Analiza Funkcjonalna

Analiza Funkcjonalna - Zadania
1
Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to
l∞ (T ) = {x : E → K : x − funkcja ograniczona}.
Dla x ∈ l∞ (T ), definiujemy normę
∥x∥∞ = sup{|x(t)| : t ∈ E}
(1)
W szczególności jeżeli T = N, to l∞ (T ) oznaczamy przez l∞ . Tak więc
l∞ = {(xk ) : (xk ) − ciąg ograniczony},
∥(xk )∥∞ = sup |xk |.
k∈N
Dla dowolnego p ∈ [1, ∞) wprowadzamy przestrzenie
lp = {(xk ) ∈ KN :
∞
∑
|xk |p < ∞}.
k=1
Jeżeli (xk ) ∈ lp , to
(
∥(xn )∥p =
∞
∑
)1
|xk |p
p
.
(2)
k=1
Przez c oznaczmy zbiór wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach należących do K, a przez c0 zbiór ciągów zbieżnych do zera o wyrazach z K. Przez
c0,0 oznaczamy przestrzeń ciągów prawie wszędzie równych 0. W przestrzeniach c0 , c, c0,0 rozpatrujemy takie normy jak w l∞ .
Dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b przez C([a, b]) oznaczamy przestrzeń złożoną ze wszystkich funkcji ciągłych określonych na [a, b]. W przestrzeni tej rozpatrujemy normę
∥x∥ = sup |x(t)|.
t∈[a,b]
Dla dowolnego m ∈ N przez C (m) ([a, b]) oznaczamy przestrzeń wszystkich
funkcji klasy C (m) . W przestrzeni tej wprowadzamy normę
∥x∥ = sup |x(t)| + sup |x′ (t)| + . . . + sup |x(n)(t)| .
t∈[a,b]
t∈[a,b]
t∈[a,b]
Jeżeli (X, ∥·∥) jest przestrzenią unormowaną, to X traktujemy jako przestrzeń metryczną jeżeli metrykę zdefiniować wzorem.
d(x, y) = ∥x − y∥.
W dowolnej przestrzeni unormowanej rozpatrujemy topologię i zbieżność generowaną przez metrykę d.
1
Mówimy, że podzbiór A przestrzeni unormowanej jest zbiorem ograniczonym jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista M, że ∥x∥ <¬ M. W szczególności
ciąg (xn ) elementów X jest ciągiem ograniczonym, jeżeli ciąg (∥xn ∥) jest
ciągiem ograniczonym w R.
Jeżeli X jest przestrzenią liniową, a ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 są dwoma normami
w X, to mówimy, że norma ∥ · ∥1 jest słabsza od normy ∥ · ∥2 i piszemy
∥ · ∥1 ≺ ∥ · ∥2 jeżeli topologia generowana przez pierwszą normę jest słabsza
od topologii generowanej przez drugą. Jeżeli natomiast topologie generowane
przez obie normy są identyczne, to mówimy, że obie normy są równoważne
i piszemy ∥ · ∥1 ∼ ∥ · ∥2 .
2
1
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
Zadanie 1 Niech funkcje ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 będą normami w przestrzeni X.
Czy funkcja f (x) musi (może) być normą w X.?
(a) f (x) = ∥2x∥1
(b) f (x) = 2∥x∥1 + ∥x∥2
(c) f (x) = max(∥x∥1 , ∥x∥2 )
(d) f (x) = min(∥x∥1 , ∥x∥2 )
(e) f (x) = |2∥x∥1 − ∥x∥2 |
(f) f (x) =
(g) f (x) =
√
∥x∥1 · ∥x∥2
(q) f (x) =
√
(∥x∥1 )2 + (∥x∥2 )2
√
3
(∥x∥1 )3 + (∥x∥2 )3 .
Zadanie 2 Pokazać, że jeżeli ∥ · ∥ jest normą w R, to istnieje taka stała
α > 0, że
∥x∥ = α|x|
dla dowolnego x ∈ R.
Zadanie 3 Udowodnij, że w dowolnej przestrzeni liniowej można wprowadzić normę.
Zadanie 4 Pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią liniową a (xn ) ciągiem
liniowo niezależnym w X, to istnieje norma ∥ · ∥ w X taka, że ∥xn ∥ → 0.
Czy założenie o liniowej niezależności ciągu (xn ) jest konieczne.
Zadanie 5 Udowodnij, że kula w dowolnej przestrzeni unormowanej jest
zbiorem wypukłym. Podaj przykład metryki w R i R2 takiej, że żadna kula
w tych przestrzeniach nie jest zbiorem wypukłym.
Zadanie 6 Udowodnij, że w dowolnej przestrzeni unormowanej X dla dowolnego x ∈ X oraz ε > 0 zachodzi równość
K(x, ε) = K(x, ε),
gdzie K(x, ε) = {y ∈ X : ∥y − x∥ ¬ ε}.
Zadanie 7 Niech ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 będą dwiema normami w przestrzeni X.
Pokazać, że
(a) jeżeli dla dowolnego x ∈ X z warunku ∥x∥1 ¬ 1 wynika, że ∥x∥2 ¬ 1,
to ∥x∥2 ¬ ∥x∥1 dla dowolnego x ∈ X.
(b) jeżeli dla dowolnego x ∈ X warunek ∥x∥1 ¬ 1 jest równoważny temu,
że ∥x∥2 ¬ 1, to ∥x∥2 = ∥x∥1 dla dowolnego x ∈ X.
3
Zadanie 8 Pokazać, że ciąg (xn ) przestrzeni unormowanej jest ciągiem
ograniczonym wtedy i tylko wtedy gdy λn xn → 0 dla dowolnego ciągu liczbowego (λn ) takiego, że λn → 0.
Zadanie 9 Pokazać, że dla dowolnego ciągu (xn ) w przestrzeni unormowanej istnieje ciąg liczb dodatnich (λn ) taki, że ∥λn xn ∥ ̸→ 0.
