4. Zjawisko przepływu ciepła

4. Zjawisko przepływu ciepła
4.
P.Pluciński
Zjawisko przepływu ciepła
wymiana ciepła
przez unoszenie
znane wartości
strumienia przepływu ciepła
wymiana ciepła
przez przewodzenie
+
generowanie ciepła
wymiana ciepła przez
promieniowanie
izolowany
brzeg
znane wartości
temperatury
4.1.
Podstawowe pojęcia
Ilość ciepła
Q
[J]
ilość energii cieplnej
Strumień przepływu ciepła
H=
dQ
dt
[J/s=W]
ilość ciepła w odniesieniu do jednostki czasu
Gęstość strumienia przepływu ciepła
dH
[W/m2 ]
dla 1D: H(x) = A(x)qx (x)
dA
strumień przepływu ciepła w odniesieniu do jednostki powierzchni
qn =
4.2.
Jednowymiarowy przepływ ciepła jako przykład MES
T
T
T (x)
T (x)
0
l
x
0
A(x)
dx
f (x)A(x) = fA (x) [W/m] – źródło ciepła
2.1
l
x
Jednowymiarowy przepływ ciepła jako przykład MES
A(x)
H
A(x + dx)
4.3.
P.Pluciński
H + dH
dx
fA (x)
H + fA dx = H + dH⇒
dH
= fA
dx
Prawo Fouriera (H = Aqx )
qx = −k
dT
dx
k – wsp. przewodnictwa cieplnego
dT
d
Ak
−
dx
dx
dla Ak = const
Ak
= fA
d2 T
+ fA = 0
dx2
x = xT
Jednowymiarowy przepływ ciepła jako przykład MES
x = xq
4.3.
!
x
Model lokalny (sformułowanie silne)
d
dT
Ak
dx
dx
!
+ fA = 0
+ warunki brzegowe
dT
q(x = xq ) = − k
dx
!
= qb
w.b. Neumanna (naturalny)
x=xq
T (x = xT ) = Tb
w.b. Dirichleta (podstawowy)
Model globalny (sformułowanie słabe) (∀w 6= 0)
d
dT
Ak
dx
dx
Z l
w
0
!
+ fA = 0
d
dT
Ak
dx
dx
·w
Z l
0
!
!
+ fA dx = 0,
2.2
∀w 6= 0
4.3.
Jednowymiarowy przepływ ciepła jako przykład MES
!
Z l
d
dT
w
Ak
dx +
dx
dx
0
"
dT
wAk
dx
0
Z l
wfA dx = 0
0
!
dT
Ak
dx +
dx
!
Z l
dw
0
#l
Z l
dw
−
0 dx
dT
Ak
dx = −(wAkqx )
dx
dx
x=l
P.Pluciński
Z l
wfA dx = 0
0
+ (wAkqx )
Z l
wfA dx
+
0
x=0
Model lokalny (sformułowanie silne) – (xq = 0, xT = l)
d
dT
Ak
dx
dx
dT
qx (x = xq ) = − k
dx
!
!
+ fA = 0
= qb
w.b. Neumanna (naturalny)
x=xq
T (x = xT ) = Tb
dT
qx (x = 0) = − k
dx
!
w.b. Dirichleta (podstawowy)
= qb
w.b. Neumanna (naturalny)
x=0
T (x = l) = Tb
w.b. Dirichleta (podstawowy)
Model globalny (sformułowanie słabe) (∀w 6= 0) – (xq = 0, xT = l)
Z l
dw
0
!
T (x = xT ) = Tb
Z l
dw
0
dT
Ak
dx = −(wAkqx )
dx
dx
!
x=l
Z l
wfA dx = 0
+
x=0
0
w.b. Dirichleta (podstawowy)
dT
Ak
dx = −(wAkqx )
dx
dx
T (x = l) = Tb
+ (wAkqx )
x=l
+ (wAk)
Z l
qb +
x=0
wfA dx = 0
0
w.b. Dirichleta (podstawowy)
2.3
4.4.
Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D
4.4.
P.Pluciński
Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D
Gęstość strumienia przepływu ciepła q
q
n
(
∇=
qn = q T n
q
zimno
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
)
∇T
ciepło
Prawo Fouriera - opis ruchu ciepła przez przewodzenie
q = −D ∇T
gdzie:
• wektor gęstości strumienia przepływu ciepła: q = {qx qy qz } [W/m2 ]
(
• wektor gradientu temperatury: ∇T =
∂T ∂T ∂T
∂x ∂y ∂z
)
[ ◦ K/m]
• macierz przewodnictwa cieplnego: D = {kij } [W/(m ◦ K)]
Gęstość strumienia wzrasta ze wzrostem gradientu temperatury.
Ciepło płynie od wyższej do niższej temperatury
4.5.
4.5.1.
Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D
Bilans cieplny dla stacjonarnego przepływu ciepła
Ilość ciepła generowanego = ilość ciepła wypływającego
Z
Z
f dV =
V
qn dS,
∀x ∈ V
S
gdzie f – ilość ciepła dostarczana ciału na jednostkę objętości i czasu [J/(m3 s)=W/m3 ]
