Numer 1/ 2013 - Humanistyka.com

Numer 1/ 2013
Mariola Kinal (Guz)
Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
[email protected]
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Abstract
From an early age, it is important to perceive, inventing and using rhythm, regularity
occurring in the immediate surroundings. Today, children and young people increasingly
must refer to ready-made algorithms, some models - not only in school but also outside it,
especially in the context of using modern technology.
In this article, the author introduces subject of recursive thinking and shows at what
level recursive thinking there were children who began learning in the third grade of primary
school.
Key words: thinking, recursion, recursive thinking, recursive formula
1. Wstęp
Ludzie myślą rekurencyjnie podczas wykonywania wielu czynności codziennych, a także
w trakcie rozwiązywania zadań związanych z matematyką, bądź informatyką. Takie myślenie
pojawia się także w trakcie porozumiewania się przez ludzi językiem. Każdy gimnazjalista
spotkał się z ciągami rekurencyjnymi podczas analizowania zadań o ciągach arytmetycznych,
czy nawet uczeń edukacji wczesnoszkolnej podczas uzupełniania ciągów liczbowych
rosnących bądź malejących o daną wartość. Informatyk, który tworzy programy rekurencyjne,
ale również niemowlę, które nieświadomie przedłuża samogłoski w trakcie artykułowania
pierwszych dźwięków. Wszystkie te osoby łączy proces myślenia rekurencyjnego, które to
jest mniej lub bardziej uświadomione.
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Sama rekurencja, zwana także rekursją wyrosła z nauk matematycznych i jest sposobem
definiowania procedur i funkcji, polegającym na umieszczeniu w procedurze (lub funkcji)
odwołań do samej procedury (funkcji) (Leksykon PWN 2004: 919). W tym ujęciu proces
rekurencji jest powiązany także z pojęciem wzoru rekurencyjnego, który to jest wzorem
pozwalającym obliczyć wyrazy ciągu na podstawie jednego lub kilku wyrazów
poprzedzających (Słownik wyrazów obcych PWN 1995: 953).
Natomiast w języku polskim rekurencja nazywana jest również w literaturze
językoznawczej reduplikacją i oznacza możliwość tworzenia wyrażeń o z góry określonej
strukturze, ale dowolnej długości, z jednoczesnym zastrzeżeniem, iż rozszerzenie
syntaktyczne powinno nieść ze sobą pokrewne rozszerzenie przedmiotowe (Lapis, Wierzchoń
2003: 31).
W
związku
z
przytoczonymi
wyjaśnieniami
rekurencji
oraz
w
zestawieniu
z różnorodnymi definicjami dotyczącymi procesu myślenia oraz badaniami prowadzonymi
przez autora, przyjmuje on, iż myślenie rekurencyjne to pewien złożony proces psychiczny,
w rezultacie którego człowiek potrafi rozpoznać, a także zastosować regułę, która powtarzana
n-krotnie doprowadza go do rozwiązania określonego problemu.
2. Myślenie – operacjonalizacja pojęcia
Jednym z elementów składających się na pojęcie myślenia rekurencyjnego jest sam
proces myślenia. W literaturze istnieje wiele definicji wyjaśniających ten proces, mniej lub
bardziej rozbudowanych. Najobszerniej proces ten został opisany w Encyklopedii
pedagogicznej XXI wieku, w której została oddana jego złożoność, cel oraz przebieg: myślenie
to złożona czynność poznawcza o charakterze przystosowawczym, obejmująca różnorodne
procesy, polegająca na zastosowaniu łańcucha operacji umysłowych, umożliwiających
przetwarzanie informacji zakodowanych w spostrzeżeniach, wyobrażeniach i pojęciach oraz
wytwarzanie nowych informacji wykraczających poza dane dostępne sensorycznie
i pamięciowo, przebiegająca na poziomie świadomym i nieświadomym ze znacznym,
modyfikującym wpływem emocji (Stasiak Correia 2004: 460). Definicja ta jest tożsama
z ujęciem Józefa Kozieleckiego, który dodatkowo zaznacza, że podstawą myślenia jest
spostrzeganie informacji i ich przechowywanie w pamięci. Dzięki procesowi jakim jest
myślenie człowiek jest zdolny do przetworzenia komunikatów zewnętrznym i ich asymilacji
z danymi już posiadanymi (por. Kozielecki 1977: 352).
2
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
J. Kozielecki (1977) wyróżnia trzy podstawowe elementy myślenia: materiał myślenia,
operacji oraz reguły.
1) Materiał myślenia – są to wszelkie dane docierające z zewnątrz, informacje,
komunikaty dostarczane przez zmysły, jak również informacje docierające ze świata
wewnętrznego. Do człowieka codziennie docierają ogromne ilości bodźców, które odbiera
dzięki spostrzeżeniom, wyobrażeniom i pojęciom (por. Kozielecki 1977: 356-457).