Zadanie 10 Udowodnić, że jeżeli (xn ) jest ciągiem elementów przestrzeni
unormowanej takim, że ∥xn ∥ → 0 to istnieje ciąg liczb rzeczywistych λn
takie, że λn → ∞ oraz λn xn → 0.
Zadanie 11 Udowodnić, że przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha ⇔ dla dowolnego ciągu (xn ) w X jeżeli
∞
∑
∥xn ∥ < ∞ to szereg
n=1
∞
∑
xn
n=1
jest zbieżny w X.
Zadanie 12 Udowodnić, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to dla dowolnego ciągu (xn ) w X takiego, że ∥xn ∥ → 0 istnieje podciąg (xkn ) taki,
że szereg
∞
∑
xkn jest zbieżny.
n=1
Zadanie 13 (*) Podać przykład przestrzeni w która ma własność z poprzedniego zadania ale nie jest przestrzenią zupełną.
Zadanie 14 Niech X będzie przestrzenią Banacha i załóżmy, że (xn ) jest
takim ciągiem elementów przestrzeni X, że
∞
∑
∥xn ∥ < ∞. Niech
n=1
Z={
∑
xn : A ⊂ N}.
n∈A
(a) Udowodnić, że Z jest zwartym podzbiorem X.
(b) Pokazać, że jeżeli nieskończona ilość elementów ciągu (xn ) jest niezerowa, to moc(Z) = c.
(c) (*) Udowodnić, że jeżeli wektory (xn ) są liniowo niezależne, to zbiór
Z zawiera c liniowo niezależnych wektorów.
W zadaniach 23 - 32 zakładamy, że (X, ∥ · ∥) jest dowolną przestrzenią
unormowaną. Dla dowolnych zbioru A ⊂ X i dowolnego λ ∈ K definiujemy
λA = {λx : x ∈ A}
Dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X przyjmujemy
A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.
4
Zadanie 15 Pokazać, że dla dowolnego zbioru A ⊂ X i dowolnego λ ∈ K
zachodzą równości
(a) λA = λA;
(b) int(λA) = λint(A).
Zadanie 16 Pokazać, że jeżeli jeden ze zbiorów A, B jest skończony, to
(a) A + B = A + B;
(b) int(A + B)=int(A)+int(B).
Zadanie 17 Podać przykłady pokazujący, że równości z poprzedniego zadania nie muszą zachodzić jeżeli oba zbiory A, B są nieskończone.
Zadanie 18 Pokazać, że jeżeli U jest zbiorem otwartym w X to A + U jest
zbiorem otwartym dla dowolnego A ⊂ X.
Zadanie 19 Udowodnić, że punkt (a) zadania 16 jest prawdziwy jeżeli założyć, że jeden ze zbiorów A, B jest zwarty w X.
Zadanie 20 Udowodnić, że jeżeli K jest zwartym a F domkniętym podzbiorem przestrzeni X, to suma K + F jest domkniętym podzbiorem X.
Zadanie 21 Przy założeniach poprzedniego zadania pokazać, że jeżeli oba
zbiory F, K są zwarte, to zbiór K + F jest zwarty.
Zadanie 22 Pokazać, że w poprzednim zadaniu założenia, że zbiór K jest
zbiorem zwartym, nie można zastąpić założeniem, że jest on zbiorem domkniętym.
Zadanie 23 Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X. Udowodnić, że
∩
A = {A + U ; U otoczenie zera w X}.
Zadanie 24 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X, to E
jest również podprzestrzenią liniową X.
Zadanie 25 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią przestrzeni X taką, że codim(E; X) = 1, to E jest albo domkniętą, albo gęstą podprzestrzenią X.
Zadanie 26 Pokazać, że jeżeli E jest dowolną podprzestrzenią przestrzeni
X, to dla dowolnego otoczenia zera U w przestrzeni X mamy U ∩ X ̸= {0}.
Czy jest tak również dla dowolnego zbioru otwartego i niepustego.
5
Zadanie 27 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową właściwą
X, to int(E) = ∅.
Zadanie 28 Niech E będzie podprzestrzenią domkniętą X i niech x0 ∈
X \ E. Dla dowolnego µ > 0 niech
Eµ = {x + λx0 ; |λ| ­ µ}.
Udowodnić, że
∩
Eµ = ∅.
µ>0
Zadanie 29 Udowodnić, że dowolna podprzestrzeń skończenie wymiarowa
przestrzeni unormowanej jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni.
Zadanie 30 Korzystając z twierdzenia Baire’a i zadania 29 pokazać, że
jeżeli X jest przestrzenią Banach, to albo dim(X) < ℵ0 , albo dim(X) > ℵ0 .
Zadanie 31 (*) Pokazać, że jeżeli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha to dim(X) ­ c.
Zadanie 32 Udowodnić, że jeżeli E jest domkniętą a H skończenie wymiarową podprzestrzenią X, to E + H jest domkniętą podprzestrzenią X.
Zadanie 33 Udowodnić, że dla dowolnej przestrzeni unormowanej (X, ∥ ·
∥) istnieje jej uzupełnienie, które jest przestrzenią Banacha. To znaczy, że
istnieje taka przestrzeń Banacha (X̃, ∥ · ∥1 ) że X ⊂ X̃, ∥x∥1 = ∥x∥ dla
dowolnego x ∈ X, oraz X jest gęstą podprzestrzenią X̃.
6
2
Własności podstawowych przestrzeni Banacha
Zadanie 34 Sprawdzić, do której z przestrzeni lp , (p ∈ [1, ∞]), c0 , c należy
ciąg (xk ) zadany podanym wzorem:
1
,
k
√
d) xk = k k − 1,
a)
b) xk =
xk =
e)
g)
xk = k sin k1 − 1,
j)
xk =
k 100
,
2k
ln k
,
k
xk = 2 arc tg k − π,
xk =
f)
xk = arcctg k.
i)
xk = ln
(
h) xk = 1 − cos k1 ,
k)
√
k
2 − 1.
c)
( √
k+1
k
)
.
)
xk = sin π k 2 + 1 , l)
xk = sin k.
m) xk = k sin k.
Zadanie 35 Obliczyć normę ciągu (xk ) w podanej przestrzeni X.