V
S
2.4
4.5.
Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D
P.Pluciński
Wykorzystując twierdzenie Greena–Gaussa–Ostrogradzkiego o całkowaniu przez części
Z
Z
qn dS =
S
Z
q n dS =
S
Z
f dV =
divq dV =
Z V
V
∂qx
∂qy
∂qz
+
+
∂x
∂y
∂z
∇T q dV, ∀x ∈ V
divq dV =
V
Z (
Z
T
V
)
dV
⇒ ∇T q = f , ∀x ∈ V
V
4.5.2. Równania przepływu ciepła
Równanie przewodnictwa - (sformułowanie silne)
∇T (D∇T ) + f = 0,
+ warunki brzegowe
qn = qT n = qb
∀x ∈ V
na Sq – naturalne w.b.(Neumanna)
T = Tb
na ST – podstawowe w.b. (Dirichleta)
V
ST
Sq
Dla materiałów izotropowych macierz D przyjmuje formę D = kI
∂2T
∂2T
∂2T
f
+
+
+ =0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
k
– równanie Poissona
Dla materiałów izotropowych bez źródła ciepła
∂2T
∂2T
∂2T
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
4.5.3.
– równanie Laplace’a
Model i algorytm MES
Sformułowanie słabe
Z
w ∇T (D∇T ) + f dV = 0
V
−
Z
(∇w) D∇T dV +
V
−
Z
T
(∇w) D∇T dV −
D∇T
ndS +
wf dV = 0
V
qn
Z
T
w q n dS +
wf dV = 0
Z
S
(∇w)T D∇T dV = −
V
w
Z
S
V
Z
−q T
Z
T
Z
Sq
w qb dS −
V
Z
Z
w qn dS +
ST
wf dV,
V
naturalny w.b. niewiadoma wtórna
+ warunek brzegowy
T = Tb
na ST
2.5
∀w 6= 0
4.6.
Specjalne warunki brzegowe
P.Pluciński
Układ równań MES
Z
T
(∇w) D∇T dV = −
Z
V
Sq
wqbdS −
Z
Z
wqn dS +
ST
wf dV,
∀w 6= 0
V
Kθ = fb + f
gdzie
Z
K=
BT DBdV,
Z
fb = −
V
Sq
NT qb dS −
Z
NT qn dS,
ST
V
• θ – wektor węzłowych wartości temperatury,
• N – wektor funkcji kształtu,
• T = Nθ – aproksymowana funkcja temperatury,
• B = ∇N – macierz pochodnych funkcji kształtu,
• ∇T = Bθ – aproksymowana funkcja gradientu temperatury.
4.6.
Specjalne warunki brzegowe
Sq
V
ST
Sp
Unoszenie (konwekcja)
qn = p(Tp − T )
• Tp - temperatura otaczającego płynu w ruchu
• p - współczynnik przekazywania ciepła [W/m2 ]
(K + Kp ) θ = fb + f + fp
gdzie :
Z
Kp =
Z
NT Np dS,
fp =
Sp
Sp
2.6
Z
f=
NT pTp dS
NT f dV
4.7.
Dobór funkcji aproksymacyjnych
P.Pluciński
Promieniowanie (radiacja) lub absorpcja
qn = P (Tr4 − T 4 )
• Tr - absolutna temperatura innego ciała promieniującego na rozważane
• P - współczynnik emisyjności (zawierający stałą Bolzmanna)
pr = P (Tr2 + T 2 )(Tr + T )
qn = pr (Tr − T ),
Problem staje się nieliniowy:
K(θ)θ = f (θ)
i konieczne jest rozwiązanie przyrostowo-iteracyjne
4.7.
Dobór funkcji aproksymacyjnych
Podstawowe kroki algorytmu MES
1. Zbudowanie sformułowania silnego
2. Transformacja do sformułowania słabego
3. Wybór aproksymacji poszukiwanej funkcji
4. Wybór funkcji wagowej
4.8.
Zagadnienie 1D
xq = 0
xT = l
1 Zbudowanie sformułowania silnego
d
dT
Ak
dx
dx
!
+ fA = 0
+ warunki brzegowe
qx = qb
dla xq ( np. xq = 0)
T = Tb
dla xT ( np. xT = l)
2 Transformacja do sformułowania słabego
Z l
dw
0
+ warunek brzegowy
!
dT
Ak
dx = −(wAqx )
dx
dx
T = Tb
x=l
+ (wA)
Z l
qb +
x=0
dla xT ( np. xT = l)
2.7
wfA dx = 0
0
4.8.
Zagadnienie 1D
P.Pluciński
3 Wybór funkcji aproksymujących
Aproksymacja liniowa
T e (x) = α1e + α2e x = Φαe
"
e
Φ = [1 x],
α =
α1e
α2e
#
T e (x) = Nie (xe )Ti + Nje (xe )Tj = Ne θ e
"
Ne = [Nie (xe ) Nje (xe )],
θe =
#
Ti
Tj
T
Ti
1
Tj
xi
xj
Nje (xe )
Nie (xe )
1
xe
x
0e
le
xe
0e
le
le
Aproksymacja kwadratowa
T e (x) = α1e + α2e x + α3e x2 = Φαe


