Szereg harmoniczny na komputerze n Î+„

Programy komputerowe
Szereg harmoniczny na komputerze
Petr Eisenmann, Martin Kuril
W pracy tej opiszemy przypadek wykorzystania
komputera do odkrycia pewnej hipotezy w nauczaniu matematyki w szkole ¶redniej. Ta hipoteza
dotyczy szeregu harmonicznego:
1+
1
2
+
1
3
+‡+
1
n
+ ‡,
który jest przyk³adem szeregu rozbie¿nego (z sum±
równ± + „, chocia¿ spe³niaj±cego warunek
konieczny zbie¿no¶ci szeregu, tzn. ci±g n-tych
wyrazów szeregu jest zbie¿ny do zera.
Jak wiadomo, ci±g sum cz±stkowych
Sn = 1 +
1
2
+
1
3
+‡+
1
n
ro¶nie powoli. W podrêcznikach analizy matematycznej [1] znajdziemy, ¿e
s1000 = 7,48 ‡, s1 000 000 = 14,39 ‡.
Chc±c uzyskaæ kolejne warto¶ci sn, mo¿na pierwsze rachunki prowadziæ za pomoc± kalkulatora.
Tak mo¿emy, na przyk³ad, obliczyæ (z dok³adno¶ci± do 7 miejsc po przecinku), ¿e
s1 = 1,0000000 s6 = 2,4500000 s11 = 3,0198773
s2 = 1,5000000 s7 = 2,5928571 s12 = 3,1032107
s3 = 1,8333333 s8 = 2,7178571 s13 = 3,1801338
s4 = 2,0833333 s9 = 2,8289683 s14 = 3,2515623
s5 = 2,2833333 s10 = 2,9289683 ‡
Zainteresowa³y nas sumy s1, s4, s11, ‡, gdy
suma czê¶ciowa po raz pierwszy osi±ga warto¶æ
1, 2, 3, ‡. Odpowiednie indeksy 1, 4, 11, ‡
oznaczyli¶my przez p1, p2, p3, ‡. Wówczas pn jest
wska¼nikiem (indeksem) dok³adnie tej sumy
cz±stkowej szeregu harmonicznego, dla którego
zachodz± warunki:
sp − 1 ` n, sp ñ n.
Dla znalezienia dalszych warto¶ci wyrazów ci±gu
{pn} kalkulator ju¿ nie wystarcza, poniewa¿ ci±g
{pn} szybko ro¶nie, tj. w celu uzyskania warto¶ci
dalekich wyrazów trzeba zliczaæ coraz wiêcej
wyrazów szeregu harmonicznego.
Z tego powodu stworzyli¶my program (przedstawiamy wersjê w QBasicu) s³u¿±cy do obliczeñ
M-tego wyrazu danego ci±gu. Oto ten program.
10 REM Szereg harmoniczny
20 CLS: PRINT "Szreg harmoniczny" : PRINT
30 S#=0 : P#=1 : N=1 : M=1
40 S#=S#+1/P# : P#=P#+1 : IF S#<N THEN 40
50 PRINT N, P#−1, S#
60 N=N+1 : IF N<=M THEN 40
70 END
n
n
14
Jesieñ 2003
Obliczenia liczby pn wraz ze wzrostem n s±
czasoch³onne, potrzebny na to czas zale¿y jednak
od rodzaju komputera. W ka¿dy razie bez pomocy
tego urz±dzenia, nie byliby¶my w stanie policzyæ
warto¶ci wyrazów tego ci±gu. Poni¿ej podajemy
18 pierwszych wyrazów rozwa¿anego ci±gu.
1
227
33 617
4 989 191
4
616
91 380
13 562 027
11
1 674 248 397
36 865 412
31
4 550 675 214
‡
83
12 367 1 835 421
Zauwa¿yli¶my, ¿e ka¿dy wyraz tego ci±gu jest
w przybli¿eniu trzykrotno¶ci± wyrazu poprzedniego.
