1 Ćwiczenie laboratoryjne L2 Temat: Analiza czasów pracy

Ćwiczenie laboratoryjne L2
Temat:
Analiza czasów pracy obiektów,
empiryczne przebiegi funkcyjne i wskaźniki niezawodności
Zakres ćwiczenia i analiz:
1.
Ćwiczenie jest realizowane zgodnie z procedurami zamieszczonymi w
instrukcji. Obliczenia oraz przebiegi są realizowane za pomocą programu
EXCEL, CARE BQR lub MATLAB.
2. Wprowadzenie danych o czasach uszkodzeń elementów. Założyć w tym celu
w ramach programu EXCEL plik o nazwie składającej się do 8 znaków
(pierwsze 4 litery nazwisk studentów podgrupy laboratoryjnej). Wprowadzić
dane z udostępnionej podczas ćwiczeń tablicy, zgodnie z NPL (Numer
Podgrupy Laboratoryjnej). NPL i zestaw danych (Ai lub Bi, i=NPL) należy
uzgodnić z prowadzącym ćwiczenia laboratoryjne. Niezbędne wzory
i parametry zostały zamieszczone w załączniku do ćwiczenia laboratoryjnego
L2.
3. Korzystając z programu obliczyć i wydrukować podstawowe wskaźniki
charakteryzujące właściwości statystyczne wprowadzonych danych.
Wykorzystać w tym celu procedury obliczania wskaźników w EXCEL-u,
„wklej funkcję” kategoria funkcji „statystyczne”.
Oblicz wartość:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
średnią
wariancję
odchylenie standardowe
skośność
skośność standaryzowaną
kurtozę
trzeci moment centralny
czwarty moment centralny
kwartale dla współczynników 1, 2, 3, 4.
4. Korzystając w dalszej analizie z danych empirycznych, sporządzić przebiegi
funkcji niezawodności R(t), intensywności uszkodzeń λ(t) oraz gęstości funkcji
rozkładu zmiennej losowej f(t). Przyjmując horyzonty czasowe w ten sposób,
aby uzyskać przynajmniej osiem przedziałów czasowych z zestawu podanych
danych empirycznych.
1
5. Opracować interpretację wyników w domu oraz sprawdzić „ręczne”
prawdziwość uzyskanych wyników. (Co najmniej trzech).
Załącznik do ćwiczenia nr 1
Momenty empiryczne i niektóre wskaźniki w programie EXCEL
Jeżeli wynikiem pomiarów (obserwacji) jest szereg rozdzielczy: x1 , x2 ,..., xn , to
momenty empiryczne można określić następująco
m1 =
1 n
∑ xi
n i =1
1 n
( xi − m1 ) 2
∑
n i =1
1 n
m3 = ∑ ( xi − m1 ) 3
n i =1
1 n
m4 = ∑ ( xi − m1 ) 4
n i =1
m2 =
średnia
wariancja
trzeci moment centralny
czwarty moment centralny
Odchylenie standardowe (dyspersję) wyznacza się wówczas jako: σ = m2 .
n
K2 =
m2
n −1
n2
K3 =
m3
( n − 1)( n − 2 )
n2
K4 =
[(n + 1)m4 − 3(n − 1)m22 ]
(n − 1)(n − 2)(n − 3)
m1
K2
K2
K2
n
K3
( K2 ) 3 2
Średnia
Wariancja
Odchylenie standardowe
Błąd standardowy
Skośność
n K3
6 ( K2 ) 3 2
K4
( K2 ) 2
Kurtoza
n K4
24 ( K2 ) 2
Kurtoza standaryzowana
Skośność standaryzowana
2
Parametry empiryczne pomiarów (obserwacji) dzieli się często na dwie kategorie:
charakterystyki związane z miarą położenia (np. średnia) i z miarą rozproszenia (np.
dyspersja). Trzeci i czwarty moment centralny nie mają większego znaczenia
praktycznego.
Skośność (skewness) jest wielkością niemianowaną, wyrażającą niecentralność
pomiarów (obserwacji). Jeśli pomiary rozłożone są symetrycznie względem wartości
średniej, to skośność wynosi zero. Przy asymetrii prawostronnej (więcej obserwacji z
prawej strony wartości średniej) wielkość ta przyjmuje wartość dodatnią, a przy
asymetrii lewostronnej wartość ujemną.
Kurtoza jest również wielkością niemianowaną, określającą „garbatość” wyników
pomiarów (obserwacji). Krzywej Gaussa odpowiada wartość kurtozy równa zero.
Kurtoza histogramów "wysmukłych" (kształt ze znacznym wzrostem i opadaniem)
jest dodatnia, natomiast histogramów "spłaszczonych" (łagodny wzrost i opadanie)
jest ujemna. W przypadku wielomodalności (występuje więcej niż jedna wartość
modalna, to jest lokalnych maksimów funkcji gęstości) wielkość ta traci sens.
Wartość modalna, kwantyl i mediana
Ważną grupę parametrów rozkładu stanowią tzw. parametry pozycyjne.
Wartością modalną Mo(X) zmiennej losowej ciągłej X jest jej wartość x, dla której
funkcja gęstości f(x) osiąga swe maksimum, tzn. f ' ( x ) x = Mo ( X ) = 0 przy
f ' ' ( x ) x = Mo ( X ) < 0 . Wartość modalną będziemy oznaczać przez x M . Parametr ten
charakteryzuje centrum skupienia wartości zmiennej losowej X.
W przypadku zmiennej losowej dyskretnej wartość modalna jest to taka jej wartość
x M = xi , dla której: P ( X = xi −1 ) < P( X = xi ) > P( X = xi +1 ) , czyli P ( X = xi ) jest większe
niż prawdopodobieństwa dla wartości zmiennej losowej z nią sąsiadującymi X = xi −1
i X = xi +1 . Zmienna losowa może mieć jedną lub więcej wartości modalnych, albo też
może nie mieć ich wcale. Rozkład o jednej wartości modalnej nazywa się rozkładem
jednomodalnym.
Ważną grupę parametrów rozkładu zmiennej losowej stanowią kwantyle. Kwantylem
rzędu α zmiennej losowej X nazywamy taką wartość xα , dla której są spełnione
warunki
P ( X ≤ xα ) ≥ α , P ( X ≥ xα ) ≥ 1 − α
dla ustalonego α z przedziału (0,1). Dla ciągłej zmiennej losowej X warunki te
prowadzą do równości
F ( xα ) = α
Kwantyl rzędu α=0.5 jest nazywany medianą danej zmiennej losowej.
3
Prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu do uszkodzenia (funkcja
niezawodności) dla ustalonej chwili t:
R (t ) =
n(t ) n − m(t )
m(t )
=
=1−
n
n
n
gdzie:
n – liczba badanych obiektów zdatnych w chwili t = 0
n(t) – liczba obiektów zdatnych w chwili t
m(t) – liczba obiektów niezdatnych w chwili t
Intensywność uszkodzeń czyli funkcja ryzyka
λ (t ) =
∆m(t , ∆t )
(n − m(t )) ⋅ ∆t
gdzie:
m(t) – liczba obiektów uszkodzonych do chwili t
∆m(t, ∆t) – liczba obiektów uszkodzonych od chwili t w przedziale ∆t
Funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej t
f (t ) =
n(t ) − n(t + ∆t ) ∆m(t , ∆t )
=
n ⋅ ∆t
n ⋅ ∆t
4