( kπ )
1
+ , X = l∞ ,
k
b) xk = (−1)k + cos
a)
xk = sin
c)
xk =
e)
xk =
sin kπ
2
, X = l1 , X = l∞ ,
2k
f)
g)
xk =
k
, X = l∞ , X = l1 ,
2k
h) xk =
i)
xk =
sin kπ
2
, X = l1 ,
k2
j)
4
( 1 )k−1
2
(
, X = l1 , X = l2 ,
d) xk =
xk =
−
( kπ )
4
, X = l∞ .
1 )3k
, X = l1 , X = l2 .
2
k+1
kπ
sin
, X = l∞ .
2k
4
1
, X = l2 .
k
xk = sin k, (∗) X = l∞ .
Zadanie 36 Pokazać, że przestrzeń c0,0 ma wymiar równy ℵ0 .
Zadanie 37 Pokazać, że podane rodziny ciągów {(xα )}α∈T są liniowo niezależne w l1 .
(
a)
xα =
1
kα
)
,
(
T = (1, ∞),
b)
xα =
1
eαk
)
.
T = (0, ∞).
Zadanie 38 Udowodnić, że każda z przestrzeni c0 , c, l∞ , lp (p > 0) ma
moc i wymiar równy c.
Zadanie 39 Udowodnić, że jeżeli zbiór T jest skończony, to dim l∞ (T ) <
∞, natomiast jeżeli E jest zbiorem nieskończonym, to dim B(E) = c.
7
Zadanie 40 (1 ) Udowodnić że istnieje rodzina R ⊂ 2N taka, że
(i) jeżeli A, B ∈ R i A ̸= B to A ∩ B jest zbiorem skończonym.
(ii) R = c.
Zadanie 41 Niech R będzie rodziną spełniającą warunki zadania 40. Dla
dowolnego A ∈ R niech
{
xA (k) =
1 gdy k ∈ A
0 gdy k ̸∈ A.
Pokazać, że ciągi xA (A ∈ R) tworzą układ liniowo niezależny w l∞ .
Zadanie 42 Dla dowolnej liczby rzeczywistej α niech xα : [0, 1] → R będą
funkcjami określonymi wzorem xα (t) = eαt . Pokazać, że tworzą one układ
liniowo niezależny w C([0, 1]).
Zadanie 43 Udowodnić, że jeżeli 1 ¬ p < q ¬ ∞ to lp
identycznościowe z lp w lq jest ciągłe.
lq i odwzorowanie
Zadanie 44 Podaj przykład ciągu (xn ) ∈ c0 takiego, że (xn ) ̸∈ lp dla dowolnego p ∈ [1, ∞).
Zadanie 45 Czy jest prawdą, że
∩
lp = l1 .
p>1
Zadanie 46 Pokazać, że jeżeli x ∈ l1 to
∥x∥1 = lim ∥x∥p .
p→1+
Zadanie 47 Podać przykład pokazujący, że jeżeli p ∈ (0, 1), to funkcja
(
∞
∑
∥(xn )∥p =
)1
|xn |p
p
n=1
nie spełnia warunku trójkąta.
Zadanie 48 Załóżmy, że p ∈ (0, 1). Udowodnić, że funkcja
∥(xn )∥p =
∞
∑
|xn |p
n=1
na lp spełnia warunek trójkąta, ale nie jest normą.
1
Rodzinę R spełniającą warunki zadania nazywa się rodziną Sierpińskiego.
8
Zadanie 49 Udowodnić, że jeżeli X jest jedną z przestrzeni c0 , c, lp (p ∈
[1, ∞]) zbieżność według normy implikuje zbieżność „po współrzędnych. Inaczej: dla dowolnego ciągu (xn ) = (xn,k ) ∈ X oraz x = (xk ) ∈ X jeżeli
∥xn − x∥ → 0, to lim xk,n = xk dla dowolnego k ∈ N.
n→∞
Zadanie 50 Załóżmy, że X jest jedną z przestrzeni lp (p ∈ [1, ∞)). Udowodnić, że jeżeli (xn ) = (xn,k ) jest ciągiem w X zbieżnym „po współrzędnych”
do pewnego ciągu x ∈ X (patrz poprzednie zadanie), to przy założeniu, że
istnieje ciąg (yk ) ∈ X taki, że |xk,n | ¬ |yk | dla dowolnego n ∈ N, to x ∈ X
oraz ∥xn − x∥ → 0.
Zadanie 51 Udowodnić, że twierdzenie z poprzedniego zadania jest prawdziwe w przestrzeni c0 natomiast nie jest prawdziwe w c (a więc również w
l∞ ).
Zadanie 52 Pokazać, że w przestrzeni c0,0 nie można wprowadzić normy
takiej, że zbieżność według tej normy jest równoważna ze zbieżnością po
współrzędnych.
Zadanie 53 Uzasadnić, że przestrzeń c0 nie jest gęsta w c a przestrzeń c w
l∞ .
Zadanie 54 Pokazać, że c0,0 jest gęstym podzbiorem przestrzeni c0 oraz
każdej z przestrzeni lp (p ∈ [1, ∞)).
Zadanie 55 Podaj przykład przeliczalnego zbioru ciągów który jest gęsty
w każdej z przestrzeni c0 , lp (p ∈ [1, ∞)).
Zadanie 56 Podaj przykład gęstego i przeliczalnego podzbioru w c.
Zadanie 57 Pokazać, że przestrzeń l∞ nie jest przestrzenią ośrodkową.
Zadanie 58 Udowodnić, że jeżeli 1 ¬ p < q ¬ ∞, to lp z normą z lq nie
jest przestrzenią Banacha.
Zadanie 59 Udowodnić, że podane wzory definiują normę w podanej przestrzeni X ale przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną.
a)
∥(xk )∥ =
∞
∑
|xk |
k=1
b) ∥(xk )∥ =
∞
∑
|xk |
k=1
c)
2k
k
,
X = l∞ .
