Esto«ska OM

Esto«ska OM
Šatwiejsze
1. Jogi, zdenerwowany nisk¡ frekwencj¡ oddawania prac domowych, wymy±liª sadystyczne zadanie:
Wybra¢ zbiór
A
2009
dzielników
20092009
, taki, »e je»eli
Ile maksymalnie elementów mo»e mie¢ zbiór
a, b ∈ A
to
a 6 |b.
A?
ABC . Wysoko±¢ opuszczona z wierzchoªka A na BC jest styczna do okr¦gu
ABC . Udowodni¢, »e miara pewnego k¡ta tró jk¡ta ABC le»y w przedziale (90◦ , 135◦ ).
2. Dany jest tró jk¡t
opisanego na
3. Dany jest tró jk¡t
ABC .
Wysoko±ci opuszczone z wierzchoªka
s¡ styczne do okr¦gu opisanego na
ABC .
Znale¹¢ miary k¡tów
A na BC
4ABC .
i z wierzchoªka
B
na
AC
E, D le»¡ odpowiednio na bokach AC, BC tró jk¡ta ABC , przy czym zachodzi 2|CE| = |AE|
2|CD| = |BD|. Na zewn¡trz trójk¡ta ABC wybieramy na póªprostych AD, BE punkty K, L
»e 2|KD| = |AD| i 2|LE| = |BE|. Udowodni¢, »e ABKL jest równolegªobokiem.
4. Punkty
oraz
tak,
Nietrudniejsze
1. Dany jest tró jk¡t
przez
C
ABC .
y przechodzi przez B i jest prostopadªa do AB , prosta z przechodzi
AC , prosta x jest wysoko±ci¡ opuszczon¡ z A w tró jk¡cie ABC .
wspólny punkt wtedy i tylko wtedy, gdy |AB| = |AC|.
Prosta
i jest prostopadªa do
Udowodni¢, »e
x, y, z
maj¡
2. Znajd¹ wszystkie liczby caªkowite dodatnie
(a, b)
takich, »e
1≤a<b≤n
oraz
n,
takie, »e istnieje dokªadnie
2n
3. Šysy i Staniek graj¡ w gr¦ na planszy w ksztaªcie prostok¡ta o wymiarach
dªugo±ci
2
par liczb caªkowitych
a|b.
2 × n,
którego boki o
s¡ sklejone, tak »e prostok¡t tworzy powierzchni¦ boczn¡ walca. Gracze wykonuj¡ ruchy
na przemian, wycina j¡c jednostkowy kwadracik z planszy.
Gracz przegrywa, je»eli po jego ruchu
plansza traci koªow¡ spó jno±¢, tj. mo»na ja rozªo»y¢ na pªaszczy¹nie. Jednostkowe kwadraty, które
maj¡ jedynie naro»nik wspólny s¡ uwa»ane za niepoª¡czone.
graczy ma strategi¦ wygrywaj¡c¡?
Zadania pochodz¡ z Esto«skiej Olimpiady Matematycznej
Zaªó»my, »e Šysy zaczyna.
Który z