Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Piotr Dworczak
Nr albumu: 291564
Optymalne stałe w nierówności
typu LlogL dla ciągłych
martyngałów
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dra Adama Osękowskiego
Instytut Matematyki
Maj 2012
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierujcego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
Nierówność Dooba pozwala oszacować p-tą normę (dla p > 1) funkcji maksymalnej martyngału przez jego p-tą normę. Wykorzystując metodę funkcji specjalnych Burkholdera dowodzę
analogicznej nierówności dla przypadku p = 1. Okazuje się, że nierówność staje się wówczas
nierównością typu LlogL. Ponadto znajduję optymalne stałe i przedstawiam przykładowe
zastosowanie nierówności do martyngału wykładniczego i procesów Bessela.
Słowa kluczowe
ciągły martyngał, nierówność Dooba, nierówność typu LlogL, optymalna stała, proces Wienera, wzór Itô, moment zatrzymania, martyngał wykładniczy, proces Bessela
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
60 Probability theory and stochastic processes
60G Stochastic processes
60G44 Martingales with continuous parameter
Tytuł pracy w języku angielskim
Optimal constants in a LlogL inequality for continuous martingales.
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Definicje i podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Filtracje i martyngały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Rozkład Dooba-Meyera i wzór Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
2. Nierówność Dooba i metoda Burkholdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Metoda funkcji specjalnych Burkholdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Nierówność Dooba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
3. Główne wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Dowód nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Optymalność stałych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
20
4. Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Martyngał wykładniczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Procesy Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
27
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3
Wprowadzenie
Jednym z podstawowych narzędzi analizy stochastycznej jest nierówność Dooba. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska amerykańskiego matematyka, Josepha Leo Doob’a, który
w znaczący sposób przyczynił się do rozwoju teorii procesów stochastycznych w pierwszej
połowie XX-tego wieku (większość wyników z tego okresu zawarł on w swojej słynnej książce
”Stochastic processes”, [Doo53]). Nierówność Dooba pozwala szacować z góry p-tą normę (dla
p > 1) supremum z wartości bezwzględnej procesu będącego martyngałem lub nieujemnym
podmartyngałem. Nierówność ta jest wykorzystywana między innymi w dowodzie twierdzenia
o zbieżności martyngałów w Lp , ponadto często pozwala znajdywać całkowalne majoranty
w celu zastosowania twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej. Jeżeli (Xt )t­0 jest
martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, to nierówność Dooba stwierdza, że dla dowolnego p > 1 zachodzi
p
p
E sup |Xt |p ¬
sup E|Xt |p .
(1)
p
−
1
t­0
t­0
Można postawić naturalne pytanie, czy nierówność (1) jest nadal prawdziwa, gdy p = 1.
Odpowiedź jest negatywna, tzn. nie istnieje skończona stała C taka, że dla wszystkich ciągłych
martyngałów zachodzi E supt­0 |Xt | ¬ C supt­0 E|Xt |.
Okazuje się jednak, że można uzyskać oszacowanie na wartość oczekiwaną supremum, jeżeli po prawej stronie nierówności pojawi się wyrażenie typu LlogL i dodatkowa stała. Ściślej,
dla dowolnego K > 1 istnieje stała L = L(K), zależna wyłącznie od K, o następującej własności. Jeżeli (Xt , Ft )t­0 jest ciągłym martyngałem lokalnym (lub nieujemnym podmartyngałem
lokalnym), to zachodzi
E sup |Xt | ¬ K sup E|Xτ | log |Xτ | + L(K),
t­0
(?)
τ ∈T
gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do
filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 . Ponadto, przy nieco mocniejszych założeniach
o procesie (Xt )t­0 zachodzi
E sup |Xt | ¬ K sup E|Xt | log |Xt | + L(K).
t­0
t­0
Nierówność (?) jest przedmiotem tej pracy. Prezentuję dowód tej nierówności w oparciu o metodę zaproponowaną przez Burkholdera ([Bur91]), polegającą na konstrukcji funkcji specjalnych. Ponadto dla każdego K > 1 znajduję optymalną stałą L(K), tzn. taką, że dla każdego
L0 < L(K) nierówność (?) ze stałą L0 zamiast L(K) nie zachodzi.
Praca jest zorganizowana w następujący sposób. Rozdział pierwszy zawiera podstawowe
definicje i twierdzenia wykorzystywane w dalszej części pracy. W rozdziale drugim przedstawiam dowód klasycznej nierówności Dooba i prezentuję na jego przykładzie metodę funkcji specjalnych Burkholdera, która zostanie użyta do dowodu głównego twierdzenia pracy.
Rozdział trzeci obejmuje główne wyniki, to znaczy dowód nierówności (?) oraz twierdzenie
5
mówiące o optymalnych stałych w tejże nierówności. Rozdział czwarty zawiera przykładowe zastosowania wyników z rozdziału trzeciego. Ostatni rozdział podsumowuje rozważania
z całej pracy.
6
Rozdział 1
Definicje i podstawowe pojęcia
W tym rozdziale prezentuję definicje pojęć i twierdzenia, które będą potrzebne w dalszej
części pracy. Rozpoczniemy od definicji filtracji i martyngału.
1.1. Filtracje i martyngały
Do zdefiniowania martyngału niezbędne jest pojęcie filtracji.
Definicja 1.1. Filtracją (Ft )t­0 przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy rosnącą
rodzinę σ-ciał zawartych w F.
Definicja 1.2. Niech X = (Xt )t­0 będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną
przez X nazywamy rodzinę (FtX )t­0 daną wzorem FtX = σ(Xs : s ¬ t), gdzie σ(X) oznacza
σ-ciało generowane przez zmienną losową X.
Zawsze, gdy w pracy odnoszę się do martyngału i nie podaję filtracji, należy zakładać,
że rozpatrujemy ten martyngał względem naturalnej filtracji. Bardzo często w twierdzeniach
wymaga się, by filtracja spełniała pewne dodatkowe warunki. Dlatego wprowadzamy następującą definicję.
Definicja 1.3. Powiemy, że filtracja (Ft )t­0 spełnia zwykłe warunki, jeśli:
1. jest prawostronnie ciągła, tzn. dla każdego t ­ 0, Ft = Ft+ :=
T
s>t Fs ,
2. dla każdego t ­ 0, Ft zawiera wszystkie zbiory miary zero.
Zauważmy, że filtracja generowana przez proces o prawostronnie ciągłych trajektoriach
jest prawostronnie ciągła. Dysponując pojęciem filtracji możemy zdefiniować martyngał z czasem ciągłym.
Definicja 1.4. Proces stochastyczny (Xt )t­0 jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji (Ft )t­0 , jeśli
1. dla każdego t ­ 0, Xt jest mierzalny względem Ft oraz E|Xt | < ∞,
2. dla dowolnych t, s ­ 0 takich, że s < t, E(Xt |Fs ) = Xs p.n. (odp. ­ dla podmartyngału
oraz ¬ dla nadmartyngału).
Będziemy mówić, że martyngał jest ciągły, jeżeli z prawdopodobieństwem 1 jego trajektorie są ciągłymi funkcjami czasu. Najważniejszym przykładem ciągłego martyngału jest proces
Wienera. Ponieważ będzie on odgrywał istotną rolę w dowodzie optymalności stałych, podaję
jego pełną definicję.
7
Definicja 1.5. Procesem Wienera (ruchem Browna) nazywamy proces stochastyczny W = (Wt )t­0
spełniający warunki
1. W0 = 0 p.n.,
2. W ma przyrosty niezależne, tzn. dla dowolnych 0 ¬ t0 ¬ t1 ¬ ... ¬ tn zmienne losowe
Wt0 , Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , ..., Wtn − Wtn−1 są niezależne,
3. dla dowolnych t ­ s ­ 0 zmienna Wt − Ws ma rozkład normalny N (0, t − s),
4. proces W jest ciągły.
Kolejnym pojęciem, które posłuży do zdefiniowania martyngału loklanego, jest moment
zatrzymania.
Definicja 1.6. Momentem zatrzymania względem filtracji (Ft )t­0 nazywamy zmienną losową τ o wartościach w [0, ∞] taką, że {τ ¬ t} ∈ Ft dla wszystkich t ­ 0.
Dla martyngału X = (Xt , Ft )t­0 i momentu zatrzymania τ możemy zdefiniować proces
stochastyczny X τ dany wzorem Xtτ = Xt∧τ . Wówczas X τ jest martyngałem względem filtracji
(Ft )t­0 . Pozwala to wprowadzić następującą definicję.
