Wykład 2 - model produkcji input

Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)
1 Wprowadzenie
Celem wykładu jest omówienie (znanego z wcześniejszych zajęć) modelu produkcji typu
input-output w postaci pozwalającej na zaprogramowanie w pakiecie GEMPACK. Dla
uproszczenia model 1 jest modelem gospodarki zamknietej, tj. nie obejmuje importu i
eksportu.
2 Oznaczenia
Przyjęte oznaczenia odpowiadają oznaczeniom stosowanym w modelu MINIMAL (tj.
modelu, na podstawie którego wykonywane będą projekty). Zgodnie z przyjętą konwencją, WIELKIMI LITERAMI oznaczane są poziomy zmiennych, natomiast małe litery
symbolizują procentowe przyrosty.
W modelu występują dwa zbiory - gałęzi (IN D) oraz nabywców (U SER):
• IN D = {P rodukty, U slugi}
• U SER = {P rodukty, U slugi, F inalny}
W modelu występują następujące :
• ∀i∈IN D X1T OTi - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu ilościowym),
• ∀i∈IN D V 1T OTi - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu wartościowym),
• ∀i∈IN D ∀j∈U SER Xij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu ilościowym),
• ∀i∈IN D ∀j∈U SER U SEij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu wartościowym).
Powyżej zapisano zmienne „na poziomach”; te same symbole zapisywane małymi
literami wyrażają procentowe przyrosty poszczególnych zmiennych.
1
3 Model
3.1 Postać z poziomami zmiennych
Model składa się z dwóch grup równań. Pierwsza z nich to tzw. równania bilansowe
produkcji, mówiące, że produkcja danej gałęzi jest równa sumie popytu na jej wyroby:
∀i∈IN D
X
X1T OTi =
Xij
(1)
j∈U SER
Druga grupa równań opisuję technologię produkcji. W modelu input-output
wyrażają one założenie, że nakłady materiałowe (zużycie pośrednie) na jednostkę produkcji danej gałęzi są stałe (in. nakłady materiałowe są proporcjonalne do produkcji
gałęzi). Nakłady materiałowe na jednostkę produkcji wyrażane są przez współczynniki
bezpośrednich nakładów, oznaczane w analizie input output symbolem aij (uwaga - dla
podkreślenia, że współczynniki bezpośrednich nakładów są stałymi, a nie zmiennymi,
zapisujemy je jako āij ). Równania nakładów materiałowych mają postać:
∀i∈IN D ∀j∈IN D
Xi,j = āij X1T OTj
(2)
3.2 Przekształcenie do postaci z procentowymi przyrostami zmiennych
W przekształceniu korzystamy z dwóch elementarnych reguł linearyzacji:
Równanie ”na poziomach”
Y =X +Z
Y = αX
Równanie ”na procentowych przyrostach”
Y y = Xx + Zz
y=x
Na podstawie powyższych reguł możemy przekształcić równania 1-2 do postaci:
∀i∈IN D
X1T OTi · x1toti =
X
Xij · xij
(3)
j∈U SER
∀i∈IN D ∀j∈IN D
xi,j = x1totj
(4)
Warto zauważyć, że w równaniu 4 po linearyzacji znika stała āij , co oznacza, że
do rozwiązania modelu produkcji input-output w postaci z procentowymi przyrostami
zmiennych nie trzeba obliczać współczynników bezpośrednich nakładów materiałowych.
4 Dane
Przykładowe dane do modelu, zapisane w formie I i II„ćwiartki” tablicy input-output,
są następujące:
P rodukty U slugi F inalny
P rodukty
1
6
3
U slugi
4
2
8
Powyższa macierz to jednocześnie macierz [U SEij ]. Warto też zauważyć, że wartość
P
produkcji globalnej można obliczyć sumując wiersze tej macierzy, tj. V 1T OTi = j∈U SER U SEij .
2
5 Normalizacja cen i ostateczna postać modelu
W modelu w postaci zlinearyzowanej wielkości zapisywane wielkimi literami należy traktować jako stałe (reprezentujące tzw. rozwiązanie początkowe), wyznaczane na podstawie danych. Dla podkreślenia tego faktu będziemy dalej zapisywać Jednak dane zawarte w tablicy input-output wyrażone są w ujęciu wartościowym (pieniężnym), podczas
gdy X1T OTi i Xij , występujące we wzorach 3-4, wyrażają ilości.
