Ćwiczenie 33. Kondensatory

Ćwiczenie 33. Kondensatory
Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu
wyznaczenia stałej elektrycznej ε0 i przenikalności względnych εr różnych materiałów.
Wprowadzenie
Kondensator jest układem przewodników oddzielonych warstwą izolatora. Przez
pojemność kondensatora C rozumiemy stosunek ładunku Q do napięcia między okładkami U
Q
C= .
(33.1)
U
Przy pomocy prawa Gaussa wyprowadza się wzór na pojemność kondensatora
płaskiego
ε 0 εr S
C=
,
(33.2)
d
gdzie S jest powierzchnią okładki, d odległością między okładkami, współczynnik ε0 =
8, 85 pF/m nosi nazwę stałej elektrycznej∗ (przenikalności elektrycznej próżni) i εr jest
względną przenikalnością dielektryczną materiału między okładkami kondensatora.
Ze wzoru (33.2) wynika, że dla wyznaczenia stałych ε0 i εr należy zmierzyć pojemność kondensatorów o znanych wymiarach geometrycznych, próżniowego i wypełnionego dielektrykiem.
Wyznaczanie stałej elektrycznej ε0
W naszym eksperymencie przybliżeniem kondensatora próżniowego jest kondensator powietrzny (rys. 1). Okładkami kondensatora są kołowe płyty metalowe. Określoną odległość między płytami uzyskuje się przez umieszczenie w trzech miejscach
stosu izolujących krążków. Do pomiaru pojemności kondensatora stosujemy cyfrowy
miernik pojemności.
Wartości ε0 nie możemy wyznaczać wprost ze wzoru (33.2) z dwóch powodów. Po
pierwsze krążki określające odległość d między płytami wykonane są z materiału o
przenikalności dielektrycznej εr znacznie większej od jedności, co powoduje powiększenie całkowitej pojemności kondensatora. Kondensator nasz potraktować można jako
równoległe połączenie kondensatora z dielektrykiem o przenikalności względnej εr i
łącznej powierzchni okładek równej 3 Sp (gdzie Sp jest powierzchnią jednego krążka)
oraz kondensatora próżniowego, o powierzchni okładek równej S − 3 Sp .
∗ Uwaga: zgodnie z niedawnymi decyzjami ISO (International Organisation for Standardization)
oraz IEC (International Electrotechnical Commission) wprowadzono terminy „stała magnetyczna”
i „stała elektryczna” (ang. magnetic constant, electric constant) jako podstawowe nazwy stałych
µ0 i ε0 . Tradycyjne terminy „przenikalność magnetyczna próżni” i „przenikalność elektryczna próżni”
pozostają nazwami pomocniczymi.
33-1
Rys. 1. Pole elektrostatyczne w kondensatorze płaskim
Pojemność całkowita wynosi:
C=
ε0 (S − 3SP ) ε0 εr 3Sp
+
.
d
d
(33.3)
Z uwzględnieniem tej poprawki wartość ε0 obliczamy jako
ε0 =
Cd
.
S + 3(εr − 1)Sp
(33.4)
Druga istotna poprawka wynika z istnienia tzw. pola rozproszonego. Wzór (33.2) jest
w istocie wzorem przybliżonym. Jego wyprowadzenie przy użyciu prawa Gaussa opiera
się na upraszczającym założeniu, że pole E ma wartość stałą we wnętrzu kondensatora i raptownie znika poza jego krawędzią (porównaj nasz rysunek 1 z rysunkiem 30-3
w podręczniku Hallidaya-Resnicka). Z samych praw elektrostatyki wynika, że poza
brzegami kondensatora pole nie może raptownie znikać. Niejednorodne (o zakrzywionych liniach sił) pole elektryczne poza okładkami nosi nazwę pola rozproszonego.
Powoduje ono dodatkowy wzrost pojemności kondensatora, w konsekwencji wartość
ε0 wyliczona wprost ze wzoru (33.4) byłaby zawyżona.
Dla danej geometrii płyt odpowiednią poprawkę można obliczyć przez numeryczne
obliczenie rozkładu pola przy brzegu kondensatora. W naszym ćwiczeniu zastosujemy
doświadczalny sposób eliminacji wpływu pola rozproszonego. Efektywna „objętość”
pola rozproszonego jest rzędu 2πrd2 , gdyż pole to zajmuje z grubsza pas wysoki i
szeroki na d wokół obwodu kołowych płyt kondensatora. Natomiast objętość pola
jednorodnego wewnątrz kondensatora wynosi πr2 d. Względny udział pola rozproszonego, będący stosunkiem tych objętości, wynosi 2d/r, czyli że maleje do zera w granicy
d → 0.
