PRM. Moment pędu bryły sztywnej i zasada

Moment pędu bryły
sztywnej
i…
zasada jego zachowania.
dr inż. Romuald Kędzierski
Założenia wyjściowe:
 w pewnej chwili prędkość punktu materialnego o masie m wynosiła
 jego odległość od punktu O była określona przez wektor położenia
 wektory
i
,
,
leżą na płaszczyźnie R.
Definicja:
Przy powyższych założeniach,
moment pędu punktu materialnego
dany jest zależnością:
Wartość momentu pędu punktu materialnego:
Uwaga:
W dowolnym ruchu po okręgu o danym promieniu zachodzi zawsze:
Stąd:
Ostatecznie:
Przykład:
Paweł kręci jednostajnie niewielką kulką stalową (o masie m)
przywiązaną do żyłki. W ciągu czasu t kulka przebywa drogę s,
natomiast czas jednego pełnego obiegu wynosi T. Wyprowadź wzór na
wartość momentu pędu L tej kulki względem środka okręgu po którym
krąży.
Moment pędu bryły sztywnej
Założenia wyjściowe:
Bryła sztywna o masie M, którą można traktować jako zbiór n punktów
materialnych, obraca się wokół stałej osi obrotu l z prędkością kątową .
Dla każdego z punktów materialnych, z jakich składa się
bryła, zachodzi:
Problem:
Jak obliczyć moment pędu całej bryły?
Moment pędu całej bryły jest sumą
geometryczną wektorów momentów pędów
poszczególnych elementów jej masy!
Ponieważ wektory momentów pędów wszystkich punktów
materialnych, z których składa się bryła, mają takie same zwroty, to
wartość wektora momentu pędu całej bryły jest
sumą wartości wektorów momentów pędów tych punktów materialnych.
Ponieważ:
lub krócej:
to:
oraz:
lub krócej:
Zatem:
(moment bezwładności bryły względem osi obrotu)
W ogólności:
Zasada zachowania momentu pędu bryły sztywnej
Założenia wyjściowe:
 bryła sztywna o stałej masie M obraca się wokół stałej osi obrotu,
 moment bezwładności tej bryły względem osi obrotu wynosi I,
 na bryłę działają siły, których moment wypadkowy, liczony względem osi obrotu
jest niezerowy.
Z II zasady dynamiki ruchu obrotowego wynika, że:
Zmiana (przyrost) momentu pędu bryły sztywnej w jednostce czasu
(liczonemu względem osi obrotu), jest równa momentowi wypadkowemu
sił działających na bryłę, liczonemu względem tej samej osi obrotu.
Jeśli:
(na bryłę nie działają żadne siły lub taki układ sił, których moment
wypadkowy liczony względem osi obrotu jest zerowy)
to:
Stąd:
Jeśli na bryłę nie działają żadne siły lub taki układ sił, których moment
wypadkowy liczony względem osi obrotu jest zerowy, to moment pędu
bryły względem osi obrotu jest stały (nie ulega zmianie).
Zasada zachowania momentu pędu bryły sztywnej
Wniosek:
Stąd:
Jeśli bryła sztywna obraca wokół stałej osi obrotu, to zmniejszenie
wartości momentu bezwładności liczonego względem osi obrotu, na
skutek zmiany rozkładu masy względem tej osi, powoduje wzrost
wartości prędkości kątowej i na odwrót.
Analogie między ruchem postępowym a obrotowym
Ruch postępowy
Wielkość fizyczna
Miara bezwładności
Prędkość liniowa/kątowa
Przyspieszenie liniowe/kątowe
Przyczyna ruchu zmiennego
Pęd/moment pędu
Dynamiczne równanie ruchu
Druga zasada dynamiki
Uogólniona postać drugiej
zasady dynamiki
Zależność położenia od czasu
Zależność prędkości od czasu
Związek między ruchem
postępowym a obrotowym
Symbol/wzór
Jednostka
Ruch obrotowy
Symbol/wzór
Jednostka
https://www.youtube.com/watch?v=_Euq4xY9mJE
https://www.youtube.com/watch?v=4S63WHzx49I
Żadna liczba
eksperymentów nie może
dowieść, że mam rację.
Jeden eksperyment
może pokazać, że…
jej nie mam!
Albert Einstein