Znaczenie spostrzeżeń jest bardzo duże, zwłaszcza w młodszym wieku, kiedy dzieci
poznają świat, uczą się go i eksplorują. To poprzez manipulację na przedmiotach
zdobywają one nowe informacje i umiejętności niezbędne w późniejszym życiu. Rola
spostrzeżeń jest duża w okresie inteligencji sensoryczno-motorycznej, w którym
dominującym rodzajem struktury umysłowej jest schemat czynnościowy, ale zwłaszcza
w okresie wyobrażeń przedoperacyjnym, w którym
przeważają właśnie schematy
oglądowe. Znaczenie spostrzeżeń maleje wraz z wiekiem, szczególnie, gdy człowiek
zdobywa i zaczyna rozwijać umiejętność myślenia abstrakcyjnego, czyli takiego,
w którym jest zdolny do myślenia o przedmiotach i zdarzeniach wówczas, gdy nie
podlegają one jego bezpośredniej obserwacji. Innym sposobem, dzięki któremu człowiek
zdobywa informacje o świecie są wyobrażenia: wyobrażenia odtwórcze, czyli obrazy
umysłowe tworzone na podstawie spostrzeganych uprzednio obiektów, a także
wyobrażenia wytwórcze, dotyczące przedmiotów nie podlegających wcześniejszej
obserwacji. Znaczenie wyobrażeń jest różne, w zależności od tego jaki problem się
rozwiązuje oraz w jakiej fazie rozwiązywania problemu człowiek się znajduje. Ostatnim
wymienionym przez Kozieleckiego elementem, dzięki któremu zdobywa się wiedzę
o świecie, są pojęcia. Właściwie są one najważniejszym źródłem wiedzy o świecie, gdyż
właśnie w formie pojęć jest zakodowanych najwięcej informacji. Za pomocą
różnorodnych metod człowiek przyswaja sobie pojęcia, klasyfikując je i łącząc w logiczny
i spójny system. Istotne jest, iż w danym procesie myślenia nie biorą udziału wszystkie
pojęcia jakie człowiek posiada, a jedynie niezbędne do rozwiązania określonego
problemu. Wybór pojęć decyduje w dużej mierze o powodzeniu bądź porażce przebiegu
procesu myślenia (por. Kozielecki 1977: 357-364).
Materiał myślenia, który został zgromadzony za pomocą spostrzeżeń, pojęć i wyobrażeń,
aby był użyteczny musi ulec przetworzeniu. W tym celu dokonuje się szeregu operacji
umysłowych. Najbardziej znanym podziałem, jest ten dokonany przez Sergieja Leonidowicza
3
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Rubinsztejna, który wyodrębnia dwie podstawowe operacji analizy i syntezy oraz operacje
pochodne: porównywanie, uogólnianie i abstrahowanie (por. Rubinsztejn 1962: 184).
2) Operacje – to pewne transformacje informacji, które są zawarte w materiale
myślenia. Według Rubinsztejna analiza i synteza są dwoma aspektami tego samego
procesu myślenia. Twierdzi, że przy każdej operacji analizy, należy najpierw dostrzec
całość, pojawiające się zależności, a dopiero później przeprowadzić proces analizy,
pamiętając jednak o odkrytych własnościach. W ten sposób niejako nie rozbija się całości,
ale ją przekształca, tworząc nową całość – dokonując operacji syntezy (por. Rubinsztejn
1962: 37-38). Pozostałe operacje pochodne to: porównywanie, w trakcie którego
wyszukuje się podobieństwa i różnice między elementami, co wiąże się z umiejętnością
klasyfikacji; abstrahowanie, czyli wyodrębnianie cech jednostkowych od ogólnych. Wiąże
się ona z pojęciem abstrakcji pozytywnej (wyodrębnienie cech istotnych dla danego
pojęcia) oraz negatywnej (pominięcie cech nieistotnych). Uogólnianie zaś to włączanie
w zakres danego pojęcia cech wszystkich przedmiotów do niego należących (por.
Przetacznikowa, Makiełło-Jarża 1975: 113-115). W trakcie tworzenia pojęć można
popełnić błąd abstrakcji polegający na pomijaniu cech dla danego pojęcia istotnych, co
czyni go pojęciem zbyt ogólnym; inny błąd uogólniania polega zaś na włączaniu w zakres
danego pojęcia cech nieistotnych, przez co jest ono za mało ogólne (por. Kozielecki 1977:
361).
Według Kozieleckiego (1977), można wyróżnić cztery prawa rządzące operacjami, za
pomocą których człowiek przekształca materiał myślenia:
a) operacja zerowa (tożsamościowa) – po jej przeprowadzeniu informacja
początkowa nie ulega zmianie, np. dodanie zera do liczby 9,
b) odwracalność operacji – to pewien łańcuch operacji, w którym pierwsza
operacja modyfikuje informacje, zaś kolejna (odwrotna do pierwszej) przywraca
pierwotny stan rzeczy. Uzyskuje się wynik taki sam, jak po przeprowadzeniu operacji
zerowej,
c) składanie operacji – zakłada że istnieje operacja, która daje taki sam wynik
końcowy, jak dwie dowolne, inne operacji. Dzięki istnieniu tej reguły człowiek może
decydować o wyborze takiej operacji, która jest dla niego najbardziej odpowiednia
i dostosowana do jego poziomu intelektualnego,
4
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
d) łączność operacji – zakłada że jeśli pewną informację przekształci się za
pomocą operacji o1, a później wykona równoważną manipulację o2 i o3, to wynik
będzie taki sam, jeżeli najpierw wykonałoby się operację o2 i o3, a następnie o1, np.
3 + (4 + 1) = (3 + 4) + 1 (por. Kozielecki 1977: 366-368).
O powodzeniu dokonywania przekształceń decyduje także to jakie reguły zostaną
zastosowane. Wyróżnia się dwa podstawowe sposoby rozwiązywania problemów: reguły
heurystyczne oraz algorytmiczne.
3) Reguły – kolejność wykonywania operacji umysłowych, ich dobór w dużej mierze
decyduje o powodzeniu rozwiązania zadania. Algorytm to niezawodny sposób
rozwiązania danego problemu, w którym przewidziane są kolejne kroki, które należy
podjąć. Cechują się tym, że są regułami masowymi, są niezawodne i dobrze określone.