Definicja 1.7. Proces stochastyczny (Xt )t­0 jest martyngałem lokalnym (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem lokalnym) względem filtracji (Ft )t­0 , jeśli istnieje ciąg momentów
zatrzymania τn % ∞ taki, że dla każdego n proces X τn jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji (Ft )t­0 .
Uogólnieniem pojęcia martyngału lokalnego jest pojęcie semimartyngału, które okaże się
użyteczne przy formułowaniu twierdzenia Itô. Najpierw będziemy jednak potrzebowali jeszcze
jednej definicji procesów.
Definicja 1.8. Niech (Ft )t­0 będzie filtracją. Powiemy, że proces stochastyczny A = (At )t­0
należy do klasy V c , jeżeli jest adaptowalny do filtracji (Ft )t­0 (tzn. dla każdego t ­ 0 zmienna At
jest Ft -mierzalna), ciągły oraz ma wahanie skończone na każdym przedziale [0, t], tzn. dla
każdego t ­ 0
sup
( n
X
)
|Ati − Ati−1 | : n ∈ N, 0 = t0 ¬ t1 ¬ ... ¬ tn = t
< ∞.
i=1
Definicja 1.9. Proces stochastyczny X = (Xt )t­0 nazywamy ciągłym semimartyngałem
względem filtracji (Ft )t­0 , jeżeli da się przedstawić w postaci X = X0 + M + A, gdzie X0 jest
zmienną losową F0 -mierzalną, M - ciągłym martyngałem lokalnym względem filtracji (Ft )t­0 ,
a A ∈ V c.
1.2. Rozkład Dooba-Meyera i wzór Itô
W tym podrozdziale sformułuję dwa podstawowe twierdzenia analizy stochastycznej, na które
będę się powoływał w dalszej części pracy. Twierdzenie o istnieniu dekompozycji DoobaMeyera podam w sformułowaniu nieco ogólniejszym niż potrzebne w pracy. W tym celu
należy wprowadzić jedną dodatkową definicję.
Definicja 1.10. Niech T będzie zbiorem wszystkich skończonych p.n. momentów zatrzymania
(względem filtracji (Ft )t­0 ). Proces X = (Xt )t­0 o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest
w klasie DL, jeżeli rodzina (Xτ )τ ∈T jest jednostajnie całkowalna.
8
Twierdzenie 1.1. [Dekompozycja Dooba-Meyera] Niech filtracja (Ft )t­0 spełnia zwykłe warunki. Każdy podmartyngał (Xt , Ft )t­0 o prawostronnie ciągłych trajektoriach z klasy DL
daje się jednoznacznie zapisać jako suma
X = M + A,
gdzie (Mt , Ft )t­0 jest martyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach, M0 = 0, a (At )t­0
jest procesem adaptowalnym do filtracji (Ft )t­0 i niemalejącym.
Dowód. Zobacz [Kar91].
W pracy będę stosował dekompozycję Dooba-Meyera jedynie do nieujemnych podmartyngałów lokalnych. Zachodzą następujące proste fakty, których dowody można znaleźć w [Kar91].
Fakt 1.1. Każdy nieujemny podmartyngał o prawostronnie ciągłych trajektoriach jest w klasie DL.
Fakt 1.2. Jeżeli (Xt , Ft )t­0 jest nieujemnym i ciągłym podmartyngałem, X = M + A tak
jak w dekompozycji Dooba-Meyera, to zarówno martyngał M , jak i proces A są ciągłe.
Zauważmy też, że dekompozycję Dooba-Meyera można przeprowadzić dla podmartyngału
lokalnego, otrzymując wtedy w tezie rozkład na proces niemalejący i martyngał lokalny.
Dekompozycja Dooba-Meyera pozwala w szczególności na wprowadzenie definicji nawiasu
skośnego.
Definicja 1.11. Niech (Xt , Ft )t­0 będzie martyngałem (lokalnym). Wówczas nawiasem skośnym martyngału X nazywamy
proces hXi = (hXit )t­0 ciągły, niemalejący, hXi0 = 0 oraz
2
taki, że Xt − hXit , Ft t­0 jest martyngałem (lokalnym). Proces hXi jest wyznaczony jednoznacznie.
Jeżeli (Xt , Ft )t­0 jest ciągłym semimartyngałem, X = X0 + M + A, gdzie M jest częścią
martyngałową, to przyjmujemy hXi = hM i . Jeżeli (Yt , Ft )t­0 jest ciągłym semimartyngałem,
Y = Y0 + N + B, gdzie N jest częścią martyngałową, to definiujemy nawias skośny procesów
X i Y jako hX, Y i = hM, N i = 41 [hM + N i − hM − N i].
Twierdzenie 1.2. [Wzór Itô] Załóżmy, że f : G → R (G ⊆ Rd , otwarty) jest funkcją kla(i)
sy C 2 oraz X = (X (1) , ..., X (d) ), gdzie X (i) = X0 +M (i) +A(i) są ciągłymi semimartyngałami
dla i = 1, 2, ..., d. Wówczas f (X) jest semimartyngałem oraz
t
f (Xt ) = f (X0 ) +
d Z
X
∂f
i=1 0
∂xi
(Xs )dXs(i)
d
1 X
+
2 i,j=1
Zt
0
D
E
∂2f
(Zs )d M (i) , M (j) .
s
∂xi ∂xj
Dowód. Zobacz [Lat11].
Definicje i własności całek stochastycznych występujących we wzorze Itô (tzn. całki z procesu stochastycznego względem lokalnego martyngału oraz całki Lebesgue’a-Stieltjesa względem procesu o wahaniu skończonym) nie będą prezentowane w tej pracy. Zainteresowanych
Czytelników odsyłamy do [Lat11].
9
Rozdział 2
Nierówność Dooba i metoda
Burkholdera
2.1. Metoda funkcji specjalnych Burkholdera
W tym podrozdziale prezentuję metodę dowodzenia nierówności dla martyngałów zaproponowaną przez Burkholdera ([Bur91]). Metoda ta zostanie najpierw użyta w dowodzie klasycznej
nierówności Dooba (w celu zobrazowania jej działania na prostym przykładzie), a następnie
w głównym dowodzie pracy do wykazania nierówności (?). Metodę funkcji specjalnych można
stosować zarówno do procesów z czasem ciągłym, jak i z czasem dyskretnym. Dla zachowania
spójności pracy, skupiam się na procesach z czasem ciągłym.
Wiele nierówności, w których występują martyngały i ich normy, można zapisać w postaci EV (Xt ) ¬ L, gdzie V jest funkcją rzeczywistą określoną na podzbiorze S ⊆ Rd ,
(1)
(2)
(d)
X = (Xt )t­0 = (Xt , Xt , ..., Xt )t­0 jest pewnym d-wymiarowym procesem stochastycznym, a L stałą. Pierwszym krokiem w metodzie Burkholdera jest zatem sprowadzenie nierówności do takiej postaci. Następnie szukamy funkcji U : S → R o następujących trzech
własnościach:
• dla każdego x ∈ S, V (x) ¬ U (x),
• (U (Xt ))t­0 jest nadmartyngałem,
• EU (X0 ) ¬ L.
Z pierwszej własności natychmiast wynika, że EV (Xt ) ¬ EU (Xt ), z drugiej zaś, że EU (Xt ) ¬
EU (X0 ). Mamy zatem ciąg oszacowań EV (Xt ) ¬ EU (Xt ) ¬ EU (X0 ) ¬ L, który daje wyjściową nierówność i kończy dowód. Główny ciężar dowodu skupia się zatem na znalezieniu
odpowiedniej funkcji (specjalnej) U .
Zauważmy, że w celu uzyskania dowodzonej nierówności z optymalnym stałymi, należy
zadbać, by dla pewnego procesu X w ciągu nierówności EV (Xt ) ¬ EU (Xt ) ¬ EU (X0 ) ¬ L
zachodziły równości. O ile równość nie jest przyjmowana dla pewnego trywialnego procesu (np. stałego w czasie), to funkcję U należy dobrać tak, żeby pokrywała się z funkcją V
na pewnym (niezbyt małym) zbiorze i żeby (U (Xt ))t­0 było martyngałem. Dla nierówności,
w której występują procesy ciągłe, użytecznym narzędziem dowodzenia, że (U (Xt ))t­0 jest
(nad)martyngałem, jest wzór Itô. Wówczas bowiem własność bycia (nad)martyngałem sprowadza się do odpowiednich własności pochodnych funkcji U. Z kolei dekompozycja DoobaMeyera pozwala na pokazanie, że dany proces jest semimartyngałem, w związku z czym użycie
wzoru Itô jest uzasadnione.
