7_Jozef KOLASA_1 - Politechnika Wrocławska

7_Jozef KOLASA_1 - Politechnika Wrocławska

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 56
Politechniki Wrocławskiej
Nr 56
Studia i Materiały
Nr 24
2004
moc odbiornika nieliniowego,
harmoniczne mocy,
pomiar mocy
Józef KOLASA *
MOC NIELINIOWEGO ODBIORNIKA
REZYSTANCYJNO-INDUKCYJNEGO – PROBLEMY POMIARU
Pomiar mocy nieliniowych, rezystancyjno-indukcyjnych odbiorników energii elektrycznej
nastręcza trudności. Odbiorniki takie zawierają rdzeń ferromagnetyczny. Zmiany napięcia (prądu)
zasilającego powodują zmiany stanu namagnesowania rdzenia. Szczególnie silne zmiany występują,
gdy obwód magnetyczny rdzenia jest zamknięty. Występują wówczas zmiany kształtu krzywych
napięcia i prądu odbiornika oraz zmiany wartości jego impedancji, mocy, współczynnika mocy, itd.
Przyrządy pomiarowe muszą spełniać wysokie wymagania, aby niepewności uzyskanych wyników
pomiarów były odpowiednio małe. W artykule przedstawiono wyniki badań doświadczalnych
wpływu kształtu krzywej napięcia zasilającego oraz rezystancji prądowych obwodów pomiarowych
na warunki pracy nieliniowego odbiornika rezystancyjno-indukcyjnego. Podano wnioski dotyczące
doboru parametrów aparatury do pomiaru mocy czynnej takiego odbiornika.
1. WSTĘP
Pomiar mocy odbiornika o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym może
nastręczać trudności. Poprawność wyniku pomiaru mocy zależy między innymi od
kształtu napięcia zasilającego, rodzaju charakterystyki napięciowo-prądowej
odbiornika, impedancji obwodów oraz parametrów częstotliwościowych miernika
mocy. Najmniejsze niepewności pomiarowe uzyskuje się, gdy odbiornik ma liniową
charakterystykę napięciowo-prądową i jest zasilany napięciem o przebiegu
sinusoidalnym. Jednak już wówczas obserwuje się silną zależność niepewności
pomiarów od współczynnika mocy odbiornika. Nieliniowość charakterystyki
napięciowo-prądowej odbiornika może powodować dużą zmianę impedancji wraz ze
zmianami napięcia (prądu) zasilającego. W skrajnym przypadku impedancja
odbiornika może być na tyle mała, że włączenie obwodów pomiarowych powoduje
*
Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław,
ul. Smoluchowskiego 19, [email protected].
zmianę warunków pracy odbiornika i w konsekwencji powiększa niepewność pomiaru
mocy. W niniejszej pracy przedstawiono wyniki badań doświadczalnych wpływu
kształtu krzywej napięcia zasilającego oraz rezystancji przyrządów pomiarowych na
warunki pracy odbiornika nieliniowego rezystancyjno-indukcyjnego. Podano wnioski
dotyczące doboru parametrów aparatury do pomiaru mocy czynnej takiego
odbiornika.
2. NIELINIOWY ODBIORNIK REZYSTANCYJNO-INDUKCYJNY
W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO
Wpływ jaki wywołuje odbiornik nieliniowy RL na warunki pracy prostego obwodu
elektrycznego (rys. 1) zależy od relacji między impedancją odbiornika i impedancją
pozostałej, liniowej części obwodu. Przebiegi czasowe napięcia i prądu odbiornika
zależą także od kształtu krzywej, częstotliwości i wartości napięcia zasilającego.
L
A
W
Lc
Źródło
i
B
Lfe
Rc
Odbiornik
B
Rfe
V
Rw
uRw ~i
R
u
Rys. 1. Prosty jednofazowy obwód elektryczny zawierający nieliniowy odbiornik
rezystancyjno-indukcyjny.
Fig. 1. A simple single-phase electrical circuit, which includes nonlinear resistance-inductance
receiver.
W celu wykonania pomiaru mocy włącza się do obwodu elektrycznego odbiornika
odpowiednie przyrządy (przetworniki) pomiarowe (rys. 1, linia przerywana). Jeżeli
w danych warunkach zasilania impedancja obwodów pomiarowych prądowych jest
mała w stosunku do impedancji odbiornika to napięcie odbiornika jest takie samo jak
napięcie zasilania a przebieg prądu jest uwarunkowany jedynie właściwościami
odbiornika. Wynik pomiaru mocy jest poprawny. W przypadku, gdy impedancja
odbiornika osiąga małe wartości to impedancja prądowych obwodów pomiarowych
może zmienić warunki pracy odbiornika. Wynik pomiaru będzie wówczas nieścisły.
Jeżeli napięcie zasilania uz jest sinusoidalne i równe napięciu odbiornika u (rys. 1)
u z = U zm sin ωt = 2U z sin ωt = u
(1)
to prąd odbiornika nieliniowego i jest niesinusoidalny, określony wzorem
i=
∞
∑ I km sin( kω + ψ k )
(2)
k =1
a jego wartość skuteczną określa wzór
I=
∞
∑ I k2
,
(3)
k =1
w którym k oznacza numer harmonicznej prądu, Ikm i Ik - odpowiednio amplitudę i
wartość skuteczną harmonicznej k prądu a ψk – fazę harmonicznej k prądu.
Kształt krzywej prądu i zależy od kształtu charakterystyki prądowo – napięciowej
odbiornika. Na podstawie wartości skutecznej napięcia Uz i wartości skutecznej prądu
I można obliczyć wartość impedancji Z i mocy pozornej S odbiornika
Uz
,
I
(4)
S =Uz ⋅I ,
(5)
Z=
Moc czynna dostarczana jest odbiornikowi nieliniowemu za pomocą pierwszej
harmonicznej P1 określonej wzorem
P = P1 = U z ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ 1 .
(6)
w którym I1 jest skuteczną wartością pierwszej harmonicznej prądu, φ1 = ψ1 –
przesunięciem fazowym między sinusoidalnym napięciem zasilającym uz i pierwszą
harmoniczną prądu.
Podobnie można wyznaczyć moc bierną
Q = Q1 = U z ⋅ I 1 ⋅ sin ϕ 1 .
(7)
Wyrażenie
P 2 + Q 2 ma wartość mniejszą od wartości mocy pozornej S. Wartość
współczynnika mocy kP odbiornika nieliniowego nie jest równa wartości kosinusa kąta
przesunięcia fazowego między pierwszymi harmonicznymi napięcia i prądu cosφ1
kP =
P
≠ cos ϕ 1 .
S
(8)
Jeżeli napięcie zasilające jest niesinusoidalne i można je opisać za pomocą szeregu
trygonometrycznego Fouriera
uz =
∞
∑ U zkm ⋅ sin( kωt + ψ uk ) = u
,
(9)
k =1
to jego wartość skuteczną opisuje wzór
Uz =
∞
∑ U k2
.
(10)
k =1
Wartość skuteczną prądu można obliczyć ze wzoru (3). Wartość mocy czynnej określa
wzór
P=
Moc czynna
(reaktywna)
definiowana,
wyznaczano
płaszczyźnie
zasilającego
1
T
T
∫
0
T
p ⋅ dt =
∞
1
u ⋅ i ⋅ dt = U k ⋅ I k ⋅ cos ϕ k .
T
k =1
∫
∑
(11)
0
dostarczana jest odbiornikowi wieloma harmonicznymi. Moc bierna
przy niesinusoidalnym przebiegu napięcia i prądu jest różnie
zależnie od teorii mocy [1-3, 5, 6]. W niniejszej pracy moc bierną Q
na podstawie pola powierzchni Au-i zamkniętej pętli zakreślonej na
fazowej napięcie-prąd (u-i) w czasie równym okresowi T napięcia
Q=
1
mu ⋅ mi ⋅ Au −i ,
2π
(12)
gdzie mu i mi podziałka osi współrzędnych odpowiednio napięcia i prądu.
Wartość mocy pozornej S, współczynnika mocy kP i impedancji odbiornika Z
oblicza się odpowiednio ze wzoru (5), (8) i (4).
Jeżeli między źródłem a odbiornikiem są włączone szeregowo elementy o
impedancji porównywalnej z impedancją odbiornika nieliniowego to kształt krzywej
napięcia na odbiorniku jest inny niż kształt napięcia zasilającego (u ≠ uz). Zmienia się
skład harmonicznych napięcia i prądu a w konsekwencji warunki przekazywania
mocy odbiornikowi nieliniowemu.
Współcześnie wykorzystuje się w pomiarach metody próbkowania napięcia i prądu
odbiornika wówczas na podstawie zebranych danych pomiarowych oblicza się
estymatory wymienionych wyżej parametrów odbiornika.
3. UKŁAD POMIAROWY I WYNIKI BADAŃ
W badaniach stosowano prosty obwód elektryczny złożony ze źródła energii
elektrycznej o małej impedancji i cewki zawierającej rdzeń ferromagnetyczny o
zamkniętym obwodzie magnetycznym (rys. 1). Wartość prądu i przetworzono na
proporcjonalne napięcie uRw za pomocą rezystancyjnego przetwornika Rw o wartości:
0,01Ω, 0,1Ω lub 1Ω. Napięcie odbiornika u i napięcie wyjściowe rezystancyjnego
przetwornika prądu uRw próbkowano synchronicznie za pomocą oscyloskopu
cyfrowego. Na rysunku 2 przedstawiono przykładowe przebiegi napięcia i prądu
odbiornika badanego w przypadku zasilania obwodu napięciem sinusoidalnym
(rys.2a) i prostokątnym (rys. 2b), gdy impedancja odbiornika jest mała (około 4,7Ω).
Rezystancja przetwornika prądu jest równa Rw = 0,01Ω co stanowi około 0,2 %
wartości impedancji odbiornika nieliniowego. Łatwo zauważyć zniekształcenia
napięcia odbiornika w stosunku do zadanego przebiegu napięcia zasilającego
(odpowiednio sinusoidalnego lub prostokątnego).
A
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
V
60
u
i
Isk=11,20 A
40
20
t [ms]
0
-20
Usk =51,21 V
2
4
6
8
-40
-60
-80
a
10 12 14 16 18 20
A
V
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
40
u
i
Isk =10,02 A
20
t [ms]
0
-20
Usk=46,96 V
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
-40
-60
b
Rys. 2. Przykładowe przebiegi napięcia i prądu odbiornika badanego przy zasilaniu napięciem
sinusoidalnym (a) i prostokątnym (b).
Fig. 2. Example transients of testing receiver voltage and current at the sinusoidal voltage supply (a) or
rectangular one (b).
80
%
70
140
THDi
%
THDi
120
60
100
50
80
40
60
30
THDu
40
20
THDu
10
20
U [V]
0
0
10
20
30
40
50
U [V]
0
60
0
10
20
30
a
40
50
b
Rys. 3. Zależność współczynnika THDu napięcia i THDi prądu od napięcia odbiornika przy zasilaniu
napięciem sinusoidalnym (a) i prostokątnym(b).
Fig. 3. Dependences of THDu coefficient and THDi coefficient on receiver voltage at the sinusoidal
voltage supply (a) or rectangular one (b).
Na rysunku 3 przedstawiono zależność współczynnika zniekształceń nieliniowych
napięcia THDu i prądu THDi odbiornika od napięcia zasilającego. W przypadku
zasilania napięciem sinusoidalnym (rys.3a) o wartości mniejszej od 30 V napięcie
odbiornika jest również sinusoidalne i mimo, że prąd odbiornika jest niesinusoidalny
to moc do odbiornika jest dostarczana za pomocą harmonicznych podstawowych. Przy
VA, A
var,
W 10
S
I
var,
VA,
W
400
8
Q
400
300
6
300
200
4
200
100
2
0
100
P
0
0
10
20
30
a
40
50 U [V]
0
A
Q
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
S
I
P
0
10
20
30
40 U [V]
b
Rys. 4. Zależność wartości skutecznej prądu I oraz mocy czynnej P, biernej Q i pozornej S od
napięcia odbiornika badanego przy sinusoidalnym (a) i prostokątnym (b) napięciu zasilającym.
Fig. 4. Dependences of a RMS value I of current and active power P, passive power Q and apparent
power S on receiver voltage at the sinusoidal voltage supply (a) or rectangular one (b).
napięciach powyżej 30 V współczynnik THDu rośnie ze wzrostem wartości napięcia.
Napięcie odbiornika odkształca się coraz bardziej. Pojawiają się wyższe harmoniczne
napięcia a w konsekwencji również wyższe harmoniczne mocy.