,
X = l2 .
|xk |
,
k∈N k
∥(xk )∥ = sup
X = c.
d) ∥(xk )∥ = sup k|xk |, X = l2 .
k∈N
9
Zadanie 60 Pokazać, że jeżeli T jest zbiorem skończonym to przestrzeń
l∞ (T ) jest przestrzenią ośrodkową.
Zadanie 61 Udowodnić, że jeżeli zbiór T jest nieskończony to przestrzeń
l∞ (T ) nie jest przestrzenią ośrodkową.
Zadanie 62 Niech T będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niech
E = {x : T → R : x przyjmuje skonczoną ilość wartości}
jest gęstym podzbiorem l∞ (T ).
Zadanie 63 Podaj przykład przeliczalnego podzbioru gęstego w C([0, 1]).
Zadanie 64 Uzasadnij, że zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych jest gęsty w każdej z przestrzeni C (n) ([0, 1]), n ∈ N.
Zadanie 65 Niech
Cb (R) = {x : R → R : x ciągła i ograniczona}.
Dla x ∈ Cb (R) niech
∥x∥ = sup |x(t)|.
t∈R
Pokazać, że Cb (R) z tak określoną normą jest przestrzenią Banacha. Uzasadnić, że nie jest to przestrzeń ośrodkowa.
Zadanie 66 Niech
C0 (R) = {x : R → R : x ciągła lim x(t) = lim x(t) = 0}.
x→∞
x→−∞
Pokazać, że C0 (R) z normą określoną tak jak w zdaniu 65 jest przestrzenią
Banacha. Uzasadnić, że jest to przestrzeń ośrodkowa.
Zadanie 67 Pokazać, że przestrzeń C (1) ([0, 1]) z normą z C([0, 1]) nie jest
przestrzenią zupełną.
Zadanie 68 Udowodnij, że wzór
∥x∥ =
∫
1
0
|x(t)|dt
definiuje normę w C([0, 1]) ale norma ta nie jest normą zupełną.
10
Zadanie 69 Udowodnić, że dla dowolnych funkcji ciągłych x, y ∈ C([0, 1])
zachodzi nierówność Schwarza
∫
1
0
(∫
|x(t)y(t)|dt ¬
1
0
|x(t)| dt
2
) 21 (∫
0
1
) 12
|y(t)| dt
2
i korzystając z tej nierówności pokazać, że wzór
(∫
∥x∥ =
1
0
|x(t)| dt
2
) 12
definiuje normę w C([0, 1]) ale norma ta nie jest normą zupełną.
Zadanie 70 Udowodnić, że podane przestrzenie są przestrzeniami unormowanymi ale nie są przestrzeniami Banacha:
(a) X = {x : [0, 1] → R : x przyjmuje skończoną ilość wartości}. z normą
∥x∥ = sup |x(t)|.
t∈[0,1]
(b) X = {x : [0, 1] → R : x ograniczona i przyjmuje przeliczalną ilość wartości}
z normą taką jak w (a),
(c) Przestrzeń funkcji ciągłych na [0, 1] z normą
∥x∥ = sup t|x(t)|.
t∈[0,1]
Zadanie 71 Pokazać, że w żadnej z przestrzeni z poprzedniego zadania nie
zachodzi teza twierdzenia Baire’a.
Zadanie 72 Pokazać, że w przestrzeni c0,0 nie można wprowadzić normy
takiej aby zbieżność generowana przez tą normę pokrywała się ze zbieżnością
po współrzędnych.
Zadanie 73 Pokazać, że w przestrzeni C(R) wszystkich funkcji ciągłych
na zbiorze liczb rzeczywistych R nie można wprowadzić normy w ten sposób, żeby zbieżność według tej normy pokrywała się ze zbieżnością niemal
jednostajną.
Zadanie 74 (*) Niech X = C ∞ ([0, 1]). Pokazać, że nie istnieje norma ∥ · ∥
na X taka, że dla dowolnego ciągu (xn ) w x zachodzi:∥xn − x∥ → 0 wtedy
(k)
i tylko wtedy gdy ciąg xn jest jednostajnie zbieżny do x(k) dla dowolnego
k ∈ N0 .
11
3
Równoważność norm
Zadanie 75 Pokazać, że w dowolnej przestrzeni nieskończenie wymiarowej
można wprowadzić dwie normy które nie są równoważne.
W zadaniach 76-80 zakładamy, że ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 są normami w pewnej
przestrzeni liniowej X.
Zadanie 76 Załóżmy, że dla dowolnego ciągu (xn ) w X i dowolnego x ∈ X
spełniony jest warunek
∥xn − x∥1 → 0 ⇒ ∃y∈x ∥xn − y∥2 → 0.
Udowodnić, że ∥ · ∥2 ≺ ∥ · ∥1 .
Zadanie 77 Pokazać, że jeżeli dla dowolnego ciągu (xn ) w X takiego, że
∥xn ∥1 ¬ 1 ciąg (∥xn ∥)2 jest ograniczony, to ∥ · ∥2 ≺ ∥ · ∥1 .
Zadanie 78 Pokazać, że jeżeli spełniony jest warunek
∥xn ∥1 → 0 ⇒ ciąg (∥xn ∥) jest ciągiem ograniczonym,
to ∥ · ∥2 ≺ ∥ · ∥1 .
Zadanie 79 Udowonić, że jeżeli dla dowolnego ciągu (xn ) w X ciąg (∥xn ∥1 )
jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy ciąg (∥xn ∥2 ) jest ograniczony, to
normy ∥ · ∥1 i ∥ · ∥2 są równoważne.
Zadanie 80 Załóżmy, że jeżeli istnieje taki ciąg liczb rzeczywistych dodatnich (αn ) taki, że dla dowolnego ciągu (xn ) w X, ciąg (∥xn ∥1 ) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy ciąg (αn ∥xn ∥2 ) jest ograniczony, to normy
∥ · ∥1 i ∥ · ∥2 są równoważne.
Zadanie 81 (*) Pokazać, że jeżeli ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 są dwiema normami w X
takimi, że ∥ · ∥1 ≺ ∥ · ∥2 oraz (X, ∥ · ∥)1 jest przestrzenią Banacha, to ∥ · ∥1 ∼
∥ · ∥2 .