Dane w ujęciu ilościowym nie są zwykle dostępne. W takiej sytuacji rozwiązanie
polega na zastosowaniu tzw. normalizacji cen. Przyjmując umownie, że wyjściowe ceny
produktów i usług są równe 1 w rozwiązaniu początkowym, mamy X1T OT i = V 1T OT i
oraz X ij = U SE ij , gdzie kreska nad symbolem zmiennej oznacza jej poziom początkowy,
tj. wielkość pochodzącą z danych. Wówczas nieobserwowane ilości można w równaniach
3-4 można zastąpić obserwowanymi wartościami pieniężnymi, uzyskując w ten sposób
finalną postać modelu:
∀i∈IN D
V 1T OT i · x1toti =
X
U SE ij · xij
(5)
j∈U SER
∀i∈IN D ∀j∈IN D
xi,j = xij
(6)
Zauważmy, że normalizacja cen jest założeniem, które nie wnosi dodatkowej informacji, tj. nie pozwala z danych pieniężnych uzyskać ilości produktów i usług w konkretnych
jednostkach fizycznych, takich jak np. sztuki, tony, godziny itp. Ponieważ jednak w
rozwiązaniu modelu interesują nas tylko procentowe zmiany (produkcji i popytu), jednostki fizyczne nie mają znaczenia. Np. gdy mówimy o wzroście produkcji o 10%, nie jest
ważne, czy mierzymy tę produkcję w kilogramach czy w tonach - istotne jest natomiast,
że mamy na myśli ilość, nie zaś np. wartość.
Równania 5-6 zapisane w kodzie TABLO wyglądają następująco:
Equation E_x1tot # Rownanie bilansowe produkcji #
(all,i,IND) V1TOT(i)*x1tot(i) = sum{j, USER, USE(i,j)*x(i,j)};
Equation E_x # Zuzycie posrednie proporcjonalne do produkcji #
(all,i,IND)(all,j,IND) x(i,j) = x1tot(j);
Pliki z pełnym kodem modelu i założeniami symulacji można znaleźć na stronie
www.inforum.uni.lodz.pl w materiałach ćwiczeniowych.
6 Przykładowa symulacja
W przykładowej symulacji zakładamy wzrost popytu na Produkty o 20% (w ujęciu ilościowym). Zakładamy, że popyt finalny na Usługi nie zmienia się. Po rozwiązaniu w
pakiecie GEMPACK1 otrzymujemy następujące zmiany procentowe popytu, wyrażone
1
Ten niewielki model łatwo rozwiązać także na kartce.
3
w postaci zmiennej xij :
P rodukty
U slugi
P rodukty U slugi F inalny
8.57
2.86
20
8.57
2.86
0
oraz procentowe zmiany produkcji, wyrażone w postaci zmiennej x1toti :
P rodukty 8.57
U slugi
2.86
Powyższe liczby stanowią komplet wyników symulacji, wyznaczonych poprzez rozwiązanie
układu równań 5-6. Mimo to można pogłębić interpretację wyników i rozumienie modelu
dzięki podstawieniu uzyskanych liczb do wybranych równań. Podstawmy np. wyniki do
równania bilansowego produkcji (5) dla pierwszej gałęzi (Produkty):
V 1T OT ”P rodukty” · x1totP rodukty = U SE ”P rodukty”,”P rodukty” · x”P rodukty”,”P rodukty”
+U SE ”P rodukty”,”U slugi” · x”P rodukty”,”U slugi”
+U SE ”P rodukty”,”F inalny” · x”P rodukty”,”F inalny”
Pod wartości współczynników podstawiamy liczby z bazy danych:
10 · x1tot”P rodukty” = 1 · x”P rodukty”,”P rodukty”
+6 · x”P rodukty”,”U slugi”
+3 · x”P rodukty”,”F inalny”
Dzieląc obustronnie przez 10 otrzymujemy:
x1tot”P rodukty” = 0.1 · x”P rodukty”,”P rodukty”
+0.6 · x”P rodukty”,”U slugi”
+0.3 · x”P rodukty”,”F inalny”
Z powyższego widać, że procentową zmianę produkcji w gałęzi Produkty można wyznaczyć jako ważoną sumę procentowych zmian popytu na Produkty ze strony poszczególnych nabywców. Podstawiają do powyższego równania wyniki symulacji otrzymujemy:
x1tot”P rodukty” = 0.1 · 8.57 + 0.6 · 2.86 + 0.3 · 20
0.857 + 1.716 + 6 = 8.57
Wynik 8.57 był już oczywiście znany, ale dzięki podstawieniu do równania uzyskujemy dekompozycję tego wyniku. Interpretacja jest następująca: produkcja gałęzi Produkty wzrasta o 8.57%, przy czym wzrost popytu finalnego na Produkty bezpośrednio
przyczynia się do wzrostu produkcji o 6%, wzrost popytu na Produkty ze strony sektora
4
Usług przyczynia się do wzrostu produkcji o 1.716%, a wzrost zużycia wewnętrznego w
sektorze Produkty - do zwiększenia produkcji o 0.857%.
Podobną dekompozycję można przeprowadzić dla zmian produkcji gałęzi Usługi.
Z kolei równania 6 można zinterpretować następująco: procentowy przyrost zużycia
”materiałów” pochodzących z gałęzi i w produkcji gałęzi j jest równy procentowemu
przyrostowi produkcji w gałęzi j. Na przykład:
x”P rodukty”,”U slugi” = x1tot”U slugi” = 2.86
tj. popyt gałęzi Uslugi na Produkty wzrasta o 2.86% - dokładnie o tyle, o ile wzrasta
produkcja gałęzi Uslugi.
5