Heurystyki natomiast to pewne zawodne i intuicyjne sposoby rozwiązywania problemów.
Są one ogólne i nie tak dobrze określone jak algorytmy. Ich stosowanie nie daje gwarancji
rozwiązania problemu. Kozielecki zaznacza, że myślenie jest czynnością heurystyczną,
gdyż człowiek nie zna określonych algorytmów postępowania, którymi kierowałby się na
co dzień w życiu. Zauważa jednak, że algorytmy pobudzają do myślenia, stosowane są
w trakcie wykonywania czynności zautomatyzowanych, a także ich wykonanie nie byłoby
możliwe bez pobudzenia określonych rodzajów myślenia (por. Kozielecki 1977: 356371).
W trakcie myślenia rekurencyjnego człowiek zbiera materiał myślenia drogą spostrzeżeń,
następnie przeprowadza szereg operacji umysłowych, od analizy i syntezy począwszy po
operacje pochodne, a gdy już odkryje pewien wzór rekurencyjny, zasadę, stosuje dany
algorytm w zadaniach podobnych.
3. Rozwiązywanie problemów
Kolejnym elementem, pojawiającym się w definicji myślenia rekurencyjnego, jest
rozwiązywanie problemów, w którym wyróżnia się cztery fazy:
Faza pierwsza – to dostrzeżenie problemu, czyli zorientowanie się, iż w danym zakresie
posiadana wiedza jest niewystarczająca. Według Jamesa Ashera dostrzeżenie problemu jest
utrudnione poprzez fakt, iż człowiek pojmuje otaczającą go rzeczywistość jako coś względnie
stałego, a w myśleniu i działaniu posługuje się utrwalonymi schematami.
5
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Druga faza – to analiza sytuacji problemowej. Na tym etapie najważniejsze jest
określenie dokładnego celu oraz jego zrozumienie, a także analiza dostępnych danych. Warto
zwrócić wówczas uwagę na to, czy jednego celu nie da się rozbić na szereg mniejszych,
których rozwiązanie byłoby mechaniczną czynnością. Natomiast podczas analizy danych,
należy dokonać selekcji informacji ważnych oraz nieistotnych, a także zwrócić uwagę na
informacje negatywne, czyli takie, w których zawarte są informacje dotyczące tego co się nie
wydarzyło, lub czego nie ma (por. Kozielecki 1977: 381:382). Według badań Jerome’a
Seymoura Brunera, Jacqueline Goodnow i George’a A. Austina aż 90% informacji
negatywnych, które są zawarte w dostępnych danych jest pomijana podczas ich analizy (por.
Bruner, Goodnow, Austin 1956). W odkryciu danych, które są istotne, lecz nie podane
wprost, przydatne są czynności ekstrapolacyjne oraz interpolacyjne. Czynności interpolacyjne
polegają na uzupełnianiu luk wewnątrz układu danych, zaś ekstrapolacyjne to odszukanie
danych znajdujących się na końcu układu.
Faza trzecia – to wytwarzanie pomysłów. Istnieje wiele modeli wytwarzania pomysłów,
między innymi trójetapowy model Karla Dunckera. Na tym etapie często występuje także
zjawisko olśnienia, które wyjaśniane jest przez dwie teorie: teorię inkubacji, zgodnie z którą
zjawisko olśnienia jest efektem chwilowego zaprzestania myślenia o problemie oraz teoria
wygasania błędnych nastawień, zgodnie z którą przerwanie pracy nad zadaniem powoduje iż
człowiek pozbywa się wcześniejszych założeń i może spojrzeć na problem z innej
perspektywy.
Faza czwarta – to weryfikacja wartości pomysłów. Może być ona przeprowadzona
metodą jednoczesną lub sukcesywną. Metoda jednoczesna polega na tym, że wszystkie
pomysły ocenia się dopiero po zakończeniu ich tworzenia, zaś metoda sukcesywna to ocena
każdego pomysłu natychmiast po jego wymyśleniu. Poprawną weryfikację pomysłów może
utrudniać pojawiający się efekt pierwszeństwa lub efekt emocjonalny (por. Kozielecki 1977:
382-394).
4. Przykłady występowania rekurencji w matematyce, informatyce i języku polskim
4.1. Rekurencja w matematyce
Elementarnym
przykładem
występowania
rekurencji
w
matematyce jest
ciąg
arytmetyczny, który można zdefiniować rekurencyjnie poprzez podanie kolejnych wyrazów
ciągu: a1, a2, …, an0 (n0 ≥ 1) oraz prawa, które uzależnia kolejne wyrazy od wyrazów
poprzedzających: an (n > n0) (por. Leksińska, Leksiński 1982: 52).
6
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Innym przykładem występowania rekurencji jest ciąg Fibbonacciego, w którym liczby
naturalne tworzące ciąg (wyłączając dwie pierwsze), są sumą dwóch poprzednich wyrazów.
Wspomniane wcześniej dwa pierwsze wyrazy są bazą, umożliwiającą wywoływanie
kolejnych liczb:
fib(0) = 0
fib(1) = 1
fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2), gdzie n≥2, zatem:
fib(2) = fib(2-1) + fib(2-2) = fib(1) + fib(0) = 1 + 0 = 1.
Fib(3) = (fib(3-1) + fib(3-2) = fib(2) + fib(1) = 1 + 1 = 2
Kolejne wyrazy ciągu kształtują się następująco: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… (por.
Wróblewski 2010: 31-32).
