x) = a−1 ◦ (a • x) = (a−1 • a) • x = x
dla dowolnego x ∈ G. Stąd wynika, że H jest podgrupą grupy G, bo dla dowolnych
φa , φb ∈ H i dowolnego x ∈ G zachodzi równość
φa ◦ (φb )−1 (x) = φa ◦ φb−1 (x) = φa (φb−1 (x)) = a • b−1 • x = φa•b−1 (x),
co oznacza, że φa ◦ (φb )−1 ∈ H. Zatem H jest podgrupą grupy S(G).
Sprawdzimy, że odwzorowanie Φ : G−→H zadane jest wzorem
Φ(a) = φa
jest izomorfizmem.
1) Φ jest odwzorowaniem różnowartościowym.
Gdyby bowiem dla pewnych a, b ∈ G było Φ(a) = Φ(b), czyli
φa (x) = φb (x) dla każdego x ∈ G,
to biorąc x = e otrzymalibyśmy a = b.
2) Φ jest odwzorowaniem na całą podgrupę H, co wynika wprost z jej definicji.
3) Φ(a • b) = Φ(a) ◦ Φ(b), bo
Φ(a • b)(x)
= φa•b (x) = (a • b) • x = a • (b • x) = φa (b • x)
=
Φ(a)(φb (x)) = (Φ(a) ◦ Φ(b))(x)
dla wszystkich x ∈ G, co oznacza równość przekształceń Φ(a • b) = (Φ(a) ◦ Φ(b)).
• Przyk/lad 0.4.4
Niech hG, •i będzie grupą obrotów trójkąta równobocznego. Wówczas G = {α0 , α1 , α2 }
jest zbiorem trzyelementowym z działaniem zadanym tabelką
◦
α0
α1
α2
α0
α0
α1
α2
α1
α1
α2
α0
α2
α2
α0
α1
Przyporządkowanie Φ(αi ) = φαi , gdzie φαi zdefiniowane jest wzorem
φαi (αk ) = αi • αk
ustala szukany izomorfizm. Wyznaczmy funkcje φαi dla i = 0, 1, 2.
φα0 (α0 ) = α0 • α0 = α0 , φα0 (α1 ) = α0 • α1 = α1 , φα0 (α2 ) = α0 • α2 = α2
φα1 (α0 ) = α1 • α0 = α1 , φα1 (α1 ) = α1 • α1 = α2 , φα1 (α2 ) = α1 • α2 = α0
φα2 (α0 ) = α2 • α0 = α2 , φα2 (α1 ) = α2 • α1 = α0 , φα2 (α2 ) = α2 • α2 = α1
0.4. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
19
Patrząc na nie, jak na zbiór par uporządkowanych otrzymujemy:
φα0 = {(α0 , α0 ), (α1 , α1 ), (α2 , α2 )}
φα1 = {(α0 , α1 ), (α1 , α2 ), (α2 , α0 )}
φα0 = {(α0 , α2 ), (α1 , α0 ), (α2 , α1 )}.
Zmieniając oznaczenia: α0 → 1, α1 → 2, α2 → 3 i zapisując pary uporządkowane,
jak permutacje, dostajemy:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, φα2 =
, φα1 =
φα0 =
3 1 2
2 3 1
1 2 3
Ponieważ tabelka działania w grupie G jest identyczna z tabelką działania w grupie
alternującej A3 , więc grupa obrotów trójkąta równobocznego jest izomorficzna z
grupą alternującą A3 , która jest podprupą grupy symetrycznej S3 .
Niech hG1 , •1 i i hG2 , •2 i będą dwiema grupami.
• Definicja 0.4.4
Jądrem homomorfizmu Φ : G1 −→G2 nazywamy zbiór
Ker Φ = {a ∈ G1 : Φ(a) = e2 }.
• Fakt 0.4.5
Jeżeli Φ jest homomorfizmem grupy hG1 , •1 i w grupę hG2 , •2 i, to
Ker Φ jest dzielnikiem normalnym grupy hG1 , •1 i.
D o w ó d. Niech a, b ∈ Ker Φ, czyli Ker Φ(a) = Ker Φ(b) = e2 . Wówczas
−1
Ker Φ(a •1 b−1 ) = Ker Φ(a) •2 Ker Φ(b)
= e2 •2 e−1
2 = e2 ,
co oznacza, że (a •1 b−1 ) ∈ Ker Φ.
