Algebra

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad. 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ALGEBRA
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS:8
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Wstęp do matematyki (relacje, odwzorowania),
Algebra liniowa z geometrią analityczną,
Elementy logiki i matematyki dyskretnej
Założenia i cele przedmiotu
Celą jest nauczyć studentów wiadomych metod algebraicznych niezbędnych we współczesnej
matematyce (w szczególności w analizie, równaniach różniczkowych itd.), aktywnie stosowanych w
ekonomii, finansach, kryptografii, kodowaniu itd.
Metody dydaktyczne
Wykłady z kredą przy tablicę, ćwiczenia, konsultacje, kolokwium
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie semestru pierwszego i drugiego w zakresie algebry liniowej z geometrią analityczną.
Zaliczenie ćwiczeń audytoryjnych.
Zdanie części pisemnej i części ustnej egzaminu.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Wstęp.
Relacja równoważności, zbiory ilorazowe (zbiór klas reszt modulo n, liczby wymierne),
odwzorowania, działania algebraiczne. Grupa reszt Zn modulo n.
2. Teoria grup.
Podgrupy, warstwy, ich własności, twierdzenie Lagrange’a dla skończonych grup, podgrupy
normalne, grupy ilorazowe, homomorfizmy i izomorfizmy grup, twierdzenie Cayleya, grupy
cykliczne i ich podgrupy, izomorficzna klasyfikacja grup cyklicznych, grupy przekształceń,
twierdzenia o izomorfizmach grup, produkty i sumy proste grup, działanie grupy na zbiorze,
sprzężenie, centrum, centralizator, normalizator, twierdzenia Sylowa o grupach skończonych,
grupy proste, grupy rozwiązalne, grupy nilpotentne, struktura skończenie generowanych grup
abelowych.
3. Teoria pierścieni.
Podpierścienie, ideały jednostronne i obustronne, podciała, charakterystyka. dzielniki zera,
elementy odwracalne i elementy nilpotentne, pierścień reszt Zn, pierścień szeregów potęgowych,
homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni, pierścienie ilorazowe, związki z teorią liczb, twierdzenia o
izomorfizmach pierścieni, ideały pierwsze i ideały maksymalne, ciało klas reszt Zp, ciała
ułamków, chińskie twierdzenie o resztach.
4. Teoria podzielności w dziedzinach całkowitości.
Relacje podzielności i stowarzyszenia, elementy rozkładalne i nierozkładalne, elementy pierwsze,
NWD, NWW, pierścienie ideałów głównych, pierścienie euklidesowe, pierścienie faktorialne.
5. Teoria ciał.
Rozszerzenie ciał, stopień rozszerzenia, element algebraiczny i jego wielomian minimalny,
rozszerzenie ciał proste, rozszerzenie ciał skończone, element pierwotny, twierdzenie
Kroneckera-Artina, ciało rozkładu wielomianu, ciała skończone, liczby algebraiczne i transcen-
dentne, ciało liczb algebraicznych, domknięcia algebraiczne, ciała algebraicznie domknięte,
zasadnicze twierdzenie algebry.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Wstęp.
Badanie własności relacji, konstruowanie zbiorów ilorazowych.
2. Teoria grup.
Rozpoznawanie grup, podgrup, podgrup normalnych. Rozpoznawanie homomorfizmów i izomorfizmów grup, wyznaczenie rzędów grupy i jej elementów, badanie struktury grup (czy jest
cykliczną, czy jest sumą prostą), grupy ilorazowe, badanie własności działania grupy na zbiorze,
własności grup prostych, rozwiązalnych i nilpotentnych.
3. Teoria pierścieni.
Rozpoznawanie pierścieni, podpierścieni, ideałów, rozpoznawanie homomorfizmów i
izomorfizmów pierścieni, wyznaczenie rzędów grupy i jej elementów, badanie struktury pierścieni,
badanie własności pierścieni, ciał.
4. Teoria podzielności w dziedzinach całkowitości.
Znajdowanie elementów odwracalnych, nierozkładalnych, rozkładalnych, pierwszych, rozpoznanie pierścieni euklidesowych, faktorialnych.
5. Teoria ciał.
Rozpoznawanie podciał, homomorfizmów ciał, wyznaczenie wielomianu minimalnego elementu
algebraicznego i stopnia rozszerzenia, budowanie ciała rozkładu wielomianu.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 2005
[2] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2001
[3] M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1985
[4] B. Gleichgewicht, Algebra, GiS, Wroclaw 2002.
[5] W. Więsław, Grupy, pierścienie, ciała (skrypt), Wracław 1979
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] A. Bialynicki-Birula, Algebra, Warszawa 1971.
[2] Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Skrypt, Warszawa 2002.
[3] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wyd. UJ, Kraków 2002.
[4] W.J. Gilbert, W.K. Nikolson, Algebra współczesna z zastosowaniami, PWN, Warszawa 2008
[5] J. Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1978
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
prof. dr hab. Orest ARTEMOWICZ
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK