Zapisz jako PDF

Granice ciągów liczbowych
Zadanie
Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie
Definicja: granicą ciągu
, gdzie
jest pewną stałą liczbą.
jest liczba , jeśli
Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi 0. W taki przypadku warunek z
powyższej definicji ma postać
Dla każdego musimy znaleźć takie , żeby warunek z definicji granicy ciągu był spełniony. Liczby
są dodatnie, więc możemy opuścić wartość bezwzględną
Liczba
też jest dodatnia, więc możemy obliczyć “odwrotność” powyższej nierówności
Chcemy podnieść obie strony nierówności to potęgi
, tak aby po lewej stronie zostało samo .
Zrobimy to “ostrożnie”, żeby się nauczyć, czy i kiedy w takim przypadku można zachować kierunek
nierówności, a kiedy trzeba go zmienić. Funkcji
jest ściśle rosnąca, więc powyższa nierówność
jest zachowana, jeśli policzymy logarytm z każdej z jej stron
Następnym krokiem jest podzieleniu obu stron nierówności prze . Musimy rozważyć osobno
przypadek każdego znaku stałej
: W taki przypadku znak nierówności się nie zmienia
Korzystają znów z monotoniczności funkcji
Każda liczba
dostajemy
spełniająca warunek
może być użyta w definicji granicy ciągu.
: W taki przypadku znak nierówności się zmienia
co po analogicznych jak uprzednio przekształceniach daje
Nie ma więc takiej liczby
, dla której byłby spełniony warunek z definicji granicy ciągu.
Pokazaliśmy, że dla dodatnich ciąg
ma granicę równą 0. Dla
ciąg też ma granicę, ale
tym razem wynosi ona 1. Dowód jest niezwykle prosty: dla
każdy wyraz ciąg jest równy
. Jest to ciąg stały, dla którego
dowolnych i .
i warunek z definicji granicy ciągu jest spełniony dla
Dla ujemnych ciąg
nie ma granicy. Nie wydaje się, żeby celowe było przeprowadzanie
rygorystycznego dowodu.
Znaleźć granice następujących ciągów
Zadanie
Zadanie
Zadanie
Ta granica nie istnieje, ponieważ
, czyli
Zadanie
Ten ostatni wynik można udowodnić w sposób następujący:
Zadanie
Zadanie
,
.
Zadanie
Obliczyć granicę
dla
Wyrażenie pod pierwiastkiem spełnia warunek
Prawa nierówność wynika z tego, że ciąg
Możemy zdefiniować dwa ciągi,
i
jest malejący.
, które spełniają warunki
Granice tych nowych ciągów są znane z wykładu. Dla każdej stałej dodatniej
Korzystając z twierdzeniach o trzech ciągach
dostajemy
mamy
.
Liczba Eulera
Omawiamy ciąg o wyrazach postaci
Podajemy wartości liczbowe kilku pierwszych wyrazów
Następnie definiujemy liczbę Eulera
Jest to liczba niewymierna, której rozwinięcie dziesiętne zaczyna się od
Robimy kilka prostych zadań, w których pojawia się liczba
Zadanie
Zadanie
Gramy razy, za każdym razem mając prawdopodobieństwo wygranej równe
prawdopodobieństwo, że nie wygramy ani razu?
Przy bardzo dużej liczbie prób, to prawdopodobieństwo dąży do
. Jakie jest
.
Zadanie
Lokata jest oprocentowana na
%. Jeśli kapitalizacja jest po roku, oszczędności po roku będą
razy większe niż początkowy kapitał. Jak to się zmienia ze zmianą okresu kapitalizacji, jeśli
oprocentowanie przy -krotnej kapitalizacji wynosi
?
Przy -krotnej kapitalizacji, po n takich okresach (czyli po roku) oszczędności wzrosną
razy. Jaka jest granica efektywnego oprocentowania, przy coraz częstszej kapitalizacji?
Musimy obliczyć
Warto zilustrować to przykładami liczbowymi.
To pokazuje, że częstość kapitalizacji nie ma istotnego znaczenia przy niskich stopach procentowych
(wzrost z 5% tylko do 5.13%, a z 10% do około 10.5%). Dopiero przy stopie procentowej 20%,
(nieskończenie) częsta kapitalizacja daje istotny efekt: efektywna stopa procentowa wzrasta z 20%
do nieco ponad 22%. Nominalna stopa procentowa 40% rośnie efektywnie już do ponad 49%.
Zadanie
Ze względów bardzo praktycznych warto przedyskutować różnice przy spłacaniu kredytów w
zależności od rodzaju rat. Popularne są dwa rodzaje rat: stałe raty i raty malejące przy stałej spłacie
kapitału.
Oprocentowanie kredytu w skali roku wynosi . Raty są płacone co miesiąc, a kredyt w wysokości
należy spłacić w
ratach.
Obliczenia dla rat malejących są proste. Pierwsza rata wynosi
Przy drugiej racie odsetki płacimy tylko od niespłaconej części kwoty kredytu
Rata numer
wynosi
Obliczamy całkowitą spłatę
, jako sumę poszczególnych rat
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu arytmetycznego, otrzymujemy
Obliczenia dla przypadku stałych rat są bardziej skomplikowane. Na początek trzeba wyliczyć
wysokość poszczególnych rat. -ta rata jest sumą -tej części kwoty kredytu i oprocentowania
obliczonego od jeszcze niespłaconej kwoty
Stałość wysokości rat oznacza, że
To daje
-szą ratę kapitałową w funkcji -tej raty kapitałowej:
Iterując ten wzór dostajemy
Suma wszystkich rat kapitałowych musi dać całą kwotę kredytu
Kolejne raty kapitałowe tworzą ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem równym
kolejnych wyrazów równym
i z ilorazem
. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego
To pozwala obliczyć pierwszą ratę kapitałową
i pierwszą pełną ratę razem z odsetkami
Wszystkie raty są z definicji równe, więc ich suma jest bardzo prosta do obliczenia
Porównujemy teraz sumę wszystkich rat w obu rodzajach kredytu. Ich różnica wynosi
Dla małej liczby rat dostajemy odpowiednio
1
0
2
3
Różnica między
i
jest nieujemna i wiodące wyrazy są drugiego rzędu w
. Zwracając
kredyt w równych ratach zapłacimy więcej niż spłacając ten sam kredyt przy takiej samej stopie
procentowej ale w ratach malejących. Różnica nie jest zbyt istotna w przypadku niezbyt dużych
wartości i . Jeśli natomiast lub
nie jest małe, różnica może być bardzo znacząca. Zróbmy
obliczenia dla kredytu hipotecznego o stopie procentowe 6% w skali roku udzielonego na 30 lat.
Mamy więc
i
. Wyliczamy
Różnica to ponad 25% kwoty pożyczki. Dla stopy procentowej równej 9% w skali roku, ta różnica
wzrasta do około 55% kwoty pożyczki (
,
). tegory:Ćwiczenia z Matematyki I
dla OO]]