Funkcje sufit i podłoga Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Funkcje sufit i podłoga
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Definicje
DEFINICJA Funkcją podłoga nazywamy funkcję bc : R −→ Z określoną następująco:
bxc = max{k ∈ Z : k 6 x}.
DEFINICJA Funkcją sufit nazywamy funkcję de : R −→ Z określoną następująco:
dxe = min{k ∈ Z : k > x}.
Podstawowe własności
bxc 6 x < bxc + 1
dxe − 1 < x 6 dxe
x − 1 < bxc 6 x 6 dxe < x + 1
Dla m ∈ Z: bmc = m = dme
Dla x 6∈ Z: dxe = bxc + 1
Dalsze własności
x 6 y =⇒ bxc 6 byc
x 6 y =⇒ dxe 6 dye
bx + yc > bxc + byc
dx + ye 6 dxe + dye
b−xc = −dxe
d−xe = −bxc
x ∈ R, k ∈ Z
bk + xc = k + bxc
dk + xe = k + dxe
x < k ⇔ bxc < k
k < x ⇔ k < dxe
x 6 k ⇔ dxe 6 k
k 6 x ⇔ k 6 bxc
TWIERDZENIE Niech f : R −→ R będzie funkcją ciągłą, rosnącą oraz taką, że przyjmuje wartości całkowite tylko
dla całkowitych argumentów (niekoniecznie wszystkich). Wówczas
bf (x)c = bf (bxc)c,
df (x)e = df (dxe)e.
p
√
WNIOSEK d xe = d dxee dla x > 0.
Część ułamkowa
DEFINICJA Częścią ułamkową liczby x ∈ R nazywamy liczbę {x} = x − bxc.
0 > {x} 6 1
f (x) = {x} - okresowa o okresie podstawowym 1
1