Znanymi przykładami występowania rekurencji w matematyce mogą być także
obliczanie silni oraz trójkąt Pascala.
4.2. Rekurencja w informatyce
Rekurencja to jeden z ważniejszych mechanizmów wykorzystywanych do programowania
w informatyce. Algorytmy rekurencyjne cechują się po pierwsze tym, że ich zakończenie jest
jasno określone, a po drugie jeden złożony problem zostaje rozłożony na szereg mniejszych
problemów. Stosowanie takich programów ma swoje wady i zalety. Taki program jest
przeważnie czytelny, a procedury są krótkie, łatwo także odszukać błędy, które pojawiają się
w zapisie. Wadą jest natomiast fakt, iż zajmują one zazwyczaj dużo pamięci, gdyż potrzebują
danych do kolejnych wywołań rekurencyjnych. W przypadku bardziej skomplikowanych
programów ciężko jest też oszacować ile pamięci będzie potrzebne. Jednak najistotniejsza
przy wyborze technik programowania jest odpowiedź na pytanie, czy da się określić warunek
zakończenia i czy problem da się rozdzielić na szereg mniejszych (por. Wróblewski 2010: 3040)
Przykładowe drzewo wywołań dla funkcji silnia(3), wygląda następująco (por. rys. 1):
Rysunek 1. Drzewo wywołań funkcji silnia(3)
nie
x=0?
x=3
nie
x=2
x=0?
nie
x=1
x=0?
3 ∙ 2!
[3 ∙ silnia(3−1)]
2 ∙ 1!
[2 ∙ silnia(2−1)]
1 ∙ 0!
[1 ∙ silnia(1−1)]
7
tak
x=0
x=0?
1
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Źródło: Wróblewki 2010: 31
Proces przedstawiony na powyższym drzewie wywołań oblicza wartość silnia(3), przy
założeniu że 0! = 1, a n! = n ∙ (n-1)!, gdzie n ϵ N, n ≥ 1. Program analizuje czy wartość x
(w tym przypadku 3) jest równe 0, jeśli nie, schodzi do obliczenia wartości niższej o 1 (x – 1),
czyli dwa, postępując analogicznie aż do przypadku elementarnego x = 0. W ten sposób
uzyskuje się konkretny wynik liczbowy (gdyż 0! = 1), co daje możliwość wykonania obliczeń
zgodnie ze wzorem x ∙ silnia(x-1) i uzyskania ostatecznego wyniku (por. Wróbleswski 2010:
31).
4.3. Rekurencja w języku polskim
Występowanie rekurencji w języku polskim obszernie opisali Włodzimierz Lapis oraz
Piotr Wierzchoń. W jej opisie przyjęli podstawowe założenia:
1) wyrażeniem regularnym W są: litery alfabetu, symbole: spacji „-”, separatora
„_” i znaki interpunkcyjne;
2) jeśli wyrażenia α, β ϵ W, to wyrażenia αβ, α∪β ϵ W, co oznacza, że istnieją na
przykład takie wyrażenia jak ma – jako sklejenie m i a;
3) istnieją wyrażenia takie jak:
a)
A* - oznacza że możliwy jest zapis aaaa jako a4,
b)
A+ - wyrażenie A o krotności co najmniej 1,
c)
Ax – wyrażenie oA o krotności co najmniej 2,
d)
Ax≥n – wyrażenie A o krotności co najmniej n (por. Lapis, Wierzchoń
2003).
Autorzy ci wyróżnili dwa segmenty językowe, w których wykazali występowanie
rekurencji: wyrażenia dźwiękonaśladowcze oraz niedźwiękonaśladowcze. Rekurencja
pojawia się więc między innymi w wyrażeniach opisujących muzykę, np. la(-la)* lub
dźwiękach wydawanych przez naturę np. kwa(-kwax), ale także w wyrażeniach powstałych
poprzez mnożenie danej frazy, np. nie(,_nie)x, wyrażeniach powstałych poprzez mnożenie
przedrostka, np. XXXL, wyrażeniach powstałych poprzez rozciągnięcie pojedynczej
8
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
samogłoski, np. ix≥3 – aby wyrazić oczekiwanie na dalszy ciąg wypowiedzi (por. Lapis,
Wierzchoń 2003: 34-37).
5. Rozwój dzieci w młodszym wieku szkolnym - rozwój poznawczy
Zgodnie z podejściem Piagetowskim, okres późnego dzieciństwa do przejście ze stadium
myślenia przedoperacyjnego do stadium operacji konkretnych. Oznacza to że potrafią działać
bezpośrednio na przedmiotach, ale jeszcze nie do końca na słownych hipotezach. Jest to okres
w którym u dziecka kształtuje się umiejętność klasyfikowania, szeregowania, pojęcie liczby,
czasu, przestrzeni, pojęcie stałości długości, wagi i objętości. Dziecko – uczeń potrafi
odwracać operacje, aby skorygować błędne działania i rozumie przechodniość (por. Piaget,
Inhelder 1993: 97). Pojawia się także myślenie logiczne, dzięki któremu uczeń potrafi
przeprowadzić wnioskowanie przyczynowo-skutkowe. Pod koniec późnego dzieciństwa
większość dzieci osiąga poziom operacji formalnych, co oznacza że potrafią rozwiązywać
skomplikowane problemy, działać na materiale abstrakcyjnym.
Okres ten wiąże się także z początkiem stosowania strategii pamięciowych takich jak:
powtarzanie, wyliczania, elaboracja, organizowanie. Jednak ich stosowanie często sprawia im
problem, stosują je niesystematycznie i niespójnie.
