0.1 Renty 0.2 Wkłady oszczędnościowe

0.1
Renty
W kolejnych rozdziałach zajmiemy się ciągami płatności dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanymi rentami (annuity). Rentę (annuity) definiujemy jako ciąg płatności
dokonywanych w równych odstępach czasu. Przykładami rent sa: comiesięczne wypłaty
wynagrodzenia, okresowe spłaty długu, regularne wpłaty na rachunek oszczędnościowy.
Płatności, które składają się na rentę nazywamy ratami. Okres między dwiema kolejnymi
ratami nazywamy okresem bazowym. Momentem początkowym renty jest t = 0, zaś
momentem końcowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata. Elementami składowymi renty są następujące wielkości: liczba rat, długośc okresu bazowego,
wysokość rat, moment pierwszej płatności, stopa procentowa okresu bazowego.
Wyróżniamy
-) rentę prostą (okres kapitalizacji pokrywa się z okresem bazowym) i rentą uogólnioną
(okres kapitalizacji nie pokrywa się z okresem bazowym),
-) rentę czasową (o skończonej liczbie rat) i rentę wieczystą (o nieskończonej liczbie
rat),
-) rentę płatną z dołu, krótko rentę (gdy raty są płacone pod koniec okresu bazowego)
i rentę płatną z góry (gdy raty płacone są na początku okresu bazowego).
0.2
Wkłady oszczędnościowe
Wkłady oszczędnościowe są to regularne płatności dokonywane w celu zgromadzenia odpowiedniego kapitału w ustalonym czasie. Płatności te mogą być dokonywane zarówno
na początku okresu płatności (z góry) jak i na końcu okresu płatności (z dołu) oraz kapitalizowane według różnych modeli kapitalizacji. Najczęściej stosuje się model oprocentowania prostego dla wkładów krótkoterminowych oraz model oprocentowania składanego
dla wkładów długoterminowych. W zależności od stosowanego modelu wkłady dzielimy
na proste i złożne. Okres, co jaki następuje kapitalizowanie odsetek jest zgodny z okresem
płatności.
0.2.1
Wkłady proste
Wkłady proste płatne z dołu
1
Niech i będzie stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego. Rozważmy skończony
ciąg wpłat (Cj )nj=1 dokonywanych z dołu. Wartość przyszła ciągu wkładów po n płatnościach wynosi
F = C1 1 + (n − 1)i + C2 1 + (n − 2)i + . . . + Cn−1 1 + i + Cn ,
(1)
W przypadku, gdy płatności są jednakowej wysokości, tj. Cj = C, j = 1, . . . , n, wówczas
w myśl wzoru (1), mamy
F = C 1 + (n − 1)i + C 1 + (n − 2)i + . . . + C 1 + i + C
n(n − 1)
i ,
2
= C n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 i
=C n+
czyli
n−1
F = Cn 1 +
i .
2
(2)
Aktualizując wartość F na moment wcześniejszy 0 ¬ n0 < n mamy
1 + n0 i
n − 1 1 + n0 i
= Fn
= Cn 1 +
i
.
1 + ni
2
1 + ni
Fn0
Oczywiście aktualizując F na moment n = 0 otrzymujemy wartość początkową wkładów
oszczędnościowych
P = Fn
1
.
1 + ni
Wkłady proste płatne z góry
Jeżeli wpłaty Cj , j = 1, . . . , n, są dokonywane z góry, wówczas wartość przyszła będzie
postaci
F (+1) = C1 1 + n)i + C2 1 + (n − 1)i + . . . + Cn−1 1 + 2i + Cn 1 + i .
Stąd, przyjmując Cj = C, j = 1, . . . , n, otrzymujemy
F (+1) = C 1 + ni + C 1 + (n − 1)i + . . . + C 1 + 2i + C(1 + i
n(n + 1)
= C n + n + (n − 1) + . . . + 1 i = C n +
i ,
2
czyli
n+1
F
= Cn 1 +
i .
2
Analogicznie otrzymujemy wartość przyszłą wkładów zaktualizowaną na moment wcze(+1)
śniejszy oraz wartość początkową wkładów.
2
0.2.2
Wkłady złożone
Wkłady złożone płatne z dołu zgodnie z okresem kapitalizacji
Załóżmy, że okres bazowy wkładów pokrywa się z okresem kapitalizacji. Rozważmy
skończony ciąg płatności (Cj )nj=1 dokonywanych z dołu. Niech i będzie stopą procentową
o okresie pokrywającym się z okresem bazowym. Wartość przyszła wkładów wynosi
F = C1 (1 + i)n−1 + C2 (1 + i)n−2 + . . . + Cn−1 (1 + i) + Cn
(3)
=
n
X
Cj (1 + i)n−j .
j=1
Jeżeli wkłady Cj , j = 1 . . . , n, są jednakowej wielkości C, to powyższy wzór prowadzi do
postaci
n
X
F =C
(4)
(1 + i)n−j .
j=1
Stosując wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego
F =C
(5)
1
otrzymujemy
(1 + i)n − 1
.
i
Czynnik
(1 + i)n − 1
i
nazywamy czynnikiem wartości przyszłej dla wkładów.
sn|i =
Stosując ten czynnik wzór (5) możemy zapisać
F = C · sn|i .
(6)
Czynnik ten definiuje wartość przyszłą wkładów jednostkowych. Aktualizując wartość F
na moment wcześniejszy 0 ¬ n0 < n mamy
Fn0 = F (1 + i)n0 −n .
(7)
W szczególności, kładąc n0 = 0, dostajemy wzór na wartość początkową n wkładów
oszczędnościowych o stałych płatnościach C
(8)
P =C
1 − (1 + i)−n
.
i
an|i =
1 − (1 + i)−n
i
Czynnik
1
n
a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 = a 1−q
1−q
3
nazywamy czynnikiem wartości początkowej dla wkładów.
Stosując ten czynnik wzór (8) przyjmie postać
P = C · an|i .
(9)
Czynnik ten definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych.
Wkłady złożone płatne z góry zgodnie z okresem kapitalizacji
Niech teraz ciąg (Cj )nj=1 będzie ciągiem płatności dokonywanych z góry, tzn. na początku każdego okresu płatności. Wówczas po n płatnościach wartość przyszła wkładów
wyrazi się wzorem
F (+1) = C1 (1 + i)n + C2 (1 + i)n−1 + . . . + Cn−1 (1 + i)2 + Cn (1 + i).
Jeżeli płatności Cj , j = 1 . . . , n, są jednakowej wielkości C, to, w myśl powyższego, otrzymujemy
F (+1) =C (1 + i)n + (1 + i)n−1 + . . . + (1 + i)2 + (1 + i)
=C(1 + i) (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + . . . + (1 + i) + 1
=C(1 + i)
(1 + i)n − 1
.
i
Zauważmy, że wartość przyszła wkładów wnoszonych z góry różni się od wartości przyszłej
wkładów wnoszonych z dołu jedynie współczynnikem 1 + i. Zatem, stosując wzór (6),
dostajemy
F (+1) = C · (1 + i)sn|i .
Czynnik
(1 + i)n − 1
i
definiuje wartość końcową wkładów jednostkowych płatnych z góry. W myśl wzorów (7)
s̈n|i = (1 + i)sn|i = (1 + i)
i (9),
Fn(+1)
= Fn0 (1 + i)
0
i
P (+1) = C · (1 + i)an|i .
Czynnik
1 − (1 + i)−n
i
definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych płatnych z góry
än|i = (1 + i)an|i = (1 + i)
4
Wkłady złożone płatne w nadokresach okresu kapitalizacji
W przypadku, gdy okres bazowy jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji.
Aby wyznaczyć wartość przyszłą wkładów należy najpierw skorzystać z zasady równoważności warunków oprocentowania i rozważaną kapitalizację zastąpić kapitalizacją, której
okres pokrywałby się z okresem bazowym a następnie, mając zgodność okresu kapitalizacji i okresu bazowego, zastosować analogiczne rozumowanie jak powyżej. Zastąpienie
jednego modelu kapitalizacji innym jest równoznaczne z wyznaczeniem równoważnej stopy
procentowej o okresie dostosowanym do modelu nowej kapitalizacji tzn. o okresie dostosowanym do okresu wkładów. Niech k, k 0 ∈ Q będą takie, że k będzie ilością okresów
kapitalizacji w ciągu roku, k 0 będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego równoważną stopie ik , tj. stopie okresu kapitalizacji. Z zasady
równoważności stóp procentowych
k
i = (1 + ik ) k0 − 1.
Wkłady złożone płatne w podokresach okresu kapitalizacji
W przypadku, gdy okres bazowy jest w podokresach okresu kapitalizacji, tzn. wpłaty są
dokonywane częściej niż są generowane odsetki, istnieją dwie metody wyznaczania wartości przyszłej wkładów. Pierwsza metoda oparta jest na zasadzie równoważności warunków
oprocentowania i zasadzie rónoważności stóp procentowych. Wyznaczenie wartości przyszłej, aktualnej i początkowej przebiega analogicznie jak powyżej. Druga metoda łączy ze
sobą model oprocentowania prostego i składanego. Niech (Cj )ni=j będzie skończonym ciągiem płatności, przy czym zakładamy, że jest to ciąg stały, tzn. Cj = C dla j = 1, . . . , n.
Przyjmimy, że w jednym okresie kapitalizacji mamy m płatności z dołu, czyli, że okres
kapitalizacji jest podzielony na m równych okresów bazowych, oraz lm = n, gdzie l jest
ilością okresów kapitalizacji w czasie inwestycji. Wyznaczenie wartości przyszłej składa się
z dwóch etapów. W pierwszym etapie należy wyznaczyć wartość przyszłą Fm0 m wkładów,
płatnych w jednym okresie kapitalizacji, stosując model oprocentowania prostego. Niech
k, k 0 ∈ Q będą takie, że k będzie ilością okresów kapitalizacji w ciągu roku, k 0 będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego, zaś ik będzie
stopą procentową okresu kapitalizacji. Dla wkładów płatnych z dołu, w myśl wzoru (2),
mamy
(10)
Fm0
m−1
= Cm 1 +
i ,
2
5
gdzie i =
r
,
k0
k 0 ∈ Q. Przyjmując Cj0 = Fm0 dla j = 1, . . . , l, otrzymaliśmy nowy ciąg
(Cj0 )lj=1 płatności o stałych wyrazach i okresach pokrywających się z okresem kapitalizacji.
W drugim etapie, mając ciąg wkładów (Cj0 )lj=1 , wyznaczamy wartość przyszłą F tego
ciągu. Ponieważ okres wkładów jest taki sam jak okres kapitalizacji oraz Cj0 = Fm0 dla
j = 1, . . . , l, to stosując wzór (6),
F = Fm0 sl|ik ,
(11)
gdzie ik = kr . Dla wkładów płatnych z góry wzór (11) przyjmie postać
(+1)
F (+1) = F 0 m sl|ik ,
gdzie
(+1)
F 0m
m+1
= Cm 1 +
i .
2
Chcąc wyznaczyć wartość aktualną na dowolny moment wcześniejszy l0 , w szczególności
na moment l0 = 0, wystarczy zastosować wzory (7), odpowiednio (8).
0.2.3
Zasada równoważności kapitałów
Zasada różwnoważności kapitałów jest jedną z ważniejszych zasad w matematyce finansowej i jest niezbędna w analizie planu spłaty długu. Zasada ta mówi, że dwa kapitały są
równoważne, jeśli wartości tych kapitałów zaktualizowane na dowolny moment t ­ 0 są
równe. Punktem wyjścia dla tej zasady jest pojęcie równoważności kapitałów w ustalonym
momencie t0 ­ 0. Powiemy, że dwa kapitały, są równoważne w pewnym momencie
t0 ­ 0, jeśli ich wartości zaktualizowane na ten moment są równe.
Pokażemy, że zasada równowazności kapitałów zachodzi w modelu oprocentowania
składanego. Niech K1 (t1 ) i K2 (t1 ) będą dwoma kapitałami danymi w czasie odpowiednio t1 i t2 równoważnymi w momencie t0 , czyli K1 (t0 ) = K2 (t0 ). W myśl aktualizacji
otrzymujemy:
K1 (t0 ) = K1 (t1 )(1 + ref )t0 −t1 ,
K2 (t0 ) = K2 (t2 )(1 + ref )t0 −t2 .
Stąd
K1 (t1 )(1 + ref )t0 −t1 = K2 (t2 )(1 + ref )t0 −t2 ,
czyli
K1 (t1 )(1 + ref )−t1 = K2 (t2 )(1 + ref )−t2
6
a to implikuje
K1 (t1 )(1 + ref )t−t1 = K2 (t2 )(1 + ref )t−t2
dla dowolnego t ­ 0, co należało pokazać.
Pokażemy, że w modelu oprocentowania prostego zasada ta nie zachodzi. Niech podobnie jak poprzednio będą dane dwa kapitały K1 (t1 ) i K2 (t1 ) w czasie odpowiednio t1
i t2 równoważne w momencie t0 . Wówczas mamy do rozważenia następujące przypadki:
t2 < t0 < t1 , t2 < t1 < t0 , t0 < t1 < t2 . W pierwszym przypadku otzymujemy
K1 (t0 ) = K1 (t1 )
1
, t1 > t0
1 + (t1 − t0 )r
oraz
K2 (t0 ) = K2 (t2 )(1 + (t0 − t2 )r), t0 > t2 .
Zatem
K1 (t1 )
1
= K2 (t2 )(1 + (t0 − t2 )r).
1 + (t1 − t0 )r
Ponieważ przyrównujemy do siebie wyrażenia liniowe i hiperboliczne dla pewnego t0 , to
powyższa równość nie zajdzie dla dowolnego t ­ 0.
0.2.4
Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego
S(1 + ji) =
(12)
j
X
Rn (1 + (j − n)i) +
n=1
N
X
Rn
n=j+1
1
1 + (n − j)i
gdzie i = kr , k ∈ Q+ , jest stopą procentową okresu bazowego. Powyższe równanie możemy
zapisać równoważnie
j
X
N
X
(1 + (j − n)i)
1
S=
Rn
+
Rn
.
1 + ji
(1 + ji)(1 + (n − j)i)
n=1
n=j+1
Po spłaceniu n rat wartość aktualna długu zaktualizowana na moment t = 0 jest postaci:
Sn0 = S −
n
X
Rl
1 + (j − l)i
1 + ji
l=1
,
dla 1 ¬ n ¬ j,
oraz
Sn0
=S−
j
X
l=1
Rl
1 + (j − l)i
1 + ji
−
n
X
l=j+1
Rl
1
(1 + ji) 1 + (l − j)i
,
dla n > j.
7
Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat definiujemy
Sn = Sn0 (1 + ni).
(13)
Oczywiście SN = 0. Dla rat stałych W przypadku, gdy ciąg (Rn )N
n=1 jest stały, tj
Rn = R, n = 1, . . . , N , wzór (12) przyjmie postać
S(1 + ji) = R
(14)
" j
X
n=1
N
X
#
1
1 + (j − n)i +
.
n=j+1 1 + (n − j)i
Stąd, po przekształceniach, wysokość raty R wyraża się wzorem
1 + ji
R = S Pj
(15)
n=1
1 + (j − n)i +
PN
1
n=j+1 1+(n−j)i
.
Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat dany jest wzorem








Sn = 






Pn 1+(j−l)i
l=1
P
"
S(1 + ni) 1 − Pj
1+(j−l)i +
l=1
Pj
"
l=1
S(1 + ni) 1 − Pj l=1
#
dla 1 ¬ n ¬ j,
N
1
l=j+1 1+(l−j)i
P
n
Pl=j+1
1+(j−l)i +
1
1+(l−j)i
1+(j−l)i +
N
1
l=j+1 1+(l−j)i
#
dla n > j.
Rozkład raty R na ratę kapitałową B i odsetkową C przedstawiamy następująco



R=B+C
PN


n=1



PN
n=1
C = S(1 + N i)
C =R−B
PN


n=1 (B



B 1 + (N − n)i +
+ B(N − n)i) + N C = S(1 + N i)
C =R−B
PN


n=1
B+
PN
n=1
B(N − n)i + N C = S(1 + N i)



C =R−B


BN + Bi (N −1)N
+ N C = S(1 + N i)
2



C =R−B


BN + Bi (N −1)N
+ N (R − B) = S(1 + N i)
2
W konsekwencji




B=



C =R−B
2 S(1+N i)−RN
(N −1)N i
gdzie rata R dana jest wzorem (15). Plan spłaty długu definiuje tutaj układ (Sn , R, B, C).
8
0.2.5
Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego
h
i
h
i
S(1 + ji) = R1 1 + (j − 1)i + R2 1 + (j − 2)i + . . . + Rj
h
i
h
+ Rj+1 1 − i + . . . + RN 1 − (N − j)i
=
j
X
h
n=1
=
j
X
N
X
i
Rn 1 + (j − n)i +
i
h
i
h
i
Rn 1 − (n − j)i
n=j+1
h
N
X
i
Rn 1 + (j − n)i +
n=1
Rn 1 + (j − n)i
n=j+1
Dług S i ciąg spłat (Rn )N
n=1 umarzających ten dług spełniają
(16)
N
X
S(1 + ji) =
h
Rl 1 + (j − n)i
i
n=1
przy aktualizacji względem t = j. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie jak dla
długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego otrzymujemy, że
dług bieżący Sn po spłaceniu n rat jest postaci
Sn = Sn0 (1 + ni),
gdzie
(17)
Sn0 = S −
n
X
Rl
l=1
1 + (j − l)i
.
1 + ji
Przyjmując Rn = R, n = 1, . . . , N otrzymujemy
S(1 + ji) =
N
X
h
Rn 1 + (j − n)i
i
n=1
= R N + N ji − i
N
X
!
n
n=1
!
1+N
= R N + N ji − i
N
2
"
! #
N +1
= RN 1 + j −
i .
2
Stąd
(18)
R=
S(1 + ji)
N 1+ j−
N +1
2
i
9
Wartość długu bieżącego po spłaceniu n rat wynosi
"
Sn = (1 + ni) S − R
n
X
l=1
1 + (j − l)i
1 + ji
"
#
1
n+1
= (1 + ni) S −
Rn 1 + j −
1 + ji
2
! #
i
Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat z uwzględnieniem dyskonta matematycznego. W konsekwencji




B=



C =R−B
2 S(1+N i)−RN
(N −1)N i
przy czym rata R dana jest tutaj wzorem (18).
0.2.6
Raty kupieckie
Szczególnym przypadkiem rat umarzających dług krótkoterminowy są raty kupieckie,
które zdefiniowane są przy aktualizacji na moment t = N . Wyrażają się one wzorem
(19)
R=
S(1 + N i)
N 1+
N −1
i
2
.
Rozkład raty R na ratę kapitałową i odsetkową wygląda następująco