Wykonamy zatem serię pomiarów pojemności C dla różnych wartości d, a następnie wykres iloczynu Cd w funkcji grubości d (rys. 2).
33-2
Rys. 2. Metoda eliminacji wpływu pola rozproszonego (patrz tekst)
Przez uzyskane punkty wykresu przeprowadzamy graficznie lub analitycznie gładką
krzywą i ekstrapolujemy czyli przedłużamy do wartości d = 0. Ekstrapolowaną wartość iloczynu (Cd)extr – czyli współrzędną punktu przecięcia krzywej Cd = f (d) z osią
pionową – podstawiamy do licznika wzoru (33.4) by uzyskać poprawną wartość ε0 . Ponadto powierzchnię okładki kondensatora S i przekładki Sp obliczamy na podstawie
πDp 2
πD2
i Sp =
.
zmierzonych średnic D i Dp jako S =
4
4
Otrzymujemy wzór końcowy
ε0 =
(Cd)extr
4
.
π D + 3 (εr − 1) Dp
(33.5)
Trzecim potencjalnym źródłem błędu systematycznego przy wyznaczaniu stałej
elektrycznej jest fakt, że zamiast kondensatora próżniowego mamy kondensator wypełniony powietrzem ( εr = 1, 0054). Ocenie studenta pozostawiamy, czy odpowiednią
poprawkę warto uwzględniać, biorąc pod uwagę wielkość innych niepewności pomiaru.
Pomiar przenikalności względnej dielektryków
Wartość εr dielektryków stałych (tab. 1) wyznaczyć można przez pomiar pojemności kondensatora płaskiego z okładkami oddzielonymi cienką płytą z badanego materiału. Korzystamy ze wzoru (33.2), poprawki na pole rozproszone nie będziemy
uwzględniać.
Obok kondensatora płaskiego przykładem obiektu o określonej pojemności jest
kabel koncentryczny (rys. 33.3). Można go traktować jako kondensator cylindryczny,
którego jedną okładką jest środkowy drut, drugą – miedziany oplot.
33-3
Tabela 1:
Wartości względnej przenikalności dielektrycznej dla wybranych dielektryków
MATERIAŁ
εr
powietrze
1, 00054
polietylen
2, 3
polichlorek winylu (PCV)
≈3
pleksiglas
2.6 ÷ 3, 7
szkło pyrex
4.5
porcelana elektrotechn.
6÷8
drewno suche
2÷8
krzem
11.7
woda
80
Pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża wzór
C=
2πε0 εr l
,
R
ln
l
(33.6)
w którym R i r oznaczają promienie okładek kondensatora, l jest jego długością.
Pojemność kabla koncentrycznego, zwykle wyrażana w pF/m, jest parametrem,
który może mieć znaczenie dla działania współpracujących układów elektronicznych.
Jej pomiar umożliwia wyznaczenie εr dla stosowanego w nim dielektryka, którym
zwykle jest polietylen (tab. 1).
Rys. 3. Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny
Wyznaczenie ε0 jako pośredni pomiar prędkości światła
W równaniach elektrostatyki (prawo Gaussa) pojawia się stała ε0 natomiast w
równaniach magnetostatyki (prawo Ampera) stała µ0 . Można odnieść wrażenie, że
scharakteryzowanie własności elektromagnetycznych próżni wymaga dwu stałych. Tak
jednak nie jest, gdyż wartość jednej z nich, konkretnie µ0 w układzie SI, jest wynikiem
konwencji definiującej jednostkę prądu.
Przypomnijmy sobie, że amper jest zdefiniowany jako wartość prądu, który płynąc
przez dwa nieskończone równoległe przewody odległe o a = 1 m wytwarza siłę F =
2 · 10−7 N na odcinku l = 1 m długości przewodu.
33-4
Ponieważ siła oddziaływania między przewodami dana jest wzorem
µ0 I 2 l
(33.7)
2πa
więc podstawiając do tego wzoru wymienione wartości F , l, a oraz I = 1 A otrzymujemy zarówno wartość liczbową jak również jednostkę stałej magnetycznej µ0 = 4π·10−7
Vs/Am. Drugą stałą ε0 trzeba rzeczywiście doświadczalnie wyznaczać, gdyż przyjęcie
jednostki prądu wyznacza pozostałe jednostki elektryczne, takie jak jednostkę ładunku (1 C = 1 A·1 s), jednostkę napięcia (z relacji 1 V·1 A= 1 W) i jednostkę pojemności
(1 F= 1C/1V) użytą do określenia pojemności naszego kondensatora.
