Algebra - WMS AGH
Transkrypt
Algebra - WMS AGH
ECTS – Arkusz przedmiotu Nazwa przedmiotu Kod ALGEBRA Prowadzący przedmiot Prof. dr hab. Adam Paweł Wojda Osoby prowadzące zajęcia Klasa przedmiotu Rodzaj przedmiotu P C Wydział Matematyki Stosowanej Kierunek Matematyka Rodzaj studiów Rodzaje zajęć * Liczba godzin stacjonarne Suma 60 Stopień studiów pierwszy Semestr Wykłady Ćwiczenia Laboratoria Seminaria Projekty 30 III ECTS 30 7 WWW Uwagi Cel przedmiotu - zdobyte umiejętności Dostrzeganie struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało) w zbiorach permutacji (grupa), wielomianów (pierścień), zbiorów liczbowych (pierścienie, ciała). Wyrażanie faktów teorii liczb w terminach algebry – arytmetyka modularna, pierścienie euklidesowe, Gaussa, Dedekinda. Zrozumienie algebraicznych podstaw teorii szyfrowania. Streszczenie przedmiotu Grupy i ich homomorfizmy, grupy permutacji i transformacji. Pierścienie, ideały i homomorfizmy pierścieni. Pierścienie ilorazowe. Arytmetyka modularna. Ciała ułamków. Pierścienie wielomianów. Rozszerzenie ciał. Ciało rozkładu wielomianu. Ciała algebraicznie zamknięte. Warunki uczestnictwa w przedmiocie Forma zaliczenia Zaliczenie ćwiczeń na podstawie aktywności studenta i co przedmiotu najmniej dwóch kolokwiów. Egzamin pisemny i ustny. Zasada wystawiania Zaliczenie (waga ½), egzamin pisemny i ustny (waga 1/2) oceny końcowej Program wykładów 1.Arytmetyka liczb całkowitych – twierdzenie o dzieleniu. Algorytm Euklidesa. Pojęcie grupy. 2.Grupy c.d. Homomorfizmy grup. Rząd elementu w grupie. Funkcja Eulera. Zasada włączania i wyłączania - Formuła sita Eratostenesa. 3.Grupy cykliczne. Grupy permutacji i transformacji. Twierdzenia Cayleya i Lagrange'a. 4.Twierdzenia Eulera i Małe Twierdzenie Fermata. Równania modularne. Chińskie twierdzenie o resztach. 5.Kwadratowe residua modulo. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Metody Rabina i RSA 6.Grupy i metody zliczania. Grupy działające na zbiorach. Stabilizatory i orbity. Przykłady grup izometrii pięciokąta, sześcianu etc. 7.Lemat Burnside'a. Liczba różnych naszyjników z czarnych i białych pereł. Warstwy lewo- i prawostronne. 8.Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Twierdzenie o izomorfiźmie grup. Pierścienie. Przykłady. Podpierścienie i ideały. 9.Pierścienie wielomianów. Podzielność w pierścieniach. Pierścienie Gaussa. Przykłady pierścieni Gaussa i przykłady pierścieni niegaussowskich – pierścienie Dedekinda. 10.Pierścienie wielomianów nad ciałem jako przykład pierścieni głównych. Twierdzenie o ciągu wstępującym ideałów w pierścieniu głównym. Największy wspólny dzielnik dwóch elementów w pierścieniu – postać w pierścieniu głównym. 11.Pierścienie euklidesowe. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ciało ułamków pierścienia całkowitego. Twierdzenie o pierwiastkach w ciele ułamków. 12.Wielomiany nieprzywiedlne. Kryterium Eisensteina nieprzywiedlności wielomianów nad pierścieniem Gaussa. Pierścienie ilorazowe. Homomorfizmy pierścieni. Podstawowe twierdzenie o izomorfiźmie pierścieni. 13.Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne. Wzory Viety. Twierdzenie Wilsona. 14.Podstawowe Twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Rozszerzenia ciał – rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia skończone. 15.Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie o istnieniu ciała rozkładu (z dowodem). Twierdzenie zasadnicze algebry (z dowodem). Program pozostałych zajęć (ćwiczenia, laboratoria, projekty, seminaria) Ćwiczenia: rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów Bibliografia 1.A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1980. 2.W.J. Gilbert i W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008. 3.N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000. 4.W.K. Nicholson, Introduction to Abstract Algebra, Wiley 2007. 5.Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1975. 6.E.R. Scheinerman, Mathematics – Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000. * Rodzaje zajęć: ćwiczenia – ćwiczenia audytoryjne, lektoraty, zajęcia wf, laboratoria – ćwiczenia laboratoryjne, zajęcia praktyczne, zajęcia terenowe, seminaria – seminaria, konwersatoria, projekty – ćwiczenia projektowe, prace kontrolne i przejściowe