Około 5-7 roku życia uwaga dzieci zaczyna przekształcać się w uwagę dowolną – są one
w stanie kierować swoją uwagę, jest ona świadoma i planowa. Jej doskonalenie ma związek
nie tylko z dojrzewaniem centralnego układu nerwowego, ale także z uczeniem się,
przebywaniem w szkole. (por. Stefańska-Klar 2000: 135-136).
6. Badania nad poziomem umiejętności myślenia rekurencyjnego uczniów klas III szkoły
podstawowej
Badania przeprowadzone zostały w dwóch wybranych szkołach, w których uczniowie
korzystali z dwóch różnych podręczników. W badaniu wzięło udział 80 uczniów. Polegało
ono na uzupełnieniu przez badanych przygotowanych sprawdzianów, w których znajdowały
się ciągi arytmetyczne, podczas rozwiązywania których należało odgadnąć, a następnie
zastosować wzór rekurencyjny. Sprawdzian składał się z dwóch arkuszy, w których łącznie
znajdowało się dwadzieścia zadań. Uczniowie rozwiązywali zadania w ciągu dwóch spotkań
– w trakcie pierwszego spotkania rozwiązywali zadania w zakresie liczbowym do 30, zaś
w trakcie kolejnego, zadania w zakresie liczbowym powyżej 30. Polecenie dla uczniów
9
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
brzmiało: „Przyjrzyj się dokładnie, w jaki sposób dobrane są liczby i uzupełnij puste miejsca”
(por. tabela 1.):
Tabela 1. Zadania dla ucznia wraz ze wzorami rekurencyjnymi i rozwiązaniami
zad.
Wzór rekurencyjny
Zadanie dla ucznia
0, 3, 6, 9, __, __, __, __
b)
__, __, __, __, 13, 16, 19, b5 = 13, bn+1 = bn+3, dla n > 0
22
15, 13, 11, 9, __, __, __, c1 = 15, cn+1 = cn–2, dla n > 0
__
__, __, __, __, 8, 6, 4, 2
d5 = 8, dn+1 = dn–2, dla n > 0
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22
e)
3, 4, 9, 10, 15, 16, __, __, e1 = 3, e2n = e2n-1+1,
__, __
e2n+1 = e2n+5, dla n > 0
3, 4, 9, 10, 15, 16, 21, 22,
27, 28
f)
__, __, __, __, 13, 14,
20, 25, 26
27, 25, 21, 19, 15, 13,
__, __, __
__, __, __, __, 16, 14,
8, 4, 2
5, 10, 6, 11, 7, 12, __,
__, __
__, __, __, __, 12, 17,
18, 14, 19
1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20,
25, 26
27, 25, 21, 19, 15, 13, 9,
7, 3, 1
28, 26, 22, 20, 16, 14, 10,
8, 4, 2
5, 10, 6, 11, 7, 12, 8, 13,
9, 14
10, 15, 11, 16, 12, 17, 13,
18, 14, 19
c)
d)
g)
h)
i)
j)
a1 = 0, an+1 = an+3, dla n > 0
Rozwiązanie zadania
a)
19, f5 = 13, f2n = f2n-1 +1,
f2n+1 = f2n +5, dla n > 0
__, g1 = 27, g2n = g2n-1–2,
g2n+1 = g2n−4, dla n > 0
10, h5 =16, h2n = h2n-1–2,
h2n+1 = h2n−4, dla n > 0
__, i1 = 5, i2n = i2n-1+5,
i2n+1 = i2n−4, dla n > 0
13, j5 = 12, j2n = j2n-1+5,
j2n+1 = j2n–4, dla n > 0
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1
16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2
k)
30, 33, 36, 39, __, __, __, k1= 30, kn+1= kn+3, dla n >
__
0
30, 33, 36, 39, 42, 45, 48,
51
l)
__, __, __, __, 43, 46, 49, l5 = 43, ln+1 = ln+3, dla n >
52
0
31, 34, 37, 40, 43, 46, 49,
52
m)
55, 53, 51, 49, __, __, __, m1 = 55, mn+1 = mn–2,
__
dla n > 0
55, 53, 51, 49, 47, 45, 43,
41
n)
__, __, __, __, 48, 46, 44, n8 = 42, nn-1 = nn–2, dla n >
42
0
56, 54, 52, 50, 48, 46, 44,
42
o)
33, 34, 39, 40, 45, 46, __, o1 = 33, o2n = o2n-1+1,
__, __, __
o2n+1 = o2n+5, dla n > 0
33, 34, 39, 40, 45, 46, 51,
52, 57, 58
p)
__, __, __, __, 43, 44, 49, p5 = 43, p2n = p2n-1+1,
50, 55, 56
p2n+1 = p2n+5, dla n > 0
31, 32, 37, 38, 43, 44, 49,
50, 55, 56
r)
77, 75, 71, 69, 65, 63, __, r1 = 77, r2n = r2n-1–2,
__, __, __
r2n+1 = r2n–4, dla n > 0
77, 75, 71, 69, 65, 63, 59,
57, 53, 51
s)
__, __, __, __, 56, 54, 50, s5 = 56, s2n = s2n-1–2,
48, 44, 42
s2n+1 = s2n–4, dla n > 0
68, 66, 62, 60, 56, 54, 50,
48, 44, 42
t)
65, 70, 66, 71, 67, 72, __, t1 = 65, t2n = t2n-1+5,
__, __, __
t2n+1 = t2n–4, dla n > 0
65, 70, 66, 71, 67, 72, 68,
73, 69, 74
u)
__, __, __, __, 42, 47, 43, u5 = 42, u2n = u2n-1+5,
48, 44, 49
u2n+1 = u2n–4, dla n > 0
40, 45, 41, 46, 42, 47, 43,
48, 44, 49
10
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Podczas prowadzenia badań autorka podjęła próbę odpowiedzi na główne pytanie – jaki
jest poziom myślenia rekurencyjnego uczniów rozpoczynających klasę trzecią, ale także na
pytania szczegółowe: czy i jak skuteczność wnioskowania rekurencyjnego zależy od zakresu
liczbowego, na którym się ono odbywa, czy i jak umiejętność myślenia rekurencyjnego
zależy od rodzaju działań arytmetycznych (dodawanie lub odejmowanie), czy i jak
skuteczność myślenia rekurencyjnego zależy od długości i stopnia trudności wzoru , czy i jak
skuteczność myślenia rekurencyjnego zależy od rodzaju ciągu (kontynuacja, rozpoczynanie),
czy i jak skuteczność myślenia rekurencyjnego zależy od płci badanych, czy i w jakim stopniu
poziom myślenia rekurencyjnego zależy od podręcznika, z którego uczą się dzieci.