B=R


C=0
Odsetki są umarzane za pomocą odsetek od rat kapitałowych.
0.2.7
Spłata długów średni- i długoterminowych
Zajmiemy się teraz spłatą długów o okresie zwrotu powyżej jednego roku. Do rozliczenia będziemy stosować model oprocentowania składanego. Analiza ratalnej spłaty długu
opiera się zasadzie, która mówi, że dług zostaje spłacony, gdy zaktualizowana na moment
t = j wartość długu jest równa sumie rat zaktualizowanych na ten moment. Niech (Rn )N
n=1
będzie ciągiem płatności dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzającym
dług S.
S(1 + i)j = R1 (1 + i)j−1 + R2 (1 + i)j−2 + . . . + Rj
+ Rj+1 (1 + i)−1 + . . . + RN (1 + i)−(N −j) ,
10
czyli
(20)
N
X
S(1 + i)j =
Rn (1 + i)j−n
n=1
W mysl zasady równoważności kapitałów zależność (20) jest równoważna następującej
(21)
N
X
S(1 + i)N =
Rn (1 + i)N −n ,
n=1
gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = N , oraz następującej
(22)
S=
N
X
Rn (1 + i)−n ,
n=1
gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = 0. Po spłaceniu n rat wartość długu bieżacego możemy wyrazić ratami spłaconymi jak i niespłaconymi. W pierwszym przypadku
mówimy o zależności retrospektywnej
(23)
n
Sn = S(1 + i) −
n
X
Rl (1 + i)n−l ,
l=1
w drugim przypadku mówimy o zależności prospektywnej
(24)
Sn =
N
X
Rl (1 + i)n−l .
l=n+1
Oczywiście w jednym i drugim przypadku SN = 0. Wartość długu bieżącego stanowi dla
dłużnika i wierzyciela ważna informację o tym, jakie jest saldo zadłużenia po wpłaceniu
określonej liczby rat. Jest ona również podstawą do skorygowania przyszłych rat, np. z
powodu zmiany stopy procetnowej, albo do restrukturyzacji zadłużenia, gdy z pewnych
powodów trzeba smenić wysokość przyszłych rat, ich liczbę lub termin płatności. Przekształcając (23)
(25)
Sn = Sn−1 (1 + i) − Rn
otrzymujemy związek długu bieżącego z końca okresu bazowego z długiem bieżącym z
początku okresu bazowego. Przejdziemy do razkładu raty na ratę kapitałową i odsetkową.
Na początek zauważmy, że (25) implikuje
(26)
Sn−1 − Sn = Rn − Sn−1 i,
gdzie Sn−1 i jest wartością odsetek należnych za n-ty okres, tzn.
(27)
In = Sn−1 i.
11
Zatem rata Rn jest postaci
Rn = Tn + In ,
(28)
gdzie Tn jest ratą kapitałową a In ratą odsetkową. Zauważmy, że wzory (26)-(28) implikują
Tn = Sn−1 − Sn .
(29)
Rozkład raty na część kapitałową i odsetkową daje możliwość prześledzenia jak kolejne
wpłaty umarzają bieżace odsetki i dług kapitałowy. Łatwo widać , że
N
X
Tn = S
n=1
N
N
Do pełnego opisu tego procesu tworzy się tzw. plan spłaty długu, czyli układ (Sn )N
n=0 , (Rn )n=1 , (Tn )n=
który najczęściej przedstawia sie w postaci tabeli.
0.2.8
Spłata długu w równych ratach
Zajmiemy się teraz wyznaczaniem wielkości raty i planu spłaty długu w sytuacji, gdy spłaty są jednakowej wielkości. Mówimy wtedy o ratach annuitetowych. Są one standardowo
stosowane przy udzielaniu bankowych pożyczek i kredytów konsumpcyjnych, a spłata długu w takich ratach jest wygodna zarówno dla wierzyciela, jak i dla dłużnika. Niech dany
będzie ciąg N stałych płatności wysokości R dokonywanych z dołu w równych odstępach
czasu umarzających dług S jaki powstał w momencie t = 0 przy ustalonej stopie okresu
bazowego i. Ze wzoru (21) mamy
S(1 + i)N = R
lub równoważnie
S=
(1 + i)N − 1
= RsN |i
i
1
(1 + i)N − 1
R
= RaN |i .
(1 + i)N
i
Zatem rata R wynosi
(30)
R=
S(1 + i)N
sN |i
lub równoważnie
(31)
R=
S
.
aN |i
Ratę R dana powyższym wzorem nazywa się ratą stała lub annuitetową.
12
Z(23) oraz powyższych
Sn = S(1 + i)n − R
n
X
(1 + i)n−l
l=1
= S(1 + i)n − Rsn|i
= S(1 + i)n −
S
an|i (1 + i)n
aN |i
po przekształceniach otrzymujemy, że dla raty annuitetowej retrospektywna zależność
długu bieżącego po spłaceniu n rat ma postać
!
Sn = S(1 + i)
(32)
n
an|i
1−
.
aN |i
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie (do zrobienia na ćwiczeniach) otrzymujemy
