kl=∑∑ kl - E-SGH

DWUWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
Def. Funkcję (X, Y) określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych, która
każdemu zdarzeniu przyporządkowuje parę liczb rzeczywistych (x,y),
nazywamy dwuwymiarową zmienną losową.
Def. Zmienna losowa (X, Y) jest skokowa jeśli przyjmuje skończoną lub
przeliczalną liczbę wartości (xi, yi) (i=1,2...) odpowiednio z
prawdopodobieństwem pij.
Rozkład zmiennej losowej skokowej określa się za pomocą:
– funkcji prawdopodobieństwa pij=P(X=xi, Y=yj) (i=1,2,...,k, j=1,2...,l),
gdzie ∑∑ pij = 1
i
j
– dystrybuanty F(x,y)=
∑∑p
xi ≤ X y j ≤Y
xi
yj y1
=1
y2 . . . . . . yl
∑p
ij
j
x1
x2
.
.
.
xk
∑p
i
ij
ij
P11 p12 . . . . . . p1l
P21 p22 . . . . . . p2l
pk1
pk2 . . . . . . pkl
P1.
P2.
.
.
.
Pk.
p.1
p.2 . . . . . . p.l
1
Def. Zbiór prawdopodobieństw pi.=P(X=xi) oraz p.j=P(Y=yj) wyznacza
brzegowe rozkłady zmiennej losowej X oraz zmiennej losowej Y.
Wyznaczamy je jako sumę prawdopodobieństw pij w odpowiednim wierszu /
kolumnie, np.:
P1.=p11+p12+...+p1l
p.1=p11+p21+...+p2k
Def. Momentem zwykłym rzędu k+l (k,l=0,1,2,...)dwuwymiarowej zmiennej
losowej nazywamy wyrażenie mkl=E(XkYl)
– dla zmiennej losowej skokowej mkl= ∑∑ xi k y j l pij
– dla zmiennej losowej ciagłej mkl= ∫ ∫ xi k y j l f ( x, y )dxdy
np.:
m10=E(X) – wartość oczekiwana zmiennej X
m01=E(Y) - wartość oczekiwana zmiennej Y
Def. Momentem centralnym rzędu k+l (k,l=0,1,2....) dwuwymiarowej
zmiennej losowej nazywamy wyrażenie µ kl = E ( X − m10 ) k (Y − m01 ) l
dla zmiennej losowej skokowej µ kl = ∑∑ ( xi − m10 ) k ( y j − m01 ) l
dla zmiennej losowej ciagłej µ kl = ∫ ∫ ( x − m10 ) k ( y − m01 ) l f ( x, y )dxdy
np.:
µ 20 = E ( X − m10 ) 2 = D 2 ( X )
- wariancja odpowiednio zmiennej X i Y
µ 02 = E (Y − m01 ) 2 = D 2 (Y )
µ11 = E[( X − m10 )(Y − m01 )] = cov( X , Y )
Def. Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że wystąpiło
zdarzenie Y=yj wyznaczamy posługując się wzorem:
P(X=xi/Y=yj)=pij/p.j
a dla zmiennej j Y pod warunkiem, że nastąpiło zdarzenie X=xi:
P(Y=yj/X=xi)=pij/pi.
Rozkłady warunkowe mają następującą własność:
ΣP(X=xi/Y=yj)=1
ΣP(Y=yj/X=xi)=1
Def: Warunkowe wartości oczekiwane:
E(X/Y=yj)= ΣxiP(X=xi/Y=yj)= Σxipij/p.j
E(Y/X=xi)= ΣyjP(Y=yj/X=xi)= Σyjpij/pi.
Def. Warunkowe wariancje:
D 2 ( X / Y = y j ) = E[ X − E ( X / Y = y j )]2 = ∑ [ xi − E ( X / Y = y j )]2 P ( X / Y = y j )
D 2 (Y / X = xi ) = E[Y − E (Y / X = xi )]2 = ∑ [ y j − E (Y / X = xi )]2 P (Y / X = xi )
Def. Kowariancja zmiennej losowej (X,Y) cov(X,Y) jest momentem
centralnym rzędu drugiego dwuwymiarowego rozkładu.
cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(X,Y)-E(X)E(Y)= ∑∑ xi y j pij − ∑ xi pi. ⋅∑ y j p. j
Def. Zmienne losowe X i Y są niezależne stochastycznie, gdy dla każdej
realizacji (xi,yj) zachodzi:
pij=pi.*p.j
wówczas:
P(X=xi/Y=yj)=pij/p.j=pi.
P(Y=yj/X=xi)=pij/pi.=p.j
Oznacza to, że rozkłady warunkowe są jednakowe i takie same jak rozkłady
brzegowe.
Jeśli zmienne są niezależne, cov(X,Y)=0. Zależność w drugą stronę nie jest
prawdziwa!
Def. Współczynnik korelacji zmiennych X,Y:
ρ=
cov( X , Y )
D( X ) D(Y )
ρ ∈ − 1,1
ρ = 0 - gdy zmienne są nieskorelowane
ρ < 0 - zależność ujemna (wraz ze wzrostem wartości X, maleją wartości Y)
ρ > 0 - zależność dodatnia (wraz ze wzrostem wartości X, rosną wartości Y)