Zadanie 82 Pokazać, że normy w C([0, 1]) zdefiniowane zadaniach 68, 69
są istotnie słabsze od zwykłej normy w tej przestrzeni.
Zadanie 83 Pokazać, że norma z zadania 69 jest słabsza od normy z zadania 68, ale nie jest jej równoważna.
Zadanie 84 Niech (αk ) będzie ograniczonym ciągiem liczb dodatnich. Pokazać, że wzór
∥(xk )∥ =
∞
∑
αk |xk |
k=1
definiuje normę w l1 . Przy jakim założeniu o ciągu (αk ) norma ta jest równoważna zwykłej normie w l1 .
12
Zadanie 85 Niech (αk ) będzie ograniczonym ciągiem liczb dodatnich. Pokazać, że wzór
∥(xk )∥ = sup αk |xk |
k∈N
l∞ .
definiuje normę w
Przy jakim założeniu o ciągu (αk ) norma ta jest
równoważna zwykłej normie w l∞ .
Zadanie 86 Co należy założyć o funkcji g : [0, 1] → R aby wzór
∥x∥ = sup |g(t)x(t)|
t∈[0,1]
definiował normę w C([0, 1]). Przy jakim dodatkowym założeniu o funkcji g
norma ta jest słabsza od zwykłej normy w C([0, 1]). Co dodatkowo założyć
aby obie normy były równoważne.
Zadanie 87 Niech
∥x∥ =
∫
1
0
x(t)
√ dt,
t
(3)
dla dowolnego x ∈ C([0, 1]). Udowodnić, że wzór (3) definiuje normę w przestrzeni C([0, 1]) (całka jest rozumiana w sensie całki niewłściwej). Pokazać,
że tak zdefiniowana norma jest słabsza od zwykłej normy ∥ · ∥∞ w C([0, 1]).
Zadanie 88 Udowodnić, że każda z podanych norm jest równoważna zwykłej normie w w C 1 ([0, 1].)
(a) ∥x∥1 = |x(0)| + sup |x′ (t)|.
t∈[0,1]
(b) ∥x∥2 = |x(1)| + sup |x′ (t)|.
t∈[0,1]
(c) ∥x∥3 = |x(0) + x(1)| + sup |x′ (t)|.
t∈[0,1]
(d) ∥x∥4 =
∫
1
0
|x(t)|dt + sup |x′ (t)|.
t∈[0,1]
(∫
(e) ∥x∥5 =
0
1
|x(t)|dt
) 12
+ sup |x′ (t)|.
t∈[0,1]
13
4
Operatory liniowe na przestrzeniach unormowanych
Zadanie 89 Niech L(x) = ax dla x ∈ R. Obliczyć normę L.
Zadanie 90 Niech Λ : R2 → R będzie funkcjonałem określonym wzorem
Λ((x, y)) = ax + by. Wyznaczyć ∥Λ∥.
Zadanie 91 Znaleźć normę operatora L : R2 → R2 określonego wzorem
a)
L((x, y)) = (x, 0),
b) L((x, y)) = (x + y, 0),
c)
L((x, y)) = (x − y, 2x − 2y),
d) L((x, y)) = (x, 2x + 3y),
e)
L((x, y)) = (2x + y, x + y),
f)
L((x, y)) = (3x − y, 2x − 3y),
jeżeli w dziedzinie i przeciwdziedzinie przyjmujemy normę euklidesową.
Zadanie 92 Rozwiązać poprzednie zadanie przyjmując, że w dziedzinie lub
przeciwdziedzinie rozpatrywana jest norma (x, y) = |x| + |y|.
Zadanie 93 Pokazać, że podane wzory definiują operator liniowy i ciągły
na każdej z przestrzeni lp (p ∈ [1, ∞]), c0 , c. W każdym przypadku znaleźć
normę tego operatora.
a)
L((xk )) = (x1 , x2 , . . . , xl , 0, 0, 0, . . .).
b) L((xk )) = (x1 , 0, x2 , 0, x3 , . . .).
c)
L((xk )) = (x2 , x1 , x4 , x3 , . . .).
d) L((xk )) = (xk + 2xk+1 ).
e)
L((xk )) = (2xk − xk+1 + 2xk+2 ).
Zadanie 94 Pokazać, że operator L określony wzorem
(
L((xk )) =
x1 + x2 + . . . xk
k
)
jest operatorem liniowym i ciągłym na każdej z przestrzeni l∞ , c0 , c. Znaleźć
jego normę
Zadanie 95 Niech L : l1 → c0 będzie odwzorowaniem określonym wzorem:
(
L((xk )) =
∞
∑
)
xn .
n=k
Pokazać, że L jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym. Znaleźć jego normę.
14
Zadanie 96 Załóżmy, że (ak ) ∈ lp (p ∈ [0, ∞].) Udowodnić liniowość i
ciągłość operatora L : l∞ → lp określonego wzorem:
L((xk )) = (ak xk ).
(4)
Wyznaczyć ∥L∥.
Zadanie 97 Pokazać, że jeżeli (ak ) ∈ l2 , to wzór (4) określa operator liniowy i ciągły z l2 w l1 . Ile wynosi norma tego operatora.
Zadanie 98 Załóżmy, że 1 ¬ p < q ¬ ∞. Udowodnić, że odwzorowanie
identycznościowe z lp w lq jest ciągłe. Znaleźć jego normę.
Zadanie 99 Pokazać, że odwzorowanie L : c0 → c określone wzorem
L((xn )) = (xn+1 + x1 )
jest izomorfizmem. Pokazać, że L i L−1 są ciągłe. Znaleźć ich normę.
Zadanie 100 Niech g będzie funkcją ciągłą na [0, 1]. Pokazać, ze operator
L zdefiniowany na C([0, 1]) wzorem
L(f ) = f · g
jest operatorem liniowym i ciągłym.