prospektywną zależność długu bieżącego od rat
Sn = S
(33)
aN −n|i
.
aN |i
Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat dowolnej
wielkości.
Na uwagę zasługuje postać raty kapitałowej. Otóż w myśl wzorów (29) i (32)
Tn = S
i
(1 + i)n−1
(1 + i)N − 1
stąd
Tn =
(34)
S
(1 + i)n−1 ,
sN |i
co dowodzi, że ciąg (Tn )N
n=1 jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1 + i i pierwszym
wyrazie T1 =
S
.
sN |i
Oczywiście T1 określone tym wzorem spełnia T1 = R − I1 . Istotnie na
początek zauważmy, że
1
aN |i
i
i(1 + i)−N
−
i
=
1 − (1 + i)−N
1 − (1 + i)−N
i
1
=
=
.
N
(1 + i) − 1
sN |i
−i=
Zatem
T1 =
S
S
=
− Si = R − I1 .
sN |i
aN |i
Powyższe wzory dotyczyły sytuacji, gdy okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji.
Jeżeli ten warunek nie jest spełniony należy stopę i zastąpić stopą o okresie zgodnym z
okresem bazowym, równoważną stopie okresu kapitalizacji.
13
Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych
Zajmiemy się teraz wyznaczaniem ciągu rat (Rn )N
n=1 dokonywanych z dołu o okresie bazowym zgodnym z okresem kapitalizacji, umarzających dług S jaki powstał w momencie
t = 0, znając ich części kapitałowe, tj. ciąg (Tn )N
n=1 . Rozważymy tutaj dwie sytuacje:
1. 1. ciąg (Tn )N
n=1 jest ciągiem arytmetyczny rosnącym,
2. 2. ciąg (Tn )N
n=1 jest ciągiem stałym.
Niech i będzie stopą okresu bazowego.
Ad.1. Załóżmy, że Tn = nT . Korzystając z faktu, że suma rat kapitałowych daje dług
S otrzymujemy
N
X
nT = T ·
n=1
N (N + 1)
= S.
2
Stąd możemy wyznaczyć wysokość raty T
(35)
T =S
2
N (N + 1)
Tn = S
2n
.
N (N + 1)
oraz postać ogólną ciągu (Tn )N
n=1 ,
(36)
W myśl wzoru (29) dla n = 1, 2, . . . , N
T1 + T2 + . . . + Tn = S0 − S1 + S1 − S2 + . . . + Sn−1 − Sn
co, w myśl (35) implikuje, że dług bieżący po spłaceniu n rat spełnia
n
X
"
#
2
n(n + 1)
n(n + 1)
Tl = S − S
Sn = S −
·
=S 1−
.
N (N + 1)
2
N (N + 1)
l=1
Z (27) rata odsetkowa jest postaci
"
#
(n − 1)n)
In = S 1 −
,
N (N + 1)
zaś postać ogólna ciągu (Rn )N
n=1 dana jest wzorem
Rn =
h
i
S
2n + N (N + 1)i − (n − 1)ni .
N (N + 1)
Ad.2. Raty o stałej części kapitałowej są podobnie jak raty annuitetowe najczęściej
stosowanym model w praktyce bankowych kredytów i pożyczek konsumpcyjnych.
14
Niech Tn = T dla n = 1, 2, . . . , N . Ponieważ
S+
N
X
T = N T,
n=1
to raty o stałej częsci kapitałowej spełniają
Tn = T =
(37)
S
N
i oczywiście
Rn = T + In .
(38)
Widzimy, że powyższe i wzór (29) implikują
Sn = Sn−1 − T, n = 1, 2, . . . , N,
tj. że po spłaceniu kolejnych rat dług bieżący pomniejsza się o stałą kwotę, czyli (Sn )N
n=0
tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie S i różnicy −T . To dowodzi,
że po spłaceniu n rat dług bieżący dany jest wzorem
Sn = S − nT.
(39)
Ponadto
Sn i = Sn−1 i − T i, n = 1, 2, . . . , N,
co implikuje w myśl (27)
In = In−1 − T i, n = 1, 2, . . . , N,
że ciąg rat odsetkowych (In )N
n=1 tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie
Si i różnicy −T i. Stąd i z faktu, że raty kapitałowe są stałe otrzymujemy, że ciąg rat
(Rn )N
n=1 również tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie Si + T i
różnicy −T i. Ponieważ ciąg rat jest malejący, to w praktyce przyjęło się mówić o spłacie
długu ”ratami malejącymi” częściej niż ”ratami o stałych częściach kapitałowych”.
Powyższe wzory mają charakter rekurencyjny zależny od wielkości T . Innymi równoważnymi postaciami są
Sn =
In =
Rn =
S
(N − n),
N
S
(N − n + 1)i,
N
i
Sh
1 + (N − n + 1)i .
N
15
Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek
Zakładamy, że w każdej z N rat umarzającej dług S, dłużnik zwraca wierzycielowi odpowiednią część kapitału a odsetki od długu są spłącone jednorazowo w j-tej racie. W myśl
zasady równoważności długu i ciągu rat
S(1 + i)N = T1 (1 + i)N −1 + . . . + (Tj + I˜j )(1 + i)N −j + . . . + TN
