Wyklad 3

Wykład 3.
Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika punktu materialnego i
bryły sztywnej. Ruch obrotowy i postępowy
Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała
sztywne tj. obiekty, w których odległości wzajemne punktów są stałe.
Zasady dynamiki dla ruchu postępowego: (ciało sztywne)
1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub
porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.
2. Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości
zmian momentu pędu.
3. Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siła z jakim działa ciało
drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z
jakim ciało pierwsze działa na drugie.
Kinematyka ruchu obrotowego
Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej
Ruch postępowy
-Ruch prostoliniowy
dowolna prosta przeprowadzona
przez bryłę sztywną przesuwa się
równolegle do samej siebie,
wektory prędkości wszystkich
punktów bryły sztywnej są w danej
chwili jednakowe.
przesunięcie
prędkości liniowa
przyspieszenie liniowe
Ruch obrotowy
wszystkie punkty bryły sztywnej
poruszają się po okręgach,
których środki leżą na jednej
wspólnej prostej zwanej chwilową
osią obrotu.
przesunięcie kątowe φ
prędkość kątowa ω
przyspieszenie kątowe α
Kąt φ określa położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia.
Zakł: Punkt P obracającego się ciała zatacza łuk o długości s
Miara łukowa kąta φ: φ = s/R gdzie s- drogą
liniową, φ -przesunięcie kątowe
W ruchu obrotowym wielkością analogiczną
chwilowej prędkości liniowej v jest chwilowa
prędkość kątowa ω
W ruchu obrotowym podobnie jak w ruchu po
okręgu ω jest też nazywana częstością kątową
i jest związana z częstotliwością f relacją
Podobnie jak chwilowe przyspieszenie liniowe a zostało zdefiniowane
chwilowe przyspieszenie kątowe α
Prędkość kątowa jak i przyspieszenie kątowe są wektorami.
Punkt P porusza się ruchem przyspieszonym po okręgu.
Ruch punktu P obracającego się ciała
sztywnego
opisują wektory:
prędkości liniowej v,
prędkości kątowej ω,
przyspieszenia stycznego as,
przyspieszenia normalnego an
i przyspieszenia kątowego α
Rys. 11.2. Kierunki wektorów v, ω, as, an i α punktu P poruszającego się po
okręgu wokół pionowej zależności w postaci wektorowej mają postać
Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli kąt φ jest mierzony w radianach (rad)
to jednostką prędkości kątowej ω jest radian na sekundę (rad/s), a
przyspieszenia kątowego α radian na sekundę do kwadratu (rad/s2).
Ruch postępowy
-Ruch prostoliniowy
dowolna prosta przeprowadzona
przez bryłę sztywną przesuwa się
równolegle do
samej
siebie,
wektory
prędkości
wszystkich
punktów bryły
sztywnej są w danej chwili
jednakowe.
Przesunięcie: s
Prędkość: v=ds/dt
r
r
( )
rr
dr
r
v=
dt )
(
r
r dv
a=
dt
Przyspieszenie :
Masa : m
r
r
Siła : F = ma
Pęd:
r
r
p = mv
mv 2
Ek =
2
Energia kinetyczna:
Ruch obrotowy
wszystkie punkty bryły sztywnej
poruszają się po okręgach, których
środki
leżą na jednej wspólnej prostej
zwanej chwilową osią obrotu.
Kąt obrotu ϕ
r
dϕ
ω=
dt
Prędkość kątowa :
r
r
dω
α=
dt
Przyspieszenie kątowe:
Moment bezwładności : I
r
r
r
Moment siły: M = I α
r
r
Moment pędu: L = I ω
Iω 2
Ek =
2
Energia kinetyczna:
Moment siły:
Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w
ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) τ. Jeżeli siła F jest
przyłożona w pewnym punkcie to moment siły τ względem tego punktu jest
definiowany jako
wartość bezwzgledna wynosi:
r- ramię siły, wektor r - położenie punktu względem wybranego inercjalnego
układu odniesienia.
Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną
do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako
gdzie p jest pędem punktu materialnego,
wektor r - położenie punktu względem wybranego inercjalnego układu
odniesienia.