α1e


αe =  α2e 
α3e
Φ = [1 x x2 ],
T e (x) = Nie (xe )Ti + Nje (xe )Tj + Nke (xe )Tk = Ne θ e


Ti


e
e e
e e
e e
e
N = [Ni (x ) Nj (x ) Nk (x )], θ =  Tj 
Tk
T
Ti
Tj
Tk
1
xi
xj xk x
le
Nke (xe )
Nie (xe )
1
e
0
xej
l
e
0
e
xej
l
e
dT e
dNe
dNie dNje dNke
e θ e , gdzie Be =
=
B
=
dxe
dxe
dxe dxe dxe
"
xe
0
#
Aproksymacja kwadratowa - hierarchiczne funkcje kształtu
T e (x) = Nie (xe )Ti + Nje (xe )Tj + Nαe (xe )α = Ne θ e
2.8
1
Nje (xe )
xe
xe
e
xej
l
e
4.8.
Zagadnienie 1D
P.Pluciński


Ti


e
e e
e e
e e
e
N = [Ni (x ) Nj (x ) Nα (x )], θ =  Tj 
α
T
Ti
α
1
Tj
xi
xj
Nje (xe )
Nie (xe )
1
xe
x
0e
le
Nαe (xe )
xe
0e
le
0e
le
dT e
dNe
dNie dNje dNαe
e θ e , gdzie Be =
=
B
=
dxe
dxe
dxe dxe dxe
"
4.8.1.
xe
le
#
Zagadnienie 2D
Γq
ΓT
1 Zbudowanie sformułowania silnego (h - grubość powierzchni)
∇T (Dh∇T ) + fh = 0,
∀x ∈ A
+ warunki brzegowe
qn = qT n = qb
na Γq
T = Tb
na ΓT
gdzie f (x, y)h(x, y) = fh (x, y) –ilość ciepła dostarczana ciału na jednostkę powierzchni i czasu [J/m2 s=
W/m2 ]
2 Transformacja do sformułowania słabego
Z
(∇w)T Dh∇T dA = −
Z
A
Γq
whqbdΓ −
Z
Z
whqn dΓ +
A
ΓT
wfh dA
+ warunek brzegowy
T = Tb
dla h = const
Z
A
T
(∇w) D∇T dA = −
Z
Γq
na ΓT
wqbdΓ −
Z
wqn dΓ +
ΓT
+ warunek brzegowy
T = Tb
na ΓT
2.9
Z
wf dA
A
4.8.
Zagadnienie 1D
P.Pluciński
3 Wybór funkcji aproksymujących
Element trójwęzłowy
T e (x, y) = α1e + α2e x + α3e y = Φαe


α1e
 e 
e
α =  α2 
α3e
Φ = [1 x y],
Trójkąt Pascala
element trójwęzłowy
element sześciowęzłowy
1
1
y
x
x2
x3
x4
y2
xy
x2 y
x3 y
xy 2
x2 y 2
y
x
x2
x3
y3
xy 3
x4
y4
y2
xy
x2 y
x3 y
xy 2
x2 y 2
y3
xy 3
y4
Kryteria zbieżności - wymagania dla aproksymacji
• zupełność – aproksymacja musi być w stanie reprezentować dowolne pole stałe i dowolny stały
gradient pola
• zgodność na granicach międzylementowych / styku elementów (dostosowanie) – aproksymacja musi
być ciągła na granicach między elementami
T e (x, y) = Nie (xe , y e )Ti + Nje (xe , y e )Tj + Nke (xe , y e )Tk = Ne θ e
Ne = [Nie (xe , y e ) Nje (xe , y e ) Nke (xe , y e )],


Ti


e
θ =  Tj 
Tk
T (x, y)
k
Tk
i
Ti
k
y
j
x
Tj
ye
e
xe
Ni (xej , yje ) = 0
Ni (xek , yke ) = 0
j
Nj (xe , y e )
Ni (xe , y e )
Nk (xe , y e )
k
1
i
1
xe
i
np. dla Ni (xe , y e )
Ni (xei , yie ) = 1
k
j
ye
k
i
xe
j
1
ye
xe
2.10
ye
i
j
4.8.
Zagadnienie 1D
P.Pluciński
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu Ni (x, y)





1
1 x i yi
α1i

 


 1 xj yj   α2i  =  0 
0
1 xk yk
α3i
rozwiązanie układu równań metodą wyznaczników

1 x
i

W =  1 xj
1 xk
Wα1i
Wα2i
Wα3i


= 


= 


= 

yi 
yj  = 2P4
yk 
1 xi yi 
0 xj yj  = xj yk − xk yj
0 x k yk =⇒
α1i =
Wα1i
xj yk − xk yj
=
W
2P4
=⇒
α2i =
Wα2i
yj − yk
=
W
2P4
=⇒
α3i =
Wα3i
xk − xj
=
W
2P4

1 1 yi 
1 0 yj  = yj − yk ,
1 0 yk 
1 xi 1 
1 xj 0  = xk − xj
1 xk 0 Element czterowęzłowy
T e (x, y) = α1e + α2e x + α3e y + α4e xy = Φαe




αe = 
Φ = [1 x y xy],





element czterowęzłowy
element ośmiowęzłowy
1
1
y
x
x2
x3
x4
α1e
α2e
α3e
α4e
x2 y
x3 y
y2
xy
xy 2
x2 y 2
y
x
x2
x3
y3
xy 3
y4
x4
x2 y
x3 y
y2
xy
xy 2
x2 y 2
y3
xy 3
y4
T e (x, y) = Nie (xe , y e )Ti + Nje (xe , y e )Tj + Nke (xe , y e )Tk + Nle (xe , y e )Tl = Ne θ e

Ne = [Nie (xe , y e ) Nje (xe , y e ) Nke (xe , y e ) Nle (xe , y e )].
2.11



θe = 
Ti
Tj
Tk
Tl





4.9.
Zagadnienie 3D
T (x, y)
P.Pluciński
i
j
Tj
l
Ti
j
y
k
Tk
x
np. dla Ni (xe , y e )
Ni (xei , yie ) = 1
i
Tl
xe
Ni (xej , yje ) = 0
ye
l
e
Ni (xek , yke ) = 0
Ni (xel , yle ) = 0
k
Element prostokątny
Ni (x, y) =
(x−xj )(y−yl )
ab
)(y−yi )
Nl (x, y) = − (x−xkab
i
l
1
i
y
l
xe
j
xe
a
b
i
y
k
e
ye
l
xe
a
j
1
a
b
k
 
∂Ne
∂Nie
 ∂xe  
  ∂xe
gdzie Be = 
 ∂Ne  =  ∂Nie
∂y e
∂y e

∇T e = Be θ e
(x−xl )(y−yj )
ab
i
l
b
k
Nk (x, y) =
xe
4.9.
a
k
1
ye
j
b
)(y−yk )
Nj (x, y) = − (x−xiab
j
1
e
∂Nje
∂xe
∂Nje
∂y e
Zagadnienie 3D
V
ST
Sq
1 Zbudowanie sformułowania silnego
∇T (D∇T ) + f = 0,
+ warunki brzegowe
2.12
∀x ∈ V
∂Nke
∂xe
∂Nke
∂y e

