DODATEK 5

DODATEK 5
Pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym w jej
wnętrzu ładunkiem objętościowym
Kula o promieniu R jest równomiernie naładowana ładunkiem objętościowym o stałej gęstości +qv = const. Całkowity ładunek Q kuli wynosi Q = qv V = qv 4/3πR3. Pole elektryczne jest
radialne o symetrii centralnej i wektory natężenia pola elektrycznego E na całej powierzchni
kuli są prostopadłe do niej, a tym samym do powierzchni Gaussa SG, zarówno wewnątrz, jak i
na zewnątrz kuli, co ilustruje rys. D5.1. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ są funkcjami tylko jednej zmiennej r – promienia, czyli odległości od środka kuli. Linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do obu powierzchni Gaussa SG o promieniu r, a wektory natężenia
pola E są wszędzie jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego jest stała E = En =
const. Strumień wektora natężenia pola elektrycznego Φ przez pola obu zamkniętych powierzchni Gaussa SG o promieniu r (r < R i r > R) zależy od tych powierzchni.
SG
Q
V
SG
r
qv
O
E
r
90°
E
R
Rys. D5.1. Kula z równomiernie rozmieszczonym w niej
ładunkiem objętościowym i jej pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa ogólnie dla obu przypadków wynosi
SG = 4πr 2 ,
(D5.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z naładowaną ładunkiem objętościowym qv kulą o promieniu R.
Na zewnątrz powierzchni kulistej (r > R) strumień Φ wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wynosi
Φ=
SG
∫ E dS = ∫ EdS =E ∫ dS = ES
SG
SG
G
= E ⋅ 4πr 2 .
(D5.2)
0
Z definicji strumień ten jest równy
Φ=
Q
εε 0
=
qvV
εε 0
=
qv 4 3
πR ,
εε 0 3
(D5.3)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie wewnątrz kuli.
Porównując wzory (D5.2) i (D5.3) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnątrz kuli
qv R 3
Q 1
E=
=
4πεε 0 r 2 3εε 0 r 2
.
(D5.4)
–1–
Na powierzchni kuli r = R natężenie pola elektrycznego wynosi
q
Q 1
= v R.
2
4πεε 0 R
εε 0
E=
(D5.5)
Ponieważ
E = −gradϕ i E = −
dϕ
,
dr
(D5.6)
zatem potencjał ϕ w polu elektrycznym ładunku objętościowego qv dla r > R jest całką z natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D5.4) i wynosi
ϕ = − ∫ Ed r = − ∫
qv R 3
qv 3 1
qv R 3
d
r
=
−
R
d
r
=
+C
3εε 0 r 2
3εε 0 ∫ r 2
3εε 0 r
(D5.7)
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością. Jeśli się przyjmie, że potencjał
w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
ϕ = 0 dla r = ∞ i C = 0 ,
(D5.8)
a zatem wzór (D5.7) przyjmuje postać
qv R3
ϕ=
3εε 0 r
(D5.9a)
albo
Q 1
.
4πεε 0 r
ϕ=
(D5.9b)
Wzór (D5.9b) pokazuje, że potencjał na zewnątrz powierzchni kuli od ładunku objętościowego qv jest taki sam jak potencjał równoważnego ładunku punktowego Q = qv V umieszczonego w środku kuli O i rozpatrywanego na zewnątrz dla warunku r > R.
Wewnątrz powierzchni kulistej (r < R) ładunek w objętości mniejszej niż całej kuli jest
częścią całkowitego ładunku. Jest mianowicie
Q
qv =
4 3
πR
3
=
Q*
= const
4 3
πr
3
(D5.10)
i
Q* = Q
r3
.
R3
(D5.11)
Strumień Φ wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wewnątrz kuli na
podstawie wzoru (D5.2) wynosi
ϕ=
∫
SG
EdS =E ∫ dS = ESG = E ⋅ 4πr 2 .
SG
(D5.12)
0
Natomiast według wzoru (D5.11) strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi
Φ=
Q*
εε 0
=
Q r3
.
εε 0 R 3
(D5.13)
–2–
Z porównania wzorów (D5.12) i (D5.13) wynika, że wewnątrz kuli naładowanej ładunkiem
objętościowym qv pole elektryczne E zmienia się z liniowo z odległością r od środka O (r = 0)
do powierzchni kuli (r = R).
Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli wynosi
E=
q
Q r
= v r.
3
4πεε 0 R
3εε 0
(D5.14)
W związku z tym potencjał wewnątrz kuli musi się zmieniać z kwadratem odległości r.
Jest tak, ponieważ
E=−
dϕ
dr
(D5.15)
i
ϕ = − ∫ Edr = −
Q
4εε 0 R
Q
3
∫ rdr = − 8πεε R
0
3
r2 = −
qv 2
r .
6εε 0
(D5.16)
Na rys. D5.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjału ϕ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanej ładunkiem powierzchniowym qs powierzchni kuli – sfery. Potencjał na powierzchni kuli zmienia się skokowo od wartości –qvR2/(6εε0) do wartości qvR2/(3εε0) i warunek ciągłości nie jest spełniony
dla r = R.
Rys. D5.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ w funkcji odległości r
od środka równomiernie naładowanej ładunkiem objętościowym kuli
–3–