Objętość kuli

liceum
Objêtoœæ kuli
i sto¿ka
Warto pytaæ, sk¹d bior¹ siê
wzory, których u¿ywamy.
n WITOLD BEDNAREK
W
zory, które uczeñ u¿ywa w
szkole, s¹ przez niego zazwyczaj przyjmowane bezrefleksyjnie: albo wydaj¹ siê one oczywiste,
albo – jako podane przez nauczyciela –
nie podlegaj¹ dyskusji. Bardzo rzadko pojawia siê pytanie, dlaczego rozpatrywany
wzór jest w³aœnie taki, a nie inny. Tymczasem warto, przynajmniej czasami
(mo¿e np. na kó³ku matematycznym), pokazaæ, sk¹d siê niektóre wzory bior¹. Moja
propozycja dotyczy mniej intuicyjnych
wzorów na objêtoœæ bry³.
Intuicyjnie oczywiste jest, ¿e objêtoœæ
bry³y prostej jest równa iloczynowi pola
podstawy i wysokoœci (rys. 1 i 2):
9 = 6¢+
Rys. 2
W szczególnoœci objêtoœæ walca wynosi V = pr2H, bo S = pr2. W artykule zajmiemy siê wyprowadzeniem wzorów na
objêtoœæ kuli i sto¿ka, stosuj¹c dostêpn¹
dla ucznia liceum metodê, niekorzystaj¹c¹
z rachunku ca³kowego (ale zawieraj¹c¹
pewne zwi¹zane z nim intuicje, co mo¿e
byæ cenne w kontekœcie powrotu elementów analizy matematycznej do podstawy
programowej).
Kula
Zaczynamy od podzielenia pó³kuli
o promieniu R na plasterki (rys. 3), których jest n.
9 = 6¢+
Rys. 1
4/2013
Rys. 3
47
liceum
Wysokoœci plasterków s¹ jednakowe i wynosz¹ (prawie) K = 5 (prawie, bo wysoQ
koœci plasterków nie sumuj¹ siê do promienia pó³kuli – brakuje wysokoœci górnego „ko³paczka”), gdzie n jest bardzo
du¿¹ liczb¹ naturaln¹. Niech UN oznacza
promieñ k-tego plasterka, licz¹c od do³u
(rys. 4).
Gdy Q Ž ¸ to suma objêtoœci plasterków zmierza do objêtoœci pó³kuli (a wysokoœci plasterków s¹ coraz bardziej rów5
Ž ne K = …). Wobec tego, ¿e
Q
Q
objêtoœæ pó³kuli wynosi
¢ ± 5 »ª 5
²=
Õ ½
i w konsekwencji objêtoœæ kuli wynosi
5 Sto¿ek
Rys. 4
Z twierdzenia Pitagorasa mamy
Tak jak poprzednio, dzielimy sto¿ek
o promieniu podstawy R i wysokoœci H
na plasterki (rys. 5):
N5 ±
UN + Ȼ
² =5 ½ Q Õ
Zatem objêtoœæ k-tego plasterka wynosi
(prawie)
9N = UN ¢
»
5
N5 ± ± 5
= ª 5 - »ª
² ²¢ =
Q
½ Q Õ Õ Q
½
» N ±
= 5 ª - ²
½Q Q Õ
Rys. 5
Stosuj¹c wzór na sumê kolejnych kwadratów:
Q
Ç= N
N =
Q (Q + )(Q + )
Wysokoœci plasterków znów s¹ jedna5
kowe i wynosz¹ (prawie) K = , gdzie n
Q
jest liczb¹ plasterków. Spójrzmy na rys. 6
(k – numer plasterka licz¹c od do³u):
otrzymujemy
Q
» Q » N
9N = 5 ªª ª - N =
½ N = ½ Q Q
Ç
Ç
± ±²
²² =
ÕÕ
Q (Q + )(Q + ) ±
= 5 »ª Q ¢ - ¢
²=
½ Q Q
Õ
»ª + ±²»ª + ±² ±
»
ª
Q Õ½
Q Õ ²
= 5 ª - ½
²
ª
²
½
Õ
48
Rys. 6
matematyka
liceum
Z podobieñstwa odpowiednich trójk¹tów
mamy
N+
+UN
Q =
+
5
+
N
+
= »ª - ±² 5 ¢
=
Q
QÕ
Q
½
»ª - N ±²
QÕ =
= 5 +¢½
Q
» N N ±
= 5 + ª - + ²
Q Õ
½Q Q
St¹d
N N
» Q » N N = 5 + ªª ª - + Q
½ N = ½ Q Q
Ç
» = 5 + ªª Q ¢ - Q
Q
½
N
sk¹d UN = »ª - ±² 5 Zatem objêtoœæ k-tego
QÕ
½
plasterka wynosi
9N = UN ¢
Q
Ç= 9
Q
Q
± ±²
²² =
ÕÕ
Ç= N + Q Ç= N
N N ±
²=
²
Õ
Q (Q + ) Q (Q + )(Q + ) ±
= 5 + »ª - + ²=
½
Õ
Q
Q
= 5 + »ª - »ª + ±² + »ª + ±²»ª + ±² ±²
QÕ ½
Q Õ½
Q ÕÕ
½ ½
Gdy Q Ž ¸ to suma objêtoœci plasterków zmierza do objêtoœci sto¿ka, a wiêc
wynosi ona
5 + »ª - + ¢ ¢ ±² =
5 + q
Õ ½
WITOLD BEDNAREK
autor wielu artyku³ów, ksi¹¿ek i zbiorów zadañ
CZY TO WIELOMIAN?
Niech f : R ® R. Wiadomo, ¿e podana funkcja g(x) jest niesta³ym wielomianem. Czy st¹d wynika, ¿e samo odwzorowanie f (x) tak¿e musi byæ wielomianem?
1. g(x) = f ( f (x))
2. g(x) = f (2x)
3. g(x) = f (|x|)
Odpowiedzi
1. Nie. Przyk³adowym kontrprzyk³adem mo¿e byæ funkcja f (x) = x dla x Î R\{3, 5}
oraz f (3) = 5 i f (5) = 3.
[
2. Tak. Z podanej równoœci wynika, ¿e I [ = J »ª ±² dla x Î R, czyli f jest
½Õ
wielomianem.
3. Nie jest tak np. dla funkcji
Å [ GOD [ Ë .
f (x) = ­
® GOD [ < OdpowiedŸ w tym przypadku jest wiêc negatywna.
nades³a³ Micha³ Kremzer
4/2013
49