Wartość L wynosi
Zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu:.
(różniczkując obie strony równania
otrzymujemy:
Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy
zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z wypadkowym
momentem siły. Otrzymujemy więc
Zachowanie momentu pędu
Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na
poszczególne punkty materialne
gdzie L oznacza teraz całkowity moment pędu układu.
Jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy
moment sił zewnętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu
układu pozostaje stały
Przykład:
Rozpatrzmy teraz następujący przykład. Rower jedzie ze stałą prędkością gdy
siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F2. Z jaką siłą F1 łańcuch ciągnie
zębatkę jeżeli stosunek R=10 r?
Ponieważ prędkość kątowa jest stała
więc dL/dt = 0 i wypadkowy moment sił
jest równy zeru
czyli
skąd
Ruch bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową ω wokół
stałej osi obrotu w układzie środka masy.
Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała
sztywne.
Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową ω to
punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną
prędkość liniową v
Prędkość i -tego punktu o masie ∆mi wynosi vi = riω gdzie ri jest odległością od
osi obrotu
Dwa punkty obracającej się bryły mają tę samą prędkość kątową, a różne prędkości liniowe
ze względu na różne odległości od osi obrotu r1 i r2
Obliczamy teraz wartość momentu pędu L tego ciała
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy
jako
dla ciągłego rozkładu masy
Moment bezwładności I zależy od osi obrotu.
Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności
a ponieważ
więc
gdzie α jest przyspieszeniem kątowym.
Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała
więc
Analogia między wielkościami obliczonymi dla ruchu obrotowego z ich
odpowiednikami dla ruchu postępowego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu
postępowym
Jednak w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół
której obraca się ciało.
Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych:
Ciało
Obręcz, pierścień o promieniu R, względem osi obręczy
Krążek, walec względem osi walca
Pręt o długości d, względem osi symetrii prostopadłej do
pręta
Pełna kula o promieniu R, względem średnicy
Czasza kulista o promieniu R, względem średnicy
moment
bezwładności I
Obliczanie momentu bezwładności - przykład
Obliczmy moment bezwładności pręta o masie M i długości d pokazanego na
rysunku poniżej. Oś obrotu przechodzi przez środek pręta i jest do niego
prostopadła (linia przerywana).
Rys. 1. Pręt o masie M i długości d obracający się względem osi przechodzącej
przez środek pręta (linia przerywana)
Najpierw, pręt dzielimy umownie na "nieskończenie małe" elementy o masie dm
i długości dx, które możemy traktować jak punkty materialne (patrz rysunek).
Moment bezwładności takiego elementu wynosi x2dm, a moment bezwładności
całego pręta jest, zgodnie z definicją (11.14), sumą (całką) momentów
bezwładności poszczególnych elementów
gdzie całkowanie przebiega po całej długości pręta tj. w granicach od -d/2 do
d/2.
Zakładając, że pręt ma stałą gęstość to masę dm możemy wyrazić z prostej
proporcji jako
Podstawiając tę zależność do wzoru na moment bezwładności i wykonując
całkowanie otrzymujemy
Do obliczania momentu bezwładności wygodnie
jest posłużyć się twierdzeniem Steinera.
Zależność pomiędzy momentem bezwładności
I ciała względem danej osi, a momentem
bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi
przechodzącej przez jego środek masy i
równoległej do danej wyraża się zależnością:
gdzie a jest odległością między osiami, a M jest
masą ciała.
Jakob Steiner (1796-1863)
Innymi słowy: Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi
obrotu, równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jest sumą
momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez CM i iloczynu masy
ciała przez kwadrat odległości między osiami obrotu.
Przykład:
oblicz moment bezwładności pręta o masie M i długości d względem osi
prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z jego końców korzystając z
powyższego twierdzenia i z danych w tabeli
Dane: M, d, oś obrotu jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jeden z jego
końców tak jak na rysunku poniżej.