Pokażemy teraz, że dla dowolnego a ∈ G1 zachodzi równość
aKer Φ = Ker Φa.
Przede wszystkim zauważmy, że jeżeli Φ(a) = Φ(b), to elementy a i b należą do
tej samej warstwy lewostronnej względem podgrupy Ker Φ i do tej samej warstwy prawostronnej względem Ker Φ. Z równości Φ(a) = Φ(b) wynika bowiem, że
−1
(Φ(b)) •2 Φ(a) = e2 . Stąd
−1
Φ(b−1 •1 a) = Φ(b−1 ) •2 Φ(a) = e2 = (Φ(b)) •2 Φ(a) = e2 ,
co oznacza, że
b−1 a ∈ Ker Φ.
Zatem a i b należą do tej samej warstwy lewostronnej. Podobnie pokazuje się, że
należą do tej samej warstwy prawostronnej.
Jeżeli b ∈ aKer Φ, to dla pewnego h ∈ Ker Φ mamy b = a • h. Stąd
Φ(b) = Φ(a)Φ(h) = Φ(a) •2 e2 = Φ(a).
20
0. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
Zatem b ∈ Ker Φa, bo a ∈ Ker Φa, czyli aKer Φ ⊂ Ker Φa. Podobnie pokazuje się
zawieranie w drugą stronę.
Następny fakt mówi, że tak naprawdę wszystkie dzielniki normalne dowolnej grupy
G są powyższej postaci.
• Fakt 0.4.6
Jeżeli H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to odwzorowanie
Π : G −→ G|H
przyporządkowujące każdemu elementowi warstwę tego elementu względem H jest
homomorfizmem grupy G na grupę ilorazową G|H. Jądrem tego homomorfizmu
jest podgrupa H.
0.4. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
0.5
21
Zadania.
1. Sprawdzić, czy następujące wzory określają działanie w zadanym zbiorze.
Jeżeli tak, to zbadać łączność, przemienność i istnienie elementu neutralnego.
a) m♦n = mn w zbiorze IN,
b) a ± b =
a+b
2
w zbiorze CQ,
c) x ∨ y = max{x, y}, x ∧ y = min{x, y} w zbiorze IR,
d) f ∨ g = max{f, g}, f ∧ g = min{f, g} w zbiorze C[0, 1],
e) f ∨ g = max{f, g}, f ∧ g = min{f, g} w zbiorze funkcji różniczkowalnych
na przedziale [0, 1],
f) m ⋄ n = N W W (m, n), m ◦ n = N W D(m, n) w zbiorze IN,
g) Składanie funkcji IR −→ IR,
h) ~u ⋄ ~v = ~u ◦ ~v (iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie)
i) ~u ⋄ ~v = ~u × ~v (iloczyn wektorowy wektorów na płaszczyźnie)
j) ~u ⋄ ~v = ~u × ~v (iloczyn wektorowy wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
2. Które z poniższych zbiorów tworzą grupę względem podanego działania:
a) {7n : n ∈ ZZ} z dodawaniem,
b) {7n : n ∈ ZZ} z mnożeniem,
c) {x ∈ IR : x 6= 0, |x| ¬ 1} z mnożeniem,
d) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z działaniem A ∪ B,
e) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z działaniem A ∩ B,
f) zbiór 2X wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z działaniem
A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A), (tzw. różnica symetryczną zbiorów A i B).
3. Sporządzić tabelki działania dla:
a) grupy przekształceń izometrycznych płaszczyzny przeprowadzających dany kwadrat na siebie z działaniem ”◦” - składanie przekształceń,
b) grupy przekształceń izometrycznych płaszczyzny przeprowadzających dany prostokąt nie będący kwadratem na siebie z działaniem ”◦”.
c) grupy przekształceń izometrycznych płaszczyzny przeprowadzających dany trójkąt równoramienny prostokątny na siebie z działaniem ”◦”.
Dla każdego z rozważanych przypadków wskazać podgrupę odpowiedniej grupy permutacji izomorficzną z daną grupą izometrii.