∂Nle

∂xe 
∂Nle 
∂y e
4.9.
Zagadnienie 3D
P.Pluciński
qn = qT n = qb
na Sq
T = Tb
na ST
2 Transformacja do sformułowania słabego
Z
(∇w)T D∇T dV = −
V
Z
Sq
wqbdS −
Z
Z
wqn dS +
ST
wf dV
V
+ warunek brzegowy
T = Tb
na ST
3 Wybór funkcji aproksymujących
Element czworościenny
T e (x, y, z) = α1e + α2e x + α3e y + α4e z
z
j
l
y
i
x
k
Element sześciościenny
T e (x, y, z) = α1e + α2e x + α3e y + α4e z + α5e xy + α6e yz + α7e xz + α8e xyz
z
m
p
n
o
i
l
j
k
x
2.13
y
4.10.
Przykłady
4.10.
4.10.1.
P.Pluciński
Przykłady
Wyprowadzenie równania w sformułowaniu słabym dla zagadnienia 1D
T
A = 3 qb = − 61
1
3
Tb = 1
T 0 (0) =
T (2) = 1
1
2
k=
x
fA (x) = −x
Sformułowanie silne
d
dT
Ak
dx
dx
!
+ fA = 0
+ warunki brzegowe
qx (x = 0) = −kT 0 (x = 0) = qb
T (x = l) = Tb
Po podstawieniu danych do równania:
T 00 − x = 0
+ warunki brzegowe
1
1
qx (0) = − T 0 (0) = −
3
6
T (2) = Tb = 1
Sformułowanie słabe
Z 2
w T 00 − x dx = 0
0
−
Z 2
w0 T 0 dx + w(2)T 0 (2) − w(0)T 0 (0) −
Z 2
0
wxdx = 0
0
Z 2
w0 T 0 dx − w(2)T 0 (2) = −w(0) ·
0
1
−
2
Z 2
wxdx
0
L(w, T ) = l(w)
+ warunek brzegowy T (2) = 1
4.10.2.
Rozwiązanie MES dla zagadnienia 1D - aproksymacja liniowa
1
x 1
T (0)=θ1
2
T (1)=θ2
2
3
T (2)=θ3
a1 = 0
θi1
x1
a2 = 1
θj1
θi2
2.14
x2
θj2
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Równanie dla ES (x = xe + ae )
Z le
we T e00 − (xe + ae ) dxe = 0
0
Z le
e
w T
e00
Z le
e
dx −
we (xe + ae )dxe = 0
0
0
l e Z e
l
we (xe + ae )dxe = 0
−
we0 T e0 dxe + we T e0 −
0
0
Z le
0
Aproksymacja
e
e e
e
T =N θ ,
Z le
−
β
eT
N
e0 T
w =β
e0 e
e
N θ dx + β
eT
eT
N
eT
N
0
eT
xe xe
N = 1− e
l
le
e
,
e
l Z l e
β eT NeT (xe + ae )dxe = 0
T
−
0
e0
0
e
Z le
l Z l e
e e
eT e0 e0 T e0
NeT (xe + ae )dxe = 0
− N N dx θ + N T
−
0
0
0
Z le
e0 T
N
e0
e
e
N dx θ =
eT
N
0
e
Z le
l
T
−
NeT (xe + ae )dxe
0
e0
0
Ke
fe
fbe
Macierze i wektory z równania MES – 2 ES =⇒ le = 1
#
Z le "
h
1
−
e
l
− l1e
Ke =
1
e
0
"
fbe
fe =
=
l
xe
e
el
1−
#
x
le
T
xe
le
1
dxe = e
l
"
1 −1
−1
1
#
"
=
1 −1
−1
1
#
l e
" #
" #
"
#
0
1
−T e0 (0e )
e0 e
e0 e
T (l ) −
T (0 ) =
=
1
0
T e0 (le )
e0 0
#
e
Z le "
1− x
0
1
le
i
le
le
(xe + ae )dxe =
6
"
le + 3ae
2le + 3ae
#
Agregacja
1
2
3
1
f 1 , fb1
2
K1
3
K2
2.15
" #
1
2
" #
=⇒
4
a2 =1
f 2 === 16
5
f 2 , fb2
a1 =0
f 1 === 16
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Globalne równanie MES
0
−T 1 (01 ) = −T 0 (0)
1 −1 0
θ1


 
 10 1

0
 −1 2 −1  ·  θ2  =  T (l ) − T 2 (02 ) = 0  −
0
0 −1 1
θ3
T 2 (l2 ) = T 0 (2)




K

1
1
6
fb
θ


 



 
6
5
f

 
−T 0 (0)
θ1
1
1 −1
0
 1 
  

2 −1   θ2  =  0  −  6 
 −1
6
T 0 (2)
θ3
5
0 −1
1





 
− 12
θ1
1 −1
0
1
  

 1 
2 −1   θ2  =  0  −  6 
 −1
6
1
0 −1
1
T 0 (2)
5
4
2
Rozwiązanie: θ1 = − , θ2 = − , T 0 (2) = 2.5
3
3
Funkcja temperatury dla 2 ES zapisana w układzie globalnym (xe = x − ae )