Na rysunku 4 przedstawiono zależność wartości skutecznej prądu I oraz mocy
czynnej P, biernej Q i pozornej S odbiornika od wartości skutecznej napięcia
odbiornika U. Z rysunku 4a wynika, że gdy napięcie przekracza wartość 30 V wartość
prądu i mocy odbiornika szybko rosną wskutek nasycenia magnetycznego rdzenia i w
konsekwencji zmniejszenia wartości impedancji odbiornika (rys. 6). Jednocześnie daje
się zauważyć silniejszy wzrost prądu oraz mocy pozornej i biernej w stosunku do
wzrostu mocy czynnej. Silnie maleje współczynnik mocy kP odbiornika (rys. 5). Przy
zasilaniu napięciem prostokątnym moc bierna Q ma wartość większą od wartości
mocy pozornej S (rys. 4b), podobnie jak w przypadku odbiorników liniowych [4].
0,8
kP
0,7
250
prostokąt
0,6
Z [Ω ]
prostokąt
200
sinus
0,5
150
0,4
sinus
100
0,3
0,2
50
0,1
U [V]
0,0
0
10
20
30
40
50
Rys. 5. Zależność współczynnika mocy
badanego odbiornika od napięcia odbiornika.
Fig. 5. Dependence of a power coefficient of
testing receiver on receiver voltage.
60
U [V]
0
0
10
20
30
40
50
60
Rys. 6. Zależność impedancji badanego
odbiornika od napięcia odbiornika
Fig. 6. Dependence of impedance of testing
receiver on receiver voltage.
Aby poznać bliżej mechanizmy przekazywania mocy ze źródła energii elektrycznej
do odbiornika wyznaczono zarówno moc czynną wypadkową jak i poszczególne
harmoniczne mocy czynnej (rys. 7). Z rysunku 7a wynika, że w przypadku zasilania
obwodu odbiornika napięciem sinusoidalnym o wartości przekraczającej 30 V moc
czynna dostarczona odbiornikowi za pomocą pierwszej harmonicznej P1 w czasie
równym okresowi T jest większa od mocy P ostatecznie zużytej przez odbiornik.
Nadmiar mocy czynnej zostaje zużyty na wytworzenie wyższych harmonicznych
napięcia odbiornika i zwrot mocy do obwodu za pomocą wyższych harmonicznych
(P3, P5, ...).
W przypadku zasilania odbiornika napięciem prostokątnym o wartości mniejszej
od 30 V moc czynna jest dostarczana odbiornikowi za pomocą wielu harmonicznych
(rys. 7b). Przy napięciach o wartości większej od 30 V pojawiają się zniekształcenia
napięcia odbiornika (rys. 2b). Zmieniają się stosunki poszczególnych harmonicznych
napięcia i prądu. W konsekwencji maleje współczynnik THDu (rys. 3b) i zmienia się
rola pierwszej harmonicznej w przenoszeniu mocy (rys. 7b). Przy napięciu
prostokątnym o wartości przekraczającej 35 V zaczyna maleć udział mocy czynnej
dostarczanej odbiornikowi za pomocą pierwszej harmonicznej P1, aby w końcu przy
napięciach powyżej 43 V oddawać za pomocą pierwszej harmonicznej moc z
powrotem do obwodu.
30
W
20
P1
10
P
10
20
30
40
50
P5
-10
P3
-20
P
6
P3
P5
4
U [V]
0
W
8
60
2
P7
0
-2
10
20
30
P9
P1
-4
a
40
U [V]
b
Rys. 7. Zależność mocy wypadkowej P oraz nieparzystych harmonicznych mocy od pierwszejP1 do
dziewiątej P9 odbiornika badanego przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym (a) i prostokątnym (b).
Fig. 7. Dependences of result active power P of testing receiver and odd harmonic active power on the
first P1 to the ninth P9 at the sinusoidal voltage supply (a) or rectangular one (b).
Włączenie dodatkowo do obwodu pomiarowego watomierza elektrodynamicznego
o znamionowym współczynniku mocy równym 0,1 i parametrach obwodu prądowego:
36,8 mΩ, 12,7 µH powodowało zmianę wartości mocy czynnej odbiornika od kilku do
kilkunastu procent przy napięciu zasilającym powyżej 30 V`. Należy zauważyć, że
impedancja obwodu prądowego watomierzy o znamionowym współczynniku mocy
równym jeden jest zwykle większa od impedancji watomierza o tym samym zakresie
prądowym i współczynniku mocy równym 0,1.
4. WNIOSKI
Pomiar mocy w obwodzie prądu przemiennego zawierającym element nieliniowy
wymaga szczególnej ostrożności w doborze przyrządów pomiarowych.