4. W grupie przekształceń izometrycznych płaszczyzny przeprowadzających dany pięciokąt foremny na siebie (z działaniem ”◦”) wskazać elementy rzędu 2
i elementy rzędu 3.
22
0. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
5. Dane są grupy hG1 , ◦1 i, hG2 , ◦2 i. Rozważamy zbiór G1 ×G2 = {(a1 , a2 ) : a1 ∈
G1 , a2 ∈ G2 } z działaniem (a1 , a2 ) ◦ (b1 , b2 ) = (a1 ◦1 b1 , a1 ◦2 b2 . Udowodnić,
że hG1 × G2 , ◦i jest grupą (przemienną, jeżeli obie grupy są przemienne).
Jest to tzw. produkt prosty grup lub iloczyn prosty. W przypadku, gdy
grupy G1 , G2 są przemienne, ich produkt prosty nazywamy sumą prostą i
oznaczamy G1 ⊕ G2 .
6. Napisać tabelkę działania dla grup hZZ5 , +5 i oraz hZZ6 , +6 i.
7. Napisać tabliczkę działania w sumie prostej grup hZZ2 , +2 i i hZZ3 , +3 i.
8. Napisać tabelkę mnożenia modulo 5 w zbiorze {1, 2, 3, 4} oraz mnożenia modulo 6 w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}.
9. Niech Bn oznacza zbiór wszystkich ciągów n-elementowych o elementach 0, 1.
Pokazać, że Bn jest grupą przemienną z działaniem
(a1 , a2 , . . . , an )♦(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 +2 b1 , a2 +2 b2 , . . . , an +2 bn ).
Jaki jest rząd tej grupy? Podać kilka przykładów podgrup tej grupy.
10. Wykazać, że część wspólna (przekrój, iloczyn) dowolnej rodziny podgrup
grupy G jest podgrupą grupy G.
11. Pokazać, że jeżeli H jest podgrupą grupy G, to dla dowolnego g ∈ G zbiór
gHg −1 = {ghg −1 : h ∈ H} jest podgrupą grupy G.
12. Udowodnić, że zbiór tych wszystkich elementów grupy, które są przemienne
z każdym innym elementem grupy tworzy podgrupę tej grupy. Jest to tzw.
centrum grupy.
13. Wyznaczyć rzędy elementów 3,5,11 w grupie multyplikatywnej hZZ∗16 , ·i.
14. Pokazać, że jeżeli każdy element grupy (G, ·) jest rzędu dwa, to grupa G jest
przemienna.
15. Pokazać, że w grupie przemiennej iloczyn elementów rzędu skończonego jest
elementem rzędu skończonego. Jaki jest rząd iloczynu?
16. Pokazać, że w dowolnej grupie przemiennej elementy rzędu skończonego tworzą podgrupę.
17. Pokazać, że jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest to grupa cykliczna.
18. Wykazać, że podgrupa grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.
19. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy hZZ12 , +12 i.
20. Wyznaczyć wszystkie warstwy w grupie ZZ12 względem podgrup:
a) H1 = {0, 3, 6, 9}, b) H2 = {0, 4, 8}, c) H3 = {0, 6}.
0.4. Homomorfizmy i izomorfizmy grup.
23
21. Napisać tabelkę działania w grupie S3 . Sprawdzić, czy permutacje parzyste
tworzą podgrupę. Jeżeli tak, to wyznaczyć warstwy lewostronne i warstwy
prawostronne grupy S3 względem tej podgrupy.
22. W grupach S3 i S4 podać przykłady elementów rzędów: 2,3,4,5,6. Odpowiedź
uzasadnić.
23. Wyznaczyć warstwy lewostronne i warstwy prawostronne grupy S3 względem
podgrupy, której elementy przeprowadzają zbiór {1} na siebie.
24. Które z podgrup grupy S3 są dzielnikami normalnymi? Opisać odpowiednie
grupy ilorazowe.
a b
25. Dowieść, że zbiór macierzy postaci
, gdzie a, b ∈ IR, a 6= 0 jest grupą
0 1
względem mnożenia macierzy. Pokazać, że podzbiór tej grupy składający się z
macierzy, dla których a = 1 jest dzielnikiem normalnym tej grupy, natomiast
podzbiór składający się z macierzy, dla których b = 0 jest podgrupą, lecz nie
jest dzielnikiem normalnym.
26. Wykazać, że grupa hIR, +i jest izomorficzna z grupą h(0, ∞), ·i.
27. Wskazać homomorfizm grupy hZZ8 , +8 i na każdą z grup hZZ4 , +4 i i hZZ2 , +2 i.
Wyznaczyć zbiory, które są przeciwobrazami zbioru {e} i sprawdzić, że tworzą one podgrupy grupy hZZ8 , +8 i. Czy ten fakt można uogólnić?
28. Wykazać, że jeżeli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to relacja przystawania względem modułu H jest kongruencją.
29. Wykazać, że jeżeli relacja ∼ jest kongruencją w grupie G, to ta klasa H zbioru
ilorazowego G| ∼, która zawiera element neutralny grupy G jest dzielnikiem
normalnym oraz G| ∼= G|H.
24
0.6
0. Pojęcie pierścienia. Podstawowe własności i przykłady.
Pojęcie pierścienia. Podstawowe własności i
przykłady.
W znanych nam zbiorach liczbowych ZZ, CQ, IR, CC mamy dwa podstawowe działania
+, ·, które na dodatek są powiązane podstawową zależnością — mnożenie jest
rozdzielne względem dodawania. Podobnie zachowują się różne zbiory funkcji, np.
IRn [x] czy C([0, 1]).
• Definicja 0.6.1
żeli:
Strukturę algebraiczną hR, ⊕, ⊙i nazywamy pierścieniem, je-
(R1) hR, ⊕i jest grupą przemienną,
(R2) działanie ⊙ jest łączne,
(R3) działanie ⊙ jest jest rozdzielne względem działania ⊕, tzn. dla dowolnych
a, b, c ∈ R. zachodzą równości
a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a ⊙ c) oraz (b ⊕ c) ⊙ a = (b ⊙ a) ⊕ (c ⊙ a)
Pierścień nazywamy przemiennym, jeżeli działanie ⊙ jest przemienne.
W dalszym ciągu działania ⊕, ⊙ będziemy nazywali odpowiednio dodawaniem
i mnożeniem, a wyniki działań - sumą i iloczynem. Element neutralny dodawania będziemy oznaczać symbolem 0 i nazywać zerem pierścienia, a element
odwrotny do elementu x ∈ R względem działania ⊕ – elementem przeciwnym.
Jeżeli w R jest element neutralny działania ⊙, to będziemy oznaczać symbolem 1 i
nazywać jednością pierścienia, a element odwrotny do elementu x ∈ R względem
działania ⊙ – elementem odwrotnym. Elementy pierścienia, które posiadają
element odwrotny nazywamy elementami odwracalnymi.
• Definicja 0.6.2
Elementy x, y ∈ R nazywamy dzielnikami zera, jeżeli
x 6= 0, y 6= 0 ale x ⊙ y = 0.
• Definicja 0.6.3
Pierścień przemienny z jednością, nie posiadający dzielników zera nazywamy pierścieniem cal6 6 kowitym.
• Przyk/lad 0.6.1
Zbiór ZZ liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem jest pierścieniem całkowitym.
• Przyk/lad 0.6.2
Zbiór IRn [x] wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych
z dodawaniem i mnożeniem wielomianów jest pierścieniem całkowitym.
25
0.6. Pojęcie pierścienia. Podstawowe własności i przykłady.
• Przyk/lad 0.6.3
Niech C([0, 1]) oznacza zbiór funkcji ciiągłych na przedziale [0, 1] z działaniami
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
oraz
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
Z odpowiednich twierdzeń analizy wynika, że jest to również pierścień całkowity.
• Przyk/lad 0.6.4
Rozważamy zbiór ZZ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} z działaniami +6 oraz ·6 . Tabelki tych
działań są następujące:
+6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
·6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Strukturę hZZ6 , +6 , ·6 i nazywamy pierścieniem reszt modulo n. Widać, że jest
to pierścień przemienny z jednością posiadający dzielniki zera (np. 2 ·6 3 = 0).