Rys. 1. Dwie osie obrotu pręta: 1) przechodząca przez środek masy - linia
niebieska,
2) przechodząca przez koniec pręta -linia czerwona
Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek pręta
(zarazem jego środek masy) wynosi (patrz tabela 11.3)
Natomiast moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez
koniec pręta obliczamy z twierdzenia Steinera
Ruch obrotowo-postępowy
Ciało toczące się bez poślizgu
W przeciwieństwie do ruch obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w
przypadku toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy.
Spróbujemy opisać toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego.
Prześledźmy ruch walca o promieniu R:
Ruch postępowy
+
Ruch obrotowy
=
Toczenie
Toczenie (c) jako złożenie ruchu postępowego (a) i obrotowego (b)
W ruchu postępowym,
rysunek (a), ruch postępowy: wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi
prędkościami,
rysunek (b): ruch obrotowy wokół środka masy S, przeciwległe punkty
poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy.
Rysunek (c) toczenie: wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z
rysunków (a) i (b).
Podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili spoczywa
(prędkość chwilowa vA = 0).
Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest proporcjonalna do ich odległości
od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość dwukrotnie większą niż
punkt S w odległości R).
Jeszcze pełniej widać to na rysunku gdzie narysowane są prędkości chwilowe
kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.
Toczenie się walca jako obrót wokół punktu A
Widać, że prędkość każdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej
ten punkt z podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A.
Takie zachowanie jest charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch
obrotowy względem nieruchomej osi.
Oznacza to, że opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie,
że możemy toczenie opisywać również wyłącznie jako ruch obrotowy ale
względem osi przechodzącej przez punkt A styczności z powierzchnią, po której
toczy się ciało.
Obliczmy teraz energię kinetyczną walca o masie m toczącego się z prędkością
v.
Najpierw potraktujemy toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego
względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako sumę energii ruchu
postępowego i obrotowego
Podstawiając wartość momentu bezwładności walca odczytaną z (podanej
wcześniej) oraz uwzględniając, że dla ciała toczącego się bez poślizgu ω = v/R
otrzymujemy
Powtórzymy nasze obliczenia ale potraktujemy toczenie wyłącznie jako obrót
względem osi obrotu w punkcie A zetknięcia walca z powierzchnią. Energia
kinetyczną obliczamy więc jako
Moment bezwładności walca IA ,względem osi A, obliczamy z twierdzenia
Steinera
Po podstawieniu tej wartości i uwzględniając, że ω = v/R otrzymujemy
W obu przypadkach otrzymaliśmy ten sam rezultat.
Widzimy, że Ruch ciała będący złożeniem ruchu postępowego środka masy i
obrotowego względem osi przechodzącej przez środek masy jest równoważny
ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez punkt styczności ciała z
powierzchnią, po której się ono toczy
Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w
inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii.
Ruch precesyjny (bąk)
Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w
inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii.
Oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając
powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.
W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową ω
dookoła swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy
kąt θ z osią pionową. Punkt podparcia bąka znajduje się w początku
inercjalnego układu odniesienia.
Ruch precesyjny bąka
Siła działająca na bąk w punkcie podparcia ma zerowy moment względem
punktu podparcia ponieważ ramię siły jest równe zeru. Natomiast ciężar mg
wytwarza względem punktu podparcia moment siły
gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że τ
jest prostopadłe do r i do mg. Zauważmy, że wektory τ , L i r wirują dokoła osi
pionowej z częstością precesji ωp. Z rysunku wynika, że
Ponieważ ∆L << L, to możemy napisać
Z drugiej zasadę dynamiki ruchu obrotowego
Więc
Ostatecznie otrzymujemy
Zgodnie z rysunkiem 1 moment siły jest równy
więc ostatecznie
Zwróćmy uwagę, że prędkość precesji nie zależy od kąta θ i jest odwrotnie
proporcjonalna do wartości momentu pędu.
Spróbujmy teraz podać ogólne wektorowe równanie opisujące precesję.
Widać, że prawa strona równania jest równa wartości iloczynu wektorowego
ωp x L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z
momentem siły i momentem pędu ma postać
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (MRJ), które znalazły
szerokie zastosowanie w badaniach naukowych, technice i medycynie.