Zadanie 101 Załóżmy, że g jest funkcją całkowalną w sensie Riemann’a na
[0, 1]. Pokazać, że operatory zdejmowane wzorem
∫
a)
x
L(f )(x) =
f (t)g(t)dt,
x ∈ [0, 1].
dla
0
∫
b) L(f )(x) =
0
x
f (t)g(x − t)dt,
dla x ∈ [0, 1].
są ciągłe.
Zadanie 102 Wyznaczyć normę operatorów z zadania (101) przy założeniu, że g jest funkcją ciągłą nieujemną.
Zadanie 103 Pokazać, że operatory z zadania ?? są ciągłe jeżeli w C([0, 1]
rozpatrywać normę
∫
∥f ∥ =
1
0
|f (t)|dt.
Wyznaczyć ich normę.
15
Zadanie 104 Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem
R, a L : X → Y takim odwzorowaniem, że
L(x + y) = L(x) + L(y), dla dowolnych x, y ∈ X.
Pokazać, że jeżeli L jest odwzorowaniem ciągłym, to jest liniowe.
Jeżeli X jest dowolną przestrzenią unormowaną to przestrzeń L(X, X) oznaczamy przez L(X).
Zadanie 105 Udowodnić,że jeżeli X jest przestrzenią unormowaną i L1 , L2 ∈
L(X), to L1 ◦ L2 ∈ L(X, X) oraz ∥L1 ◦ L2 ∥ ¬ ∥L1 ∥∥L2 ∥.
Zadanie 106 Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego L ∈
L(X), i n ∈ N niech:
Ln = L
◦ · ◦ L},
| ◦ L{z
n−razy
oraz
L0
= Id. Udowodnić, że jeżeli ∥L∥ < 1, to szereg
∞
∑
Ln jest zbież-
n=0
ny w przestrzeni L(X, Y ) i jego suma jest operatorem liniowym i ciągłym
odwracalnym. Jaki jest operator odwrotny do tego operatora?
Zadanie 107 Niech X będzie przestrzenią Banacha. Udowodnić, że jeżeli
L ∈ L(X)) oraz ∥L∥ < 1, to dla dowolnego y ∈ X równanie
x − L(x) = y
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 108 Udowodnić, że jeżeli φ : [0, 1] → R jest funkcją całkowalną w
∫
1
sensie Riemanna, taką, że
równanie całkowe
0
f (x) −
|φ(t)|dt < 1, to dla dowolnej funkcji ciągłej g
∫
x
0
f (x − t)φ(t)dt = g(x)
ma rozwiązanie f ∈ C([0, 1]).
Zadanie 109 Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem
R, a L : X → Y takim odwzorowaniem, że
L(x + y) = L(x) + L(y), dla dowolnych x, y ∈ X.
Pokazać, że jeżeli L jest odwzorowaniem ciągłym, to jest liniowe.
Zadanie 110 Pokazać, że teza zadania 109 nie jest prawdziwa gdy rozpatrywać przestrzenie nad ciałem liczb zespolonych.
16
Zadanie 111 Załóżmy, że X, Y są przestrzeniami unormowanymi. Pokazać,
że odwzorowanie liniowe L : X → Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
L−1 (K(0, 1)) jest zbiorem otwartym.
Zadanie 112 Załóżmy, że X, jest przestrzenią Banacha a Y przestrzenią
unormowaną. Pokazać, że odwzorowanie liniowe L : X → Y jest ciągłe
wtedy i tylko wtedy, gdy L−1 (K(0, 1)) jest zbiorem domkniętym.
Zadanie 113 Podać przykład, że w zadaniu 112 założenia, że X, jest przestrzenią Banacha nie można zastąpić założeniem, że X jest przestrzenią
unormowaną.
Zadanie 114 Niech X będzie przestrzenią c0,0 rozpatrywaną z normą z l1 .
Udowodnić, że funkcjonał liniowy Λ określony wzorem
Λ((xn )) =
∞
∑
nxn
n=1
nie jest funkcjonałem ciągłym, ale Λ−1 ([−1, 1]) jest zbiorem domkniętym w
X. Pokazać, że Λ−1 ((−1, 1)) nie jest zbiorem otwartym w X.
Zadanie 115 Udowodnić, że jeżeli X, Y są przestrzeniami unormowanymi
a (Ln ) takim ciągiem operatorów liniowych i ciągłych z X w Y, że
(a) Ciąg (∥Ln ∥) jest ciągiem ograniczonym;
(b) Istnieje zbiór gęsty A ⊂ X taki, że ciąg Ln (x) jest zbieżny dla dowolnego x ∈ A.
Pokazać, że ciąg Ln (x) jest zbieżny dla dowolnego x ∈ X.
Zadanie 116 Załóżmy, że (Λn ) jest ciągiem funkcjonałów liniowych i ciągłych na ośrodkowej przestrzeni unormowanej X takim, że ciąg norm (∥Λn ∥)
jest ciągiem ograniczonym. Pokazać, że istnieje podciąg (Λkn ) ciągu (Λn ).
Taki, że dla dowolnego x ∈ X istnieje granica
Λ(x) = lim Λkn (x).
n→∞
Pokazać, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na X.
Zadanie 117 Przy założeniach i oznaczeniach poprzedniego zadania czy
zawsze ∥Λkn − Λ∥ → 0.
Zadanie 118 Niech X będzie dowolną przestrzenią unormowaną, Y podprzestrzenią X a Λ0 funkcjonałem liniowym i ciągłym na Y. Pokazać, że
jeżeli x0 ̸∈ Y , to dla dowolnego a ∈ K funkcjonał Λ określony na Y ⊕ (x0 )
wzorem
Λ(y + λx0 ) = Λ0 (y) + λa, dla λ ∈ K, y ∈ Y
jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.
17
Zadanie 119 Udowodnić, że dla niezerowego funkcjonału Λ określonego na
przestrzeni unormowanej X nstp. warunki są równoważne
(a) Λ jest ciągły;
(b) Ker(Λ) = Λ−1 ({0}) jest domkniętą podprzestrzenią X;
(c) Ker(Λ) nie jest gęstą podprzestrzenią X.