6.1. Wyniki badań
Z przeprowadzonych badań wynika, iż umiejętność myślenia rekurencyjnego 26 uczniów
znajdowała się na wysokim poziomie (W), gdyż ich wyniki mieściły się w przedziale od 50,0
do 60,0 punktów. Umiejętność 28 uczniów
mieściła się na poziomie średnim (Ś)
– w przedziale od 30,0 do 49,9, zaś poziom myślenia rekurencyjnego 27 uczniów był niski
(N), poniżej 29,9 punktów.
Po zsumowaniu wyników uzyskanych przez wszystkich uczniów, okazało się, że ich
umiejętność myślenia rekurencyjnego mieściła się na poziomie średnim – uzyskali 37,3
punktów.
Po przeanalizowaniu wyników uzyskanych przez uczniów w pojedynczych zadaniach,
można stwierdzić, iż najlepiej uczniowie poradzili sobie z zadaniem a) i k) – uzyskali oni za
nie w zadaniu a) – 90%, zaś w zadaniu k) – 89% rozwiązań lokujących ich umiejętność na
poziomie średnim lub wyższym. Średnio uzyskali za te zadania kolejno 5,4, oraz 5,3 punktów
(na 6 możliwych). Najsłabiej zaś uczniowie poradzili sobie z zadaniem j) – aż 66% uczniów
rozwiązało je na poziomie niskim, średnio zdobywając 2,1 punktu.
W przypadku różnic wynikających z płci, dziewczyny za obydwa sprawdziany otrzymały
średni wynik 39,9 punktów, zaś chłopcy 35, 2. Oba wyniki plasują umiejętności uczniów na
poziomie średnim, jednak warto zwrócić uwagę na różnicę między nimi, która wynosi 4,7
punktu.
6.1.1. Zależność umiejętności wnioskowania rekurencyjnego od zakresu liczbowego, na
którym się ono odbywa
11
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Uczniowie rozwiązywali dwa sprawdziany: o zakresie liczbowym do 30 i powyżej.
Zadania w obydwu sprawdzianach były analogiczne. Wyniki zostały zamieszczone w tabeli 2.
Tabela 2. Zależność poziomu umiejętności myślenia rekurencyjnego, a zakres liczbowy na
którym się ono odbywa
Przedział
liczbowy
Numery zadań
a, b, c, d, e, f, g, h,
i, j
k, l, m, n, o, p, r, s,
t, u
poniżej 30
powyżej 30
Suma
punktów
Średnia liczba
punktów
Poziom
2958
3,7
Ś
3025
3,8
Ś
Umiejętność myślenia rekurencyjnego uczniów znajdowała się na poziomie średnim,
przy czym drugi sprawdzian został przez nich napisany nieco lepiej. Taki wynik może być
spowodowany tym, iż uczniowie po rozwiązaniu pierwszego sprawdzianu wiedzieli już czego
mają się spodziewać, w związku z czym mniej się stresowali w trakcie jego rozwiązywania
i popełniali mniej błędów. Niemniej można wysnuć wniosek iż przedział liczbowy na którym
odbywa się wnioskowanie rekurencyjne, nie oddziałuje na poziom myślenia rekurencyjnego.
6.1.2. Zależność myślenia rekurencyjnego od działania arytmetycznego, na którym się
ono odbywa
Uczniowie rozwiązywali zadania, w których należało wykonać działanie dodawania lub
odejmowania. Pojawiły się zadania, w których należało odjąć lub dodać jedną różnicę oraz
zmieniające się różnice, a także takie, w których należało połączyć umiejętność dodawania
i odejmowania, odejmując i dodając odpowiednią różnicę do wyrazu poprzedniego. Autorka
uznała poszczególne zadania za zadania na odejmowanie lub dodawanie kierując się tym,
jakie działanie arytmetyczne uczniowie musieli wykonać, aby obliczyć kolejny wyraz, nie zaś
działaniem wynikającym z wzoru rekurencyjnego. W tabeli 3. Zostały przedstawione wyniki:
Tabela 3. Poziom myślenia rekurencyjnego, a rodzaj działania arytmetycznego
Rodzaj działania
dodawanie
odejmowanie
Jedna
różnica
Zmieniające się
różnice
Jedna
różnica
Zad.
Suma
pkt.
Średnia
liczba
pkt.