11
2.2. Nierówność Dooba
Dowód nierówności Dooba metodą funkcji specjalnych poprzedzę technicznym lematem, który
będzie wielokrotnie wykorzystany w dalszej części pracy.
Lemat 2.1. Niech S = {(x, y) ∈ R2 : |x| ¬ y}, U : S → R będzie funkcją ciągłą taką,
że dla wszystkich y ­ 0 zachodzi U (y, y) = 0 oraz f : [0, T ] → R będzie funkcją ciągłą
i f ? (t) = sups¬t |f (s)|. Wówczas
Z T
U (f (t), f ? (t)) df ? (t) = 0.
0
Dowód. Z definicji całki Stieltjesa mamy (całka jest dobrze określona, bo U (f (t), f ? (t)) jest
funkcją ciągłą, jako złożenie funkcji ciągłych, a f ? ma skończone wahanie na przedziale ograniczonym [0, T ] jako funkcja niemalejąca)
n
Z T
?
2
X
?
U (f (t), f (t)) df (t) = lim
n→∞
0
gdzie tnj ∈ [ (j−1)T
2n ,
jT
2n ]
U
f ? (j−1)T
oraz tnj =
2n
otrzymujemy
jT
2n
jT
2n ]
takie, że
f
?
jT
2n
−f
?
(j − 1)T
2n
,
jT
2n
f ? (s
= f?
j)
= f (sj ). Przyjmując tnj = sj , gdy
(j−1)T
2n
, albo f ?
jT
2n
(j−1)T
n
2
jT
f ? 2n >
> f?
w przeciwnym przypadku oraz korzystając z założenia U (y, y) = 0
n
2
X
(tnj )
(tnj można wybrać jako dowolną liczbę z tego przedziału). Ustalmy n.
i wtedy istnieje sj ∈ [ (j−1)T
2n ,
f
?
j=1
Ponieważ f ? jest niemalejąca, to albo f ?
f (tnj ),
U f (tnj ), f ? (tnj )
f?
j=1
jT
2n
− f?
(j − 1)T
2n
= 0.
Ponieważ rozumowanie to możemy powtórzyć dla dowolnego n, a całka nie zależy od wyboru
podziałów [0, T ] i punktów tnj , to mamy
Z T
U (f, f ? ) df ? = 0.
0
Ponieważ dowód nierówności Dooba służy tylko zobrazowaniu metody Burkholdera, to
twierdzenie formułuję przy mocniejszych niż zwykle założeniach.
Twierdzenie 2.1. [Nierówność Dooba]. Niech (Xt , Ft )t­0 będzie ciągłym, nieujemnym martyngałem i niech p > 1. Wówczas
E sup Xtp ¬
t­0
p
p−1
p
sup EXtp .
t­0
p
Dowód. Krok 1 (wyrażenie nierówności w postaci EV (Xt ) ¬ L). Niech q = p−1
. Niech S =
2
{(x, y) ∈ R : 0 ¬ x ¬ y}. Definiujemy funkcję V : S → R wzorem
V (x, y) = y p − q p xp .
p
p
EXtp . Jeżeli pokażemy, że
Niech Xt? = sups¬t |Xs |. Wówczas EV (Xt , Xt? ) = E (Xt? )p − p−1
12
p
p
EXtp
EV (Xt , Xt? ) ¬ 0, to biorąc supremum po t ­ 0 obu stron nierówności E (Xt? )p ¬ p−1
otrzymamy tezę.
Krok 2 (znalezienie funkcji specjalnej U ). Niech U (x, y) = py p−1 (y − qx) na S. Pokażemy,
że U spełnia trzy wymagane warunki.
• Pokażę, że U (x, y) ­ V (x, y) dla (x, y) ∈ S. Zauważmy, że przy ustalonym y, U (x, y)
jest wklęsłą funkcją x, a V (x, y) jest liniową funkcją x. Wobec tego wystarczy pokazać, że dla każdego y istnieje punkt y0 ∈ [0, y] taki, że U (y0 , y) = V (y0 , y) oraz
Ux (y0 , y) = Vx (y0 , y). Niech y0 = yq . Wówczas U (y0 , y) = 0 = V (y0 , y) oraz Ux (y0 , y)
= −pqy p−1 = Vx (y0 , y).
• Pokażę, że (U (Xt , Xt? ))t­0 jest martyngałem. Oczywiście procesy (Xt )t­0 , (Xt? )t­0 są
ciągłymi semimartyngałami (względem naturalnej filtracji; proces (Xt? )t­0 jest niemalejący, więc jest procesem z klasy V c ), a funkcja U jest klasy C 2 na S. Wzór Itô daje
zatem (zauważmy, że hXt? i = 0, hXt? , Xt i = 0)
U (Xt , Xt? )
= U (X0 , X0 ) −
Zt
pq (Xs? )p−1 dXs
+p
0
2
Zt h
i
(Xs? )p−1 − Xs (Xs? )p−2 dXs? .
0
Proces ( 0t pq (Xs? )p−1 dXs )t­0 jest martyngałem1 , natomiast funkcja pod drugą całką
znika dla Xs = Xs? . Ponieważ całka względem procesu niemalejącego jest zdefiniowana
jako całka Lebesgue’a-Stieltjesa
(dla każdego ω ∈ Ω), to na mocy Lematu 2.1
i
R t h ? p−1
p−2
?
?
− Xs (Xs )
dXs = 0. Wobec tego
0 (Xs )
R
U (Xt , Xt? )
= U (X0 , X0 ) −
Zt
pq (Xs? )p−1 dXs ,
0
czyli (U (Xt , Xt? ))t­0 jest martyngałem.
• U (X0 , X0? ) = U (X0 , X0 ). Dla funkcji U mamy ogólnie
U (x, x) = pxp − pqxp = pxp (1 −
p
p
)=−
xp ¬ 0
p−1
p−1
dla x ­ 0. Wobec tego EU (X0 , X0? ) ¬ 0.
Krok 3. Na mocy powyższego dostajemy ciąg nierówności EV (Xt , Xt? ) ¬ EU (Xt , Xt? )
= EV (X0 , X0? ) ¬ 0, co kończy dowód.
1
Formalnie, proces ten jest martyngałem lokalnym, ale można uczynić z niego martyngał przez zastosowanie standardowej techniki lokalizacyjnej. Dla przejrzystości dowodu, który służy jedynie zobrazowaniu metody,
pomijam techniczne szczegóły. W dowodzie głównej nierówności (?) lokalizacja zostanie w pełni sformalizowana.
13
Rozdział 3
Główne wyniki
3.1. Dowód nierówności
Dowód głównej nierówności przebiega według schematu zaprezentowanego w poprzednim
rozdziale, przy czym nie rozróżniam już formalnie kolejnych kroków. Pierwsze twierdzenie
obejmuje dwa przypadki, gdyż ich dowód jest bardzo podobny.
Twierdzenie 3.1. (1) Niech (Xt , Ft )t­0 będzie nieujemnym, ciągłym podmartyngałem lokalnym, X ? = supt­0 |Xt |, K > 1. Wówczas
EX ? ¬ K sup EXτ log Xτ + L,
τ ∈T
gdzie L = L(K) =
K2 1
K−1 e
oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzyma-
nia adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 .
(2) Jeżeli założymy dodatkowo, że (Xt , Ft )t­0 jest nieujemnym, ciągłym martyngałem
całkowalnym z kwadratem, który spełnia dla każdego t ­ 0
EhXt i2 < ∞,
to zachodzi silniejsza nierówność
EX ? ¬ K sup EXt log Xt + L.
t­0
Dowód. Niech S = {(x, y) ∈ R2+ : x ¬ y}. Zdefiniujmy funkcję V : S → R wzorem
(
V (x, y) =
y − Kx log x, dla x 6= 0
.
y,
dla x = 0
Pokażę, że (po ewentualnej lokalizacji) dla wszystkich t ­ 0 zachodzi
EV (Xt , Xt? ) ¬ L.
Wówczas rozpisując funkcję V , biorąc supremum obu stron po τ ∈ T i przechodząc z t do
nieskończoności, dostaniemy tezę.
Zdefiniujmy teraz funkcję U : S → R wzorem
(
U (x, y) =
K(y − x) − Kx log K−1
K y,
K2 1
K−1 e ,
15
dla y ­
dla y <
K 1
K−1 e
K 1
K−1 e
.
Łatwo sprawdzić, że U jest ciągła na S. Okazuje się, że U (x, y) ­ V (x, y) na S. Techniczny
dowód tego faktu został przeniesiony do Lematu 3.1.