18
5
Przestrzenie Hilberta
Zadanie 120 Udowodnić, że w nierówności Schwartza zachodzi równość
wtedy i tylko wtedy gdy wektory x, y są liniowo niezależne.
Zadanie 121 Niech X będzie przestrzenią unitarną i niech x, y, z będą dowolnymi elementami X. Pokazać, że równość
∥x − z∥ = ∥x − y∥ + ∥y − z∥
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje λ ∈ [0, 1] takie, że
y = λx + (1 − λ)z.
Zadanie 122 Pokazać, że w przestrzeni unitarnej X równość
∥x − y∥ = |∥x∥ − ∥y∥|
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 lub y = λx przy pewnym λ ­ 0.
Zadanie 123 Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni unitarnej zachodzi prawo równoległoboku
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ).
Pokazać, że w żadnej z przestrzeni c0 , c, C([0, 1]), lp (p ∈ [1, ∞] \ 2 równość
ta nie musi zachodzić.
Zadanie 124 Udowodnić, że w dowolnej rzeczywistej przestrzeni unitarnej
zachodzi równość
⟨x, y⟩ =
)
1(
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ,
4
a w przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych
⟨x, y⟩ =
) 1 (
)
1(
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 − i ∥ix + y∥2 − ∥ix − y∥2 .
4
4
Zadanie 125 (*) Pokazać, że jeżeli w przestrzeni unormowanej X dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi prawo równoległoboku, to w X można wprowadzić iloczyn skalarny generujący normę z przestrzeni X.
Zadanie 126 Mówimy, że dwa wektory x, y przestrzeni Hilberta są ortogonalne (co zapisujemy x⊥y) jeżeli ⟨x, y⟩ = 0. Udowodnić, że następujące
warunki są równoważne:
(i) x⊥y,
19
(ii) ∥x + λy∥ = ∥x − λy∥ dla dowolnej liczby λ,
(iii) ∥x + λy∥ ­ ∥x∥ dla dowolnej liczby λ.
Zadanie 127 Załóżmy, że {x1 , . . . xm } są parami ortogonalne. Pokazać, że
dla dowolnego x ∈ X zachodzi równość:
∥x∥ =
2
m
∑
|⟨x, xn ⟩| + ∥x −
2
n=1
m
∑
⟨xn , x⟩xn ∥2 .
n=1
Zadanie 128 Pokazać, że w przestrzeni Banacha X = C([0, 1]) zbiór
W = {x ∈ X :
∫
1
2
0
x(t)dt −
∫
1
1
2
x(t)dt = 1}
jest zbiorem wypukłym a dla każdego x0 ∈ W mamy
inf ∥x∥ < ∥x0 ∥.
x∈W
Zadanie 129 Podać przykład zbioru wypukłego W w przestrzeni C([0, 1])
takiego, że
inf ∥x∥ = ∥y∥
x∈W
dla nieskończenie wielu y ∈ W.
Zadanie 130 Udowodnić, że zbiór
{(x1 , . . . xk ) ∈ C :
k
k
∑
xn = 1}
n=1
jest zbiorem wypukłym i domkniętym w Ck . Znaleźć element tego zbioru o
najmniejszej normie.
Zadanie 131 Niech X będzie przestrzenią unitarną. Udowodnić, że
(a) A⊥ jest domkniętą podprzestrzenią X;
(b) A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ ;
(c) (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ ;
(d) A ⊂ A⊥⊥ dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X.
Zadanie 132 Pokazać, że jeżeli A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni
Hilberta X, to A⊥⊥ jest najmniejszą domkniętą podprzestrzenią liniową X
zawierającą A. W szczególności jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X, to
E = E ⊥⊥ .
20
W zadaniach 133 i 134 symbol dist oznacza odległość danego elementu
przestrzeni od podzbioru tej przestrzeni.
Zadanie 133 Niech X = L2 ([−π, π]). Obliczyć w tej przestrzeni dist(f, E).
jeżeli
E = lin{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t},
a f (t) = sign(t).
Zadanie 134 Niech X będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych
z kwadratem na kwadracie [−π, π] × [−π, π]. Znaleźć w tej przestrzeni
dist(sin(x + y), E) jeżeli E = lin{sin x sin y, cos x cos y, sin x cos y}.
21
Rozwiązania niektórych zadań
Zadanie ?? Udowodnimy, że jeżeli (X, ∥ · ∥) jest przestrzenią unormowaną
i dim X = ℵ0 to X nie jest przestrzenią Banacha.
Załóżmy nie wprost, że dim X = ℵ0 i niech {en } (n ∈ N) będzie bazą
X. Wówczas
∞
∪
Xn , gdzie Xn = lin{e1 , . . . en }, Z zadania 29 wynika, że Xn
n=1
jest domkniętą podprzestrzenią X a więc na podstawie twierdzenia Baire’a
wnioskujemy, że wynika, że int(Xn ) ̸= ∅ dla pewnego n ∈ N. Z zadania 27
wynika, że Xn = X co prowadzi do sprzeczności.
Zadanie 33 Niech
X = {(xn ) ∈ X N : (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego w X}.
Wprowadźmy w X relację ∼ przyjmując,
(xn ) ∼ (yn ) ⇔ lim ∥xn − yn ∥ = 0.
n→∞
Łatwo zauważyć, że ∼ jest relacją równoważności w X . Niech X̃ będzie
zbiorem wszystkich klas abstrakcji [(xn )]∼ gdzie (xn ) ∈ X . W zbiorze X̃
wprowadzamy działania przyjmując
[(xn )] + [(yn )] = [(xn + yn )];
λ[(xn )] = [(λxn )].
dla dowolnych [(xn )], [(yn )] ∈ X̃ oraz λ ∈ K.