Poziom
a,d,k,n
1641
5,1
W
e,h,o,s
1039
3,2
Ś
b,c,l,m
1539
4,8
Ś
12
Suma
pkt.
Średnia
liczba
pkt.
Poziom
2680
4,2
Ś
2466
3,9
Ś
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Zmieniające się
różnice
Dodawanie z
odejmowaniem
f,g,p,r
927
2,9
N
i,j,t,u
842
2,6
N
842
2,6
N
Źródło: Opracowanie własne
Analizując dane zamieszczone w powyższej tabeli 3., można stwierdzić iż umiejętność
myślenia rekurencyjnego jest zależna od działania arytmetycznego, jakie należy
przeprowadzić na ciągu arytmetycznym. Najlepiej uczniowie poradzili sobie z zadami na
dodawanie, w których różnica była stała, uzyskali średnio 5,1 punktu (poziom wysoki),
równie dobrze poradzili sobie z analogicznymi zadaniami na odejmowanie, w których
uzyskali średnio 4,8 punktu (poziom średni). Najsłabiej wykonali zadania, w których należało
odejmować i dodawać zmieniającą się różnicę, uzyskując średnio 2,6 punktu za zadanie
(poziom niski).
6.1.3. Zależność poziomu myślenia rekurencyjnego od stopnia skomplikowania wzoru
Zadania które uczniowie rozwiązywali, dzieliły się także na zadania o wzorze prosty
i skomplikowanym. Zadania o wzorze prostym, to takie w których występuje jedna różnica
oraz w których podane zostały cztery wyrazy początkowe. Zadania o wzorze
skomplikowanym, to zadania, w których występują dwie zmieniające się różnice i w których
podanych było sześć wyrazów początkowych. Wyniki uzyskane przez uczniów zostały
podane w tabeli 4.:
Tabela 4. Poziom umiejętności myślenia rekurencyjnego, a stopień skomplikowania wzoru
Stopień skomplikowania
wzoru
Wzór prosty
Wzór skomplikowany
Poziom
3180
Średnia liczba
punktów
5,0
2808
2,9
N
Numery zadań
Suma punktów
a, b, c, d, k, l, m, n
e, f, g, h, i, j, o, p, r,
s, t, u
W
Źródło: Opracowanie własne
Uczniowie wykazali się wysokim poziomem umiejętności myślenia rekurencyjnego
uzupełniając ciągi o prostym wzorze, uzyskując średnio 5,0 punktów za zadanie. Mieli jednak
trudności z zadaniami o wzorze skomplikowanym, w których za zadanie uzyskali średnio 2,9
punku – poziom niski.
6.1.4. Zależność poziomu myślenia rekurencyjnego od rodzaju ciągu
13
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
W trakcie rozwiązywania sprawdzianów, uczniowie mieli do czynienia z ciągami,
w których należało uzupełnić końcowe wyrazy ciągu – ciągi na kontynuowanie oraz takie,
w których należało uzupełnić początkowe wyrazy – ciągi na rozpoczynanie (por. tabela 5.).
Tabela 5. Poziom umiejętności myślenia rekurencyjnego, a rodzaj ciągu
Rodzaj ciągu
Kontynuacja
Rozpoczynanie
Numery zadań
a, c, e, g, i, k, m, o, r, t
b, d, f, h, j, l, n, p, s, u
Suma
punktów
3048
2940
Średnia liczba punktów
Poziom
3,8
3,7
Ś
Ś
Źródło: Opracowanie własne
W obydwu rodzajach zadań, uczniowie uzyskali podobny wynik – 3,8 oraz 3,7 – który
mieści się na średnim poziomie. Brak wyraźnych różnic w wynikach można tłumaczyć
faktem, iż większość uczniów obliczała początkowe wyrazy ciągu zaczynając od końca, czyli
w praktyce kontynuowała rozpoczęty ciąg od strony prawej do lewej.
6.1.5. Zależność umiejętności myślenia rekurencyjnego od podręcznika wiodącego,
z którego uczyli się uczniowie
Uczniowie biorący udział w badaniach uczyli się z dwóch różnych podręczników,
wydawnictwa „Nasza klasa” oraz „Nowe Już w szkole”. Aby zbadać czy występuje zależność
między poziomem myślenia rekurencyjnego, a wiodącym podręcznikiem, poddałam analizie
zestawy edukacyjne do klasy pierwszej oraz drugiej. Obliczyłam ogólną liczbę zadań
z zakresu edukacji matematycznej, a także ogólną liczbę i typy zadań, które służą rozwijaniu
umiejętności myślenia rekurencyjnego. W tabeli 6. zostały przedstawione: ogólna liczba
zadań matematycznych, liczba zadań służących rozwijaniu myślenia rekurencyjnego oraz
liczba typów takich zadań oraz zestawienie wyników i poziomu umiejętności uczniów, którzy
korzystali z danego podręcznika:
Tabela 6. Zestawienie wyników uczniów z zawartością podręczników „Nasza klasa” i „Nowe
Już w szkole”
Podręcznik,
z którego
korzystali
uczniowie
Suma
pkt.
Średnia
uzyskanych
pkt.
Poziom
myślenia
rekurencyjnego
Ogólna
liczba
zadań
matematycznych
Liczba zadań
służących
rozwijaniu
myślenia
rekurencyjnego
Liczba typów
zadań służących
rozwijaniu
myślenia
rekurencyjnego
„Nasza
klasa”
„Nowe Już
w szkole”
2308
65
Ś
1034
31
9
3675
82
Ś
1784
46
11
Źródło: Opracowanie własne
14
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Jak wynika z tabeli 6. w podręczniku wydawnictwa „Nowe Już w szkole” znajduje się
znacznie więcej zadań dotyczących edukacji matematycznej oraz nieznacznie więcej zadań
służących rozwijaniu myślenia rekurencyjnego. Pojawiła się również większa różnorodność
owych zadań.