Uwarunkowane to jest znaczną zmianą parametrów odbiornika ze zmianą warunków
zasilania. Jeżeli napięcie odbiornika jest sinusoidalne lub bardzo bliskie
sinusoidalnemu to przyrządy do pomiaru napięcia i mocy czynnej i biernej należy
dobierać do częstotliwości harmonicznej podstawowej napięcia zasilającego.
Natomiast przyrząd mierzący prąd musi mieć zakres częstotliwości pracy sięgający co
najmniej jedenastej harmonicznej, aby zminimalizować wartość błędów
częstotliwościowych. Należy zwrócić uwagę na fakt, że sinusoidalne napięcie
zasilające nie gwarantuje sinusoidalnej zmiany napięcia odbiornika. Jest to
spowodowane impedancjami pozostałych elementów obwodu elektrycznego
połączonymi szeregowo z odbiornikiem, na przykład impedancją wewnętrzną źródła
zasilania, impedancją prądowych obwodów pomiarowych, itp. Jak wykazały badania
moc czynna dostarczona wówczas odbiornikowi nieliniowemu w czasie równym
okresowi napięcia zasilającego jest w przybliżeniu równa różnicy pierwszej i trzeciej
harmonicznej mocy czynnej.
Jeżeli napięcie odbiornika jest niesinusoidalne, na przykład prostokątne, i równe
napięciu zasilania, to moc czynna dostarczona odbiornikowi jest równa sumie
harmonicznych mocy czynnej. Natomiast, gdy napięcie niesinusoidalne odbiornika nie
jest równe napięciu zasilania to zachodzą procesy powodujące zmiany udziału i roli
poszczególnych harmonicznych mocy czynnej w przekazywaniu mocy czynnej
odbiornikowi. Prawidłowy dobór przyrządów wymaga szczegółowej analizy zjawisk
zachodzących w określonych warunkach pracy odbiornika. Szczególną uwagę należy
zwracać na wartość impedancji obwodów prądowych. Nawet niewielkie wartości
impedancji obwodów prądowych mogą radykalnie zmienić warunki pracy odbiornika
nieliniowego a w konsekwencji powodować duże niepewności pomiarowe.
Pomiar mocy biernej przy niesinusoidalnym napięciu i prądzie odbiornika
nastręcza przede wszystkim trudności definicyjne. Nie ma jednej powszechnie
akceptowanej teorii mocy biernej. Wyznaczanie mocy biernej na podstawie pola
powierzchni zamkniętej pętli, zakreślonej na płaszczyźnie fazowej napięcie-prąd
prowadzi do tego, że na przykład przy napięciu prostokątnym uzyskuje się wartości
mocy biernej większe od wartości mocy pozornej.
LITERATURA
1] BAKOV Ju.W., Moščnost peremiennogo toka, Ivanovo, 1999, 5 – 125.
[2] BOLIKOWSKI J., CZARNECKI L., MIŁEK M., Pomiary wartości skutecznej i mocy w obwodach o
przebiegach niesinusoidalnych, Warszawa, PWN, 1990.
[3] CZARNECKI L.S., Moce i kompensacja w obwodach z okresowymi przebiegami prądu i napięcia.
Centrum Promocji Jakości i Efektywnego Użytkowania Energii Elektrycznej Akademii Górniczo –
Hutniczej, Kraków, styczeń 2002.
[4] KOLASA J., KOSOBUDZKI G., Relacje między mocami odbiornika liniowego zasilanego napięciem
niesinusoidalnym. Kongres Metrologii 2004, Wrocław, 6-9 września 2004, t. I, 151-154.
[5] KOSOBUDZKI G., Moc reaktywna, jej symulacja i pomiar. Rozprawa doktorska. Wrocław, styczeń
2004.
[6] KUŚMIEREK Z., Pomiary mocy i energii w układach elektroenergetycznych, Warszawa, WNT, 1994,
26-111.
Electric power of resistance-inductance nonlinear receiverproblems of measurement
Measure of nonlinear resistance - inductance receiver power is difficult. A ferromagnetic core is built
in these receivers. Changes of supply voltage (current) value influence on changes of magnetization state
of core. Specially great changes appear when a magnetic circuit core is closed. Then changes of voltage
(current) curves, its impedance value, power, power coefficient and etc. occur. To reduce measurement
uncertainty, measurement instrument requirements must be high. In the article, study results of influences
of different parameters (shape of supply voltage curves, resistance of measurement current circuits) on
work conditions of nonlinear resistance - inductance receivers are presented. Conclusions from fitting of
instrument parameters to active power measurement of the receiver are gave out.