=
N
X
Tn (1 + i)N −n + I˜j (1 + i)N −j .
n=1
Stąd
I˜j = S(1 + i)j −
N
X
Tn (1 + i)j−n .
n=1
Gdy raty kapitałowe są stałe, to po przekształceniach mamy
S
I˜j = S − aN |i (1 + i)j .
N
Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek
Zakładamy, że długa S jest spłacony jednorazowo w ostatniej racie, zaś odsetki ratalnie,
czyli
R1 = I1 , R2 = I2 , . . . RN −1 = IN −1 , RN = S + IN .
Widzimy, że Sn = S dla n = 1, 2, . . . , N − 1. Stąd raty są postaci
Rn = Si, n = 1, 2, . . . , N − 1,
RN = S(1 + i).
Rozliczenie długów z dodatkową opłatą
W dotychczasowych rozważaniach dotyczących spłaty zakładaliśmy, że jedynymi kosztami
są odsetki. Tymczasem bardzo często przy pożyczkach czy kredytach banki pobierają tzw.
prowizje i marże. Prowizją nazywamy opłatę za usługę i czynności finansowe wierzyciela.
Jest ona naliczana od wysokości długu i potrącana z góry. Zdarza się jednak, że prowizja
pobierana jest ratalnie od raty długu. Marżą nazywamy zysk na usługach podany w
procentach i przeliczony na skalę roczną. Marża mówi o opłacalności usługi. Wysokość
marży ustala się najczęściej w zależności od długu bieżącego.
Plan spłaty długu z opłatą naliczoną od wysokości długu S
16
Niech P będzie dodatkowa opłatą naliczoną według stopy p od długu S, zaś (Pn )N
n=1
ciągiem płatności pobieranych łącznie z ratą Rn takim, że P =
PN
n=1
Pn .
-) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R połóżmy
Pn = Tn p, n = 1, 2, . . . , N.
Wówczas z (34)
P =
N
X
Pn =
n=1
N
X
n=1
S
i
(1 + i)n−1 p
(1 + i)N − 1
=S
N
X
i
p
(1 + i)n−1
(1 + i)N − 1 n=1
=S
i
(1 + i)N − 1
p
(1 + i)N − 1
i
= Sp,
co dowodzi, że ciąg (Pn )N
n=1 jest dobrze zdefiniowany.
N
N
N
Plan spłaty długu jest to układ (Sn )N
n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 , gdzie
R̃n = Rn + Pn ,
zaś elementy Rn , Sn , Tn , In są takie jak w podrozdziale ”Spłata długu w równych ratach”
(patrz m.in. wzory (30)-(34)).
-) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi tzn. ratami o stałych częściach kapitałowych, kładąc
Pn = Tn p, n = 1, 2, . . . , N,
otrzymujemy, w myśl (37)
P =
N
X
Pn =
n=1
N
X
n=1
Tn p =
N
X
S
p = Sp,
n=1 N
N
N
N
Plan spłaty długu jest tutaj układem (Sn )N
n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 , gdzie
R̃n = Rn + Pn ,
zaś elementy Rn , Sn , Tn , In są takie jak w podrozdziale ”Spłata długu w równych ratach”
(patrz m.in. wzory(37)-(39)).
Plan spłaty długu z opłatą naliczoną od wysokości długu bieżacego Sn
Ponieważ opłata dodatkowa jest naliczana od długu bieżacego, to ciąg (Pn )N
n=1 zdefiniowany jest tutaj wzorem
Pn = Sn−1 p, n = 1, 2, . . . , N.
17
-) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R otrzymujemy, że łączną opłata dodatkowa w
myśl (32) spełnia
N
X
N
X
N
X
(1 + i)N − (1 + i)n−1
P =
Pn =
Sn−1 p =
S
p
(1 + i)N − 1
n=1
n=1
n=1
N
X
Sp
(1 + i)N − 1
Sp
N
n−1
N
=
N (1 + i) −
(1 + i)
=
N (1 + i) −
,
(1 + i)N − 1
(1 + i)N − 1
i
n=1
"
#
"
#
w konsekwencji
1
N (1 + i)N
−
.
P = Sp
(1 + i)N − 1 i
#
"
Ponieważ z (27) R = Sn−1 (1 + i) − Sn , to n-ta płatność wynosi
R̃n = Pn + R = Sn−1 (1 + i + p) − Sn , n = 1, 2, . . . , N.
(40)
N
N
N
Układ (Sn )N
n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 stanowi plan spłaty długu, gdzie Rn dane jest
wzorem (40).
-) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi, ponieważ Sn−1 =
S
(N
N
− (n − 1)), to
łączna opłata wynosi
P =
N
X
Pn =
Sn−1 p =
n=1
n=1
=
N
X
N
X
S
(N − (n − 1))p
n=1 N
N
X
N +1
S
n=S
p
p.
N n=1
2
Zauważmy, że n-ta płatność wynosi
R̃n = Rn + Pn = Tn + In + Pn = Tn + Sn−1 i + Sn−1 p = Tn + Sn−1 (i + p)
co daje, że dodatkowa opłata zwiększa stopę i do stopy i + p, czyli
R̃n =
i
Sh
1 + (N − n + 1)(i + p) .
N
N
N
N
Układ (Sn )N
n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 stanowi plan spłaty długu.
18