Jedynymi elementami odwracalnymi są w tym pierścieniu 1 i 5 (1 ·6 1 = 1 oraz
5 ·6 5 = 1, co oznacza, że 1−1 = 1 oraz 5−1 = 5).
• Przyk/lad 0.6.5
Rozważamy zbiór ZZ6 = {0, 1, 2, 3, 4} z działaniami +5 oraz ·5 . Tabelki tych działań
są następujące:
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
·5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Struktura hZZ5 , +5 , ·5 i jest pierścieniem reszt modulo 5. Łatwo zauważyć, że jest to
pierścień przemienny z jednością nie posiadający dzielników zera . Każdy element
tego pierścienia jest odwracalny.
• Przyk/lad 0.6.6
Zbiór IR[x] wielomianów o współczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem wielomianów jest pierścieniem całkowitym. Zerem tego pierścienia jest wielomian tożsamościowo równy 0, zaś jednością - wielomian przyjmujący w każdym
punkcie wartość 1.
26
0. Ideały w pierścieniu. Pierścień ilorazowy.
• Definicja 0.6.4
Niech hR, ⊕, ⊙i będzie pierścieniem. Podzbiór P zbioru R, który
sam tworzy pierścień z działaniami ⊕ i ⊙ nazywamy podpierścieniem pierścienia
hR, ⊕, ⊙i.
• Przyk/lad 0.6.7
Zbiór nZZ = {k · n : k ∈ ZZ} jest podpierścieniem pierścienia liczb całkowitych.
• Przyk/lad 0.6.8
Zbiór macierzy trójkątnych dolnych jest podpierścieniem pierścienia macierzy kwadratowych stopnia n.
0.7
Ideały w pierścieniu. Pierścień ilorazowy.
• Definicja 0.7.1
Niech hR, ⊕, ⊙i będzie pierścieniem przemiennym. Podzbiór I
zbioru R nazywamy ideal6 6 em pierścienia, jeżeli spełnione są warunki:
(I1) I jest podgrupą rupy addytywnej pierścienia R,
(I2) jeżeli a ∈ I oraz x ∈ R, to a ⊙ x ∈ I.
• Przyk/lad 0.7.1
Oczywiście ideałami w każdym pierścieniu R są {0} oraz sam R. Nazywamy je
ideałami niewłaściwymi.
• Przyk/lad 0.7.2
Zbiór nZZ = {k · n : k ∈ ZZ} jest ideałem pierścienia liczb całkowitych, bo dla
dowolnej liczby całkowitej m i dowolnej liczby k · n ∈ nZZ mamy
m · (k · n) = (m · k) · n ∈ nZZ.
• Przyk/lad 0.7.3
W pierścieniu C([0, 1]) funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] ideałem jest zbiór
Ix0 = {f ∈ C([0, 1]) : f (x0 ) = 0},
gdzie x0 jest dowolnie ustalonym punktem przedziału [0, 1]. Dla dowolnej funkcji
g ∈ C([0, 1]) i dowolnej funkcji f ∈ Ix0 mamy bowiem
(f · g)(x0 ) = f (x0 ) · g(x0 ) = 0 · g(x0 ) = 0.
0.8. Pojęcie pierścienia. Podstawowe własności i przykłady.
27
• Przyk/lad 0.7.4
W pierścieniu c wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych ideał tworzy zbiór c0 ciągów zbieżnych do zera, co wynika z twierdzenia o granicy iloczynu
ciągów.
Ponieważ hR, ⊕i jest grupą przemienną, więc każdy ideał I pierścienia R jest jego
dzielnikiem normalnym. Okazuje się, że w grupie ilorazowej R|I można wprowadzić
strukturę pierścienia definiując mnożenie wzorem
aI ∗ bI = (a ⊙ b)I.
Otrzymany pierścień nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia R względem ideału I lub pierścieniem reszt modulo I.
• Przyk/lad 0.7.5
Pierścień ilorazowy ZZ|nZZ składa się z elementów ZZ, 1 + ZZ, 2 + ZZ, . . . , (n − 1) + ZZ.