Pokażę teraz, że (U (Xt , Xt? ))t­0 jest nadmartyngałem lokalnym. Korzystając z rozkładu
Dooba-Meyera możemy zapisać Xt = Mt + At , gdzie M jest martyngałem lokalnym startującym z 0, a A jest adaptowalnym i niemalejącym procesem. Wobec tego (Xt )t­0 jest ciągłym
semimartyngałem. Ponadto (Xt? )t­0 jest semimartyngałem, ponieważ jest to proces adaptowalny i niemalejący (jego część martyngałowa jest zerowa). Funkcja U nie jest klasy C 2 na
całym S, ale jest klasy C 2 wzdłuż trajektorii dwuwymiarowego procesu ((Xt , Xt? ))t­0 , wobec
tego można zastosować wzór Itô1 . Zauważmy, że hXt? i = 0 oraz hXt , Xt? i = 0, zatem
U (Xt , Xt? )
Zt
= U (X0 , X0 ) +
Ux (Xs , Xs? )dMs
Zt
+
0
Ux (Xs , Xs? )dAs
0
Zt
+
Uy (Xs , Xs? )dXs?
1
+
2
0
Zt
Uxx (Xs , Xs? )d hM is . (3.1)
0
Rt
Proces ( 0 Ux (Xs , Xs? )dMs )t­0 jest martyngałem lokalnym, Uxx (Xs , Xs? ) = 0. Do całki
?
?
0 Uy (Xs , Xs )dXs stosujemy Lemat 2.1:
Rt
Uy (Xs? , Xs? ) = K − K
zatem
Rt
0
Xs?
= 0,
Xs?
Uy (Xs , Xs? )dXs? = 0. Stąd
U (Xt , Xt? )
Zt
=
Ux (Xs , Xs? )dMs
Zt
+
0
Ux (Xs , Xs? )dAs .
0
Korzystając z definicji martyngału lokalnego, możemy teraz przeprowadzić
lokalizację: wyR
bierzmy ciąg momentów zatrzymania τn % ∞ taki, że proces ( 0t∧τn Ux (Xs , Xs? )dMs )t­0 jest
martyngałem. Otrzymujemy
U (Xt∧τn ,
?
Xt∧τ
)
n
t∧τ
Z n
=
Ux (Xs , Xs? )dMs
t∧τ
Z n
+
0
Dla s takich, że Xs? <
Ux (Xs , Xs? )
K 1
K−1 e ,
Ux (Xs , Xs? )dAs .
0
funkcja pod drugą całką jest zerowa. W przeciwnym przypadku
K −1 ?
K −1 K 1
= −K − K log
Xs ¬ −K 1 + log
K
K K −1e
Ponieważ proces A jest niemalejący, to całka
dla t > u,
R t∧τn
0
¬ 0.
Ux (Xs , Xs? )dAs jest niedodatnia. Stąd,
 t∧τ

 t∧τ

Z n
Z n
?
E U (Xt∧τn , Xt∧τ
)|Fu = E 
Ux (Xs , Xs? )dMs |Fu  + E 
Ux (Xs , Xs? )dAs |Fu 
n
0
0
 u∧τ

 t∧τ

u∧τ
Z n
Z n
Z n
=
Ux (Xs , Xs? )dMs + E 
Ux (Xs , Xs? )dAs |Fu  + E 
Ux (Xs , Xs? )dAs |Fu 
0
u∧τn
0
1
Dokładna inspekcja dowodu wzoru Itô pokazuje, że założenie o klasie C 2 na całej dziedzinie nie jest
konieczne, wystarczy, że pochodne do drugiego rzędu są ciągłe wzdłuż trajektorii rozpatrywanego procesu.
16
¬
u∧τ
Z n

 u∧τ
Z n
Ux (Xs , Xs? )dMs + E 
Ux (Xs , Xs? )dAs |Fu 
0
u∧τ
Z n
=
0
Ux (Xs , Xs? )dMs +
u∧τ
Z n
0
0
czyli rzeczywiście
?
),
Ux (Xs , Xs? )dAs = U (Xu∧τn , Xu∧τ
n
(U (Xt , Xt? ))t­0
jest nadmartyngałem lokalnym. W szczególności
?
) ¬ EU (X0 , X0? ) = EU (X0 , X0 ).
EU (Xt∧τn , Xt∧τ
n
?
?
), to
) ¬ U (Xt∧τn , Xt∧τ
Ponieważ V (Xt∧τn , Xt∧τ
n
n
?
?
) ¬ EU (X0 , X0 ).
) ¬ EU (Xt∧τn , Xt∧τ
EV (Xt∧τn , Xt∧τ
n
n
Nietrudno wykazać, że EU (X0 , X0 ) ¬ L. Wystarczy w tym celu udowodnić, że
sup U (x, x) =
x­0
K2 1
.
K −1e
K 1
K−1 e zdefiniujmy f (x) :=
K 1
jest ściśle malejąca dla x ­ K−1
e , zatem maksimum
2
K 1
?
K−1 e . Otrzymaliśmy zatem EV (Xt∧τn , Xt∧τn ) ¬ L.
Oczywiście jest tak, jeżeli rozpatrzymy jedynie x <
K−1
K x . Funkcja f
K 1
punkcie K−1
e i wynosi
U (x, x) = −Kx log
K 1
K−1 e .
Dla x ­
jest osiągane w
Korzystając z definicji funkcji V zapisujemy ostatnią nierówność jako
?
EXt∧τ
¬ K EXt∧τn log Xt∧τn + L.
n
Ponieważ t ∧ τn jest ograniczonym momentem zatrzymania, to prawą stronę nierówności
szacujemy trywialnie przez supremum po τ ∈ T
?
EXt∧τ
¬ K sup EXτ log Xτ + L.
n
τ ∈T
Nierówność zachodzi dla wszystkich n i t ­ 0, więc po lewej stronie możemy przejść do
granicy z n i t. Ponieważ proces (Xt? )t­0 jest rosnący p.n., ciąg momentów zatrzymania
τn jest rosnący p.n. i zbiega do nieskończoności, to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności
monotonicznej mamy
?
= lim EXt? = EX ? .
lim lim EXt∧τ
n
t→∞ n→∞
t→∞
Otrzymaliśmy więc ostatecznie
EX ? ¬ K sup EXτ log Xτ + L,
τ ∈T
co kończy dowód pierwszej częsci twierdzenia.
Aby udowodnić drugą część, zauważmy, że przy założeniach twierdzenia proces
R
( 0t Ux (Xs , Xs? )dMs )0¬t¬T dla dowolnego T < ∞ jest martyngałem. Rzeczywiście, skoro
(Xt )t­0 Rjest martyngałem całkowalnym z kwadratem, to przede wszystkim X = M oraz
proces ( 0t Ux (Xs , Xs? )dXs )0¬t¬T jest martyngałem, o ile
ZT
E
[Ux (Xs , Xs? )]2 dhXs i < ∞.
0
17
?
Ponieważ [Ux (Xs , Xs? )]2 = K 2 1 + log K−1
K Xs
?
Xs? ­ M nierówność 1 + log K−1
K Xs
ZT E
2
2
i dla dostatecznie dużego M zachodzi dla
¬ Xs? , to wystarczy wykazać, że
K −1 ?
Xs
1 + log
K
2
I(Xs? ¬M ) dhXs i < ∞
0
oraz
ZT
E
Xs? dhXs i < ∞.
0
Pierwsza nierówność sprowadza się do
EhXT i < ∞.
Do drugiej nierówności stosujemy najpierw nierówność Schwarza, a następnie nierówność
Burkholdera-Davisa-Gundy’ego2 , otrzymując dla pewnej stałej C
ZT
E
Xs? dhXs i
¬
EXT?
0
ZT
dhXs i = EXT? hXT i
Schwarz
¬
q
q
EXT? 2 EhXT i2
B-D-G
¬
q
q
C EhXT i EhXT i2
0
Ponieważ założyliśmy całkowalność z kwadratem nawiasu skośnego dla każdego t ­ 0, to
rzeczywiście zachodzi
ZT
E
[Ux (Xs , Xs? )]2 dhXs i < ∞
0
Rt
i ( 0 Ux (Xs , Xs? )dXs )0¬t¬T jest martyngałem. Możemy zatem powtórzyć rozumowanie z dowodu części pierwszej nie stosując lokalizacji. Otrzymujemy dla każdego t ­ 0
EV (Xt , Xt? ) ¬ L.
Rozpisując funkcję V z definicji, biorąc supremum po t ­ 0 i stosując twierdzenie Lebesgue’a
o zbieżności monotonicznej, otrzymujemy tezę.
Lemat 3.1. W oznaczeniach z dowodu Twierdzenia 3.1, U (x, y) ­ V (x, y) na zbiorze S.
Dowód. Dla y <
K 1
K−1 e
wystarczy udowodnić, że
(y − Kx log x) ¬
sup
K
0<x¬y< K−1
1
e
Zachodzi
(y − Kx log x) =
sup
K
0<x¬y< K−1
1
e
sup
K
0<x< K−1
1
e
K2 1
.
K −1e
K 1
− Kx log x
K −1e
2
Zobacz: Twierdzenie 4.1 w rozdziale IV str. 160 w [Rev99]. Co prawda w twierdzeniu tym jest wymagane,
by martyngał (Xt )t­0 startował z 0, ale przy naszym założeniu o całkowalności z kwadratem nie odgrywa to
żadnej roli, bo zawsze możemy przejść do rozważania procesu (Xt − X0 )t­0 .
18
=
Teraz dla y ­
K 1
K 1
1
1
K2 1
Kx log x =
−
inf
− K log =
.
K 1
K − 1 e 0<x< K−1
K −1e
e
e
K −1e
e
K 1
K−1 e
musimy pokazać, że dla wszystkich 0 ¬ x ¬ y,
K(y − x) − Kx log
K −1
y ­ y − Kx log x.
K
Równoważnie dla wszystkich 0 ¬ x ¬ y,
K −1y
(K − 1)y ­ gy (x) := Kx 1 + log
.
K x
y
K−1 y
Funkcja gy (x) jest różniczkowalna i gy0 (x) = K 1 + log K−1
K x − K = K log K x . Zatem
K−1
funkcja gy (x) rośnie na zbiorze [0, K−1
K y] i maleje na zbiorze [ K y, y], więc maksimum jest
K−1
przyjmowane w x = K−1
K y i wynosi gy ( K y) = (K − 1)y. Stąd
(K − 1)y = sup gy (x) ­ gy (x),
x∈[0, y]
co kończy dowód.
Dysponując Twierdzeniem 3.1 możemy bez trudu udowodnić nierówność (?) dla ciągłych
martyngałów lokalnych.
Twierdzenie 3.2. Niech (Xt , Ft )t­0 będzie ciągłym martyngałem lokalnym, X ? = supt­0 |Xt |,
K > 1. Wówczas
EX ? ¬ K sup E|Xτ | log |Xτ | + L,
(3.2)
τ ∈T
gdzie L = L(K) =
K2 1
K−1 e
oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzyma-
nia adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 .
Dowód. Jeżeli (Xt )t­0 jest martyngałem lokalnym, to (|Xt |)t­0 jest nieujemnym podmartyngałem lokalnym. Istotnie, istnieje ciąg momentów zatrzymania τn % ∞ taki, że (Xt∧τn )t­0
jest martyngałem. Stosując nierówność Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej i wypukłej funkcji | · | otrzymujemy dla dowolnego t > s
E (|Xt∧τn | | Fs ) ­ |E (Xt∧τn | Fs ) | = |Xs∧τn |.
Stąd (|Xt∧τn |)t­0 jest podmartynagłem, czyli (|Xt |)t­0 jest podmartyngałem lokalnym. Można
zatem zastosować Twierdzenie 3.1 do procesu (|Xt |)t­0 otrzymując nierówność
EX ? ¬ K sup E|Xτ | log |Xτ | + L.
τ ∈T
19
3.2. Optymalność stałych
Okazuje się, że stała L(K) otrzymana w Twierdzeniu 3.2 jest optymalna. Ponadto nierówność (?) nie zachodzi dla K ¬ 1. Mówią o tym dwa kolejne twierdzenia.
Twierdzenie 3.3. Stała L w nierówności (3.2) jest optymalna. Ściślej, dla każdego K > 1
i każdej stałej L0 < L(K) =
K2 1
K−1 e
istnieje taki ciągły martyngał (Xt , Ft )t­0 , że zachodzi
EX ? > K sup E|Xτ | log |Xτ | + L0 ,
τ ∈T
gdzie L = L(K) =
K2 1
K−1 e
oraz T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzyma-
nia adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 .
Dowód. Wystarczy wskazać dla każdego K > 1 taki martyngał (Xt , Ft )t­0 , który daje równość w nierówności (3.2) (przy czym obie strony muszą być skończone). Niech (Wt , Ft )t­0 będzie jednowymiarowym procesem
Wienera z naturalną
filtracją. Następnie, niech
n
o
Xt =
K 1
K−1 e
+ Wt i niech τ = inf t ­ 0 : Xt? =
K
K−1 Xt
. Zmienna losowa τ jest momentem
zatrzymania względem filtracji (Ft )t­0 oraz τ < ∞ p.n. Ostatnia własność wynika z faktu,
K 1
że proces Wienera przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 dla pewnego t > 0 wartość − K−1
e.
Zachodzi X0? <
K
K−1 X0
oraz dla pewnego t0 > 0 Xt0 = 0 (wobec czego Xt?0 > 0 =
Z ciągłości procesu Wienera istnieje t1 ∈ (0, t0 ) takie, że Xt?1 =
K
K−1 Xt0 ).
K
K−1 Xt1 .
Oczywiście (Xt , Ft )t­0 jest ciągłym martyngałem, zatem (Xt∧τ , Ft )t­0 jest również ciągłym martyngałem. Pokażę, że proces X τ osiąga równość w nierówności (3.2).
Nierówność
K2 1
(3.3)
E (X τ )? ­ K sup E|Xσ∧τ | log |Xσ∧τ | +
K −1e
σ∈T
wynika z nierówności
EV (Xτ , Xτ? ) ­
K2 1
,
K −1e
(3.4)
gdzie V jest funkcją z dowodu Twierdzenia 3.1.
? ))
Aby to pokazać, zauważmy po pierwsze, że trajektorie procesu ((Xt∧τ , Xt∧τ
t­0 są zaK−1
0
2
τ
warte w zbiorze S = {(x, y) ∈ R+ : K y ¬ x ¬ y}, a zatem proces X przyjmuje jedynie
nieujemne wartości i można pominąć moduły w nierówności (3.3). Po drugie,
!
τ ?
E (X ) = E sup Xt∧τ
t­0
!
=E
sup Xt
0¬t¬τ
= E (X ? )τ = EXτ? .
Po trzecie, zachodzi
sup EXσ∧τ log Xσ∧τ ¬ EXτ log Xτ .
(3.5)
σ∈T
Rzeczywiście, funkcja F (x) = x log x jest wypukła dla x ­ 0 (druga pochodna jest równa x1 ),
więc z nierówności Jensena zachodzi dla dowolnego σ ∈ T
E (Xτ log Xτ |Fσ∧τ ) = E (F (Xτ )|Fσ∧τ ) ­ F (E (Xτ |Fσ∧τ )) = F (Xσ∧τ ) = Xσ∧τ log Xσ∧τ .
20
Biorąc wartość oczekiwaną obu stron nierówności dostajemy
EXτ log Xτ ­ EXσ∧τ log Xσ∧τ .
Z dowolności σ wynika nierówność (3.5).
Tym samym pokazaliśmy, że nierówność (3.3) jest równoważna nierówności
EXτ? ­ K EXτ log Xτ +
K2 1
.
K −1e
Korzystając z definicji funkcji V i liniowości wartości oczekiwanej otrzymujemy natychmiast
nierówność (3.4), której udowodnienie zakończy dowód twierdzenia.
K
Zauważmy, że prawie na pewno zachodzi Xτ? = K−1
Xτ a funkcje V (x, y) i U (x, y) zdeK 1
K
x dla y ­ K−1
finiowane w dowodzie Twierdzenia 3.1 pokrywają się na zbiorze y = K−1
e.
K
K
K
K
Mamy bowiem V (x, K−1 x) = K−1 x − Kx log x = K( K−1 x − x) − Kx log x = U (x, K−1 x).
K 1
Ponadto dla każdego t ­ 0 zachodzi Xτ?∧t ­ K−1
e . Stąd
EV (Xτ , Xτ? ) = EU (Xτ , Xτ? ) = E [U (X, X ? )]τ .
(3.6)
Proces (U (Xt , Xt? ))t­0 jest martyngałem lokalnym. Wynika to z faktu, że podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 3.1 wzór Itô daje
U (Xt , Xt? )
Zt
=
Ux (Xs , Xs? )dMs
Zt
+
Ux (Xs , Xs? )dAs ,
0
0
ale tym razem proces (At )t­0 jest stały, bo (Xt )t­0 jest martyngałem. Wobec tego
Rt
?
?
0 Ux (Xs , Xs )dAs = 0 i (U (Xt , Xt ))t­0 jest martyngałem lokalnym.
?
Zastosujemy teraz twierdzenie Dooba do martyngału (U (Xt∧σn , Xt∧σ
))t­0 (gdzie σn jest
n
ciągiem lokalizującym) i dwóch ograniczonych momentów zatrzymania τ ∧n i 0 (dla ustalonego
n ∈ N). Otrzymujemy
E [U (X, X ? )]τn = E [U (X, X ? )]0 ,
(3.7)
gdzie τn = τ ∧n∧σn jest ciągiem momentów zatrzymania rosnącym p.n. do τ . Łatwe obliczenie
daje
K 1
K 1
K2 1
EU (X0 , X0? ) = U (
,
)=
.
(3.8)
K −1e K −1e
K −1e
Z drugiej strony
?
E [U (X, X )]τn = E
K(Xτ?n
K −1 ?
− Xτn ) − KXτn log
Xτn .
K
(3.9)
Mamy zatem następującą równość
K 1
K −1 ?
= E Xτ?n − Xτn − E Xτn log
Xτn .
K −1e
K
Zauważmy, że dla y ­ 1e i x ­ x̄ zachodzi x log y ­ x̄ log y + x̄ − x. Korzystając z nierówności
K−1 ?
1
K−1 ?
K Xτn ­ e oraz Xτn ­ K Xτn mamy
Xτn log
K −1 ?
K −1 ?
K −1 ?
K −1 ?
Xτn ­
Xτn log
Xτn +
Xτn − Xτn .
K
K
K
K
Stąd
21
K2 1
K −1 ?
¬ E Xτ?n − (K − 1)Xτ?n log
Xτn .
K −1e
K
(3.10)
Na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej wiemy, ze EXτ?n
2
K
Załóżmy, że EXτ? = ∞ i niech CK = K−1
exp( K−1
). Wówczas
n→∞
→
EXτ? .
EXτ?n = EXτ?n I{Xτ?n >CK } + EXτ?n I{Xτ?n ¬CK } ¬ EXτ?n I{Xτ?n >CK } + CK .
n→∞
Stąd EXτ?n I{Xτ?n >CK } → ∞. Dla x > CK zachodzi (K − 1)x log K−1
K x > 2x oraz
K−1
(K − 1)x log K x ¬ 2x dla x ¬ CK . Stąd
K2 1
K −1 ?
¬ E Xτ?n − (K − 1)Xτ?n log
Xτn I{Xτ?n ¬CK }
K −1e
K
+E Xτ?n − (K − 1)Xτ?n log
¬E
K −1 ?
Xτn I{Xτ?n >CK }
K
i
h
K −1 ?
+ (K −
log
Xτn | I{Xτ?n ¬CK } − E Xτ?n I{Xτ?n >CK }
K
h
i
K
?
?
¬ E Xτn + 2Xτn ∨
I{Xτ?n ¬CK } − E Xτ?n I{Xτ?n >CK }
e
h
i
K
− E Xτ?n I{Xτ?n >CK }
¬ 3CK +
e
Xτ?n
1)|Xτ?n
Stąd
K
K2 1
−
< ∞.
e
K −1e
To już jest sprzeczność, bo lewa strona nierówności dąży do nieskończoności przy n → ∞.
Zatem EXτ? < ∞. Wiedząc, że Xτ? jest całkowalne, łatwo zauważyć, że również EXτ < ∞
oraz limn→∞ EXτn = EXτ , ponieważ Xτ? jest całkowalną majorantą dla Xτn (korzystamy
z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej).
?
Znajdę teraz całkowalną majorantę dla zmiennej Xτn log K−1
K Xτn . Mamy
h
i
E Xτ?n I{Xτ?n >CK } ¬ 3CK +
K −1 ?
K −1 ?
K −1 ?
Xτn log
Xτn ¬ Xτ?n log
Xτn + 1 ¬ Xτ? log
Xτ + Xτ? ,
K
K
K
?
gdzie ostatnia nierówność wynika z faktu, ze wyrażenie Xτ?n log K−1
K Xτn + 1 jest rosnące
?
z n. Wystarczy teraz pokazać, że Xτ? log K−1
K Xτ jest całkowalne. Wynika to natychmiast
z nierówności (3.10), która daje
EXτ?n log
1
K −1 ?
Xτn ¬
EXτ?n .
K
K −1
Formalnie, aby skorzystać z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej należy napisać
EXτ?n
K −1 ?
log
Xτn + 1 ¬
K
1
+ 1 EXτ?n ,
K −1
bo dopiero teraz wyrażenie pod wartością oczekiwaną po lewej stronie nierówności jest rosnące
z n. Przechodząc z n do nieskończoności dostajemy
EXτ? log
K −1 ?
Xτ + 1 ¬
K
22
1
+ 1 EXτ? ,
K −1
czyli
EXτ? log
K −1 ?
1
Xτ ¬
EXτ? < ∞.
K
K −1
Zatem stosując twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej dostajemy
K −1 ?
lim E Xτn log
Xτn
n→∞
K
K −1 ?
= E lim Xτn log
Xτn
n→∞
K
K −1 ?
= E Xτ log
Xτ .
K
Ostatecznie można więc przejść do granicy z n w równości (3.7) otrzymując
E [U (X, X ? )]τ = EU (X0 , X0? ).
(3.11)
Łacząc równania (3.6), (3.8) i (3.11) dostajemy równanie (3.4), co kończy dowód.
W Twierdzeniu 3.2 występuje warunek K > 1. Okazuje się, że jest to warunek konieczny
dla zachodzenia nierówności (3.2). Mówi o tym kolejne twierdzenie.
Twierdzenie 3.4. Dla K ¬ 1 nierówność (3.2) nie zachodzi dla żadnej stałej L. Ściślej,
jeżeli K ¬ 1, to dla każdej stałej L0 > 0 istnieje taki ciągły martyngał lokalny (Xt , Ft )t­0 , że
EX ? > K sup E|Xτ | log |Xτ | + L0 .
τ ∈T
gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 .
Dowód. Pokażę, że nierówność nie zachodzi dla K = 1. Załóżmy, że jest przeciwnie i istnieje
stała L0 > 0 taka, że dla każdego ciągłego martyngału lokalnego (Xt , Ft )t­0 mamy
EX ? ¬ sup E|Xτ | log |Xτ | + L0 .
τ ∈T
Wówczas dla ε > 0 zachodzi oszacowanie
!
EX ? ¬ (1 + ε) sup E|Xτ | log |Xτ | + L0 − ε sup E|Xτ | log |Xτ |
τ ∈T
τ ∈T
ε
¬ (1 + ε) sup E|Xτ | log |Xτ | + L +
,
e
τ ∈T
0
(3.12)
ponieważ supτ ∈T E|Xτ | log |Xτ | jest ograniczone z dołu przez minimum funkcji f (x) = x log x
dla x ­ 0 (równe − 1e ). Na mocy Twierdzeń 3.2 i 3.3 wiemy, że
EX ? ¬ (1 + ε) sup E|Xτ | log |Xτ | + L(1 + ε),
τ ∈T
2
1
gdzie L(1 + ε) = (1+ε)
ε
e jest optymalną stałą. Ponieważ limε→0 L(1 + ε) = ∞, to istnieje ε0
0
takie, że L(1 + ε0 ) > L + εe0 . Jednocześnie na mocy (3.12) zachodzi
ε0
EX ¬ (1 + ε0 ) sup E|Xτ | log |Xτ | + L +
,
e
τ ∈T
?
23
0
co daje sprzeczność z optymalnością stałej L(1 + ε0 ). Teraz załóżmy, że nierówność zachodzi
dla pewnego K < 1 ze stałą L0 > 0. Wówczas
!
0
?
0
EX ¬ K sup E|Xτ | log |Xτ | + L = sup E|Xτ | log |Xτ | + L + (K − 1) sup E|Xτ | log |Xτ |
τ ∈T
τ ∈T
τ ∈T
¬ sup E|Xτ | log |Xτ | + (L0 +
τ ∈T
1−K
),
e
co daje sprzeczność z nie zachodzeniem nierówności dla K = 1.
24
Rozdział 4
Zastosowania
W tym rozdziale pokazuję dwa zastosowania nierówności udowodnionej w rozdziale 3. Pierwszy przykład polega na zastosowaniu nierówności (?) do martyngału wykładniczego. Drugie
zastosowanie dotyczy procesów Bessela.
4.1. Martyngał wykładniczy
Rozpoczniemy od technicznego lematu, który będzie użyteczny w dalszych dowodach.
Lemat 4.1. Niech X będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym,
2
2
X ∼ N (0, 1), c ∈ R, c 6= 0. Wówczas E exp(cX) = exp( c2 ) oraz EX exp(cX) = c exp( c2 ).
Dowód. Z definicji
1
E exp(cX) = √
2π
x2
exp(cx) exp −
2
Z
!
1
dx = √
2π
R
1
Ex exp(cX) = √
2π
Z
1
c2
exp − (x − c)2 +
2
2
!
c2
dx = exp
2
R
Z
1
c2
x exp − (x − c)2 +
2
2
!
c2
dx = exp
2
!
1
√
2π
Z
c2
!
R
= exp
x2
(x+c) exp −
2
!
dx
R
c2
!
2
1
√
2π
Z
c exp −
x2
2
!
dx = c exp
2
.
R
2
Dla każdego λ > 0 proces exp λWt − λ2 t t­0 , gdzie (Wt )t­0 jest standardowym procesem Wienera, jest martyngałem względem naturalnej filtracji (generowanej przez proces
Wienera). Rzeczywiście, dla dowolnych t > s mamy (Z ∼ N (0, 1))
!
λ2
E exp λWt − t |Fs
2
!
!
λ2
= exp − t E (exp(λ(Wt − Ws ) + λWs )|Fs )
2
!
!
√
λ2
λ2
= exp − t exp(λWs )E exp(λ(Wt − Ws )) = exp − t exp(λWs )E exp(λ t − s Z)
2
2
Lemat 4.1
=
!
λ2
λ2 (t − s)
exp − t exp(λWs ) exp
2
2
!
Powyższa obserwacja pozwala nam sformułować następujące stwierdzenie.
25
!
λ2
= exp λWs − s .
2
!
.
Stwierdzenie 4.1. Dla dowolnych λ > 0, t ­ 0 i K > 1 zachodzi
!
λ2
E sup exp λWs − s
2
s¬t
Kλ2
K2 1
t+
,
2
K −1e
¬
w szczególności
λ2
E sup exp λWs − s
2
s¬t
!
4
¬ λ2 t + .
e
(4.1)
2
Dowód. Wiemy, że (Xs )s­0 = exp λWs − λ2 s s­0 jest martyngałem, więc biorąc deterministyczny moment zatrzymania τ = t otrzymujemy martyngał (Xs∧t ) s­0 . Martyngał ten
jest oczywiście ciągły, nieujemny i całkowalny z kwadratem, a proste zastosowanie wzoru Itô
pokazuje, że spełnia on również założenie EhXT ∧t i2 < ∞ dla każdego T ­ 0. Stosujemy więc
nierówność z punktu (2) Twierdzenia 3.1 otrzymując
E sup Xs∧t ¬ K sup EXs∧t log Xs∧t +
s­0
s­0
K2 1
.
K −1e
Oczywiście E sups­0 Xs∧t = E sups¬t Xs . Rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Twierdzenia 3.3 (zastosowanie nierówności Jensena do nieujemnego martyngału (Xs∧t )s­0
i funkcji wypukłej F (x) = x log x) prowadzi do wniosku, że (Xs∧t log Xs∧t )s­0 jest podmartyngałem, a zatem sups­0 EXs∧t log Xs∧t = EXt log Xt . Mamy
!
!
λ2
λ2
EXt log Xt = E λWt − t exp λWt − t
2
2
λ2
= exp − t
2
Lemat 4.1
=
!"
λ2
exp − t
2
λ2
λEWt exp(λWt ) − tE exp(λWt )
2
!"
λ2 t
λ t exp
2
!
2
λ2 t
λ2
− t exp
2
2
#
!#
=
λ2
t.
2
Stąd
!
λ2
E sup exp λWs − s
2
s¬t
Kλ2
K2 1
t+
.
2
K −1e
¬
Ponieważ nierówność zachodzi dla wszystkich K > 1, to mamy również
!
λ2
E sup exp λWs − s
2
s¬t
!
¬ inf
K>1
Kλ2
K2 1
t+
.
2
K −1e
Wstawiając K = 2 otrzymujemy natomiast1
λ2
E sup exp λWs − s
2
s¬t
1
!
4
¬ λ2 t + .
e
Można łatwo pokazać, że infimum jest przyjmowane dla K = 1 +
oszacowanie ma skomplikowaną postać.
26
q
2
,
2+eλ2 t
ale otrzymane wówczas
4.2. Procesy Bessela
Zdefiniuję teraz klasę procesów Bessela. W tym celu wprowadzę najpierw klasę procesów
BESQδ (x).
Definicja 4.1. Niech (Wt )t­0 będzie standardowym procesem Wienera. Dla każdej δ ­ 0
i x ­ 0, (jedyne) rozwiązanie stochastycznego równania różniczkowego
Zt = x + 2
Zt p
Zs dWs + δt
(4.2)
0
nazywamy kwadratem procesu Bessela o wymiarze δ i startującym z x (ozn. BESQδ (x)).
Aby upewnić się, że definicja jest poprawna, należy wykazać istnienie i jedyność rozwiązania oraz nieujemność procesu (Zt )t­0 . Zapisując równanie w nieco innej formie
dZt = σ(t, Zt )dWt + b(t, Zt )dt, Z0 = x,
√
gdzie σ(t, x) = 2 x i b(t, x) = δ, widać, że istnienie i jedyność rozwiązania wynika z odpowiednich twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania stochastycznego równania
różniczkowego (zachodzi bowiem |σ(s,
x) − σ(s, y)|2 ¬ ρ(|x − y|), gdzie ρ jest funkcją boreR
da
lowską z (0, ∞) w siebie taką, że 0+ ρ(a)
= ∞ oraz funkcja b jest lipschitzowska - zobacz
Twierdzenie 3.5 w rozdziale IX str. 390 w [Rev99]). Nieujemność rozwiązania wynika z faktu, że dla δ = x = 0 jedynym
rozwiązaniem (4.2) jestR proces
zerowy oraz dla dowolnych
Rt√
t√
δ ­ 0, x ­ 0 zachodzi x + 2 0 Zs dWs + δt ­ 0 + 2 0 Zs dWs + 0. Na mocy Twierdzenia 3.7 z rozdziału IX str. 394 w [Rev99] rozwiązanie (Zt )t­0 równania (4.2) spełnia zatem
P (Zt ­ 0 dla każdego t ­ 0) = 1, czyli proces jest nieujemny prawie na pewno.
Do dalszych rozważań przydatny będzie jeszcze następujący fakt z [Rev99].
Fakt 4.1. Dla procesu (Zt )t­0 z klasy BESQδ (x), δ > 2, x > 0, zbiór {0} jest polarny, tzn.
P(∃t ­ 0 Zt = 0) = 0.
Po wprowadzeniu klasy BESQδ (x), można zdefiniować klasę procesów Bessela.
Definicja 4.2. Niech (Zt )t­0 będzie procesem z klasy BESQδ (a2 ), a ­ 0, δ ­ 0. Procesem
√
Bessela o wymiarze δ i startującym z a nazywamy proces (ρt )t­0 dany wzorem ρt = Zt dla
każdego t ­ 0 (ozn. BESδ (a)).
Dla δ > 2 i a > 0 można podać odmienną charakteryzację procesu Bessela, będącą
konsekwencją wzoru Itô.
Stwierdzenie 4.2. Niech (Wt )t­0 będzie standardowym procesem Wienera. Dla δ > 2 i a > 0
proces (ρt )t­0 z klasy BESδ (a) jest rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego
δ−1
ρ t = a + Wt +
2
Zt
ρ−1
s ds.
(4.3)
0
Dowód. Dzięki uwadze poczynionej w Fakcie 4.1 możemy zastosować wzór Itô do procesu
√
(Zt )t­0 z klasyBESQδ (a2 ) i funkcji
R √F (x) = x. Zauważmy, że proces (Zt )t­0 jest ciągłym semimartyngałem, proces
2 0t Zs dWs
jest jego częścią martyngałową oraz
t­0
D R √
E
R
hZt i = 2 0t Zs dWs = 4 0t Zs ds. Stąd
27
ρt =
Zt p
Zt = a +
0
p
1
√
2 Zs dWs +
2 Zs
Zt
=a+
δ−1
dWs +
2
0
Zt
0
Zt 0
1
1
√
δds +
2
2 Zs
Zt 0
1
δ−1
√ ds = a + Wt +
2
Zs
Zt
1 1
√
4Zs ds
4 Zs Zs
−
ρ−1
s ds.