Stwierdzamy zatem, że nawet jeśliby magnetostatyka i elektrostatyka pozostawały
niezależnymi zjawiskami fizycznymi wymagają one w próżni tylko jednej stałej. Pełny układ równań elektromagnetyzmu (równania Maxwella) wiąże wartości ε0 i µ0 z
prędkością fali elektromagnetycznej c równaniem
F =
c= √
1
µ0 ε0
(33.8)
Pomiar przenikalności dielektrycznej próżni stanowi więc pośrednią metodę wyznaczenia prędkości światła.
Aparatura
Do zestawiania kondensatora o różnej geometrii używamy dwu kołowych metalowych okładek, zestawu krążków izolujących (wykonanych z pleksiglasu) i kilku płyt
wykonanych z różnych dielektryków. Kondensatorem cylindrycznym jest standardowy
kabel koncentryczny. Potrzebne mechaniczne przyrządy pomiarowe to śruba mikrometryczna i przymiar milimetrowy (ewentualnie długa suwmiarka).
Pojemność elektryczną mierzy się cyfrowym miernikiem LCR. Stosowany aktualnie
miernik typ MIC-4070D działa na zasadzie pomiaru oporności pozornej badanego
kondensatora (XC = 1/(2πf C)) przy użyciu prądu o częstotliwości 1 kHz. Niepewność
maksymalna pomiaru pojemności wynosi 1% wielkości mierzonej +0.1% zakresu.
Wykonanie ćwiczenia
1. Włączyć miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Powinien być zaopatrzony w krótkie przewody z „krokodylkami”, na razie nie
podłączone do układu. Jeżeli wskazania miernika różnią się istotnie od zera (np.
więcej niż 0.3 pF na zakresie 200 pF), wtedy przyrząd należy wyzerować.
2. Pomiar dla kondensatora powietrznego z przekładkami.
(a) Zestawić kondensator z płyt (ustawiać dokładnie jedną nad drugą) i trzech
pojedynczych izolacyjnych przekładek. Zmierzyć pojemność C i odległość d.
Uwaga. Krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast
33-5
grubości płytek różnią się ze względu na różnice grubości płyty pleksiglasowej, z której zostały wytoczone. Należy mierzyć (śrubą mikrometryczną)
grubości d1 , d2 , d3 każdego z krążków. Jako wartość d do dalszej analizy
brać średnią arytmetyczną. Podczas pomiaru C odsunąć ręce od układu,
gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost pojemności!
(b) Pomiar pojemności C i odległości d powtórzyć dla wzrastającej liczby 2, 3,
4, 5 przekładek (rys. 1). Zaleca się dla kolejnych konfiguracji mierzyć śrubą
mikrometryczną – zamiast pojedynczych przekładek – łączne wysokości d1 ,
d2 , d3 zestawów przekładek użytych do pomiaru C. Wyniki pomiarów d1 ,
d2 , d3 i C oraz obliczone wartości d i Cd notować w odpowiedniej tabeli.
(c) Powtórzyć pomiar dla pojedynczych przekładek.
(d) Zmierzyć pozostałe 2 wymiary geometryczne potrzebne dla obliczenia ε0
(jakie?).
3. Kondensator płaski z dielektrykiem.
(a) Zestawić kondensatory płaskie z okładek metalowych rozdzielonych płytami wykonanymi z różnych dielektryków.
(b) Dla kolejnych zestawów mierzyć pojemność C i grubość dielektryka d.
4. Kondensator koncentryczny z dielektrykiem.
(a) Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierzyć pojemność i niezbędne wymiary geometryczne.
Opracowanie wyników
1. Wykonać wykres iloczynu Cd od (średniej) odległości okładek d. Dla najmniejszej odległości okładek zaznaczyć obydwa rezultaty pomiaru (pkt. 1a i 1c).
2. Przez punkty eksperymentalne przeprowadzić gładką krzywą w celu uzyskania
ekstrapolowanej wartości (Cd)extr .
3. Obliczyć ze wzoru (33.5) wartość ε0 .
4. Oszacować niepewność ε0 na podstawie niepewności pomiaru R, d, C.
(a) We wzorze (33.5) pominąć czynnik poprawkowy 3(εr − 1)Sp.
(b) Obliczenie numeryczne uC (ε0 ) wykonać dla C i d dla kondensatora z pojedynczą przekładką. Dwa punkty pomiarowe dla kondensatora z najmniejszą
odległością okładek mają bowiem największy wpływ na wartość ekstrapolowaną iloczynu Cd, a zatem i na wyznaczoną wartość ε0 .
5. Obliczyć wartości εr dla dielektryków w kondensatorze płaskim i dla kabla koncentrycznego. Porównać z wartościami tabelarycznymi (tab. 1).
6. Z uzyskanej wartości ε0 obliczyć wartość i niepewność wyznaczenia prędkości
światła. Czy niepewności względne ε0 oraz c są równe?
33-6