Zarówno uczniowie korzystający z podręczników „Nasza klasa” jak i „Nowe Już
w szkole” uzyskali wyniki, które umiejscawiają ich umiejętność myślenia rekurencyjnego na
poziomie średnim. Jednak różnica tej średniej wynosi aż 17 punktów. W związku z tym
można przypuszczać iż na poziom umiejętności myślenia rekurencyjnego uczniów oddziałuje
to z jakiego podręcznika wiodącego korzystają. Autorka skłania się jednak twierdzić, iż
różnice te nie wynikają z różnic w liczbie i różnorodności zadań służących rozwijaniu
myślenia rekurencyjnego, a w liczbie zadań ogólnych, dotyczących edukacji matematycznej,
a co za tym idzie, kompetencji matematycznych uczniów. Nie sposób jednak jednoznacznie
odpowiedzieć na to czy zależność taka występuje, gdyż należy brać również pod uwagę osobę
nauczyciela, model jego pracy, metody i sposób pracy z uczniami.
7. Podsumowanie
Uczniowie znajdowali się na średnim poziomie myślenia rekurencyjnego. Przy
rozwiązywaniu zadań, najczęściej popełniali błędy nie w samym wnioskowaniu
rekurencyjnym, ale przede wszystkim w obliczeniach. Uczniowie dobrze radzili sobie
z dostrzeganiem rytmów, regularności, analogii. Autorka uważa, iż nauczyciele edukacji
wczesnoszkolnej powinni wprowadzać ćwiczenia rozwijające taką umiejętność, gdyż nie
tylko zwiększają one umiejętność spostrzegawczości i rozwijają myślenie, ale także
przydadzą się jako diagnoza trudności matematycznych uczniów – między innymi w teście
ciągów liczbowych do diagnozowania dyskalkulii uczniowie spotykają się z zadaniami,
w których mają odkryć regułę, według której ułożone są liczby.
Literatura:
Baścik-Kociołek D., Cyrański C., Piechocińska B., Śliwa G., Misiorowska E., Pucińska
M., Pustuła A. (2009) Nasza klasa. Podręcznik do kształcenia zintegrowanego. Klasa
1. Cz. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Wyd. Mac Edukacja, Kielce.
Baścik-Kociołek D., Cyrański C., Piechocińska B., Śliwa G., Misiorowska E., Pucińska
M., Pustuła A. (2009) Nasza klasa. Podręcznik do kształcenia zintegrowanego. Klasa
2. Cz. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Wyd. Mac Edukacja, Kielce.
15
Myślenie rekurencyjne dzieci w młodszym wieku szkolnym
Bielenica K., Bura M., Kwil M., Lankiewicz B., Szymańska M. A. (2009) Nowe Już
w szkole 1. Edukacja matematyczna. Cz. 1, 2. Wyd. Nowa Era, Warszawa.
Bielenica K., Bura M., Kwil M., Lankiewicz B., Szymańska M. A. (2009) Nowe Już
w szkole 2. Edukacja matematyczna. Cz. 1, 2, 3, 4. Wyd. Nowa Era, Warszawa.
Kozielecki J. (1977) Czynności myślenia. [W:] T. Tomaszewski (red.) Psychologia. PWN,
Warszawa, s. 351-410.
Lapis W., Wierzchoń P. (2003) Rekurencja jako narzędzie do tworzenia segmentów
językowych współczesnej polszczyzny. [W:] Investigationes Linguisticae, vol. IX,
Poznań, s. 31-38.
Leksińska A., Leksiński W. (1982) Elementy matematyki wyższej dla studentów
i kandydatów na studia. PWN, Warszawa.
Leksykon PWN (2004) hasło: myślenie, myślenie abstrakcyjno-pojęciowe, rekurencja.
[W:] D. Borowska-Mostafa (red.) Leksykon PWN. PWN, Warszawa, s. 721, 919.
Piaget I., Inhelder B. (1993) Psychologia dziecka. Wyd. Siedmioróg, Wrocław.
Przetacznikowa M., Makiełło-Jarża G. (1975) Psychologia ogólna. WSiP, Warszawa.
Rubinsztejn S. L. (1962) Myślenie i drogi jego poznania. Wyd. Książka i Wiedza,
Warszawa.
Słownik wyrazów obcych PWN (1995) hasło: rekurencyjny. [W:] E. Sobol (red.), Słownik
wyrazów obcych PWN. PWN, Warszawa, s. 953.
Stasiak Correia M. (2004) hasło: myślenie. [W:] E. Różycka (red.), Encyklopedia
pedagogiczna XXI wieku. wyd. ŻAK, t.3, Warszawa, s. 460.
Stefańska-Klar R. (2000) Późne dzieciństwo. Młodszy wiek szkolny. [W:] B. HarwasNapierała, J. Trempała (red.) Psychologia rozwoju człowieka. Charakterystyka
okresów życia człowieka. PWN, Warszawa, s. 130-162.
Wróblewski P. (2010) Algorytmy. Struktury danych i podstawy programowania. Helion,
Gliwice.
© Mariola Kinal (Guz) i Redakcja
Od redakcji: tekst został opublikowany 29.09.2013 po uprzednim, pozytywnie zakończonym,
procesie recenzyjnym.
16