4
2



 − (1 − x) − x
dla x ∈ (0, 1)
3
3
T (x) =


2

 − (1 − (x − 1)) + 1(x − 1) dla x ∈ (1, 2)
3
T (x) =

2
4



dla x ∈ (0, 1)
 x−
3
3


7
5

 x−
dla x ∈ (1, 2)
3
Tpor = Tdok
3
1
1
4
= x3 + x −
6
2
3
T
1
0.5
0
−0.5
0
1
−1
−1.5
2.16
2
x
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Estymacja błędu a-posterior (po fakcie)
Estymator błędu
e
e
ee (xe ) = |yh,p
(xe ) − ypor
(xe )|
e – rozwiązanie MES, h – moduł siatki, p – rząd aproksymacji y e
gdzie e – element, yh,p
por – rozwiązanie
ścisłe lub odniesienia.
Wskaźnik (indykator błędu)
s
1 X
η=
L(e, e)
|l| e
Estymator błędu (Obliczenia względem lokalnego układu współrzędnych każdego ES)
Element 1
4
2 (1) 1 (1) 3 1 (1) 4 1
(1)
e = − (1 − x ) − x − x
− x + 3
3
6
2
3
1
1
3
e1 = − x(1) + x(1) 6
6
Element 2
2
1 (2)
4 2
(2)
(2)
3 1 (2)
e = − (1 − x ) + x − (x + 1) − (x + 1) + 3
6
2
3
1
1
2
3
2
e2 = − x(2) − x(2) + x(2) 6
2
3
Wskaźnik (indykator błędu) dla 2 ES
Z
L(e, e) =
le
dee
dxe
!2
dxe
v 

u
0 2
0 2
Z1 Z1 u
1
1
1
1
2
u1
3
3
2
η = t  − x(1) + x(1) dx(1) + − x(2) − x(2) + x(2) dx(2)  = 0.3249
2
6
6
6
2
3
0
0
Estymator błędu (Obliczenia względem globalnego układu współrzędnych)
Element 1
4
2
1 3 1
4 1
e = − (1 − x) − x − x − x + 3
3
6
2
3
1
1
e1 = − x3 + x
6
6
Element 2
2
1 3 1
4 2
e = − (2 − x) + (x − 1) − x − x + 3
6
2
3
7
1
e2 = − x3 + x − 1
6
6
Wskaźnik (indykator błędu) dla 2 ES
v 

u
0 2
Z1 Z2 u
1
1 0 2
7
u 1  1 3
3

η=t
− 6 x + 6 x dx + − 6 x + 6 x − 1 dx = 0.3249
2
0
1
2.17
4.10.
Przykłady
4.10.3.
P.Pluciński
Rozwiązanie MES dla zagadnienia 1D - aproksymacja kwadratowa z hierarchicznymi funkcjami kształtu
1
x
1
α1
θ1
2
2
θ2
α2
3
θ3
x2 α 2
θj2
a1 = 0
θi1
x1 α 1
a2 = 1
θj1
θi2
Równanie dla ES (x = xe + ae )
Z le
we T e00 − (xe + ae ) dxe = 0
0
Z le
e
e00
w T
e
dx −
Z le
0
−
Z le
e0
we (xe + ae )dxe = 0
0
e0
e
e
w T dx + w T
l e Z e
l
we (xe + ae )dxe = 0
−
0
e0 0
0
Aproksymacja
e
e
T =N
Z le
−
β
{θie
eT
N
θje
e
e
α },
e0 T
w =β
e0 e
e
N θ dx + β
eT
eT
N
xe xe e e
N = 1− e
x (x − le )
l
le
eT
e
l Z l e
β eT NeT (xe + ae )dxe = 0
T
−
0
eT
N
0
e
e0
0
e
Z le
l Z l e
e e
eT e0 e0 T e0
NeT (xe + ae )dxe = 0
− N N dx θ + N T
−
0
0
0
Z le
e0 T
N
e0
e
e
N dx θ =
eT
N
0
e
Z le
l
T
−
NeT (xe + ae )dxe
0
e0
0
Ke
fe
fbe
Macierze i wektory z równania MES – 2 ES =⇒ le = 1

Z le

Ke =

0

− l1e
1
le
2xe − le
xe
e
el




h
− l1e
1
le
2xe − le

1 −1 0


dxe =  −1 1 0 
0 0 31
 
 


l e
0
1
−T e0 (0e )


 e0   e0 e
  e0 e

x
fbe = 
 T =  1  T (l ) −  0  T (0 ) =  T e0 (le ) 
le
0
0
0
xe (xe − le )
0
1−

i
2.18
4.10.
Przykłady
P.Pluciński


2

1 
1




e
f === 12  4 
e +6ae
Z le 1 − xle
2l
le 

 e

e
e
xe
 −1 
(x
+
a
)dx
=
f e= 
 4le +6ae  =⇒

e
l
8
12
0
−le3 −2le2 ae
xe (xe −le )
a2 =1 1 

2
f === 12  10 
−3
a1 =0
Agregacja
1
2
α1
3
α2
f 1 , fb1
1
2
K1
3
K2
f 2 , fb2
α1
α2
Globalne równanie MES
1


−T 1 (01 ) = −T 0 (0)
1 −1 0 0 0
θ1


 −1 2 −1 0 0 
θ 
 T 1 0 (l1 )−T 2 0 (02 ) = 0 

 2







 −
2 0 (l2 ) = T 0 (2)
 0 −1 1 0 0  ·  θ3  = 
T








1
 0 0 0 3 0
 α1 
0


0 0 0 0 13
α2
0
fb
K
θ






2
 12 



1 
10


12 

 −1 
−3
f
2
1 −1 0 0 0
θ1
−T 0 (0)


 −1 2 −1 0 0   θ  
12 
0 


 2  
1 





 
0
 10 
 0 −1 1 0 0   θ3  =  T (2)  −

 12 


 
1
 −1 
 0 0 0 3 0   α1  
0 
−3
0 0 0 0 13
0
α2







1 −1 0 0 0
θ1
2
− 12
 −1 2 −1 0 0   θ  


0 
12 

 2  

1 



 


0
 0 −1 1 0 0   1  =  T (2)  −
 10 


 12 
 

1
 0 0 0 3 0   α1  
 −1 
0 
0 0 0 0 13
0
α2
−3







Rozwiązanie: θ1 = − 34 , θ2 = − 23 , α1 = 14 , α2 = 34 , T 0 (2) = 2.5
Funkcja temperatury dla 2 ES zapisana w układzie globalnym (xe = x − ae )
T (x) =