Dodawanie i mnożenie takich warstw wygląda następująco
(k + ZZ) ⊕ (l + ZZ) = (k +n l) + ZZ
oraz
(k + ZZ) ∗ (l + ZZ) = (k ·n l) + ZZ
Komentarz. Ostatnie określenie powinno zasugerować nam związek pojęcia pierścienia ilorazowego z pojęciem kongruencji w zbiorze liczb całkowitych. Rzeczywiście, analogicznie do sytuacji dzielnika normalnego w grupie podział pierścienia R
na warstwy względem ideału I jest rozbiciem zbioru R względem relacji równoważności
a ≡ b (mod H) ⇐⇒ a ⊕ (−b) ∈ I ⇐⇒ (−a) ⊕ b ∈ I
O elementach a, b mówimy wówczas, że przystają względem ideału I. Można
wykazać, że jeżeli a ≡ b (mod I) oraz c ≡ d (mod I), to
a ⊕ b ≡ c ⊕ d (mod I) ∧ a ⊙ b ≡ c ⊙ d (mod I).
Relację równoważności w pierścieniu, spełniającą powyższe warunki, nazywamy
kongruencją.
0.8
Pojęcie ciała. Podstawowe własności i przykłady.
• Definicja 0.8.1
Pierścień hK, ⊕, ⊙i nazywamy cial6 6 em, jeżeli:
(F1) K zawiera przynajmniej dwa elementy,
(F2) hK \ {0}, ⊙i jest grupą.
28
0. Pojęcie pierścienia. Podstawowe własności i przykłady.
hK, ⊕i nazywamy addytywna֒ grupa֒ cial6 6 a, a hK \ {0}, ⊙i - multyplikatywna֒
grupa֒ cial6 6 a.
W ciele nie ma oczywiście dzielników zera, bo z warunku a, b ∈ K \ {0} wynika,
że a ⊙ b ∈ K \ {0}.
• Definicja 0.8.2
Niepusty podzbiór L ciała K, będący ciałem względem działań w
K nazywamy podciałem ciała K.
• Przyk/lad 0.8.1
Ciałami są zbiory CQ, IR, CC z dodawaniem i mnożeniem. W dalszym ciągu te trzy
ciała oraz wszystkie ciała w nich zawarte będziemy nazywać ciałami liczbowymi.
• Przyk/lad 0.8.2
√
√
Zbiór CQ( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ CQ} tworzy ciało ze zwyczajnymi działaniami:
dodawaniem i mnożeniem.
Przede wszystkim zauważmy, że dla a, b ∈ CQ
√
a + b 2 = 0 ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Ponadto
√
√
√
√
(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 ∈ CQ( 2)
√
√
√
√
(a + b 2) · (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ CQ( 2)
√
Element odwrotny do a + b 2 6= 0 znajdujemy,
usuwając niewymierność z mia√
nownika. Pamiętajmy, że a2 − 2b2 6= 0, bo 2 jest liczbą niewymierną.
√
√
√ −1
a−b 2
a
b
√
√ = 2
2.
(a + b 2) =
− 2
2
2
a − 2b
a − 2b
(a + b 2)(a − b 2)
• Przyk/lad 0.8.3
W Przykładzie ?? sprawdziliśmy, że zbiory CQ i IR tworzą ciało z działaniami a⊕b =
a + b + 1 oraz a ⊙ b = a + b + ab.
• Przyk/lad 0.8.4
Pierścień hZZp , +p , ·p i jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
D o w ó d. (=⇒) Jeżeli p nie jest liczbą pierwszą, to dla pewnych n, m ∈ ZZp \ {0}
jest n·p m = p ≡ 0 ∈6 ZZp \{0}, czyli mnożenie nie jest działaniem w zbiorze ZZp \{0}.
(⇐=) Jeżeli p nie jest liczbą pierwszą, to pozostaje nam wykazać, że każdy element
zbioru ZZp \{0} ma element odwrotny. Niech m0 będzie dowolnym elementem zbioru
ZZp \ {0} i rozważmy zbiór A = {1 ·p m0 , 1 ·p m0 , . . . , (p − 1) ·p m0 }. Zauważmy,
że A ⊂ ZZp \ {0}. Jeżeli wykażemy, że wszystkie elementy zbioru A są różne, to
(ponieważ jest ich (p − 1)) zachodzi równość A = ZZp \ {0}. To oznacza, że wśród
liczb postaci k ·p m0 jest liczba 1, czyli dla pewnego k0 ∈ ZZp \ {0} jest k0 ·p m0 = 1,
0.9. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni i ciał. Rozszerzenia ciał.