W celu weryfikacji tej hipotezy przeprowadzili¶my
(znowu przy pomocy komputera) obliczenia
stosunków
pn + 1
pn
i otrzymali¶my ci±g (kolejne wyrazy w odpowiednich
kolumnach):
4
2,7136‡
2,7182675‡
2,75
2,7175‡
2,7182862‡
2,8181‡
2,718440‡
‡
2,6774‡
2,718021‡
2,7348‡
2,7182825‡
Wyrazy tego ci±gu, na pierwszy rzut oka, s± zaskakuj±co bliskie Eulerowej liczbie e. By³o zatem mo¿liwe sformu³owanie hipotezy:
lim
n Î +„
pn + 1
pn
= e.
(1)
Z drugiej jednak strony, rezultat ten nie jest a¿ tak
bardzo zaskakuj±cy, je¿eli u¶wiadomimy sobie
zwi±zek szum czê¶ciowych szeregu harmonicznego
z ca³k±
A dx
c1 x
= lnA.
Je¶li wiêc hipoteza (1) jest prawdziwa, to oznacza,
¿e {pn} jest okre¶lonym „kwazigeometrycznym”
ci±giem z ilorazem e. Jest zatem mo¿liwa ocena
w przybli¿eniu warto¶ci dalszych jego wyrazów,
ju¿ bez obliczeñ sum cz±stkowych szeregu
harmonicznego.
Mo¿na oczywi¶cie wykazaæ, ¿e dla ka¿dej
liczby naturalnej n zachodzi
p
1 − p1 ` ln p ` 1 + p1 .
(2)
Z tego, ¿e ci±g
n+1
n
n
n
1
J pn K
zd±¿a do zera oraz z twierdzenia o trzech ci±gach
wynika, ¿e
Matematyka i Komputery Nr 15
Programy komputerowe − kalkulatorowe
p
lim n + 1
n Î + „ pn
= e,
czyli hipoteza (1) jest udowodniona.
Spójrzmy teraz na to, jak mo¿na okre¶liæ dalsze
wyrazy ci±gu {pn}. Z (2) otrzymamy po kolejnych
przekszta³ceniach
pn ¼ e
1 − p1
1 + p1
` pn + 1 ` pn ¼ e ,
(3)
sk±d mo¿na na podstawie znajomo¶ci wyrazu pn
oceniæ warto¶æ wyrazu pn + 1.
Sprawd¼my to oszacowanie w przypadku
obliczania warto¶ci wyrazu p10 za pomoc±
warto¶ci p9. Zgodnie z (3) mamy:
1−
4500 ¼ e
` p10 ` 4550 ¼ e1 + ,
12365,4† ` p10 ` 12370,9†,
a zatem p ð {12 366, 12 367, 12 368, 12 369, 12 370}.
Widzimy, ¿e w³a¶ciwa warto¶æ jest p10 = 12 367.
Zainteresujmy siê teraz problemem dok³adno¶ci
warto¶ci pn + 1 przy u¿yciu wzoru (3). Interesuje
nas d³ugo¶æ 2dn = bn − an przedzia³u (an, bn),
1−
an = pn ¼ e
,
n
n
1
450
1
4550
1
pn
bn = pn ¼ e
1 + p1
n
.
Korzystaj±c z regu³y de l'Hospitala wyliczymy, ¿e
lim 2dn = 2e.
n Î +„
Je¿eli zatem podstawimy
pn + 1 Q 12 (an + bn ),
ró¿nimy siê od rzeczywistej warto¶ci o mniej ni¿
dn, przy czym dn zd±¿a do e.
Literatura
1. Fichtencholz G.M., Matematiczeskij analiz, Moskwa
GIFML, 1962.
Autorzy s± nauczycielami akademickimi
PF UJEP
w Usti nad Labem
Z czeskiego t³umaczy³
Adam P³ocki
Matematyka i Komputery Nr 15
Jesieñ 2003
15
Powrót