2
1
4



 − (1 − x) − x + x(x − 1)




dla x ∈ (0, 1)
3
3
4
2
3
− (1 − (x − 1)) + 1(x − 1) + (x − 1)((x − 1) − 1) dla x ∈ (1, 2)
3
4
2.19
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
T (x) =

5
4
1 2



dla x ∈ (0, 1)
 x + x−
4
12
3


3
7
5

 x2 − x −
dla x ∈ (1, 2)
4
12
6
1
1
4
Tpor = Tdok = x3 + x −
6
2
3
T
1
0.5
0
0
1
x
2
−0.5
−1
−1.5
Estymator błędu (Obliczenia względem lokalnego układu współrzędnych każdego ES)
Element 1
1
4
2
1 (1) (1)
1
3
e1 = − (1 − x(1) ) − x(1) +
x (x − 1) − x(1) − x(1) +
3
3
4
6
2
4 3
1
1
1
3
2
e1 = − x(1) + x(1) − x(1) 6
4
12
Element 2
2
1
1
e2 = − (1 − x(2) ) + x(2) − (x(2) + 1)3 − (x(2) + 1) +
3
6
2
4 3
1 (2) 3
1 (2) 2 2 (2) e = − x
− x
+ x 6
2
3
2
Wskaźnik (indykator błędu) dla 2 ES
dee
dxe
Z
L(e, e) =
le
!2
dxe
v 

u
0 2
0 2
Z1 Z1 u
1
1
1
1
1
2
u1
3
2
3
2
η = t  − x(1) + x(1) − x(1) dx(1) + − x(2) − x(2) + x(2) dx(2)  = 0.0373
2
6
4
12
6
2
3
0
0
Estymator błędu (Obliczenia względem globalnego układu współrzędnych)
Element 1
1 2
5
4 1 3 1
4 1
e = x + x− − x − x+ 4
12
3 6
2
3
1 3
1 2
1 e = − x + x − x
6
4
12
1
2.20
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Element 2
3
7
5 1 3 1
4 2
e = x − x− − x − x+ 4
12
6 6
2
3
1
3
13
1
e2 = − x3 + x2 − x + 6
4
12
2
2
Wskaźnik (indykator błędu) dla 2 ES
v 

u
0 2
Z1 Z2 u
1
1 2
1 0 2
3
13
1
u 1  1 3
3
2

η=t
− 6 x + 4 x − 12 x dx + − 6 x + 4 x − 12 x + 2 dx = 0.0373
2
0
1
η
0.6
0.4
0.2
0
1
5
10
15
iES
1
2
5
10
15
20
30
4.10.4.
20
η - lin.
0.5963
0.3249
0.1328
0.0666
0.0444
0.0333
0.0222
25
iES
30
η - kwad.
0.1491
0.0373
0.0059
0.0015
0.0007
0.0004
0.0002
Przepływ ciepła 2D - elementy trójwęzłowe
1. Dane
qn = 5 W/m2
y
Dyskretyzacja
4
3
j
k = 0.9 W/m C
f = 2 W/m3
h=1m
1
i
qn = 0
4m
k
2
3m
◦
qn = 0
T = 20 ◦C
k
j
i
1
x
2
2. Sformułowanie słabe problemu - wyprowadzenie równań MES
Z
A
(∇w)T Dh∇T dA = −
Z
Γq
whqbdΓ −
2.21
Z
Z
whqn dΓ +
ΓT
wf hdA
A
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Z
(∇w)T Dh∇T dA = −
Z
Z
whqn dΓ +
A
wf hdA
A
Γ
+ warunek brzegowy
T = Tb
w = Nβ = β T NT ,
T = Nθ,
∇w = β T BT ,
T
Z
β h
na ΓT
T
T
∇T = Bθ
D = k,
B kBdA θ = −β h
Z
A
h = const
T
Z
T
Z
T
B kBdA θ = −
A
A
Z
Z
T
N qn dΓ +
Z
Z
BT kBdA,
f=
A
NT f dA
A
Γ
K=
NT f dA,
N qn dΓ + β h
Γ
NT f dA,
Z
NT qn dΓ
fb = −
A
Γ
Kθ = f + fb
3. Wyznaczenie macierzy przewodności K dla elementów
• Element 1
N1 =
h
1 − 14 x
"
1
B = ∇N =
K1 =
Z
1
4x
− 31 y
1
3y
i
−0.250
0.250 0.000
0.000 −0.333 0.333
#
BT kBdA = A1 BT kB
A1


0.338 −0.338
0.000


0.938 −0.600 
=  −0.388
0.000 −0.600
0.600
• Element 2
N2 =
h
1 − 13 y
"
2
B = ∇N =
K2 =
Z
1
4x
1
3y
− 14 x
i
0.000 0.250 −0.250
−0.333 0.000
0.333
BT kBdA = A2 BT kB
A2


0.600
0.000 −0.600


0.338 −0.338 
=  0.000
−0.600 −0.338
0.938
4. Wyznaczenie wektora f – Element 1 i 2 - A1 = A2




1
4
f

 

fe =
NT f dA = Ae  1  =  4 
3
Ae
1
4
Z
2.22
#
∀β 6= 0
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
5. Wyznaczenie wektora fb
• Element 1
fb1
=−

Z
w.b. = 0 Z
(N ) qn dΓ −
1 T
Γ1ij
w.b. = 0 Z
(N ) qn dΓ−
1 T
Γ1jk
Γ1ki
(N1 )T qn dΓ
wspólna krawędź
ciągłość przepływu
wzdłuż linii 1-3
qn 1ki = −qn 2ij

0


= 0 
0
• Element 2
fb2 =
−
Z
Γ2ij
(N2 )T qn dΓ −
wspólna krawędź
ciągłość przepływu
wzdłuż linii 1-3
qn 1ki = −qn 2ij
Z
Γ2jk
=−
(N2 )T qn dΓ −
Z 4
Z
2
N (x, y = 3)
 0 
0
Γ2ki
T
(N2 )T qn dΓ
(−5)dx −
Z 3
N2 (x = 0, y)
T
qn dy
0


 
=  10  + 
10

fb 1

0 
fb 4
6. Agregacja
• Element 1
• Element 2



0.338 −0.338
0.000


0.938 −0.600 
K1 =  −0.388
0.000 −0.600
0.600




K=

0.338 −0.338
0.000 0.000
−0.388
0.938 −0.600 0.000
0.000 −0.600
0.600 0.000
0.000
0.000
0.000 0.000


4


f1 =  4 
4






K=




f =
8
4
8
4




4


f2 =  4 
4


0.600
0.000 −0.600


0.338 −0.338 
K2 =  0.000
−0.600 −0.338
0.938
0.938 −0.338
0.000 −0.600
−0.388
0.938 −0.600
0.000
0.000 −0.600
0.938 −0.338
−0.600
0.000 −0.338
0.938



fb 1


10
fb2 = 

fb 4 + 10
0


fb1 =  0 
0






fb = 



fb 1
0
10
fb 4 + 10





7. Układ równań MES: Kθ = f + fb





0.938 −0.338 0.000 −0.600
−0.388 0.938 −0.600 0.000
0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
2.23





θ1
θ2
θ3
θ4


 
 
=
 
8
4
8
4


 
 
+
 
fb 1
0
10
fb 4 + 10










4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Uwzględnienie warunków brzegowych





0.938 −0.338 0.000 −0.600
−0.388 0.938 −0.600 0.000
0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938





20
θ2
θ3
20


 
 
=
 
8
4
8
4


 
 
+
 
fb 1
0
10
fb 4 + 10





Rozwiązanie: θ2 = 48.040, θ3 = 57.145, fb 1 = −17.463, fb 4 = −26.537
8. Powrót do elementów - Obliczenie wektora przepływu
• Element 1


20


1
θ =  48.040  ,
57.145
"
q1 = −kB1 θ 1 = −0.9
−0.250 0.250 0.000
0.000 −0.333 0.333
#
0.000 0.250 −0.250
−0.333 0.000 0.333
#




"
#
20
−6.309


 48.040  =
−2.732
57.145
• Element 2


20


2
θ =  57.145  ,
20
"
q2 = −kB2 θ 2 = −0.9
"
#
20
−8.358


 57.145  =
0.000
20
9. Wyznaczenie temperatury w dowolnym punkcie wewnątrz elementu 1


20


θ 1 =  48.040  ,
57.145
T e (xe , y e ) = Ne (xe , y e )θ e
np. dla środka ciężkości ( 83 , 1)


T1
4.10.5.
8
,1 =
3
h
1− 41 · 83
1 8
1
4 · 3 − 3 ·1
20


1
48.040
·1
 = 41.728

3
57.145
i
Przepływ ciepła 2D - elementy czterowęzłowe
1. Dane
qn = 5 W/m2
Y, y(1)
4
y(2)
6
k l
f = 2 W/m3
3m
k = 0.9 W/m◦C
qn = 0
T = 20 ◦C
l
1
h=1m
i
qn = 0
4m
1
2.24
j i
5
Dyskretyzacja
3
k
2
X, x(1) , x(2)
j
2
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
2. Sformułowanie słabe problemu - wyprowadzenie równań MES
Z
T
(∇w) Dh∇T dA = −
Z
A
whqbdΓ −
Γq
Z
T
(∇w) Dh∇T dA = −
Z
Z
whqn dΓ +
Z
Z
whqn dΓ +
A
wf hdA
A
ΓT
wf hdA
A
Γ
+ warunek brzegowy
T = Tb
w = Nβ = β T NT ,
T = Nθ,
T
T
∇w = β B ,
Z
βT h
na ΓT
D = k,
BT kBdA θ = −β T h
A
∇T = Bθ
Z
h = const
Z
NT qn dΓ + β T h
Z
BT kBdA θ = −
A
Z
NT qn dΓ +
Z
BT kBdA,
Z
f=
A
Z
NT f dA
A
Γ
K=
NT f dA,
A
Γ
NT f dA,
Z
fb = −
A
NT qn dΓ
Γ
Kθ = f + fb
3. Wyznaczenie macierzy przewodności K dla elementów
• Element 1
N1 =
h
(x(1)−2)(y(1)−3) x(1) (y(1)−3) x(1) y(1) (x(1)−2)y(1)
2·3
−2·3
2·3
−2·3

B1 = ∇N1 = 
K1 =
Z
y(1) −3
6
y(1) −3
−6
y(1)
6
y(1)
−6

x(1) −2
6
x(1)
−6
x(1)
6
x(1) −2
−6

BT kBdA =
A1




=
• Element 2
N2 =
h
i
Z 3Z 2
0
BT kBdx(1) dy(1) =
0

0.650 −0.350 −0.325
0.025
−0.350
0.650
0.025 −0.325 


−0.325
0.025
0.650 −0.350 
0.025 −0.325 −0.350
0.650
(x(2)−2)(y(2)−3) x(2) (y(2)−3) x(2) y(2) (x(2)−2)y(2)
2·3
−2·3
2·3
−2·3

B2 = ∇N2 = 
i
y(2) −3
6
y(2) −3
−6
y(2)
6
y(2)
−6

x(2) −2
6
x(2)
−6
x(2)
6
x(2) −2
−6

2.25
∀β 6= 0
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
Z
2
Z 3Z 2
T
K =
B kBdA =
A2
BT kBdx(2) dy(2) =
0
0


0.650 −0.350 −0.325
0.025
−0.350
0.650
0.025 −0.325 


−0.325
0.025
0.650 −0.350 
0.025 −0.325 −0.350
0.650



=
4. Wyznaczenie wektora f – Element 1 i 2 - A1 = A2

fe =
Z
NT f dA =
Ae
f e

A 
4 
1
1
1
1


 
 
=
 
3
3
3
3





5. Wyznaczenie wektora fb
• Element 1
fb1
=−
Z
w.b. = 0 Z
(N ) qn dΓ −
1 T
Γ1ij
1 T
Γ1jk
wspólna krawędź ciągłość przepływu
wzdłuż linii 5-6: qn 1jk = −qn 2li
(N ) qn dΓ −
Z 2
=−
1
(1)
1 T
Γ1kl
(1)
(N ) qn dΓ −
N (x , y = 3)
T
(1)




Z
Γ1li
(N1 )T qn dΓ
Z 3
(−5)dx −
N1 (x(1) = 0, y(1) )
T
qn dy(1)
0
0
=

0
0
5
5

 
 
+
 
fb1
0
0
fb4
• Element 2
fb2
Z





wspólna krawędź ciągłość przepływu
wzdłuż linii 5-6: qn 1jk = −qn 2li
=−
Z
Γ2ij
w.b. = 0 Z
(N ) qn dΓ −
2 T
Γ2jk
w.b. = 0 Z
(N ) qn dΓ −
2 T
2 T
Γ2kl
(N ) qn dΓ −
Z 2
=−



=
2.26
0
0
5
5
Γ2li
N1 (x(2) , y(2) = 3)
0

Z





(N2 )T qn dΓ
T
(−5)dx(2)
4.10.
Przykłady
P.Pluciński
6. Agregacja
• Element 2
• Element 1

K1 = 
0.650
−0.350
−0.325
0.025
−0.350
0.650
0.025
−0.325
1
 0.650
 0.000
 0.000
K=
 0.025


3
 3 
1
f =
3 
3
5
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
−0.350
−0.325
−0.325
0.025
0.650
−0.350
6
6
4




f =


3
3
3
3
6
6

 56
K2 = 
4
5

fb1
0


1
fb = 

5
5 + fb4
2
3
6
2
0.025
−0.325
−0.350
0.650
3

5
6
4











fb = 



0
 0 
2
fb = 
5 
5
1
fb1
0
5
5 + fb4
0
10

5
23
6
6
0.000
0.000
0.025
0.650
0.025
0.000
0.025
0.650
0.000
0.000
0.000
0.650
−0.350 −0.350 −0.325 −0.325
−0.325 −0.325 −0.350 −0.350

5
−0.325
0.025
0.650
−0.350
 0.650
 0.000
 0.000
K=
 0.025


−0.350
0.650
0.025
−0.325
0.650
−0.350
−0.325
0.025
4
3
 3 
2
f =
3 
3
5
1

0.000
0.025 −0.350 −0.325
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.650 −0.325 −0.350

0.000 −0.325
0.650
0.025
0.000 −0.350
0.025
0.650

1
0.025
−0.325
−0.350
0.650
−0.350
−0.350
−0.325
−0.325
1.300
0.050
−0.325
−0.325
−0.350
−0.350

0.050
1.300
5
2
3
6







7. Układ równań MES: Kθ = f + fb









0.650 0.000 0.000 0.025
0.000 0.650 0.025 0.000
0.000 0.025 0.650 0.000
0.025 0.000 0.000 0.650
−0.350 −0.350 −0.325 −0.325
−0.325 −0.325 −0.350 −0.350
−0.350
−0.350
−0.325
−0.325
1.300
0.050
−0.325
−0.325
−0.350
−0.350
0.050
1.300

−0.350
−0.350
−0.325
−0.325
1.300
0.050
−0.325
−0.325
−0.350
−0.350
0.050
1.300









θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6

20
θ2
θ3
20
θ5
θ6


 
 
 
 
=
 
 
 
3
3
3
3
6
6

3
3
3
3
6
6


 
 
 
 
+
 
 
 
fb1
0
5
5 + fb4
0
10

fb1
0
5
5 + fb4
0
10









Uwzględnienie warunków brzegowych









0.650 0.000 0.000 0.025
0.000 0.650 0.025 0.000
0.000 0.025 0.650 0.000
0.025 0.000 0.000 0.650
−0.350 −0.350 −0.325 −0.325
−0.325 −0.325 −0.350 −0.350









 
 
 
 
=
 
 
 

 
 
 
 
+
 
 
 








Rozwiązanie: θ2 = 48.429, θ3 = 56.756, θ5 = 40.361, θ6 = 48.528, fb 1 = −19.398, fb 4 = −24.602
8. Powrót do elementów - Obliczenie wektora przepływu
• Element 1




θ1 = 
2.27
20
40.361
48.528
20






4.10.
Przykłady
P.Pluciński


1
1 1
q = −kB θ = −0.9 
y(1) −3
y(1) −3
y(1)
6
−6
6
x(1) −2
6
y(1)





x(1) −2
−6
x(1) x(1)
−6 6
−6
20
40.361
48.528
20
"
1
np. w środ. ciężk. elem. q (1, 1.5) =



=

"
−1.225y − 9.192
−1.225x
−11.000
−1.225
#
#
• Element 2




θ2 = 
40.361
48.429
56.756
48.528







2
2 2
q = −kB θ = −0.9 
y(2) −3
y(2) −3
y(2)
6
−6
6
x(2) −2
6
x(2) x(2)
−6 6
y(2)





x(2) −2
−6
−6
40.361
48.429
56.756
48.528
"
2
np. w środ. ciężk. elem. q (1, 1.5) =



=

"
−3.667
−2.474
−0.024y − 3.631
−0.024x − 2.450
#
9. Wyznaczenie temperatury w dowolnym punkcie wewnątrz elementu 1




θ1 = 
20
40.361
48.528
20





T e (xe , y e ) = Ne (xe , y e )θ e
np. dla środka ciężkości (1, 1.5)

T 1 (1, 1.5) =
h
(1−2)(1.5−3)
6
1(1.5−3)
−6
2.28
1·1.5
6
(1−2)1.5
−6
i



20
40.361
48.528
20



 = 32.222

#