29
tzn. k0 = m−1
0 . Załóżmy więc, że dla pewnych 0 ¬ i < j < p jest i ·p m0 = j ·p m0 .
Stąd (j − i) ·p m0 = 0, co jest niemożliwe, bo liczba (j − i), jako mniejsza od p nie
może być podzielna przez p.
W ciałach liczbowych wielokrotność jedności nigdy nie jest zerem. Nietrudno zauważyć, że w wyżej rozpatrywanym ciele hZZp , +p , ·p i zachodzi równość
p · 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0.
• Definicja 0.8.3
Charakterystyka֒ cial6 6 a K nazywamy najmniejszą liczbę naturalną p taką, że p · 1 = 0. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to mówimy, że cial6 6 o ma
charakterystyke֒ zero.
Charakterystykę ciała K będziemy oznaczać symbolem χ(K). Zatem χ(ZZp ) = p.
W ciele skończonym wielokrotności jedności 1·1, 2·1, 3·1, . . . nie mogą być wszystkie
różne, więc dla pewnych i < j jest i · 1 = j · 1, co daje (j − i) · 1 = 0 i otrzymujemy
• Fakt 0.8.4
Jeżeli K jest ciałem skończonym, to χ(k) 6= 0.
• Fakt 0.8.5
Charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą.
Ponieważ w ciele nie ma dzielników zera, więc
0.9
Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni i ciał.
Rozszerzenia ciał.
• Definicja 0.9.1
Niech hR1 , ⊕1 , ⊙1 i i hR2 , ⊕2 , ⊙2 i będą dwoma pierścieniami.
Odwzorowanie Φ : R1 −→R2 nazywamy homomorfizmem, jeżeli dla dowolnych
a, b ∈ R1 spełnione są warunki
Φ(a ⊕1 b) = Φ(a) ⊕2 Φ(b)
oraz
Φ(a ⊙1 b) = Φ(a) ⊙2 Φ(b).
Homomorfizm, który jest odwzorowaniem różnowartościowym pierścienia R1 na
pierścień R2 nazywamy izomorfizmem.
• Definicja 0.9.2
morfizmu Φ.
Zbiór Ker Φ = {a ∈ R1 : Φ(a) = 0} nazywamy ja֒drem homo-
Pełną analogię między pojęciem dzielnika normalnego i homomorfizmu grup a pojęciem ideału i homomorfizmu pierścieni widać w następujących faktach. Tak, jak
dzielniki normalne danej grupy są jedynymi jądrami homomorfizmów tej grupy,
tak ideały pierścienia przemiennego (i tylko one) są jedynymi jądrami homomorfizmów tego pierścienia.
• Fakt 0.9.3
Jeżeli Φ : R1 −→R2 jest homomorfizmem pierścienia hR1 , ⊕1 , ⊙1 i w
pierścień hR2 , ⊕2 , ⊙2 i, to zbiór Ker Φ jest ideałem pierścienia R1 .
30
0. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni i ciał. Rozszerzenia ciał.
• Fakt 0.9.4
Jeżeli I jest ideałem pierścienia R, to odwzorowanie Π : R−→R|I
przyporządkowujące każdemu elementowi warstwę tego elementu względem ideału
I jest homomorfizmem pierścienia R na pierścień ilorazowy R|I. Jądrem tego homomorfizmu jest ideał I.
Ponieważ ciało ma tylko ideały niewłaściwe, więc każdy homomorfizm ciała na
ciało jest izomorfizmem.
• Przyk/lad 0.9.1
√
Ciała CQ, CQ( 2) są podciałami ciała IR.
• Fakt 0.9.5
Ciało liczb wymiernych jest podciałem każdego ciała liczbowego.
• Definicja 0.9.6
Ciało K nazywamy rozszerzeniem ciała K ′ , jeżeli ciało K ′ jest
izomorficzne z pewnym podciałem ciała K.
• Przyk/lad 0.9.2
√
Ciało CQ( 2) jest rozszerzeniem ciała CQ.