Jak łatwo zauważyć tak zdefiniowane działanie jest poprawne to znaczy
nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Zauważmy ponadto,
że jeżeli (xn ) ∈ X to z nierówności
|∥xn ∥ − ∥xm ∥| ¬ ∥xn − xm ∥
zachodzącej dla dowolnych n, m ∈ N wynika, że ciąg ∥xn ∥ spełnia warunek
Cauchy’ego w R zatem jest zbieżny. Przyjmijmy
∥[(xn )]∥ = lim ∥xn ∥.
n→∞
Jeżeli (xn ) ∼ (x̃n ) to |∥xn ∥ − ∥x̃n ∥| ¬ ∥xn − x̃n ∥ zatem ciągi (∥xn ∥) i (∥x̃n ∥)
są zbieżne do tej samej granicy. Z tego wynika, że definicja normy w X̃ jest
poprawna i jak łatwo sprawdzić ∥ · ∥ jest normą w X̃.
Zauważmy ponadto, że funkcja L : X → X̃ zdefiniowana wzorem L(x) =
[(x)] jest włożeniem X w X̃ oraz ∥L(x)∥ = ∥x∥ dla dowolnego x ∈ X.
Zadanie 34 l) Załóżmy, że x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas
(sin kx) ∈ l∞ . Udowodnimy, że jeżeli x nie jest wielokrotnością π (tzn.
sin x ̸= 0, to (sin kx) ̸∈ c.
22
Załóżmy nie wprost, że sin kx → g i sin x ̸= 0. Udowodnimy najpierw,
że g = 0.
Ponieważ sin 2kx = 2 sin kx cos kx więc w przypadku gdy g ̸= 0 dostajemy cos kx → 1/2. Ale ponieważ cos 2kx = 2 cos2 kx−1, więc cos 2kx → −1/2
co prowadzi do sprzeczności bo podciąg ciągu nie może być zbieżny do innej
granicy niż ciąg.
Przypuśćmy więc, że sin kx → 0. Wówczas sin(k + 1)x → 0 ale
sin(k + 1)x = sin kx cos x + cos kx sin x,
zatem cos kx sin x → 0 z czego wynika, że albo sin x = 0 albo cos kx → 0.
Drugi przypadek jest niemożliwy bo sin2 kx + cosk nx = 1.
Zadanie 34 m) Udowodnimy, że jeżeli φ jest liczbą rzeczywistą taką, że
φ/π ̸∈ Q to zbiór wszystkich liczb postaci sin nφ gdzie n ∈ N jest gęstym
podzbiorem przedziału [−1, 1]. Wystarczy udowodnić że zbiór liczb zespolonych postaci einφ gdzie n ∈ N jest gęstym podzbiorem okręgu jednostkowego
S na płaszczyźnie Gaussa. Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem S to piszemy dla dowolnej liczby rzeczywistej ψ piszemy ψ ∈ A (mod2π) jeżeli dla
pewnego k ∈ Z mamy ψ − 2kπ ∈ A.
Zadanie 43 Udowodnimy, że jeżeli p < q to lp ⊂ lq oraz ∥x∥p ¬ ∥x∥p . W
przypadku gdy q = ∞ jest to oczywiste wystarczy. Załóżmy więc założyć,
że q < ∞.
Jeżeli (xk ) ∈ lp , to z warunku koniecznego zbieżności szeregu mamy
|xk | → 0 a więc w szczególności |xk | ¬ 1 dla p. w. k. Stąd dla p. w. k.
zachodzi nierówność
|xk |q = |xk |q−p |xk |p ¬ |xk |p
(5)
dla p. w.k.
Z kryterium porównawczego wynika więc, że (xk ) ∈ lq . Zauważmy dalej,
ze jeżeli ∥(xk )∥ ¬ 1, to |xk | ¬ 1 dal dowolnego k ∈ N, zatem z (5) wynika,
że ∥(xk )∥q ¬ 1 Na podstawie zadania 7 wnioskujemy więc, że ∥x∥q ¬ ∥x∥p
dla dowolnego x ∈ lp .
Zadania 72, 73 Skorzystać z zadania 9.
Zadanie 83 Skorzystać z nierówności Schwarza (patrz zadanie 69).
Zadanie 81 Niech Xn = {x ∈ X : ∥x∥2 ¬ n}. Ponieważ
∞
∪
Xn = X, więc
n=1
z twierdzenia Baire’a wynika, że dla pewnego n0 ∈ N mamy int(Xn0 ) ̸= ∅,
przy czym domknięcie i wnętrze są brane w przestrzeni (X, ∥ · ∥1 ). Inaczej
mówiąc istnieje takie x0 ∈ X, że
Zadanie 111 Z liniowości operatora L wynika, że dla dowolnego ε > 0
mamy:
L−1 (K(0, ε)) = εL−1 (K(0, 1)),
23
oraz
L−1 = K(y0 , ε) = L−1 ({y0 }) + L−1 (K(0, 1).
Zatem przeciwobraz dowolnej kuli otwartej a więc również zbioru otwartego
jest zbiorem otwartym. Z tego wynika ciągłość L.
Zadanie 112 Ponieważ
(
X=L
−1
(Y ) = L
−1
∞
∪
)
K(0, n)
n=1
=
∞
∪
L−1 (K(0, n)).
(6)
n=1
Ponieważ dla dowolnego r > 0 mamy
L−1 (K(0, r)) = rL−1 (K(0, 1)),
więc każdy ze zbiorów występujących po ostaniec równości w (6) jest zbiorem
domkniętym. Na podstawie twierdzenia Baire’a jeden z tych zbiorów ma
wnętrze niepuste, tzn. zawiera pewną kulę. Załóżmy, że K(x0 , δ) ⊂ K(0, n0 ).
Stąd wynika, że jeżeli x ∈ K(x0 , δ), to ∥L(x)∥ < n0 . Załóżmy, że ∥x∥ < δ.
Wówczas x0 − x ∈ K(x0 , δ), a ponieważ również x0 ∈ K(x0 , δ), więc
∥L(x)∥ ¬ ∥L(x0 )∥ + ∥L(x − x0 )∥ ¬ 2n0 .
Pokazaliśmy, więc że jeżeli ∥x∥ < δ, to ∥L(x)∥ < 2n0 , zatem z założenia
∥x∥ < 1, wynika nierówność ∥L(x)∥ < 2n0 co dowodzi, że operator L jest
operatorem ograniczonym.
24