0
Powyższe stwierdzenie jest rzeczywiście charakteryzacją procesów Bessela wymiaru δ > 2,
gdyż jedyność rozwiązania równania (4.3) wynika z Twierdzenia 3.5 w rozdziale IX str. 390
w [Rev99].
Dla δ ∈ N, δ ­ 2, proces Bessela startujący z a ­ 0, ma bardziej intuicyjną postać, tzn.
zachodzi następujący fakt będący kolejną prostą konsekwencją wzoru Itô i własności procesu
Wienera2 .
Fakt 4.2. Jeżeli (ρt )t­0 jest procesem Bessela startującym z a ­ 0 o wymiarze δ ∈ {2, 3, 4, ...},
to (ρt )t­0 = (kWt − ak)t­0 , gdzie (Wt )t­0 jest δ-wymiarowym procesem Wienera, tzn. Wt =
(1)
(2)
(δ)
(i)
(Wt , Wt , ..., Wt ) dla każdego t ­ 0, gdzie (Wt )t­0 , dla i = 1, 2, ..., δ, są niezależnymi
od siebie standardowymi procesami Wienera.
Ostatnie stwierdzenie poprzedzające główny wynik tego rozdziału uzasadnia zastosowanie
nierówności (3.2) do procesu Bessela, który podniesiony do odpowiedniej potęgi staje się
lokalnym martyngałem.
Stwierdzenie 4.3. Niech (ρt )t­0 będzie procesem Bessela BESδ (a) dla δ > 2 i a > 0. Wówczas proces (Xt )t­0 = (ρ2−δ
)t­0 jest martyngałem lokalnym względem naturalnej filtracji.
t
Dowód. Korzystamy po raz kolejny ze wzoru Itô. Dzięki uwadze poczynionej w Fakcie 4.1
możemy zastosować go do funkcji F (x) = x2−δ i ciągłego, nieujemnego semimartyngału
(ρt )t­0 . Ponadto wykorzystujemy charakteryzację ze Stwierdzenia 4.2.
ρ2−δ
t
2−δ
=a
+ (2 − δ)
Zt
ρ1−δ
s dWs
0
+ (2 − δ)
Zt
ρs1−δ
δ − 1 −1
ρ
ds
2 s
0
1
+ (2 − δ)(1 − δ)
2
Zt
ρ−δ
s ds
=a
2−δ
+ (2 − δ)
0
Zt
ρs1−δ dWs . (4.4)
0
Ponieważ proces (ρ1−δ
)t­0 jest ciągły, to rzeczywiście (ρt2−δ )t­0 jest martyngałem lokalnym.
t
Sformułujemy teraz główne stwierdzenie, będące wnioskiem z Twierdzenia 3.2.
Stwierdzenie 4.4. Niech (ρt )t­0 będzie procesem Bessela BESδ (a) dla δ > 2 i a > 0.
Niech τ będzie momentem zatrzymania względem filtracji generowanej przez (ρt )t­0 takim,
że E
R
τ
0
ρ2−2δ
ds
s
2
< ∞. Wówczas dla dowolnego K > 1 zachodzi
E sup ρ2−δ
¬ KEρτ2−δ log ρτ2−δ +
t
t¬τ
2
Zobacz [Rev99].
28
K2 1
.
K −1e
Dowód. Z Stwierdzenia 4.3 wiemy, że proces (ρt2−δ )t­0 jest ciągłym martyngałem lokalnym,
2−δ
zatem również (ρ2−δ
t∧τ )t­0 jest ciągłym martyngałem lokalnym. Pokażę, że (ρt∧τ )t­0 jest tak
naprawdę martyngałem. Z równości (4.4) wiemy, że
2−δ
ρ2−δ
+ (2 − δ)
t∧τ = a
t∧τ
Z
ρs1−δ dWs ,
0
zatem z stwierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej i z własności całki względem procesu
Wienera wystarczy wykazać, że proces (ρt1−δ I[0, τ ] )t­0 spełnia
Z∞ E
ρs1−δ I[0, τ ]
2
ds < ∞,
0
czyli
Zτ
E
ρ2−2δ
ds < ∞,
s
0
to zaś jest prawdą na mocy założenia. Wiedząc, że (ρ2−δ
t∧τ )t­0 jest nieujemnym martyngałem,
który spełnia założenia punktu (2) Twierdzenia 3.13 otrzymujemy
2−δ
2−δ
E sup ρ2−δ
t∧τ ¬ K sup Eρt∧τ log ρt∧τ +
t­0
t­0
K2 1
.
K −1e
Możemy teraz powtórzyć rozumowanie z dowodu Stwierdzenia 4.1 (użycie nierówności
2−δ
Jensena) i wywnioskować, że (ρ2−δ
t∧τ log ρt∧τ )t­0 jest podmartyngałem, w związku z czym
2−δ
2−δ log ρ2−δ . To kończy dowód stwierdzenia.
supt­0 Eρ2−δ
τ
t∧τ log ρt∧τ = Eρτ
Zauważmy, że teza powyższego stwierdzenia zachodzi w szczególności dla momentów zatrzymania, które są ograniczone p.n.. Np. biorąc τ = t otrzymujemy
E sup ρ2−δ
¬ KEρt2−δ log ρ2−δ
+
s
t
s¬t
K2 1
.
K −1e
Wyrażenie po prawej stronie nierówności można ponadto zoptymalizować po wszystkich
K > 1, zatem teza Stwierdzenia 4.4 mogłaby wyglądać następująco
"
E sup ρ2−δ
t
t¬τ
3
2
4
Mamy bowiem hρ2−δ
t∧τ i = (2 − δ)
¬ inf
K>1
R
t∧τ
0
#
KEρτ2−δ
ρ2−2δ
ds
s
2
log ρτ2−δ
K2 1
+
.
K −1e
, co jest całkowalne na mocy założenia.
29
(4.5)
Podsumowanie
W pracy przedstawiłem metodę funkcji specjalnych Burkholdera i udowodniłem przy jej
wykorzystaniu nierówność (?) dla procesu (Xt , Ft )t­0 będącego nieujemnym i ciągłym podmartyngałem lub martyngałem lokalnym:
E sup |Xt | ¬ K sup E|Xτ | log |Xτ | + L(K),
(?)
τ ∈T
t­0
gdzie T jest zbiorem wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania adaptowalnych do
filtracji generowanej przez proces (Xt )t­0 . Jeżeli proces (Xt )t­0 jest nieujemnym i ciągłym
martyngałem całkowalnym z kwadratem takim, że dla każdego t ­ 0 zachodzi EhXt i2 < ∞,
to ponadto
E sup |Xt | ¬ K sup E|Xt | log |Xt | + L(K).
t­0
t­0
Pokazałem również, że nierówność nie zachodzi dla K ¬ 1 oraz że dla każdego K > 1 stała
K2 1
L(K) = K−1
e jest optymalna.
Zaprezentowałem następnie
dwa
zastosowania
nierówności (?). Pierwszy przykład dotyczy
λ2
martyngału wykładniczego exp λWt − 2 t t­0 dla λ > 0. Dla dowolnego t ­ 0 prawdziwa
jest nierówność (4.1)
λ2
4
E sup exp(λWs − s) ¬ λ2 t + .
2
e
s¬t
W ramach drugiego przykładu zdefiniowałem proces Bessela (ρt )t­0 o wymiarze δ ­ 0 startujący z a ­ 0 i pokazałem, że dla δ > 2, a > 0 i momentu zatrzymania τ takiego, że
E
R
τ
0
2
ρ2−2δ
ds
s
< ∞, proces (ρ2−δ
t∧τ )t­0 jest martyngałem i zachodzi nierówność (4.5)
#
"
E sup ρ2−δ
t
t¬τ
¬ inf
K>1
KEρτ2−δ
31
log ρτ2−δ
K2 1
+
.
K −1e
Bibliografia
[Bur91] Burkholder, D. L., Explorations in martingale theory and its applications, École d’Été
de Probabilités de Saint-Flour XIX-1989, 1-66, Lecture Notes in Math., 1464, Springer,
[Doo53] Doob, J. L., Stochastic processes, John Wiley & Sons, 1993
[Kar91] Karatzas, I., Shreve, S. E., Brownian motion and stochastic calculus, Second Edition,
Springer-Verlag, Berlin, 1991
[Lat11] Latała, R., Wstęp do analizy stochastycznej, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2011
[Rev99] Revuz, D., Yor, M., Continuous martingales and Brownian Motion, Third Edition,
Springer, Berlin, 1999
33